【doc】均值矩阵的线性估计在广义线性估计类中的可容许性

【doc】均值矩阵的线性估计在广义线性估计类中的可容许性 均值矩阵的线性估计在广义线性估计类中 的可容许性 华南师范大学(自然科学版) Jma'nalofSo(ribChinaNcrnmlUoiverslty(NamralScience) 文章编号1000—5463(I~)02—0015—05 f一(7均值矩阵的线性估计在广义线-胜,,.,估计类中的可容许-胜l乙j:6/ 杨镜华 珠悔广播电视大学珠海519000 f2l 摘要对于多元线性模型Y一(舾.00y),本文在最大特征值作为矩阵大小的比较 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 下,讨 论了棚的函数SXO的线性估计AY在齐次线性估计类中可容许与AY在齐次广义线性估计类中可 容许的关系,还讨论了AY+D在广义线性估计类中可容许与AY在齐次广义线性估计类中可容许 的关系 荤喜元线02性12?4嘴萎A类瓶矩降丁害{f隆. 中国分类号.文献标识码rJ巨上/,LIt口f,?巴 皱1本文中,对任一矩阵A,记A为A的接列拉直向量PA=A(A)A.若A为对称方阵, 记^f(A)为A的第f个顺序特征值,trA为A的对角元素之和.1l表示向量的欧氏模. 表示所有k×2实矩阵的集合 考虑多元线性模型 Y=XO+s,E=O,E越=0V,(1) 其中Y和s分别为n×m观测值和误差矩阵,>0,V>0和分别为m×m,n×n和nP 已知矩阵,口>0为参数或口=1,0?Rp为参数.以下简称这一模型为模型(1)并简记为y 一 (XO,0V). 对于模型(1)中可估函数(矩阵)SXO(S为k×n常数矩阵)的估计问题,损失函数取为二 次损失 L(6,SXO):(6一sD)(6一SXO),(2) 相应的风险函数矩阵记为R(6,SXO),即R(6,SXO)=EL(6,SXO).风险函数是一个矩阵,而 矩阵的大小比较可以有多种不同的标准.谢民育【1j引进了如下几种可容许性概念. 定义在模型(1)和损失(2)下,设g是SXO的一个估计类,6?g是SXO的一个估计, 如果下述第条对任何61?g都不成立,则称6在第种意义下在估计类g中可容许,并记 为6=SXO(f)(=1,2,3,4,5,6): ?时R(6I,SXO)?时R(6,SXO)且不取恒等号; ?t[R(61,SXO)]?1[R(6,SXO)]且不取恒等号; ?R(61,SXO)?R(6,岛国)且不取恒等号; ?^[R(6t,SXO)]?[R(6,SXO)],=1,2,…,m且存在使恒等号不成立; ?[R(6I,SXO)]?[R(6,SXO)],1,2,…,m且在某处对所有的都成立严格不等号; 收稿日期:1998—02—24 ?R(1,SXO)?R(,SXO)且在某处成立严格不等号; 对上述6种可容许性,当y=,n时,文[1]中研究了SXO的线性估计AY和AY+D(D是 一 常数矩阵)分别在线性估计类 L={AY:AER"} 和 l={AY+D:A?n,D?} 中的可容许性,对每种可容许性都给出了充要条件但当m>1时,仅考虑形如AY或AY+D 的线性估计是不够的,因为一般形式的线性估计应该是(Aly,A2lr,…,AY)+D的形式,其 中A是k行Ml列矩阵.这种线性估计可写成(y)+D的形式,其中(y)满足:对任意实 数t,2,(tY+2z)=t(Y)+k2学(z),称之为广义线性估计.记 = {(Y):(Y)E,(klY+2Z)=1(Y)+2(Z)i, = {(Y)+D;(Y)E蜀D?f. 当y:,n且d为参数时,邓起荣和陈建宝【对上述6种容许性中的第1,3,4,5,6种容许性分 别给出了SXO的线性估计AY和AY+D在和中可容许的充要条件.综台[1]和[2]的 结果我们发现下列问题有待解决: (1)AYSXO(2)与AY:鼢r0(2)的关系是什么? r (2)AY+DSXO(2)与AYSXO的关系是什么? 本文的工作回答了这两个问题. 1本文结果 定娌1在模型(1)和损失(2)下,设不是数量矩阵且AY:鼢r0(2),则AYSXO(2)且 当AX?s时有l(Z)t~(AVA)<()SX(y)一s]. 证明因为,是的真子集,由定义即得AY:SXO(2). 设AX?跚且l(E)tr(AVA)?()tr[跚(y一')一s].当:diag(口},口;,…, 8),?t?口2?…??>0时,记和0分别为y和.的第i列,i:1,…,m,取 (Y)=(AYl,…,A一t,艘(y..)一yy), 则(Y)?由=diag(口},.i,…,口.),得,(朋,d.d),i:1,…,m且y1,y2,…, 不相关.因而 R(AY,SXO)=0.2~tr(AVA)+o(AX一跚)J(AX—SX)0 1f0'11 =t~(AVA)l'.1+ll(一SX)(AX一)(0一,0), lnJL R((y),sxo)=E[(Y)一E(1r)[(y)一E(y)]+[E(Y)一SXO]I[E(Y)一SXO] =0.2t~(AVA).一 墨!【!:!2:3 tKAVA) 鼻(AX一默y(AX一黯)(D一,.1jO)?tr(AVA) (AX—SX)(AX—SX)(0一,一l,O) + 所以,由矩阵论中的事实"设巩=()?.,a?,6?.且6..?c,则.[(:)]? (,[()】=(",以及上面两式得 1[R(AY,SXO)]?1[R((Y),SXO)](3) 恒成立.取0l=…=0一1=0,则 l[R(AY,鼢,o)]=口dtr(AVA)+ll(一SX)ll, l[R(9(Y),SXO)]={dtr(AVA). 再由AX?SX易见(3)不取恒等号. 对于一般的,存在正交阵P使:Pdiag(口},j,…,口),口l?口2?…?口>0,此时 口:(三)<1(三)=o},YP一(XOP,CP)0).由前段证明知,存在(YP)?使 l[R(AYP,SXOP)]?l[R((YP),SXOP)] 且不取恒等号,此即 I[R(AY,SXO)]?1[R((YP),?固)] 且不取恒等号.又由(YP)?得(YP)P?,这与AYsxo(2)矛盾. 定理1说明了在广义线性估计类中,第2种容许性与其它5种是不等价的,尽管由[1] 可知,在估计类L中,全部6种容许性都等价.但当三是数量矩阵时,在中6种容许 性是等 价的,事实上我们有如下定理. 定理2在模型(1)和损失(2)下,若三是数量矩阵,则AY岛盼(2)与AY:髓,(2)等价. 证明只需证明Alr?,o(2)~AY!sxo(~).设(Y)=(l(Y),2(Y),…,(1,)) ?.使 1[R((Y),?,o)]?l[R(Alr,SXO)](4) 恒成立,记和0f分别为lr和.的第列,取定自然数2使l?f?m.取.的第z列为0f,其 余各列全为零,则(1.j,,…,+一,),,((),,m0).由【1]可得,AY2SXO (2)等价于A=AX(V一'X)一XV且AVA?AVS,所以在损失d—瑚,Il和模型 (,,…,y:十II…)J,((,d0y)下,A是SXOf的可容许估计.但由(4)及 R(Ay,SXO)=d~~AVA)+(AX一麟)(AX一麟)D, 得 EA一SXOtll=^I[R(Ay,SXO)]?1[R((y),SXO)]?Ell(y)一SXOt0. 联系到"AYt是SXOl的可容许估计",得知当.如上述取定,P((y)=A)=l再由(y) ?得(y)=A+置在(4)中取o:0得i?f时有A=0.所以(y)=A.最后 … 由f的任意性得(y)=AY.这说明Ay=s(2). 这就回答了前述第一个问题.下而两个定理回答了前述第二个问题. 定理3在模型(1)和损失(2)下.设;1,则AY+D岛印(2)的充要条件是AI" S(2)且下列条件之一成立 (i)A=SX且tr(AVA)l()=1[t~(ava)+DD]. (ii)似?SX且(D)c(似一SX). 证明必要性.设AY+Ds珊(2).记D=(一)Dl+D2,D(一)=0.再 记y=XD1+y,o=Dl+o,则y一(Xi9,0y)且 R(AI"+D,SXO)=R(AY,盼)+D2.(5) 若Ay=SXO(2)不成立,则存在(y)?使 1[R((y),sp)]?I[R(Ay,SXO)] 且不取恒等号.从而R((),面)]?1[R(A,岛西)]且不取恒等号.而(y)?因 而(y)=(y)(皿1)所以由(5)得 )-1[R((y)(皿I)一sD1,sxo)]=1[R((),s痢)]?1[R(A,s船西)] ?1[R(AY+D,SXO)J 且第一个不等号"?"不取恒等号,这与Ay+DSXO(2)矛盾. 当=SX时,易知R(Ay,SXO)=t~(ava'),由(5)知R(AY+D,s舯)=tKAVA) +DD.注意到AY+D:SXO(2),AY不可能一致优于AY+D,从而[tr(AVA)]=l- [tKAVA')?+DD],即(j)成立. 当?蹦时,若=diag(o},o;,…,n),由一船?0,存在向量a使(一船) ?0,取.使o+D1的第列为m,其余各列为零,则由a(一船(一船)>0知,当 l.l充分大时有 [R(Ay+(一船)Dl,SXO)]=a~(ava)+a2(一船)(一SX)? n{(A)+0,2a(A—sx)(A—s)+?l[R(Ay+D,5D)],(6) 其中d为D;D2的第i个对角元素,而由(5)知 R(AY+D,SXO)?R(Ay+(Ax—s)Dl,册), 故1[R(Ay+D,岛国)]?1[R(AY+(一船)D1,s舯)]恒成立.因此,(6)必取等号(1nl 充分大),所以吐=0,由i的任意性知D2的对角元素全为零.而DD2非负定,所以D'~D2 = 0,即D2=O,这说明(D)c(A—s)成立.? 当似?SX时,若不是对角矩阵,存在正交矩阵P使P三P为对角阵,,(XOP, (P三f,)0V).不难证明AYP+DP(2)若不然,存在(髓')+D?使 1[R(()+D,SXOP)]?[R(A+D,SXOP)] 且不取恒等号.此即 18 [R(()+D,SXO)]?1[R(AY+D,SXO)] 且不取恒等号.又由()?知()P,+D?,这与AY+DSXO(2)矛盾.由 AYP+DPsxoe(z)~前段证明知(DP)c(AX一),从而(D)=(D)c(DP) c(AX—SX).即(ii)成立. 充分性.由(i)和(ii)有一条成立可知 ^1[R(AY+D,SXO)]=^1[R(AY4-(AX一)D1,SXO)] 恒成立.因而AY+Dsxo(2)等价于AY+(AX—SX)DlSXO(2).记y=y+XD,o= Dl+o,则Ay+(A一SX)DIsxo(2)等价于,:国画(2),也即等价于Ay3SXO(2). 再注意 到非齐次线性估计不可能一致优于齐次线性估计知Ay:SXO(2)等价于AY苎sxo(2).这说明 充分性成立 在定理3的证明过程中以代替得到 定理4在模型(1)和损失(2)下,设>o为参数,则AY+DSXO(2)的充要条件是 AY=sxo(2)且(D)c(AX—s). 虽然定理4与定理3有点差别,但在证明过程中只需稍加处理便可. 参考文献 1谢民育多元回归系数线性估计的可容许性[J]科学通报,1989(11):14481449 2邓起荣,胨建宝.关于(多元回归系数线性估计的可容许性)一文的一点注记[J].云南教育学院 1996(2):9—13 THEADMISSIBILITYOFLINEARESTn^1D暇S0F^皿e^NMATR? THECLASSOFGENERALIZEDLINEARESTn^ToRS YANGJillg}n? 丑mRoandTele~slonUnivc~s时,:i~hai5190O0,Ch AbstractForthemultivariatelinearmodelY一(XO,Ct20V),where>0andV>0areknown, withthemaximih-xteigenvalueasthecriteriaofconlparlsonofmatrixsize,therelationshipbe tweenthead— missibi~tyofAYintheclassofhomogenouslinearestimatorsandintheclassofhomogenousg eneralized hnearestimatorsisdiscussed.Also,t}lerelationshipbetweent}leadmissibilityofAY4-Dint heclassof generalizedlinearestimatorsandtheadmissibilityofAYintheclassofhomogeaaousgenerali zedlineares- tinmtorsisanalyzed Key. wordsmultivariatelinearmodel;admissible;classofgeneralizedlinear?6ma【0rs 【责任编辑庄晓琼】 19