向量的数量积公式的灵活应用(第10期)
向量的数量积公式的灵活应用(第10期)
山东省济南市第三中 学李佃花 平面向量的的数量积公式是向量部分一个基本而又非常重要的公式。近几年高
考试题
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主要
考查数量积的以下几个应用:平面上两点间的距离与数量积的关系;平面上两个向量的平行
与垂直问题;利用向量数量积处理有关向量的长度、角度问题及与其它知识交汇的问题等.
下面通过例子具体说明.
一、求向量的夹角
【例1】已知求的夹角( (32)(2)8,mnmn,,,,,mn与mn,,2,4,
解析:由, (32)(2)8mnmn,,,,,
2222得,即( 628mmnn,,,,,mnmn,,,,628
,,,,,24cos,mnmnmnmn,,,,,cos,
22 8cos,62248,,,,,,,,mn
, ?,,,cos,0mn,,,mn,[0,],,
( ?,,,mn,.,
点评:本例主要考查向量夹角的求法,同时也考查学生向量的基本运算能力,在求向量
[0,].,的夹角时切记夹角的范围是
二、求向量的模或长度
120【例2】已知均为单位向量,它们的夹角为,求 ab,3.a和b
解析:利用向量求模的定义有:
2 abab,,,3(3)
22 ,,,abab96
120均为单位向量,且夹角为,有向量的数量积公式 得a和b
1, ababab,,,,,,,,,cos,11cos1202
22( ?,,,,,,abab961937
2点评:求向量的长度(或模)问题,常常利用转化为向量的数量积来求解. aaa,a
三、解决向量的垂直与平行问题
,【例3】已知且向量()ab,,与()ab,,垂直,求( ab,,3,4,
解析:()ab,,与()ab,,垂直,
,0.()ab,,()ab,,?
222, ?,,ab,0
2 ?,,9160,,ab,,3,4,
3解方程求得 ,,,.4
【例4】在四边形中,,求证:( ABCDABCDABCDABCD,
AB证明:设与的夹角为,有向量的数量积公式得: ,CD
ABCDABCD,cos,
, ABCDABCD,
, ?,ABCDABCDcos,
, ?,,cos1,
?,,,,0180或
( ?ABCD
点评:两个向量垂直的充要条件为:,利用它可以灵活、简便地解决有关垂ab、ab,0
ab直问题;两个非零向量平行的充要条件为:或者说两个向量的夹cos1,,,,,,ab,ab、
ab
0180.或角为
四、向量的数量积与三角函数的综合应用问题
ππ【例5】(2006年全国卷II)已知向量,(sinθ,1),,(1,cosθ),,,θ,( ab22
(?)若,求θ; ab,
(?)求的最大值( ab,
解:(?)若,则sinθ,cosθ,0, ab,
πππ由此得 tanθ,,1(,,θ,),所以 θ,,; 224(?)由,(sinθ,1),,(1,cosθ)得 ab
22,(sinθ,1),(1,cosθ),3,2(sinθ,cosθ) ab,
π,3,22sin(θ,), 4
ππ当sin(θ,),1时,取得最大值,即当θ,时,|最大值为2,1( ab,ab,44
点评:此题主要是考查数量积的坐标运算.将向量的数量积及模的坐标运算转化为三角函数的化简、求值,然后运用三角函数的基本公式及正弦函数的有界性求解.向量与三角函数的结合,题目新又巧,既符合在知识的“交汇处”出题,又能加强对双基的考查,特别是向量的坐标
表
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示与运算大大简化了数量积的运算,使得数量积公式用起来更得心应手.