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[doc] 幂指函数极限讨论及应用
幂指函数极限讨论及应用
第21卷第2期
2008年4月
常州I_7-学院
JournalofChangzhouInstituteofTechnology
VO1.21No.2
Apr.2008
幂指函数极限讨论及应用
荆江雁
(常州工学院理学院.汀苏常州213002)
摘要:给出了幂指函数极限定理,对求幂指函数极限的方法进行了讨论,并给出一些应用实例.
关键词:幂指函数;极限定理:应用
中图分类号:0714文献标识码:A文章编号:1671—0436(2008)02—0080—02
在文献[1]中,复合函数的连续性有定理如下:
定理1若函数,(X)在X.点连续,g(“)在点
“.连续且”.=,(X.)则复合函数g[f()在X.处
连续.
即:
limgIf(X)]=g[1imf(X)]—
如一x0
1定理及证明
由定理1可得出如下几个结论.
定理2若limf(X)=A,limg(x)=B,且A>0,
则limf(X)?=[1imf(X)]”„=A
定理2中lim的变化过程包含一..,一
+?,X---+一?,—?0,—+f『,—?一O1一O7
.
limg()=Blimlnf(X)=lnA
1—?o
.,
limg(X)lnf(X)=BInA卜叶
即当.一时,v一日lnA.于是
limf(:lime,~<?n九=lime=e?:A
J一一引nA
推论1若limf(X)=A,limg(X)=B,且A<
0,贝0
limf(X)?=limf(X)]”„=A
(证明方法同定理2,略)
推论2若limf(X)=A,limg(X)=B,且A与
B只少有一个不为零,则
limf\一+,
一
(告(一).?”“?..:
ee,:1
由上可知,例1可直接标准化,例2不能直接标
准化,须经过适当的恒等变形后再施行标准化.
可直接标准化的称为简单型,须经变形后才能
标准化的称为复杂型.那么,对复杂型标准化的关
键是如何进行适当的恒等变形,一旦不能进行恰当
的变形,就无法标准化,也就求不出极限.用定理2
及推论求幂指函数的极限,则不但可大大简化求解
过程,而且避免了寻找适当的恒等变形的难度.
对复杂型的例2直接标准化为
(去)=[(1+)(1)
式(1)中的中括号内是标准型,且极限是e
若设
=
(+),=
显然满足定理的条件,由定理2得
x
lim(x2x=[(1+)广:
击):
对简单型的例1口】利用定理2求解.
(+熹『(1+南)孚
+
南
可见不论是简单型还是复杂型,应用定理都
能非常容易求得极限,且在不知如何变形时非常
有效.
对既非简单型又非复杂型的例3无法用重要
极限求解,但利用定理却可以求出其极限
lim+
(1+)1=[(1+)?厂=e.=l
此时定理2显得特别有效.
对后两例用洛必达法则求其极限分别是
(去)x=e.西x2:
lim(1+ex:e:1(+)=e=e?=
显然不如应用定理简捷.
综上所述,利用定理2是求解连续幂指函数
类极限的一种有效,简捷的方法.
[参考文献]
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].2版.北京:高等教育出
版社,2004.
TheoremoftheLimitofCombinationofPowerandExponent
FunctionandItsApplication
JINGJiang—yan
(SchoolofScience,ChangzhouInstituteofTechnology,Changzhou213002)
Abstract:Thepaperprovidesthetheoremofthelimitofcombinationofpowerandexponentfunction
,
whichgivesUSanewmethodtoworkoutthelimitofthiskindoffunction.
Keywords:combinationofpowerandexponentfunction;theoremoflimit;application
责任编辑:张秀兰
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