重点推荐高等数学知识点讲解

重点推荐高等数学知识点讲解 第一讲: 极限计算及其应用 一. 变量(数列与函数): 1. 数列: (1)通项公式; (2)递推公式(). afn,()afa,(),fx()nnn，12. 初等函数: vx() (1)基本: 幂,指数,对数,三角,反三角; (2)运算: 四则与复合; (3)特别: . ux() 3. 分段函数: 21n，fx()xx,xx,fx(),,x010 (1); (2); (3)附:极限函数(如) limFx(),,Fx(),,,,2nn,,xx,fx()，1xxx,a02,,0 24. 复合函数(含): (如). yfuux,,(),(),fyfx,(sin) 2222225. 隐函数(方程): (如双纽线). Fxy(,)0,()()xyaxy，,, xxt,()xatt,,(sin),, (如摆线).(附: 极坐标曲线) 6. 参式方程(数一,二): ,,yat,,(1cos)yyt,(),, 7. 待续: xFxfxtdt()(,), (1)变限积分函数: . ,a ,n (2)收敛级数的和函数(数一,三): . Sxaxx(),,,,,n0n, (3)二元函数. ,,118. 反函数与直接函数: . yfxxfyyfx,,,,,()()(()) 二. 特征(几何): 1. 单调性: (1)定义(比大小); (2)判别(求导); (3)数列单调性判别; ,,,,xxxfxfx,()(()()) (4)实用结论: 单调定号. fx()000 2. 有界性: (1)常见如; (2)结论: 闭区间上连续函数必有界. sin,cos,arctan,xxx？ 3. 奇偶性: (附: 二元函数) xx,22xx, (1)奇函数(如); (2)偶函数(如). xxxxee,sin,cos,,,？xxxee,cos,sin,， 4. 周期性: 如sin,cosxx等. 5. 其它 1 三. 极限概念: 1. 类型: lim()fxlimalim()fx (1); (2)与; (3)与. lim()fxlim()fxn,,,x,,x,,,nxx,xx,002. 无穷小(): ,()0x, 11nx (1)常见: , aax,,,,(1),()ex(),,,nx nx xxexxx,sin,1,ln(1),1cos(0),，,, (2)性质: 其中为无穷小. lim()()(),fxAfxAx,,,，,,()x 3. 无穷大: (注: 无界量) 1x (1)常见: xxxexxx,,,,，,,，. (),(0),(),ln(0)x nn, (2)了解: . nnaann,,,,,,!(1)(0)ln, 4. 性质: (1)唯一性; (2)有界性; lim(),()fxAxxfxA,,,,,). (3)保号性; (4)归并性(nn0,xx0 5. 运算法则(确定型): (1)四则运算(分清和式, 分式, 因式); (2)复合运算; ,,M (3)幂指型; (4)特别: . 0,,006. 未定型: ,,1,,0,0,,,,,,, 0, lim()4fx,D例1. 若 , 则: [] x,2 00 ; ; CxU:(2),时; DxU:(2),时, Af:(2)4,Bf:(2)4,fx()4,3()5,,fx 四. 实用结论: 111nannnnnnn,100a,,1. , , , . aa(0)1,,()max(,,)abcabc，，,，，!n nnxlnxxnlim1x,limln0xx,lim0,,lim02. , , , . ，，x,，,,，,xx,0,0xxxe ,,,x,,,,1,00x,,,,2xarctanx,3. , . e,,,,，,,，x0,,,x,，,,2, 2 五. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当时, ux()0, 12 (1); ; ; 1cos()(),uxux sin()()uxux tan()()uxux 2 ux(), (2); ; ; ln(1())()，uxux (1())1()，,uxux ,eux,1() 13 (3); . uxuxux()sin()(), arcsin()()uxux arctan()()uxux 62. 泰勒公式(等价补充): 11x2222 (1); (2); exxox,，，，1()ln(1)()，,,，xxxox2!2 11134245 (3); (4); sin()xxxox,,，cos1()xxxox,,，，2!4!3! ,,(1),,22 (5). (1)1()，,，，，xxxox,2! 六. 常规方法(未定型): 0,,00, 前提: 准确判断,,1,M(其它如:) ,,,,,,,0,0,0, 3,Pxxxxx()3cos,，()1. 抓大弃小: (如: ) lim,lim,limx,,,,,，,xxx,Qxxx()2sin2， 12xxx，,,[lim2]例2. lim([]) x,,x,,x，x1 34ln()xxx，，ln()3x例3. ,,lim[lim]335x,，,x,，,2ln()xln()xx， ,,Msin1,xx,,,2. 无穷小与有界量乘积(): (注:) 1,xlimsin0ex,x,limsin0例4: (1); (2). x,，,x,0x ln(1)lnln(1)lnxxxx，，，,lim[sinln(1)sinln]xx，,lim2cossin0,例5. =. x,，,x,，,22 1x,00，,elim(1)1e,3. 极限(: ): (后续: ) 0,,,,xx sin2cos1tt，,121x2t，,,,teelim(sincos)lim例6. [] ,,xt,0xxx 21,2,22x，1xx(arctan1),,2,2xx,,,,,,limlimeeexlim(arctan)例7. [] xx,，,,，,,，,x, 3 4. 左右极限(包括x,,,): 11xx 注(1); (2); ; *(3)分段函数: , , . x(0)x,max()fxex(0),[]xex(),,x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小): (注: 非零因子) 2,,2xxlnxx2例8. . ,lim[ln],，，,,,,lim[lnln(1)]lim(2)ln0xxxxx22，，，x,0xx,,00，，(1)1xx(1)，x 1nlnnnnnlnnn例9. . ,,,,,,lim(1)lim(1)lim1ne,,,,,,nnnlnlnlnnnnn x,x,1tan1,t例10. lim(arctan), [,,arctant, 原式] x,,,limtx,,t,041，x41，x2tan2t xxxx[(1)1]，,,axxx()axa，,1aa例11. [] lim(0)a,,,,limlim222,0x,,00xxxxxa 0,6. 洛必达法则(或) 0, 0 (1)先“处理”, 后法则(的最后方法); (注: 不能用与不便用) 0 11111,vxvxux()()ln()xxxxx，，11 (2)幂指型处理(); (如 ) eeee,,,(1)uxe(), 1,t (3)变量代换(如:); x (4)含变限积分; 00 (5)推广: 如. ,,,,,,,0,0, xxlnxxln,,,lim0lim1例12. 对比: (1); (2). x,1x,，0,1x,1x xsin()xtfx()limfxdt(),例13. 设, 求: . 22,xx,0xt 23sinsinxx2,,,23xx223xsinuxxfxdu(), [, 原式] ,,,,lim1013,xx,0u2x 4x1lim()2fx,,,,lim(4(4)())6fxfxftdtlim()例14. 设fx()为连续函数, 且, 求. [] ,x,,x,,x,,xx xtlim,lim,ftdtxfx()(),,例15. 设,,,()x,且:, 求(1)的表达式; (2)及. fte(),,x,0x,，,0 xxx11e,exe,,111limlim,limlim()1,,,,,,,,()lnx, [(1); (2)] 2xxxxx,,,，,,，,00xex21,xx 4 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 等价替换的补充 nm111，,，,,,xx例16. lim,0xx ,,,,nm , 原式=] [11(),11()，,，，，,，，xxoxxxox，,,nmnm 例17. 对比 sinsin(sin)1xx,xx,sin(sin)1 (1); (2). lim,lim,33x,x,00x3x6 fxFxn()lim(,),8. 极限函数(分段函数): 如 ,n,, 1xxt,例18. 计算: , 并讨论函数的连续性. ()lim(),fxfx()tx,t 1,x,ex,0,x,0 [,为第二类间断点] fx(),, ,00x,, 9. 收敛准则(数列极限): lnnafnfx,,()lim()lim (1)(如) n,，,xn,,n bcaaa,lim,,, (2)双边夹: 满足: , 且 {}abac,,nnnnnnn,,n aM,? (3)单边挤: afa,()考察: *aa,? * *aa,,? nnn，121nn，1 12n，，，？lim[]例19. 222n,,，，，，，，nnnnnnn12 12121，，，，？？nn,,,xx,lim [] nn22,,nnnnnn，，，，12 21，a1nlimaaa,,,例20. 若, 求: . n，n11,,n22 221，x1，A501,01,,,,,,aaafxfxxa(),'()0;,,,, AA,,,1 [(1),记(2)] 12nn822 2limxx,(0,1)例21. xxxxn,,,,(0,1),2(1,2,)？, (1)证明: ; (2)求:. nnnnn,,011,,n xx，,22nn,,11[0()1,,,xxx,xxxxxx,,,,,()(2) A,1], , , nnnnnnn，,,111102 5 七. 非常手段(后续) f1. 导数定义(与洛必达的区别): lim'(),fx0 x,0 x fxfx()(),,f'(0)例22. 若, 求: [原式] fg'(0)1,'(0)2,,lim,,21x,0gxg()(0),g'(0) lim[()()]lim'()fxafxaf，,,,*2. 中值定理: xx,，,,，, aa1aa22例23. [] lim[arctanarctan],n,,,,,lim()(0)na2n,,n,,，1nn，，11,nn 1112n3. 积分和: ，，，,？, lim[()()()]()ffffxdx,0n,,nnnn n,1111dx,例24. [] lim,,,lim,,,22,,n2n0,,2n6k,1knk,n41,,4x,4()n ,4. 级数和(数一三)(注意与积分和的区别): lim()aaaa，，，,？,12nnn,,n1, n,,2!n,,lim0alim (1)收敛, (如) (2)与同敛散 {}aa()aa,n,,nnn1n,n,,n,,nn,n1n1, 11113521n，,，,，,？例25. [lim[()()]1] lim[]，，，？2222222222n,,n,,12231223(1)，，，，nn 八. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价, 比阶): ,()x (1)定义: 当时, 考察极限lim ,,(),()0xx,()x, (2)分类: 高阶; 低阶; 同阶; 等价 ,,()(())xox,,,()()xx n (3)常用: 考察 (称为x的n阶无穷小) fx()fxkxx()(0) , aannn(1)()nn,()(),，, fxxxx 方法: ffffa(0)'(0)(0)0,(0),,,,,,？!!nn xxnnftdtktdtx()(0) , 特别: 当时, fxkx() ,,00 sinx23x,0gxtttdt()(3cos),， 例26. 当时, ? ,0 sinx22333gxtotdtxoxx()(3())sin(sin),，,， [] ,0 6 2. 渐近线(含斜): (1)垂(铅)直渐近线: ; lim()fxxx,,,,0xx,,()0 (2)水平渐近线: ; lim()fxAyA,,,x,,,() (3)斜渐近线(前提: 当时): lim()fx,,x,,,() fx()bfxax,,lim[()] 若,, 并计算. lima,,，yaxbx,,x,,x 1xcos11x例27. [] yx,cos,,,,,,,,yabxxyxlim0;lim1,lim(cos)0xxx,,,,,0xxx 3. 连续性: tanx (1)间断点判别(个数和类型); (注: , 等) lnx sinx 第一类可去(如yx,,(0)) x xxx，,10,1 第一类跳跃(如yx,,(0); ; yx,,arctan(0)) yx,,,(0),xxxx,,10, 11yx,,sin(0) 第二类间断(如无穷类: yx,,(0); 振荡类: ) xx (2)单侧连续 (3)分段函数连续性(附: 极限函数, 连续性) fx'() sinxlim()0fx,fx(),ab,,0,0例28. 在上连续,且,则常数应满足: (,),,，,ab,bxx,,,ae， (3)(1)xx,，例29. 设. (1)写出连续区间; (2)确定间断点, 并判别其类型. fx,，，2431，,,，xxx 16fxx,,,,lim()3 [(1); (2)可去] [1,3),(3,4],x,37 2102，,,xxx,x,fxgx(),,(),,,例30. , 考察yfgx,[()]的连续性. ,,202xxx,,2,x,, [(1)yfyf(2)(4)8,(2)(0)1,,,，,,; (2)yyf(0)(0)(0)0,,，,，,] 1,,0x,(1)nx,,fx()lim,例31. 求的间断点, 并判别类型. [无穷] fxx(),0,,x,2n,,nx，1,00x,, 7 九. 上连续函数性质 [,]ab 1. 连通性: ,,,01, (注:, “均”值:) ,,fafbfx()(1)()()，,,fabmM([,])[,],0 2. 介值定理: (1)零点存在定理: (利用单调性判别根的个数) ,,fx()0fafb()()0,0 x (2)利用罗尔定理(后续): fxfxdx()0(())'0,,,,a b (3)积分中值定理(后续): fxdxfba()()(),,,,a bb fxgxdxfgxdx()()()(),,(其中) gx()0,,,aa (4)附(达布定理): 在可导, , , 使: fx()[,]ab,,cfafb['(),'()]，,,[,]abfc'(),, 在上连续, 非负, 且, 证明: , 例32. fx()ff(0)(1)0,,,,,，,ll(01),[0,1],[0,1] 使得: . ffl()(),,,， [异号] FxfxfxlFflFlfl()()()(0)(),(1)(1),,，,,,,,,,,F()0,例33. 设在上连续,且, 证明:存在, 使得. fx()(,),,，,ffxx[()],,f(),,, 解: 令在上连续, 且 Fxfxx()(),,(,),,，,Ffxxfx(())(),, 任取, 当时, 取即可; a,,,，,(,)faa(),,,a 2 当时, , , 使. bfaa,,()，,,(,)abF()0,,FaFbfaa()()[()]0,,,, 8 第二讲:导数与微分(含偏导数)及其几何应用 一. 基本概念(一元): 1. 差商与导数(变化率): fxxfx()()，, fxfx()(),0 (1); limfx'(),fx'(),lim0 x,0xx,0 xxx,0 fxf()(0),fx() (2)特别: (注:连续,,) limAf'(0)lim,f,,,ffA(0)0,'(0)x,0x,0xx fxfxfxfx()()()(),,''00 (3)左右导: ; fxfx()lim,()lim,,,，00,，xxxx,,00xxxx,,00 ' (实用: 若连续, 且lim'()fxA,, 则) fx()fxA(),,0,xx,0 x,0 (4)可导必连续: 先连续, 后求导(注: 在处, 连续不可导; 可导) xxx 2. 微分与导数: fxxox'()() ，, (1)增量与微分: ; ffxxfxdffxdx,，,,,,()()'(),,fx'() , (2)可微可导: (计算公式: ); dffxdx,'(), "0" (3)几何解释: 比较与的大小(图示). ,fdf, 二. 求导准备: 1. 基本求导(微分)公式: ,,,1 , , ()'0C,()'xx,, 11xxxxx,(log)'(ln)'x, , , , ()'lnaaa,()'ee,axalnx 2 , , , (sin)'cosxx,(cos)'sinxx,,(tan)'secxx, 2 , , (sec)'sectanxxx,(csc)'csccotxxx,,(cot)'cscxx,, 11 , , (arcsin)'x,(arccos)'x,,221,x1,x 11(arctan)'x,(arccot)'x,, , , 221，x1，x (sinh)'coshxx,(cosh)'sinhxx, , . 9 2. 求导(微分)法则: (1)线性法则: ; [()()]''()'()kfxkgxkfxkgx，,，1212 fxfxgxfxgx()'()()()'(), (2)乘除法则: , ; []',[()()]''()()()'()fxgxfxgxfxgx,，2gxgx()() 1'()fx (3)复合法则: ; (附: ) [(())]''(())'()fuxfuxux,[]',,2fxfx()() dx1 (4)反函数法则: . ,dyy' 三. 各类求导(熟练掌握方法步骤): 1. 定义导: fxhfxh()()，,,00 (1)与fx'(); (注: 与) limfx'()fa'()0xa,h,0h fx()xx,,01''y,, (2)分段函数左右导: , 求及 (待定系数); fx'()fxfx(),(),0,，00xx,fx()0,2 xx,Fx(),0 (3)题型: , 求:及的连续性. fxfx'(),'()fx'()fx(),,,0xx,a,0 fxx()cos,ab,0例1. 在内可导, , 且, 求: . lim2,fx()(,)abf'(0)x,0sinx fxfx()(0)1cos,，,lim'(0)2,,f 左式=或] [(0)1,f,fxxx()cos(2)sin,，，,x,0x fx(),,0x,1,["(0)]f例2. , 其中存在, 求: . ff(0)0,"(0),g'(0)gx(),x,2,fx'(0)0,, fxb(),sin()sinfxb,lim,Alim例3. 设, 求: . xa,xa,xa,xa, sin()sin()fxbfxb,,lim()fxb, [, 原式] ,,,limcosAbxa,xa,fxbxa(),, ln()0xex，,,a例4. , 求, 使f'(0)存在. fxa(),(0),,,xax,0, 1''effffaae，,,,,,,,(0)(0)1!(0),(0)ln [] ，,e 10 2. 显式导(): 公式加法则 yfx,() (1)(图形题); ,,uxfgxgx'()'[()]'()ufgx,[()]000 xxbb (2), 求:; (区分: ) ((,))',((,))',(())'fxtdtfxtdtftdtFxftdt()(),Fx'(),,,,aaaa fx() (3)对数求导法. (注(1)适用范围; (2)) (())''()fxfx,fx() 1sinx2例5. , 求. [] yxx,，，1cosy'yx'(2),,221cos，x21cosxx，， (1)(2)xx,,(1)(2)xx,,(1)(2)xx,,例6. ， 求 [] yxxx'[(23)ln],,，y'yx,x 1,2xxcos,0,,x,0例7. 设, 且在处可导, 令, 求. fx()Fxfx()[()],,F'(0),()x,x, ,,00x, [,,,,(0)0,'(0)0,'(0)'[(0)]'(0)'(0)00],,,,,,Fff 2dydy3. 隐式导(): , fxy(,)0,2dxdx 'fdyx (1)存在定理; (2)求导法则(附: 微分法; 后续: ) ,,'dxfy y2yteedtx，,,,10例8. 确定, 证明: 单调, 并求. yyx,()yx()y'(0),0 11yyxyy,,,,,, '0,;0,0'(0) [] 2yy2ee， xy3dy例9. 由方程 确定, 求 . yyx,()exy,，,0x,0 2xy2xyeydxxdydxydydydx,,,，,，,,,0,1,()30 [] ,x03 3dy222例10. 设, 求. xyyuxx,，,，,()du dxydy,，(21),dy2,,, [] ,322duduxxxdx,，，(21)3(21)(21)xyxx，，，,,2 11 2xxt,()x,,,,()cos,,dydy4. 参式导(数一,二)(): ,. [极坐标曲线:] ,,(),,,,,2dxdxyyt,()y,()sin,,,,, 2,xt,，ln(1)dy,2例11. 设函数由参数方程:确定, (1)求; (2)证明:当自然数 yyx,(),tdxyudu,，ln(1),,0, ndy22n,1 时有: . (1)[ln(1)1],，，，,ttnndx dy22 ,数学归纳法] [(1)ln(1),，，ttdx ()n5. 高阶导公式: fx() xnxn()axnnax() ; ; ()eae,()lnaaa, ？nm,, ,mn()()!,xmnm,, ; , ,nm,0, n11!bn()(1)nn,()nx,(ln)() ; ; ,()，1nx,,abxabx() ,,()nn()nn(sin)sin()axaaxn,，，(cos)cos()axaaxn,，， ; 22 ()()1(1)2(2)nnnn,,(3) (如: ) ()'"uvuvCuvCuv,，，，？()",()uvuvnn ()nf(0)2n()n,,a 注: (1)与泰勒展式: fxaaxaxax(),，，，，，？？f(0)n012nn! k()n234 (2)与 (如: ) fxxxgx()()(),,fx()fxxxxx()(1)(2)(3)(4),,,,,00 10，，22y例12. ,求. yxx,sin,x0 8812210!，10(10)8yxy,,，,,,,，(),(0)452？？ [] 28!28!， 12 四. 二元微分学概念(注意与一元的区别) 1. 二重极限, 二元连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件) fxffyf(,0)(0,0)(0,)(0,0),, (1) (附: 其它点) ff(0,0)lim,(0,0)lim,,xy,,00xyxy ,,，ffxfy() xy (2)可微性判别: . lim0,,，fxfydf xy22()() xy， 22fxyxyfxyxy(,),(,),，,，2. 特例: (在处连续不可导) (0,0) xy,xy,,(0,0),,(0,0),,,2222fxy(,), (1)可导不连续; (2)xy，连续可导不可微. xy，fxy(,),,, ,,0(0,0),0(0,0),,, 1,(23)arctan,(0,0)xy，,,22fxy(,),xy，例13: 讨论函数在原点处的连续, (0,0), ,0(0,0),, 偏导数以及全微分的存在性 3,ff,,, 可微] [连续, (0,0),(0,0),xy2五. 偏导数(含二阶, 全微分)计算: 1. 显函数: zfxy,(,) yzxdffdxfdy,， 注: (1)型; (2); (3)含变限积分; (4)ff,; (5). xxyyxxy(,)xy00 ,z2,xzx,例14. , 且当时, , 求: . y,0zefxy,,,(2),x ,,,,,xxxxy2(2) [] fxexzefxyeexy(),'(2)2(2),,,,,,,,，，,x z,,,uuug例15. , 连续, 求: . ,,ugxyztdt,，,(),xy,,,xyz z ] [(),()()()ugvdvdugzdzgxyydxxdy,,,，,？,xy 2. 复合函数(重点): zfuxyvxy,[(,),(,)] ''""" (1)熟练掌握记号fffff,,,,的准确使用; 12111222 (2)特别: 如zfuxy,((,))zfuxvx,((),())zfxyuxy,(,,(,)), (全导数), 等; (3)会变换方程. 13 yz,,,uuun例16. , 的一阶偏导存在, 证明: . (,)fuv(,)uxf,xyznu，，,xy,,,xyz nnxzx,,,12'1'''nnn [] ,,,,,,,unxfxyfuxffuf1122xyz2yy 2,z例17. , 求. zfxygxxy,,，(2)(,),,xy 2,,zz'"'" [] ,,，,,，，，fxgfxggxyg',2"212222,,,yxy ,,,uuu例18. 设, 变换方程: . ，，,0,,,,,,,,xyxzx,,,,,xyz [ duududududxudydxudzdx,，，,，,，,,,,()(),,,,,, uuu,,, ] ()0uuudxudyudzu,,,，，,，，,,,,,,,,xyz,,, 3. 隐函数(由方程或方程组确定): Fxyz(,,)0,, (1)形式: 如; ; ; * Fxy(,)0,Fxyz(,,)0,Fuv(,)0,,Gxyz(,,)0,, FF,,zzyxFdxFdyFdzdzzz，，,,0,, (2)公式: ; (微分法: ) ,,,,,xyzxy,,xFyFZz (3)注: (,)xy与z的及时代入 000 (4)综合: , 其中由确定 ufxyz,(,,)zzxy,(,)gxyz(,,)0, (1)cos()zxy，dzdzydxxdy,，()例19. , 求: . [] zzxy,，，ln(1)sin()z ,,zz(1)FC,例20. 确定, 其中, 求. Fxzyz(,)0,,,zzxy,(,)，,,xy ''FdxFdyzz，,,''12[()()0,1]FdxdzFdydzdz,，,,,,，, 12''FFxy，,,12 2z，1zz，，111,zln,，yzdzdxdyz,,，,,,()例21. , 求. [] xy3xzxxz,,xy 14 222,xyz，，,6(1)x,1例22. , 且, 当时, yz,,,,1,2ufxyzfC,,(,,),,22230xyz，,,, x,1 若, 求在处的全导数. fff(1,1,2)1,(1,1,2)1,(1,1,2)2,,,,,,,,,uxyz xdxydyzdzdydx，，,,02,,du [] ,,，，,,,,22dufdxfdyfdzdx,,xyz302xdxydyzdzdzdx，,,,,dx,1x,, 六. 几何应用 1. 导数与斜率, 曲率 1 (1)曲线的切线与法线: ; yfxfxxx,,,()'()()yfxxx,,,,()()00000fx'()0 (区别: 上点处切线和过点引的切线) MMyfx,()yfx,()00 fx"(),, (2)曲率(数一二): (附: 曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 322，[1'()]fx fx(2)x,0,例23. 设连续, 且, 求曲线在点处的切线方程. lim1fx()yfx,()x,03x 33 [(0)0,'(0)]ffyx,,,,22例24. 设有二阶连续导数,且,又设是曲线 ffffx(0)'(0)0,"()0,,,uux,()yfx,() xxfxfx'()(), 在点处的切线在轴上的截距, 求. xlim(,())xfx[(),2]ux,x,0()uxfx'() 22例25: 求曲线上点处的曲率. P(2,0)162yxx,, 16y [xxK'0,"1616,,,,,] (2,0)x,1(2,0)2. 偏导几何应用(数一)(后续) 七. 其它 ,1. 物理: (相对)变化率速度. 2. 边际与弹性(数三): (附: 需求与收益, 成本, 利润) (1)边际函数与边际值: yfxyfx,,,()''(); Eyxfx'()fx() (2)弹性函数: . yfxfx,,,,()'()xExfx() 15 第三讲: 函数特征讨论(含二元函数)与中值定理 一. 单调性(必求导): 1. 定义: ,0 , (或); ,,,xxIfxfx()()0,,1221 2. 驻点: (若驻点唯一(必为极值点, 最值点)); fx'()0,fxor"()0(0),,,0 3. 判别: ; ; (注: 分段函数的单调性) fxfx'()0(),, fxfx'()0(),, 4. 应用: , 零点个数(单调介值); 5. 注意: (1); fxfx"()0'(),, 与的匹配(图形中包含的信息) (2)ff',"f'f fxfa()(),,例1. , 内, 证明:()x,在内单调递增. fxCab()[,],(,)abfx"()0,(,)abxa, ()'()[()()]'()'()xafxfxfafxf,,,,, [] '()0x,,,,2()xaxa,, ln(1)，x,,10,,,x,例2. 函数的单调减少区间为? fx(),x, ,10,,xx, xxx,，，(1)ln(1),,10,,,x,2x,0 [连续!, 递减] (1,),，,xx(1)，fxfx'(),'()0!,,, ,,,10x, xx,eex，，,2cos5例3. 证明: 恰有两个根. xxxxxx,,, [ feexfeexfeex,，，,,,,,，,,2cos5,'2sin,"2cos0 x,0 ff(0)1,()0,,,,,为唯一驻点, ] 16 二. 极值(点): o 1. 定义: (或 ,,,,,xUxfxfx()()()0,0)00 2. 疑似点(必要条件): (1); (2)不存在(有定义) fx'()0,fx'()xx,000 3. 判别(充分条件): 改变单调性! fxfx'()'(),,,, (1)表格(变号); (由的特点) lim0,lim00xfx'()xx,,00xx (2)二阶导() (实例: 由确定点“”的特点) fx"()0,xx,fxxfxgx'()()()()，,,004. 上连续函数的最值: [,]ab (1)计算步骤(驻点加端点); (2)应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优 例4. 讨论函数 在区间 内的单调性与极值. fxxx()2cos,，(0,), ,,,,55,,,,55fxx'()12sin,(0,),(,),(,),ff()3,()3,, ,，,, [] ,maxmin66666666 23xxx(1)(2)，，例5. 在上连续, , 求驻点和极值点. fxx'()(1),,fx()(,),,，,13(1)x, x,0 [驻点: 极小值点:; 极大值点:] x,,,0,1,2;x,,2,1 323例6. 由所确定, 求极值. yyx,()xxyy,，,3232 yx，1,,,yx , 驻点,, 极小值] ['0y,,(2,2),y(2)2,,,,y"0(2,2),2y4例7. 设二阶可导,,证明:是极值,并说明是极大极小? fx()ffxfxx(0)0,'()(),，,f(0) [, 极小值] ff'(0)0,"(0)1,, 3yxx,,，32例8. 求在上的最值. [3,3], 3xx,，322xyy,,,,,,3,1,1,2,30,20yx'3(1),,, [考察] minmax3xx,，32 23,x,0A例9. 设, 且当时, 均有fx()20,, 求正数的最小值. fxxAx()3,， 55,452A5,,,,,，,,,,['630,,"6120,()820,64]fxAxxfAxfxAA 00min022 17 三. 不等式证明(或) fxxab()0,[,],,xax,,,,，,,(,),？1. 题型: (注: 双变量处理) (1); fxfa'()0,()0,, (2); fxfb'()0,()0,, (3); fxfafb"()0,(),()0,, (4). fxfxfx"()0,'()0,()0,,,00 ,,,2. 方法: 单调性端点值极值凹凸性. (如: ) fxMfxM()(),,,max0 4222例10. 证明: 当eabe,,,时, . lnln()baba,,,2e 2(1ln),x42ln4x22[ln,',FxxF,,,, ,] F"0,,FFeFbFa''()0,()(),,,222exex 四. 曲线的凹凸与拐点(必求导!): ,fxfxxx()()，，12121. 定义: ,,,xxIf,()12,22 2. 判别: (注决定的单调性) fx'()fx"() (1)fx"()0,, 0 (2)(表格), fxfx"()0;"()0,,,,,, (3)拐点坐标 3,xtt,，，31例11. 设函数yyx,()由确定, 求曲线yyx,()的凸区间. ,3ytt,,，31, 22dytdyt,142 [注意] xtttx'()330,,00,1,，,,,,,,？,222dxtdxt，，13(1) 18 五. 二元极值: 1. 无条件极值(定义略): (显式或隐式) f,0,x,Mxy(,) (1)必要条件: 驻点 ,000f,0y, 2 (2)充分条件(判别): 记 AfMBfMCfMBAC,,,,,,(),(),(),xxxyyy000 ,,0,,0 (1)极大; (2)极小; (3)非极值, (4)失效. ,,,0,0A,,,0,0A 22例12. 求函数的极值点. fxyxyxy(,)4(),,,, fx,,,420,x [极大值点] ,,,,,,,,,,,,(2,2);2,0,2,4(2,2)ABC,fy,,,,420y, 2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用) (1)目标函数与约束条件: , (或: 多条件) zfxyxy,,,(,)(,)0, (2)求解步骤: 令, 求驻点即可. Lxyfxyxy(,,)(,)(,),,,,， ,1,ABC，,,,AABACDE,1,2,,SS,例13. 中, 分别在上, 且, ABAC,,,ADEABC24 DE 求:的最小值. 222 [,,1,2]ADxAEyxyDExyxy,,,,，, R例14. 某公司通过电视,报纸两种形式做广告, 已知销售收入(万元)与电视广告费(万元), x 22y 报纸广告费用(万元)关系如下: . Rxyxxyy,，，,,,3017372810 2 (1)若广告费用不限, 求最佳广告策略; (2)若广告费用为万元, 求相应广告策略. L(2,1)64, [(1); LRxy,,，,()max 13L(,)63, (2)] FLxy,，，,,,(2)max223. 综合: 有界闭域上最值. zfxyMDxyxy,,,,,(,){(,)(,)0}, (1); (2)实例: 距离问题 13例15: 求在346xy，,条件下的最小值. zxy,，,(,0)xy 2913z,,,,xy,1,，，，,, [Lxy(346), ] min23xy 19 六. 罗尔定理与辅助函数: 1. 引理(费马定理): (1)可导, (2)为最值 (())xUx,fx(),,fx'()0fx()000 2. 罗尔定理: 且 fxCabDab()[,](,),:fafbabf()()(,),'()0,,，,,,,, 3. 辅助函数构造实例: x (1); Fxftdt()(),f()0,,,,a (2); fgfgFxfxgx'()()()'()0()()(),,,,，,,, fx() (3); ,,,,,,,,fgfgFx'()()()'()0()gx() ,()xdx, (4)Fxefx()(). ,ff'()()()0,,,,，,, ()n(1)n,n，124. 有个零点有个零点. ffx()0(),,,,fx() ()n5. 特例: 证明的常规方法: fa(),, n，1 令有个零点(其中为待定多项式) FxfxPx()()(),,Px()nn 6. 实例证明: 拉格朗日与柯西定理. 1例16. 设在上连续, 且非负, 证明:,使得: x,(0,1)fx()[0,1]fx()xfxftdt()(),，000,x0 1Fxxftdt()(), [罗尔定理] ,x例17. 设在上连续, 内可导, 且, 证明: 使: fx()[0,](0)xx,(0,)xf(0)0,，,,(0,)x fxff()(0)'(),, . [法1:罗尔; 法2:柯西,] fxxf()(1)ln(1)'(),，，,,,1ln(1)ln(10)，,，x 1，, aan,1n2,，，,,？(1)0aaaa,,,？例18. 设为n个实数, 并满足: , 证明方程: 112n321,n ,(0,)axaxanxcoscos3cos(21)0，，，,,？ 在内至少有一个实根. 12n2 11,FaxaxanxFF,，，，,,,？sinsin3sin(21),(0)()0 [] 12nn,3212 ,k例19. fx()[,]ab(,)abfafb()()0,,(,)ab在上连续, 内可导, 且, 证明: , 在内至 ,kxfkf'()(),,, 少存在一点,, 使得 . [] Fxefx()(), 20 七. 拉格朗日中值定理 fbfa()(),1. 结论: ,,fxCabDababf()[,](,)(,),'(),,，,,,:ba, (注: 若) ababab,,,，,,,,()()(,),'()0,,,,, 2. 变形: ; fbfafba()()'()(),,,,fxxfxfx()()'()，,, ,例20. 在上连续, 内有二阶导数, , 且曲线与直 fx()[0,1](0,1)ff(0)(1)0,,yfx,() 线在内有交点, 证明在内至少有一点, 使. yx,xa,(0,1)(0,1)f"()0,,, [] gfxggaggggf,,,,,,,,,,,,,(0)()0,(1)1'()0,'()0''()''()0,,,,12 八. 柯西定理(了解) fbfaf()()'(),,1. 结论(条件略): ,gbgag()()'(),, 2. 洛必达法则(见第一讲) ,,,[0,](0,)cos[()(0)]'()fff,,例21. 设函数在上可导,证明:,使得: fx()，,,,,222 ,ff()(0),,f'(),2Fxfxffx()()(()(0))sin,,, [柯西定理][令罗尔] ,,2cos,sinsin0,2 九. 泰勒公式(连接之间的桥梁) fff,'," 1123,，,，,，,,fxfxfxxxfxxxfxx()()'()()"()()"'()()1. 结论: ; 0000002!3! 11232. 特别: fxffxfxfx()(0)'(0)"(0)"'(0),，，，，？; 2!3! 3. 应用: 在已知或值时进行积分估计 fa()fb() 21fxdxfx,()max"()例22. 在上有二阶导数, , 证明: fx()[0,2]f(1)0,,0,,x023 2211122 [] fxfxdxfxdxf,，,,,,,('(1)(1)"()(1))max"(1)max",,00,,,,xx0202223 2xfxe()2,例23. 设fx()(,)(0)abab,fx"()0,在 内满足: , 且, 证明: lim1,2,0xln(1)，x 12,,,，,,fffxfx(0)2,'(0)0,()2"()2fxxab()2,(,),, . [] 2 21 第四讲: 积分计算(含二重积分)及其应用 一. 基本概念, 性质, 公式: 1. 原函数: (连续存在) Fx()fx(),Fx() (1); (2); (3) Fxfx'()(),fxdxdFx()(),FxGxGxFxc'()'()()(),,,，2. 不定积分及其性质: (1)(凑微分) fxdxFxcFxfxfxdxdFx()()'()()()(),，,,,,, (2); (())'()fxdxfx,dfxdxfxdx(())(),,, (3); (注: ) fxdxfxc'()(),，dfxfxc()(),，fxydxfxyc(,)(,),，x,,, 1,xx3. , , dxxdxx(1),,adxedx,,,,x 22 cosxdxsinxdxsecxdxcscxdx,,,, 11dx secxdxcscxdxdx2,,,,21，x1,x sectanxxdxcsccotxxdxtanxdxcotxdx,,,, 1111dxdx dxdx2222,,,,2222ax，ax,ax,xa, 二. 常规积分方法: (()())()()kfxkgxdxkfxdxkgxdx，,，1. 线性性(拆项): 1212,,, 121232432例1. xxdxxxxdxxxxc(1)(2)，,，，,，，， ,,432 fuxuxdxfuduFuxc(())'()()(()),,，2. 凑微法(基础): ,, 11dxdx2dxdaxbxdxdxdx,，,,(),(),(ln), 如: ,2()dx ax2x 222dx(sincos)1xx，？,,,,，dxxclntan例2. [] 3,,32sincosxxsincos2sinxxx dxdx(1)，例3. [] ,,，，22arctan1xc,,2(2)1，，xx1(1)，，x 22 cossinxx,dxdxxsincos12cos，例4. [] dx,，,，，arctan(sin)lnxc2,22,,1sin，x1sin2cos，,xx222cos,x dxdxx(cos)111cos，例5. [] ,,,,，lnc2,,sin(1cos)xx，(1cos)(1cos)2(1cos)41cos,，，,xxxx ,13. 变量代换(以定积分为主): fxdxfututdtgtdtGuxc()(())'()()(()),,,，,,, 1xxt,sin (1)常用: 如三角代换, 根式代换, 倒代换, 其他 axbt，,,tet，,1x 2xuudu212, (2)万能代换: Rxxdx(sin,cos)uxxdx,,,,,tansin,cos,,2222111，，，uuu dxdx例6. 对比计算: (1); (2). 2,,abx，cosabx，cos 2x21例7. [代换,分解,分部] [] dxIxc,,,,，ln123,(1)x,xx,,12(1) xx12xdxxtIxxxc,,,,，，2sin,3arcsin(2)(3)]例8. . [ ,2,x22 4. 分部积分(巧用): fxgxdxuxdvxuxvxvxdux()()()(())()()()(()),,,,,, xnln,arctan,()xxftdt (1)含需求导的被积函数“反对幂三指”(如x, ); ,a naxnx (2)常例: 如: xedxxxdx,ln,exdxsin, xfxdx'() ,,,, xfxdx() (3)特别: 求, 其中已知的原函数为, 或已知 fx()Fx()fxgx'()(),, kxpxedxpxaxdx(),()sin (4)快速法: ; ,, axax()'(sin)'ebx()'(cos)'ebx11axaxebxdxsin,ebxdxcos, ;; 2222,,axaxab，ab，ebxsinebxcos11，x11，x2arctandxarctanarctan(arctan)xxc,，例9. [] 2,11，,xx12,x 122xxdxtan,,,，,，xdxxxxxxc(tan)tanlncos例10. [] ,,2 2xtxex221,2ln(1)2[ln(1)2]？，,,,,,,,etItdtttdt例11. [] dx,,2,x1t,1，e axbxsincos，vx()11dxRxydx(,)5. 特例: ; dx; ,n,,axbxsincos，ux() 23 三. 定积分概念: 1. 几何意义: (含面积, 对称性, 周期性等) bbabbcb , , fxdxfxdx()(),,fxdxfxdxfxdx()()(),，fxdxftdt()(),,,,,,,,aabaaac ,0()fx为奇函数,aaaa, , fxdxfaxdx()(),,fxdxfxdxfx()2(),()为偶函数,,,,,,,000a,a,fxdxfx()()为一般函数,,,a, 2aab,a,ab，2222 axxdxaa,,,(0) ()0 ,,xdx,,axdx,,,,a0a228 111coscos1xx例12. ,,,. dxdxxdxcossin1xx,,,,,,,111，，112ee 444222例13. xxxdxxxxdxxxdx4(4)4244,,,,,,,, ,,,000 2. 性质(可积的必要条件:有界; 充分条件:连续) bbabfxgxfxdxgxdx,,,,,()()()() (1)比较: ,,aa bbbfxdxMba()(),,fxgxdxMgxdx()()(), (2)估值: , ,,,aaa (3)积分中值(见第一讲) bbb222(()())()()fxgxdxfxdxgxdx,, (4)附: 柯西积分不等式: ,,,aaa xFxftdt()(),3. 变限积分的处理(重点) ,a (1)连续(不一定可导) FaFx()0,(), ,F (2)连续可导, 且 fFxfx'()(), xxx (()())'()xtftdtftdt,,fxdtfxxa()()(), (3)变形: 如 (注: ) ,,,aaa xFxftdt()(), (4)应用: 由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 ,a (5)注意: 区分不定积分, 定积分, 变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 xtfxtdtx()1cos,,,例14. 设函数fx()fx()连续, 且, 求:. ,0 xx()()1cosxufudux,,,,,,,fuduxfxx()sin()cos [] ,,00 24 四. 定积分计算 bNL,1. 公式: (在上必须连续!) fxdxFbFa()()(),,fx()[,]ab,a b 注: (1)分段积分, (2)含的方程. ftdt(),a 22例15. 已知, 且, 求:. fxfxdx'()()8,,fxdx()f(0)0,,,00 2288816 [,4] AfxdxfxfxxAxdxA,,,,,,(),'(),(),,,,00AAAA b,2. 换元换限: fxdxfututdt()(())'(),,,a, 2例16: 设周期函数的周期为2, 且, 求. fxxx()11(02),,,,,fxdx(31)，fx(),0 721 [] Iftdtftdt,,,()()1,,103 3. 分部积分 12 (1)准备时“凑常数” (如: ) xxdxxdxln(1)ln(1)(1),,,,,,2 xb (2)题型: 已知fxgtdt()(),或时, 求fxdx() fx'(),,aa 21xsint例17. fxdt(),, 求xfxdx(). ,,10t 111122 [,,,,,fxdxxxdx()()sin(cos11)] ,,0022 ,,,n,1,n2xfxdxfxdx(sin)(sin),IxdxI,,sin4. 附: , , ,nn2,,,0002n ,,,,222fxdxfxdx(sin)(cos),fxdxfxdx(sin)2(sin), , , ,,,,0000 五. 反常积分: 1. 类型: ，,，,afxdxfxdxfxdx(),(),() (1)无穷限: (连续) fx(),,,a,,,, bfxdx() (2)无界函数: : (分别在处为无穷间断) fx()xaxbxcacb,,,,,,,(),a 2. 敛散定义; ,NL,,3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部) 1，,111kdxdxlnxdx4. 特例: (1); (2); (3)附: 收敛(比较判别法) pp,,,100xx +,+,dxdu,x,,,ue例18. [] xx2,22,,1e，4ee，eue 25 2，,，,sinxsinx,例19. 设, 求: ,dxdx2,,00x2x ，,，,，,1sin2sinxu,2 [] ,,,,,Ixddxdusin(),,,000xxu2 212dxdxdx例20. [] ，,4,,,001x,111,,xx六. 二重积分概念与性质(“积”前工作): fxyd(,),,,D 1. 几何意义 (1)曲顶柱体体积(如) d,,,D (2)D域对称性(熟练掌握): *轴对称(奇偶性); *对称(轮换性); ""yx, 附D(利用重心求积分): 型如, 且已知的面积与重心 ()kxkydxdy，S(,)xyD12,,D 322IxyS,，,,例21. . [()](),{(,)1}xydxdyDxyxyxy，,，,，，D,,2D 2. 性质: (1)线性性; 比较与估值; 中值(同一元积分) (2)“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶 DDD,:fxy(,)fxy(,)12 D (3)域的投影: 投影区间与上下(左右)底(直角坐标); 或视角范围与远近弧(极坐标). 七. 二重积分与二次积分(偏积分): 作图! D1. 直角坐标与极坐标选择: 以“”为主, 参考“” f Dxy:1，,2. 直角坐标定限: 以矩形, 三角形为主(如: ) (特别 或) fx()fy() byx()dxy()22 (1); (2) dxfxydy(,)dyfxydx(,),,,,cxy()ayx()11 y22f()3. 极坐标使用: 以圆(环)形, 扇形为主(配合: , ) fxy()，x ,,,()2 dfd,,,,,,,(cos,sin),,,,,()1 22xy222D:1，, 附: (1); (2) DxaybR:()(),，,,22ab 4. 交换积分次序(熟练掌握, 含直角坐标与极坐标的转换) 5. 变限积分(二重或二次)求导 6. 无界域上的反常二重积分(数三) 26 tt例22. 设连续, , 求: . F'(2)fFtdyfxdx()(),,,1y txt [()()(1)(),'(2)(2)]FtdxfxdyxfxdxFf,,,,,,,111 01122，，y22x2例23. 交换积分次序. [] dyfdxdyfdx，dxfxydy(,)y2,,,,,,,,，1110y,02xx2 21sinx例24. 计算. dydx,,y,11x 2111，xsinx ,,,,[sinsin1cos1]Idxdyxxdx,,,010x 1x2223xxx,1(),xyedxdyD，例25. 由和所围. [] Iedxdye,,,1yxyx,,,,,,,,,0xD 10y1y43D,,,例26. , 其中由与轴所围. [] Idxdyxdxdyyxx,,4366,,,,xx,0x6xD 2y19xIdyxdx,,D[]例27. 求,由及围成. dxdyxyxy,,1,y,21,,,,1yy16yD ,21xx,cos,82xdxdyxdxdy,例28. . [或] Idd,,,,,,cos2,,,,,,,0,,xx0,15222xyx，, 例29. 比较计算: y,22,,dxdyarctan (1)(直角坐标); 222,,，，(1)842xy,,,,xy01,01 1, (2)(极坐标). dxdy,,,2236，，xy(1),,,,xy01,01 xy例30. 计算: (反常!) dxdy,,223()，xy,,,,xy01,01 ,14cos,Idd,,,2cossin22,,,, [] ,,00 224Dxydxdy，yx,例31. , 由与所围. yx,,,D ,,sin3221,424cos,,Idrdr,, [] ,,009 27 八. 应用: 1. 积分和式: 见第一讲 1,n例32. 个正数 的几何平均为: , 用定积分给出在 yyy,,,？nyyyy,()？fx()12nn12 b11yyyfxdx，，，？lim[lnlnln]ln()12n, ,, annba, 上几何平均. [,]ab[]fee,,f 2. 平面面积(作图!), bbd,1 (1)直角坐标: ; 或 或; Sfxdx,()Sfxgxdx,,[()()];Sfydy,(),,,aac ,12 (2)极坐标: ,,,Srd(),,2 2例33. 由和轴所围成的面积被曲线分成左右两部分分 xyxbxb,,,()(0)yx,,(21) b 别记为, 则比较它们的大小(是否与有关?). [] SS,SS,ABAB 3. 体积(旋转体): b (1)原理: 已知平行截面面积AxVxAxdx()()(),, ,a bb222Vfxgxdx,,,[()()] (2)Vfxdx,,(); 或 (附: ) Vyy,xx,,0aa db,12Vfydy,,[()]Vxfxdx,2(), (3); 或(柱壳法) (附: V) xx,yy,,0ca 12例34. 曲线过原点,且时,,与所围图形面积为, x,[0,1]y,0xy,,1,0yaxbxc,，，3 43[,]ab,,, 求:, 使该面积绕轴旋转所得体积最小. xabc,,52 2211aabb21222,，,，，,,[0,()232,caxbxdxab,，,,，, Vaxbxdx()()] ,,003543 22OAA例35. 设曲线与交于点, 过原点和点的直线与 yaxax,,,(0,0)yx,,1 2DV 所围成一平面图形, 问a为何值时, 最大? 最大值为多少? yax,x 1221()2aaxa,325,24，a1,,,,AVaxdx(,),[] [, ] ,V(4)xmax5,0，，11aa1875，1a2，15(1)a ,xlimAAV例36. 求曲线,y,0及xaa,,(0)所围图形的和, 并求和 yxex,,(0)xa,，, aa,,,,,,,xaa2222limVAxedxaeVxedxeaa,,,，,,,,，，,1(1)1;(122), . [] xx,,00,，,a444 28 224. 弧长: dsdxdy,，()() b2 (1)直角坐标: (或) sfxdx,，1'()yfxxab,,(),[,]xgyycd,,(),[,],a xxt,()t,222 (2)参数坐标: ,[,]ttt,sxtytdt,，'()'(),12,t1yyt,(), ,22 (3)极坐标: sd,，,,,,,()'(),,,,,,,,(),[,],, ,例37. 求曲线段:的长度. yxx,,,,1lncos,[0]6 ,26sxdx,，,1tanln3 [] ,0 ,3例38. 求曲线段:ra,sin全长. 3 3,,3a2,,,,, [] TLad6,[0,3]sin,,,,,,032 5. 曲面面积 b2 (1)旋转侧面积: Sfxfxdx,，2()1'(), ,a 22 (2)可投影曲面面积(除柱体侧面): Szzdxdy,，，1xy,,Dxy 2例39. 求被平面所截得的曲面面积. xyxy，,,,1,0,0zxy,2 2211,x11,xx2xyxy，,,22dxdy, [] Sddxdy,，,，212(),,,,,,,000022xyyxyD 6. 物理(数一,二)功, 引力, 水压力, 质心(略) 22Ly例40. 容器侧面由平面曲线: , 绕轴旋转而成, 容器中装有其一 xyy,,,,,1(11) ,3()m 半容量的水, 若以每分钟的速率将水从容器中全部抽出, 问: 3 (1)需多少分钟才能抽完? (2)需要做多少功? 00425,g22,，,,,,,,,，,VydyT(1)4WygydyJ(1)(1)() [(1); (2)] ,,,,,11312 b1fabfxdx,[,]()7. 平均值(中值定理): ,aba, xTftdt()ftdt(),,00，,,Tf,f[0)lim 附: f (若以为周期:) ,，,xTx 29 第五讲: 常微分方程及其应用 一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注意应用题中的隐含条件) 2. 变换方程: dy (1)令(如欧拉方程) xxtDy,,() dt (2)令(如齐次方程, 贝努里方程) uuxyyyxuy,,,,(,)(,)' 2dydyx2arcsinxt,sin例1. 令, 化简方程: , 并求其通解. (1),,,,xxye2dxdx 222dydydydydytdyt11sintttt, [,,，,,,,,，，] ,yeycecee122222dxdttdxdttdttdtcoscoscos2 二. 一阶方程: (或), yfxy'(,),MxydxNxydy(,)(,)0，,yab(),1. 变量分离型: yfxgy'()(), ,zdy,fxyz(,,) (1)解法: ; (2)“偏”微分方程: ,,,，fxdxGyFxC()()(),,,xgy() dydydxy,y1,,,,(1)xe，,例2. [xec] ydx1,ex2. 一阶线性型(重点): ypxyqx'()()，, xpxdx()x1,x0 (1)解法(积分因子): MxeyMxqxdxy,,,，()[()()]0,x0Mx() (2)变化: xpyxqy'()()，, 1,,1, (3)推广: 贝努里(数一) ，,,，,ypxyqxyypxyqx'()()'()(),y dyxxx2cossin1,2(1)(2cos)0,1xdyxyxdxy,，,,,[，,,,yy例3. ] 222x,0dxxxx,,,111 22 [另解(全微分方程): ] dxyyxxyyx(sin)0sin1,,,,,,,, 1dxy12,22y22例4. (2)0yxyxdyydx，,,,[1]，,,,，xxycye2dyy y1xyyxyx'2(0)，,,例5. [或齐次] ()'()'1,yxyxyxc，,,,,，2xx 30 y3. 齐次型方程: y'(),,x ydudx 解法: uyxuuxuu,,,,，,,,'(),,,xuux,,() yxy,'例6. . ,,2,(1)0yxyy，' yxy,222 [] yxy'arctanln()0,,，，,xyx，2 ,,NM4. 全微分方程(数一): 且 ,MxydxNxydy(,)(,)0，,,,xy 解法: (见例3) MdxNdydUUC，,,, x0yca,,x 5. 一阶差分方程(数三): yay,,,,，1xxx*nxbpx()yxQxb,(),x x例7. 求解: . yyx,,,23，1xx *xxxx [] yAxBxycx,，,,,,,，,()3(3)32(3)3xx 三. 二阶降阶方程(数一,二): yfxyyyabyac"(,,'),(),'(),,, yFxcyFxcdxc'(),(()),，,，，1. : yfx"(),112, dpypxyfxp'()"(,),,,,2. : 令 yfxy"(,'),dx dp3. : 令 ypyypfyp'()"(,),,,,yfyy"(,'),dy 2例8. . xyyx"',, dp11232ypxxpxyxcxc'(),,,,,,，， [(或欧拉方程)] 12dx32 2例9. 2"('),(0)2,'(0)1yyyyy，,,, 1dp22,,,,,，，pyyxx12ypyppy'(),2,，, [(贝努里方程)] 4dy 31 四. 高阶线性方程: axybxycxyfx()"()'()()，，, 1. 通解结构(性质): (1)(2)* (1); yxyxyx()()(),,yxyy(),,非非齐非齐非 (2); yxcyxcyx()()(),，yxcyxcyxyx()()()*(),，，11221122齐非 12例10. 有解, 齐次方程有解, 求(1); (2)通解. xypxyfx"()'()，,pxfx(),()x 1312 [] (1)(),();(2)pxfxycxc,,,,，，123xxx2. 常系数方程: (可推广至阶) naybycyfx"'()，，, 2 (1)特征方程与特征根: (三类) abc,,,,,，，,,,0,12 ,,xx12,,,ee,,12,xx,,00 , exe, (2)“基础解系”: (齐次通解) ,,, ,120xx,,,,cos,sin,,iexex,,,,,,12, ** (3)非齐次特解形式确定: 待定系数(注: ) fffyyy,，,,，*1212 axaxaxbxsincos,,，ke 常见如: , , 等(补充的算子法) Px()fx()fxke(),n (4)题型: 还原方程. 例11. yyyx"2'21sin,，,， 112xyABxCxxxyecxcxy,，，,，，,,，， [*sincossincos(sincos)*] 12255 xxxxxxx22,,例12. 已知是某二阶线性非齐次微分方 yxeeyxeeyxeee,，,，,，,,,123 程的三个解, 求此微分方程. ,xx2xx [齐次解: ; 非齐次解: ] ee,xeyyyxe,,,,,"'2(12) 例13. 求 的当x,,,时为有界的特解. yyyx"4'58cos，，, ,2x [(cossin)cossincossin]yecxcxxxyxx,，，，,,，12 23. 欧拉方程(数一): axybxycyfx"'()，，, 2dydy2t2DyDy , 令 (注: ) xexyDDyxyDy,,,,,"(1),'2dtdt tt2 . ,,，，,,，,，,aDDybDycyfeaDybaDycyfe(1)()()() 32 五. 建立方程(应用题)的能力(注意初始条件): 1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); (注: (1)切线和法线; (2)变化率问题) 例14. 在过原点和点的单调光滑曲线上任取一点作两坐标轴的平行线, 其中一条平行 (2,3) 线与轴及曲线围成的面积是另一条平行线与轴及曲线围成的面积的两倍, 试求此 yx 曲线方程. x23 [] ytdtxyxyyx,,,,()(),(2)32,032 x2. 积分等式(含变限积分) (可设 ) fxdxFxFa()(),()0,,,a xft()例15. 设为可导函数, 且满足, 求: . fx()fx()fxdt()1,,3,1tftt()， fx()1152f3 [(贝努里)] ,,,ffxxxx(1)1,'(),',,,,223xf33xfxxf()， x1x例16. 设连续,且满足fxxufuduexfxudu()()()2()，,,，, 求: . fx()fx(),,00 1xx2ffffefxxxe,,，,,，， [(0)1,"2',()(12)]2 3. 含双变量条件的方程(利用导数定义): fxy()，,？ fxfy()()，例17. 设, 又对, 有, 求: fa'(0)(0),,,,,,，,xy,(,)fx()fxy()，,1()(),fxfy 2fxxfxfxfx()()[()1]()，,， 2 [ ffxafx(0)0,'()limlim(1()),,,,， xx,,00 xfxfxx[1()()], ,,fxax()tan] 4. 偏导方程: 22,,uu2222例18. 设满足, 求: uut,()uuxy,，()，,，xy22,,xy 222222uuxuuuyuuuuxyuxy,，,，，,，，,，2'4",2'4",4'4()" [ xxyyxxyy 12,，,,，，4"4',lntuututctc ] 1216 33 2dvdx5. Fma,,,2dtdt 例19. 两个质量相同的重物挂于弹簧的下端, 其中一个坠落, 求另一个重物的运动规律, 已 知弹簧挂一个重物时伸长为. a mgg [kmxkxxaxxat,,,,,,,,",(0),'(0)0cos] aa ,,QP6. 积分与路径无关性(数一): ,,,xy ye例20. 设, 求可微函数, 使与路径无关, 其 ()(())fe(1),fy()Iyfydxxfydy,，,,yC C 中为上半平面到, 并求此曲线积分. A(0,1)B(1,2) yy2B12eee [';2(2)]ffffdx，,,,,,22,,A0yyy27. 级数与方程(数一,二): (1)幂级数求和化为方程初值问题; 2 (2)方程的幂级数解法: (如) yaaxaxayay,，，，,,？,(0),'(0)yxy",01201 34 第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. 级数概念 ,1. 定义: (1); (2); (3)(见第一讲) {}aSaaa,，，，？limSa ,nn12nnnn,,1n, ,,1nlim0?a, 注: (1); (2)(或); qn,,n,,nan11n,, ,,n (3)“伸缩”级数:收敛收敛. (如) ,{}a()()aaSaa,,,,,,nnnnn111，，(1)!，nn1,n1, 2. 性质: lim0a, (1)收敛的必要条件: (); ,,aMnn,,n (2)增减, 改变前有限项不改变敛散性(注意“和”的变化) (3)去添括号对敛散性的影响: 收敛级数加括号后仍收敛(加括号后发散, 则原级数必发散) , 二. 正项级数: () (特征: ; 收敛(有界)) u,0,,SMS u,nnnn,n1 klnn111. 标准级数: (1), (2), (3)(积分审敛法) ,,,pkpnnnnln 22lnlnba2abab,，ab,2. 审敛方法: (常用 , 等) 1kPn()nfxdx()u (1)比较法(原理): (等价估计), (如; ) n,p,0nQn() un，1nlimu (2)比值与根值: *lim; * (应用: 幂级数收敛半径计算) n,,nn,,un 11,，,,111nnu u 例1. (1) [,收敛] (2) [, 发散] (2)ee，,nn,,211，nnn1,n,1nn ,11lnlnnalnnana,,,,(1)0:(2):a,例2. 讨论级数的敛散性. [收敛;发散] aa,(0),,een1, 1n，(1)nunnn，1,,limlim0例3. lim [收敛] 2,,nun，1(!)nn ,aa,nn1，limaa例4. 设为单调递减的正数列, 证明: (1) 存在; (2)级数收敛. ,,nn,,,nan1,n 35 aa，aa,nn，1nn，1 [] ()2(),,,,aaaannnn，，11aann n，1三. 交错级数(含一般项): () (1),uu,0,nn , 1. “审”前考察: (1) (2) (3)(绝对)收敛? u,0?u,0?u,nnn,n1 un，1n，1 注: 若, 则发散 (1),ulim1,,,,nn,,un 2. 标准级数: 11n，1n，1 (1),; (2), (1)(1),,ppnnln3. 莱布尼兹审敛法(条件收敛?) (1)前提: u发散(原级数不绝对收敛); ,n ,n1，; 结论: 条件收敛, 且 (2)条件: Su,uu ,0,(1),u,1nnnn1, 4. 一般项级数审敛步骤(补充方法): , lim0?a, (1) (2)敛? an,n,,nn1, (3)加括号后发散? (4)收敛(). ssa,,,,0ssss,,,2nn21nn， n2a(1),aaa5. 注意对比 ; ; ; 之间的敛散关系 ,,,,nnnn 1n,1C例5. , 则下列级数收敛的是 [] an,,,？(1)(1,2,)nn ,,,,n12,A:B:C:D: ; ; ; . (1),aa()aa，aa,,,,，nn1nn1nn，,n1n1n1,,n1, nnn,(1)31,311 例6. [条件收敛] ,,nnnnn，,nn3(2)，,3(2)1n, 111111,，,，，,，？？例7. 考察级数的敛散性 2212212312312121,，,，,，nn ,112 [发散原级数发散] ,,bb ,,,nn41n,2121nn,，,n2 36 四. 幂级数(附:函数项级数): 1. 常见形式: nn2n (1), (2), (3) axaxx(),axx(),,,,0nnn02. 阿贝尔定理: **** (1)结论: 敛; 散 xx,xx,,,,Rxx,,,Rxx00 ** (2)注: 当条件收敛时 xx,,,,Rxx n2n (3)收敛半径, 区间, 收敛域(求和的前提): 注意与之间的转换 axaxx(),,,nn0 ,ln(1)n，nn1,例8. 考察的收敛域 (1)(1),，x,nn1, n，1nnxln(2)1，， [] lim1(2,0],，,,,xxnn,,(1)ln(1)1nnx，，，3. 运算性质: (1)四则运算(线性性, 柯西乘积); (2)分析运算(连续性, 逐项求导求积) annnn,naxxax 注: 与同收敛半径 ,,,nnn 4. 泰勒级数(熟记双向, 标明敛域) 11x23exxxR,，，，，,,？ 1, 2!3! 111111xx,24xx,35()1,eexxR，,，，，,,？(),eexxxR,,，，，,,？ ; 22!4!23!5! 11113524cos1,xxxR,,，，,,？ sin,xxxxR,,，,,,？; 2!4!3!5! 1122,，，，,,1,(1,1)xxx？,,，,,,1,(1,1)xxx？ ; 1,x1，x 11112323ln(1),[1,1),,,,,,,,xxxxx？ln(1),(1,1]，,,，,,,xxxxx？ ; 2323 1135arctan,[1,1]xxxxx,,，,,,？ 35 5. 幂级数展开法: 1,xx, (1)分解: fxgxhx()()(),，(注:中心移动) (特别: ) 02axbxc，， x,,，fxgxdxf()()(0) (2)考察导函数: fxgx'()() ,0 fxgx()'(), (3)考察原函数: (调整端点敛散性) 37 例9. . fxxx()(1)ln(1),，， nn，，11,,(1)(1),,nn，1 [] fxxxfxxxx'()1ln(1)1(),(1,1],，，,，,,，,,,,nnn(1)，nn,,11 ,1，x11n例10. . [] fx(),fxnxx,,,，,,()2()'(21),(1,1),2(1),x,,xx110n, 6. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1) (2)(注意) Sx(),,，Sx'(),？S(0),, (3), (4)的微分方程 Sx()()',SxSx()"()",, n (5)应用: . aaxSxaS,,,,()(1),,,nnn 2n,xn,1例11. 求的收敛域及和函数 (1),,(21),nnn,1 2n,,x2nnn,,,1122 [ ,,,,,,SxSxx()2(1)"()2(1),,2,，2(21)1nnxnn,,11 2 ] SS(0)'(0)0,,,,,，,,,Sxxxx()2arctanln(1),[1,1] ，,,2221n，12n212nxx，例12. 求和 [] ,,,,，,,,,，Sxxxexex(,),()()'()'(12),,nn!!n0n0,, ,n，1例13. 求和 ,(21)!n，n0, 22nnxxxx,,,,,12111nxxeeee，，，,2n [法(1); Sxx()(),,，,，,,,2(21)!2(2)!(21)!44nnnx，，nnn,,,000 xxxx,,,122()nxeexeee，,，,21nxx，,(2) 法] SxxeeS()[()]'(1),,,,,,,2(21)!442n，0n, n,n7. 经济应用(数三): (1)复利: ; (2)现值: Ap(1)，Ap(1)， 51例14. 现存入银行一笔钱, 一年后取款万, 以后每年递增万取款, 取之不尽, 问该笔存款 r,0.02 至少需多少万?(银行年利率). 2,,15451xxr,，n [] AnAnx,，,,，,,,(51),(4)2750,,nnn22(1)(1)，,rxrnn,,11 38 T,2,五. 傅里叶级数(数一): () ,a01. 周期函数与傅氏级数(三角级数): ()(cossin),，，fxanxbnx,nn2n1, 222,,,,sincossincos0nxdxnxdxnxmxdx,,,,,,000, 22,,, 三角函数系的正交性: sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdxnm,,,,,,00,22,,22,,sincosnxdxnxdx,,,,00, ,1,afxnxdx,()cosn,,,,,1,,？2. 系数公式: afxdxn,,(),,1,2,3,,0,,,,1,,bfxnxdx,()sinn,,,,,, Dirichlet3. 充分条件(收敛定理)(务虚): ,a0 (1)设(含条件), (和函数) fx(),,,，，(,](cossin)(),, xanxbnxSx,nn2n1, 11,,,，，,,,, (2), 特别 Sxfxfx()[()()],,，，Sff()[()()]22 ,a0Tl,24. 题型(务实): (注: ) (略) ()(cossin),?,，，,fxanxbnxx,nn2n1, T,2, (1)且(或) fxx(),(,],,,？,,x,(0,2], (2)或 x,,(,],,x,[0,2], (3)正弦或余弦 x,[0,], T,, *(4)() x,[0,], 5. 附产品: ,a0 fx(),()cossin,，，Sxanxbnx,nn2n1, ,1a0,,，，[()()]fxfx ,,，，()cossinSxanxbnx00,nn00022n1, 1fxxx()cos,，例15. 将, x,,[,],,展开成傅里叶级数. 2 ,,144cos(21)kx, [] ,，,,,()cos,[,]x,,,222(21)k,,,k2, 39 第七讲: 向量, 解析几何与偏导应用(数一) 一. 向量基本运算(简介) ,,,,,,,,2221. , , aaaa,，，aaaaABbababa,,,,,{,,},{,,}kakb，xyzxxyyzzxyz12 ,,,,,,,,1 单位向量(方向余弦, 方向角): , ea, (cos,cos,cos),,,,,abba ,,,aa ,, 2. 点积: ab, ,,,,,, (1); (2) abab,,cos,abababab,,，，xxyycc ,,,,,,,,,,,ab,ab,,()cos(,) ab,b, 应用: 投影; 垂直; 夹角: abab,,,,0,,,aaab ,, 3. 叉积: ab， ,,, ijk,,,,,, abab，,sin, (1); (2) abaaa，,xyz bbbxyz ,,,,,,, 应用: 法向; 面积Sab,， nabab,，,, 4. 混合积: aaaxyz,,,,,,,,,"0",, ; (共面). ()[,,]abcbbbabc，,, abc,，xyz cccxyz BCA例1. , 求点到直线的距离. ABC(2,3,1),(2,1,1),(6,3,1),, ,,,,,,,,,,,,5 [] BCdBABCdd,，,,,,,5(4,6,2), 56 二. 平面与直线 1. 平面 , , (1)特征(基本量): MxyznABC(,,)(,,),, 0000 ,:()()()00AxxByyCzzAxByCzD,，,，,,,，，，, (2)方程(点法式): 000 40 2. 直线 L , (1)特征(基本量): Mxyzsmnp(,,)(,,),,0000 xxyyzz,,,xxyyzz,,,000111 (2)点向式(对称式): (二点式) L:,,,,mnpxxyyzz,,,212121 AxByCzD，，，,0,1111 (3)一般方程(交面式): ,AxByCzD，，，,02222, xaaat,，,(),121,ybbbtt,，,,(),[0,1] (4)参数式(附: 线段的参数表示:) AB,121 ,zccct,，,()121, (5)平面束方程: AxByCzDAxByCzD，，，，，，，,,()011112222 例2. 设平面与平面垂直, 且它们的交线在平面上, 求平面方程. xoy5320xyz,，,,, 35,,,, [,,] 5320xyzz,，,，,,(5,1,3)(5,1,3)0,，,,,,153266xyz,,,3 3. 相对位置关系(距离与夹角问题): ,,,, (1)点与点距离: dAB, AxByCzD，，，000 (2)点与面距离: 到平面的距离 Mxy(,)d,000222ABC，， (3)点与线距离(练习), 平面与平面(交线?), 直线与直线(异面?), 平面与直线(交点?) 三. 曲面与空间曲线(空间积分的准备) 1. 基本要求 222 (1)柱面: 如圆柱面 xyR，, (2)锥面计算. 2. 常用二次曲面 2222222zRxy,,，() (1)球面: (或) xyzR，，, 2222222 其它: ()()()xxyyzzR,，,，,, (如) xyzaz，，,2000 2222222zxy,，zaxy,,， (2)锥面: (或, ) xyz，, 2222 (3)抛物面: (或) zxy,，zaxy,,，() 22222zxy, (4)其它: 双曲面(); 马鞍面(, 或) xyz，,,1zxy,, 41 3. 空间曲线 (1)表示法; (2)旋转面计算: *平面曲线绕轴旋转; *空间参式曲线绕轴旋转; (3)交线, 投影柱面与投影曲线; l例3. 求经过点的直线绕轴旋转一周所形成旋转曲面的方程. yAB(2,1,1),(1,2,2),,, xt,,23,2222,xztt，,,，,，(23)(13),222lyt:13,,， [, , ] xyzy,，，,,2210,,yt,,，13,,zt,,，13, 四. 偏导数的几何应用: 1. 曲面法向(切平面与法线) ,, : 或; ,,nFFF(,,),,,,nzz(,,1)Fxyz(,,)0,zfxy,(,),xyzxy2. 曲线切向(切线与法平面) xxt,(),,,,,,,,Fxyz(,,)0,,,,,:()yyt 或; ,,，snn,,sxtytzt{'(),'(),'()},,12Gxyz(,,)0,,,zzt,(), 22xy，2PPP,,z3xyz,,例4. 上点处的切平面垂直于直线, 若在第三卦限, 求. 2 , [,] nxyzxyz,,,,,,,(,,2)(1,1,1)2,1 P(2,2,1),,000000 例5. 设, 其中函数具有连续偏导数, 在处的法向量为 Fuvw(,,)0,Fuvw(,,)(1,1,1) ,23 , 求曲面在处的切平面方程. (1,1,1)Fxyz(,,)0,n,{1,2,3} ,,,2 [(,,)(1,2,3),(,2,3)(1,4,9)4914]FFFnFyFzFxyz ,,，，,uvwuvw0 23例6. 设方程为, 若上恰有两个点处的切线与平面 xtytzt,,,,,,,, axbyczd，，，,0 平行，问abc,,应满足什么关系式? ,222 [(1,2,3)(,,)3203,0],,,,,,，,,,,,,ttabcctbtabacc 42 五. 方向导与梯度: ,,f1. 方向导(方向的变化率)(充分条件: 可微): l,l ,,,z (1)平面场: (,),{cos,sin}cossin,,,,zfxyeff,,,,，lxy,l ,,,u (2)空间场: , ,,，，uuucoscoscos,,,uuxyz,(,,)e,(cos,cos,cos),,,xyzl,l ,, 2. 梯度(取得最大变化率的方向): Ggradf (1)计算: ,, ; (注: ) ()(,)(,)azfxyGff,,,Fxyz(,,)0,xy ,, ()(,,)(,,)bufxyzGuuu,,,xyz (2)结论 ,,,,,u ; ()a,,Gel,l ,, GM() 为点处最大方向导数值(变化率). M()b00 ,,, 为点处最大变化率方向; M()clGM,()00 k2例7. 在原点处指向点方向的方向导数为, 求. fxy,，2(1,)k ,,,，fk123, [(1,2),2]Gk,,,,,24,l1，k ,,z22,lgradz,例8. 函数在点沿其梯度方向的方向导数 []AP(1,1)zxy,，2(1,1),l ,,,,525ABCD ; ; ; . 24ij，42ij，，，，，，，，， 43 第八讲: 三重积分与线面积分(数一) 一. 三重积分: (作图!) fxyzdV(,,),,,, 1. 域的特征(不涉及复杂空间域): , (1)对称性: 如: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: (如长方体, 四面体等) ,,,,,{(,),(,)(,)}xyDzxyzzxyxy12 (3)截面法: (特别: 椭球) ,,,,,{,(,)()}azbxyDz 2. 的特征: f 22 (1)单变量, (2), fz()fxy()， 222 (3), (4) faxbyczd,，，，fxyz()，， 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *; *利用对称性(重点) dvV,,,,,, b22 (2)截面法(旋转体): (细腰或中空, 配合, ) fz()fxy()，Idzfdxdy,,,,aDz() zxy(,)2Idxdyfdz, (3)投影法(直柱体): ,,,zxy(,)1Dxy 2,,R2Iddfd,,,,,,,,,sin() (4)球坐标(球或锥体): ,,,000 (5)重心法: ()axbyczddv，，，, ()axbyczdV，，，,,,,, 222222xyzxyz222,，，,1例1. 计算()，，dv. 其中为 (1); (2) xyz，，,1222,,,222abcabc, 11114111222 [(1),，，，，,，，, Ixyzdv()()()222222,,,315abcabc, 222cczzz2442 (2)] dvdzdxdyzbdzabcIabc,,,,,2(1),,,,2222,,,,,,,00cccc155,Dz() 22222zxydvxyz(),:1，,，，,例2. ,,,, 21211,,z1322Izdzdrdrzzdz,,,,,,(1) [] ,,,,,10006 44 22h例3. , 其中是圆台柱体,其上,下底半径分别为, 高为, ,()xydv，(0),,abab,,,,, 222 下底为平面内圆域: . xoyxyb，, ab,55,hbz2，abhba,,,()2223h [] ,，,，,,:(),xybzIdzdrdr,,,,000hba10(), xxt,(),二. 第一类曲线积分() fdsLtab,:,[,],,,yyt,(),L 1. “积”前准备: (1); (2)对称性(同重积分, 如: 奇偶性, 轮换性, 重心法); dsL,,L (3)代入“L”表达式(特色); (4)其他(如: 分段累积) 222()xyds,例4. 设是圆周, 求: . cxy，,1 ,c 1122Ixydsds,,，,,,,,[()] ,,22cc2. 计算公式(唯一)(以平面曲线为例) b22fdsfxtytxtytdt,，((),())'()'() (特别: ) yyxxab,,(),[,],,aL 2(1),:4xydsLxy，，,,例5. 从点. AB(0,2)(0,2),,,L ,xt,2cos,2 ,[,(2cos1)22(4)]Itdt,，,，,,,,yt,2sin,2 fdSzzxy,:(,),,三. 第一类曲面积分() ,,, 1. “积”前工作(重点): dS,, (1); (2)对称性(如:奇偶性, 轮换性, 重心法); ,,, (3)代入“”表达式(特色); (4)其他(如: 分片累积). , ()xyzdS，，例6. 设是平面在第一卦限的部分, 计算. xyz，，,1,,,, 332 [] ,,,IdS(2),,42, 2222222()xyzdS，，例7. 计算,其中是. ()()()xaybzcR,，,，,,,,,, 222222222IRaxbyczabcdSRRabc,，，，,,,,，，，(222)4(), [] ,,, 45 2. 计算公式(唯一)----投影(注意垂直侧面): 22 zzxyxyDIfxyzxyzzdxdy,,,,，，(,),(,)(,,(,))1xyxy,,Dxy 12222例8. 计算, 其中是球面被平面截出的顶部. dSzhha,,,(0)xyza，，,,,,z, 222,ah,aara [] Idxdyddra,,,,,2ln22,,,,222200,ahh2222()axy,,xyah，,, 3. 第一类积分的应用(, 其中): fMd(),,,,,:;;;;DL,, Vzxyzxydxdy,,[(,)(,)] (1)“尺寸”: 如或; Vdv,SdS,21,,,,,,,,D,,xy 特别: 柱体侧面积: zxyds,，，,L (2)质量, 重心(形心), 转动惯量, 引力等(略). 2222例9. 求曲面上点处的切平面与曲面所围成空间立体 M(1,1,3),zxy,，，1zxy,， 的体积. 22 [切平面:, 交线: 221xyz,,,(1)(1)1xy,，，, ,22 ] Vxyxydxdy,,,,,,(221),,222xy,，，,(1)(1)1 2y2z,0x，,1zy,例10. 求位于上方和平面下方的那部分侧面面积. 4 ,122 Aydsd,,，,，，,,,,[2sinsin4cos[43ln(23)]],,023y2，,,xy1,04 例11. 求曲线时的质量. Lxttyttzttz:cos,sin,(02),,,,,,,,, 33222,,22(24)2，,,222Mtttttttdtttdt,,，，，,，,(cossin)(sinsin)12 [] ,,003 x例12. 由平面图形: axbyfx,,,,,0()(f已知且连续) 绕轴旋转一周所围成的立体 ,,1x 的密度为, 求立体对轴的转动惯量. bbfxb2,，，,222224 [()],，,，,,yzdvdxyzddxddfxdx,,,,,，，，，,,,,,,,,,,aaa002,，，Dx 46 四: 第二类曲线积分(1): (其中有向) LPxydxQxydy(,)(,)，,L 1. 直接计算(原始): xxt,()t,2 , tttIPxtytxtQxtytytdt:[((),())'()((),())'()],,,，,12,t1yyt,(), 22 特别(1)水平线与垂直线; (2) xy，,1 附: 化第一类(互换) (,)(,)(cossin)PQdxdyPQds,,，,,,,LL xdyydx,222例13. 求: , 其中正向. limLxyR:，,222 ,R,，,()xyxy，，L 2,xR,cos,,1d, [] ,:02lim0,,,,,,,22R,，,0yR,sinR(1sincos)，,,,, ,,PQ(1)L2. Green公式: (注意, 为正向) ,,C,,yx ,,QP (1); ()PdxQdydxdy，,, ,,,,,xyLD (2)围路径(补折线, 注意方向); 2yOBAL例14. , 其中为折线 (cossin32)(sincos)xyxydxxyxyedy，，，，,,L . LOBA:(0,0)(2,2)(1,0),, 12[11132，,,,,,,，,dxdyxdx ] ,,,,,,0LDLAO ,,PQ3. (积分与路径无关) ,,,yx B (1)换路径: ,,,ALAB(), D, (2)变路径: (内有“奇点”) ,,LL* (,)xy (3)全微分: (全微分方程) PdxQdyduu，,,,,(,)ab PxydxQxydy(,)(,)， (4)题型: f与路径无关(含“”待定): 微分方程. ,L 47 22yx22例15. 计算 , 其中是从点沿曲线: ()()cA(1,2),,xxydxyxydy，，，，，,22c 22 到点的有向曲线. B(1,2)4252120xxyyxy，,，,，, 1,,QP2 , 取] LyxIxdx:21812,,,,[,,，xy,,1,,xy ()()xydxxydy，,,例16. ,,,,,,:cos,(,)(,)LyxAB,,,,,22,xy，L 22,,,,PQxyxy2322 ,[,0,],,，,,,xyI222,,，yxxy()2 xdyydx,例17. 计算, 其中是以点为中心,为半径的正向圆周. c(1,0)R(1),22 ,4xy，c 22yx,4RIxdyydx,,,,1:, [(1) (2)] RI,,1:0;PQ,,,yx ,222(4)xy，2241xy，, 22kxyx,3例18. , 问: dxdy，,34yyL 11kLy,(2,) (1)为何值时,积分与路径无关(与不相交); (2)计算从到的积分值 x(1,1)x2 2(1,1),,QxPkxx631 [] (1),2;(2)()30,,,,,,,,,kd1,443(2,),,xyyyyy2 (,)xyxyfxdxfxdy'()'(),例19. 设二阶可导, , 又与路径无关, fx()ff(0)0,'(0)1,,2,(0,0)1，x (1,2)xyfxdxfxdy'()'(), 求, 并计算. fx()2,(0,0)1，x 12x12,,,,,,，，,,,,ffffxxIdxfdy"''ln(1);0'(1)2 [] 2,,2001，x1，x PdydzQdzdxRdxdy，，Rxyzdxdy(,,)五. 第二类曲面积分: 或(其中含侧) ,,,,,,, 1. 直接计算: (1)定向投影(单项): RxyzdxdyRxyzxydxdy(,,)()(,,(,)),, ,,,,,Dxy ,,:(,)zzxy 其中(特别:水平面); (注: 垂直侧面, 双层分隔) 48 (2)合一投影(多项, 单层): , nzz,,,(,,1)xy ,，，,,，,，PdydzQdzdxRdxdyPzQzRdxdy[()()]xy,,,,,, (3)化第一类(不投影): , , n,(cos,cos,cos),,, ,，，,，，PdydzQdzdxRdxdyPQRdS(coscoscos),,,,,,,,, 2222例20. 外侧. Izxydxdyzxyz,，,,，,(),:(1),,, 12,22224 [] Ixyxydxdyrdr,,，，,,,,()2,,,,0522xy，,1 2222例21. 位于第一卦限部分上侧(多解) xdydzydzdxzdxdy，，,,，，,:xyzR,,, 3,11,R222 [] ,,，，,,nxyzIxyzdSRS(,,),(),,,RR2, Gauss2. 公式及其应用: ,,,,,PQR (1)散度计算: divA,，，,,,xyz ,,Gauss, (2)公式: 封闭外侧,内无奇点, PdydzQdzdxRdxdydivAdv，，,, ,,,,,,, (3)注: 补充含侧“盖”平面:; ，,,,,,,0,, divA,0 (4)特别: 封闭曲面变形,(, 但内含奇点) ,,,,,,* xdydzydzdxzdxdy，， 如: 3 ,,222222xyz2()xyz，，，，,1234 ,,,,,,,,,32222,()divA例22. 设向量场, 求 Axyzixyzjxyzk,,,2Ml(1,1,2),(2,2,1),,,,lM ,,,,,,,,,1222,divAxyzgraddivAedivA,,,,,, [2,()(8,4,2),(2,2,1)()] Ml33,lM xydydzyzdzdxzxdxdy，，例23. , 其中是平面xyz,,,0,0,0,xyz，，,1 , ,,, 所围成的四面体的边界的外侧. 11131223,，，,,,,,，, [] Ixyzdxdydzzzdzzzzdz()3(1)(2),,,,,00228, 49 2222例24. 上侧 (2)(2)(12),:4xxydydzyyzdzdxxydxdyzxy,，,，,,,,,,,, 22 [] Ixzdvzzdzxyd,,,,,,，,,,(22)2(4)(12)4,,,,,,,,,,,022,,z下0()xy，,422xy，,(4) 3. 应用: 通量: ,,,,,,,,,,,,,AdS (有向,,) nAPQR,,,dSndSdydzdzdxdxdy,,(,,),，，,,, 六: 第二类曲线积分(2): PxyzdxQxyzdyRxyzdz(,,)(,,)(,,)，，,, 1. 参数式曲线: 直接计算(代入) , ,,,BBB 注: 当时, 可任选路径(如) adxbdycdzaxbycz，，,，，()rotA,0,A,,,AA,,()AB F,0,,2. Stokes公式: (要求: 为交面式封闭曲线(有向), 所张曲面为含侧) ,,G,0, ,,,,,,,,,,, (1)旋度(RrotA,)计算: RAPQRPQR,,，,，(,,)(,,)(*,*,*) ,,,xyz ,,F,0G,0 (2)选为(或)同侧法向; nFFF,{,,},xyz ,,,,,,,,,,,,AdrRdSRedS,,,,, (3)Stokes公式(多种形式的选择): n ,,,,,,,, 标准: ; ,，，PdydzQdzdxRdxdy*** ,,,,, ,,,,FFyx 合一投影: ; ,,,,,,{,,1}nRndxdy ,,,FF,,zz ,,,,,,,,eRedS,,,,{cos,cos,cos},,, 不投影: . nn ,,,,, ()()(),zydxxzdyyxdz,，,，,,例25. 为 ,, 22222,,xy，,1xyz，，,1 (1)椭圆周:(投影); (2)圆(不投影) ,,xyz,，,2xyz,，,0,, 且从轴正向向轴负向看去, 取顺时针方向 zz, ,,,12,rotAnIdxdydxdy,,,,,,,,,(2,2,2),(1,1,1)(1)222,(2)(2)IdS,,,, [;] ,,,,,,3322,,xy1，,3. 应用: 场力作功(环流量): ,,,,,,,, ,IFdr,, (有向, , ) FPQR,(,,)drdsdxdydz,,,(,,), ,, 50