[DOC]-大学物理授课教案 第四章 刚体转动

[DOC]-大学物理授课教案 第四章 刚体转动 大学物理授课教案 第四章 刚体转动 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权(教授) 第四章 刚体的转动 ?4-1刚体运动 一、刚体 定义:物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。 说明:?刚体是理想模型 ?刚体模型是为简化问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 引进的。 二、刚体运动 刚体运动:(1)平动:刚体内任一直线方位不变。 a 特点:各点运 动状态一样，如:、v等都相同，故可用一个点来 代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 刚体运动。 (2)转动:1)绕点转动 2)绕轴转动:刚体中所有点都绕一直线作圆周运动 说明:刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。(如:乒乓球飞行 等) 三、定轴转动(本章仅讨论此情况) 定义:转轴固定时称为定轴转动。 转动特点:?刚体上各点的角位移 相同 (如:皮带轮)，各点的 、 相同。 2a( r )、 v( r )n?刚体上各点的、at, r ,一般情况下不同。 说明:? 是矢量，方向可由右手螺旋法则 确定。见图4-1。 v? r 图 4-1 1 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权(教授) ?4-2 力矩 转动定律 转动惯量 一、力矩 1、外力F在垂直于轴的平面内 如图4-2: 定义: ?力矩: M r F (4-1) ?力矩 :大小:M Fd Frsin (d rsin ，称为力臂);方向:沿(r F 它垂直于r、F构成的平面即M与轴平行。 注意: 是r、F间夹角。 2、外力F 不在垂直于轴的平面内 如图4-3: F F//(平行轴),F(垂直轴) ? F//对转动无贡献 F ? 对转动有贡献的仅是F 。 F产生的力矩即F 的力矩， 故上面的结果仍适用。 说明:F平行轴或经过轴时 M 0 。 二、转动定律 M 0时，转动状态改变，即 0，那么 与M 图 4-3 的关系如何,这就是转动定律的内容。 推导: 如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统， 这些质点在垂直于轴的 平面内作圆周运动。 考虑第i个质点: 质量: mi 到轴的距离:ri 受力:外力:Fi;内力:fi (设Fi、fi在垂直于转轴的平面内) 在切线方向上由牛顿定律有: Fit,fit miat miri (4-2) 图 4-4 2 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权(教授) 即 Fisin i,fisin i miri (4-3) (4-3)×ri: Firisin i,firisin i miri2 (4-4) 每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有 2 Frsin ,frsin mr iiiiii ii (4-5) ii i 可证明合内力矩 证明如下: Frsin iii i 0。 如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力， 他们是一对一对的作用力和反作用力。对i、j两 质点，相互作用力的力矩之和=,设fij为第i个质点对 j 第个质点作用力，fji为第j个质点对第i个质点作 用力。 ?fij与fji共线 ?力臂相等 又 ?fji与fji等值反向 ?fij与fji产生力矩等值反向，故fij与fji力矩合=0 由此可知:刚 体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。 firisin i 0 i 图 4-5 M irisin i i令 2 J mr ii i (4-6) 即:刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定 律。 说明:?M J ,与M方向相同 ?M J 为瞬时关系 F maa FM?转动中M J 与平动中地位相同，是产生 的原因，是产生 的原因。 M J *比较 F ma ?M为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。 三、转动惯量 1、J miri2: 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平 方乘积的和。 i 3 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权(教授) m1r12,m2r22, ,mnrn2(刚体由n个质点组成) J 2 2 组成的刚体) rdm rdV( 为密度，dV为体积元)(由连续体 m m2、转动惯量的意义:转动惯性的量度。 例4-1:如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的 顶角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为l。求: ?系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量; ?系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量; ?若A处质点也固定在B处，?的结果如何, l l l ,m ,m 解:?Jc m 12 Ml(M 3m) 3 2222 ?JA ml,ml Ml 3 ?JA ml2,2ml2 Ml2 2 2 2 mm图 4-6 讨论:?J与质量有关(见?、?、?结果) ?J与轴的位置有关(比较?、?结果) ?J与刚体质量分布有关(比较?、?结果) ?平行轴定理:对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量× 该轴与质心轴之距离平方。如 l 211 JA Ml2 Ml2,Ml2 Jc,M 333 3 2 例4-2:如图4-7，质量为m长为l的匀质杆，求: ?它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少, ?它对过一端且平行于c轴的A解:?如图4-7所取坐标，Jc l /2 轴转动惯量为多少,m1 dx ml2 ,l/2l12lm1 ?如图4-8所取坐标，JA x2dx ml2 0l3 用平行轴定理解: x2 图 4-7 o 1m1 l JA Jc,m ml2,l2 ml2 1243 2 圆环、球等。 2 图 4-8 说明:一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如:匀质杆、圆 柱、圆盘、 4 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权(教授) 例4-3:如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量 分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为mc半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。 解:受力分析: mA :重力mAg，桌面支持力N1，绳的拉力T1; mB :重力mBg，绳的拉力T2; mc :重力mcg，轴作用力N2，绳作用力T1'、T2'mC 取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得: T1 m Aa mBg,T2 mBa 1 T'R,T'R mc R2 1 2 2 及T1' T1，T2' T2，a R 图 4-9 mBg a 1 m,m,mc AB 2 mAmBg 解得: T1 1 mA,mB,mc 2 1 m,m Ac mBg 2 T2 1 m,m,mcAB 2 mBg a mA,mB 讨论:不计mc时， mAmBg T1 T2 mA,mB (即为质点情况) B Bg 2 图 4-10 例4-4:一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上， 如图4-11。轴 水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承上。当 物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯 量(用m， r，t和S表示) 解:受力分析 m:重力mg、绳作用力T 轮:重力Mg、轴作用力N、绳作用力T' 5 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权(教授) 由牛顿第二定律及转动定律得: mg,T ma T'r J 及T' T，a r ，S at2 gt2 J mr(,1) 2S 2 12 图 4-11 ?4-3 转动动能 力矩的功 转动动能定理 一、转动动能 图 4-12 如图4-13，刚体绕过O处轴(垂直图面)转动，角速度为 ，在转动中刚体各个质点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。 设各质点质量为 m1， m2， m3，…，与轴距离为r1，r2，r3，…，转动动能为: 111222 Ek m1,r1 ,, m2,r2 ,, m3,r3 ,, 2221 m1r12, m2r22, m3r32, 2 2 1 1 miri2 2 J 2 2 i2 (4-6) 1 2 Ek 2J 转动 *比较: 12 Ek mv平动 图 4-132 二、力矩的功 如图4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体P点 力F(可以是内力，或外力，也可以是合力或单个力)， 在F作用下刚体有一角位移d ，力的作用点的位移为 dr，则F 在该位移中作的功为: dW F dr Fdrcos Fdrcos(, ) 2 Fdrsin Frsin d Md (4-7 ) 即 :力矩元功=力矩×角位移(力矩与角位移点积) 在力矩作用下，从 1, 2 图 4-14 (4-8) 6 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权(教授) 说明:?常力矩功W M( 2, 1) ?力矩功是力矩的空间积累效应 ?内力矩功之和=0(与质点情况不同) dWMd M ?力矩的功功率: p dtdt W bF dr p F v 平动 a比较: b p M 转动 W M d a 三、刚体定轴转动的动能定理 M I M Jd d d d J J dtd dtd 即 Md J d 做如下积分 可得 9) 合外力矩功等于刚体转动动能 21Md J d 1 2 (4-即: 增量，称此为刚体的转动动能定理。 例4-5:在例4-3中，若B从静止开始下落h时， ?合外力矩对c做的功=, m解:?由例3知，对c M T'2R,T'1R 1 mA,mc mBg2 R,1mA,mB,mc21mcmBgR 1mA,mB,mc2 Sh W M, 2, 1, M M RR?c的角速度=, 7 mcmBgR h/R 1 2(mA,mB,mc) 2 mcmBgh 1 2(mA,mB,mc) 21 ? W I 2,0 2 mcmBgh2A1 /mcR2 1J2 mA,mB,mc 2 2mBgh 1 (mA,mB,mc)R2 2 例4-6:如图4-16所示，一轻弹簧与一匀质细杆l 1m相 连，弹簧倔强系数K 40N m,1，细杆质量 为m 3kg。杆可绕c轴无摩 擦转动。若当 0 时弹簧为原长，那么细杆在 0 的位 1. 置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置, 解:取K、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。 2111 1 K.52,1.02,0.5 mg 1, ml2 2 222 3 K 40N m,1，m 3kg。l 1m，g 9.8m s,2代入得 6.18rad s,1 Ep 0 图 4-16 注意:机械能守恒定律条件及应用。 ?4-4 角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、 角动量 1、角动量 定义:L J ，称L为刚体角动量(或动量矩) 大小:L J 说明:?L为矢量 方向:与 同向 动量p mv平动 ?比较 角动量L J 转动 2、冲量矩 d,J , dL (4-10) 转动定律 M dt dt Mdt dL (4-11) 做如下积分: t2 t2 t1 Mdt L2,L1 J2 2,J1 1 定义: Mdt为M在t1,t2内对刚体的冲量矩 (4-12) t1 说明:(1)冲量矩是矢量 (2)冲量矩是力矩的时间积累效应 冲量t2Fdt平动 t1 * 比较: t2 冲量矩 tMdt转动 1 二、角动量定理 由上知 (4-13) 即:合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量增量。称此为角动量(或动 量矩)定理。 三、角动量守恒定律 dL 已知 M dt dL 0 当M 0时， 有 (4-14) 说明:?角动量守恒条件是某一过程中M 0。 a)J 、 均不变 ?L J 不变 b)J、 均变，但J 不变 ?角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍规律，不仅适用于宏观物体的机械运动，而且也适用于原子、原子核和基本粒子 例4-7:如图4-17，轻绳一端系着质量为m的质点，另 一端穿过光滑水平桌面上的小孔o用力F拉着，如图所示。质点原来以等速率v作半径为r的 圆周运动，当F拉动绳子向正下方移动r/2时，质点的角速度 ? 图 4-17 解:研究对象:m 受力分析:重力、桌面支持力、绳的作用力。 可见转动中，受合外力矩=0，即L 常矢 ? J1 1 J2 2 v r mr2() m 2 r 2 得 2 4v/r 例4-8:如图4-18，A、B两圆盘分别绕过其中心的垂直轴转动，角速度 分别是 A、 B， 它们半径和质量分别为RA、RB和mA、mB。求A、B对心衔接后的最后角 速度 。 解:研究对象:A、B系统在衔接过程中， 对轴无外力矩作用，故有 L 常矢 ,JA,JB, JA A,JB B J ,JB B 即: AA JA,JB1122mARA A,mBRB B 1122mARA,mBRB2222 mARA A,mBRB B 22 mARA,mBRB pL注意:角动量守恒条件及应用(守恒时，不一定守恒，反过来也如 此) 2 讨论:假若的转动方向与题中相反，则 ? 图 4-18假设 A为正，则有: ,JA,JB, JA A,JB B 与A原转动同向 022 mARA A,mBRB B 与A原转动反向 0 22 mARA,mBRB 0,原A、B角动量等值反向,停止 例4-9:如图4-19， 长为l，质量为m的匀质细杆，可绕过O的光滑水 平轴转动。起初 杆水平静止。求: ?t=0时， ? ?杆到竖直位置时， ? ?杆从水平到竖直过程中外力矩功=, ?杆从水平到竖直过程中杆受冲量矩大小为多少, o 解:?M J l1 即 mg ml2 233g 2l ?以m、地为系统，其能量方程 11 有 0 J 2,mgl 22mglmgl3g 12Jlml3 11 ?W J 2,0 mgl 22 2 Ep 0 v0 13ggl3 ?冲量矩=J ,0 ml m 3l3 例4-10:长为l，质量为M的匀质细杆，可绕上端的光滑水平轴转动，起 初杆竖直静止。 一质量为m的小球在杆的转动面内以速度v0垂直射向杆的A点，求下列 情况下 v0 杆开始运动的角速度及最大摆角。?子弹留在杆内?子弹以射出。 2 解:?子弹留在杆内分两个过程: 1)弹射入杆过程。、m、M为系统，角动量守恒，即 2 123 3 mv0l Ml,m l 4 4 3 3 mv0l 36mv0 ? 2 16Ml,27ml12 3 Ml,m l 3 4 (强调:此过程动量不守恒及原因) 2)上摆过程。m、M、地为系统，系统机械能守恒，有 2 1 12l3l3 3 2 Ml,ml ,Mg,mgl ,Mgcos ,mglcos ? 2 2424 4 3 初态 末态 2 3 mlv0 4 ?、? : arccos 1, l3l 129 2 2Mg,mgMl,ml 24310 ?子弹射出 a)子弹与杆作用过程。以杆、子弹为系统，其角动量守恒 313v mv0l Ml2 ,ml0 ? 4342 射前 射后 b)杆上摆过程。以杆、地球为系统，其机械能守恒。 1122ll Ml ,Mg ,Mgcos ? 2322 初态 末态 27m2v02 ?、?解得: arccos 1, 2 64Mgl *:若已知 ，求v0 ?，方法完全一样，只不过v0为未知数。 注意角动量守恒，而不是动量守恒。