初中数学相似三角形例题解析

初中数学相似三角形例题解析 篇一:初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案) 经典练习题 相似三角形(附答案) 一(解答题(共30小题) 1(如图，在?ABC中，DE?BC，EF?AB，求证:?ADE??EFC( 2(如图，梯形ABCD中，AB?CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G( (1)求证:?CDF??BGF; (2)当点F是BC的中点时，过F作EF?CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长( 3(如图，点D，E在BC上，且FD?AB，FE?AC( 求证:?ABC??FDE( 4(如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF?AE于F，试说明:?ABF??EAD( 5(已知:如图?所示，在?ABC和?ADE中，AB=AC， 1 AD=AE，?BAC=?DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点( (1)求证:?BE=CD;??AMN是等腰三角形; (2)在图?的基础上，将?ADE绕点A按顺时针方向旋转180?，其他条件不变，得到图?所示的图形(请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下，请你在图?中延长ED交线段BC于点P(求证:?PBD??AMN( 6(如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F(在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明( 7(如图，在4×3的正方形方格中，?ABC和?DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上( (1)填空:?ABC= _________ ?，BC= _________ ; (2)判断?ABC与?DEC是否相似，并证明你的结论( 8(如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm(某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问: (1)经过多少时间，?AMN的面积等于矩形ABCD面积的, (2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与 2 ?ACD相似,若存在，求t的值;若不存在，请说明理由( 9(如图，在梯形ABCD中，若AB?DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形( (1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概(来自:www.xLtKwj.coM 小 龙 文档网:初中数学相似三角形例题解析)率是多少;(注意:全等看成相似的特例) (2)请你任选一组相似三角形，并给出证明( 10(如图?ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，?BAC=45?，?BDC=60?，CE?BD于E，连接AE( (1)写出图中所有相等的线段，并加以证明; (2)图中有无相似三角形,若有，请写出一对;若没有，请说明理由; (3)求?BEC与?BEA的面积之比( 11(如图，在?ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q( (1)求四边形AQMP的周长; (2)写出图中的两对相似三角形(不需证明); (3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论( 12(已知:P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC， 3 M是CD的中点，试说明:?ADM??MCP( 篇二:初中数学相似三角形练习题_- 1(如图所示，给出下列条件:??B??ACD;??ADC??ACB;?其中单独能够判定?ABC??ACD的个数为() A(1 B(2 C(3 D(4 2.如图，已知AB?CD?EF，那么下列结论正确的是( ) A( ACAB2 ?;?AC?ADAB( CDBC ADBCBCDFCDBCCDAD ???? B( C( D( DFCECEADEFBEEFAF C A E C D C D F 第2题第3题 第6题 第11题第12题第13题 第14题 3. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论:(1)DE=1，(2)?CDE??CAB，(3)?CDE的面积与?CAB的面积之比为1:4.其中正确的有:( ) 4. A(0个 B(1个 C(2个 D(3个 4 4.若?ABC??DEF, ?ABC与?DEF的相似比为,?2，则?ABC与?DEF的周长比为( ) A(1?4 B(1?2 C(2?1 D5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( ) A(只有1个 B(可以有2个 C(有2个以上但有限 D(有无数个 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是( )A A(?AOM和?AON都是等边三角B(四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C(四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D(四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 B 11(如图一，在?ABC中，DE?BC，AD,3，BD,2，则?ADE与四边形DBCE的面积比是() 9题图(A)3:2; (B)3:5; (C)9:16;(D)9:4( 3、已知: xyza?cac2 ? 。 4、已知??，且3y,2z，6，则x,y, ??,(b?d?0). 则 5 b?dbd5356 5、把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为 。 6、、在?ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分?ACB，DE?BC，如果AC,10，AE,4，那么BC, 7、点G是?ABC的两条中线BD、CE的交点，如果?GDE的面积为6平方厘米，那么?ABC的面积为 8、在?ABC中，AB,8厘米，AC,6厘米，点D、E分别在边AB、AC边上，且以点A、D、E为顶点的三角形和以点A、 B、C为顶点的三角形相似(如果AD,2厘米，那么AE, 9、两个相似三角形的周长之比为3:4，则这两个三角形的面积之比为: 10、在?ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE?BC(如果AD,8，DB,6，EC,9那么AE,( 11、在?ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距为 12、 在同一时刻，某人身高1.6米影长1米，一塔的影长25米，则这个塔高 13、已知线段AB是线段CD、EF的比例中项，CD = 2，EF = 8，那么AB = 14、两相似三角形的相似比为1:3，面积和为80，则较大的三角形面积为17、如图，点D在AC上，且?ABD??C,AB?CD?2,则AD=______ . 6 18、锐角?ABC中，BC,6,S?ABC?12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN?BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与?ABC公共部分的面积为y(y ,0),当x , ，公共部分面积y最大，y最大值 ,, 3)，若以原点O为位似中心，画?ABC的位19、在平面直角坐标系中，?ABC顶点A的坐标为(2，似图形?A?B?C?，使?ABC与?A?B?C?的相似比等于 1 ，则点A?的坐标为 ( 2 20、如图，?ABC与?A′B′C ′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2A A′,S?ABC=8，则S?A′B′C ′=________( 21、如图，?OAB的顶点B的坐标为(4，0)，把?OAB沿x轴向右平移得到?CDE，如果CB?1,那么OE的长为( 22、如图，?ABC与?AEF中，AB?AE，BC?EF，?B??E，AB交EF于D(给出下列结论: ??AFC??C;?DF?CF; ??ADE??FDB;??BFD??CAF( 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号)( 23、如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为(1，1)， 点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 ( 24、(2009年广西南宁)三角尺在灯泡O的照射下在墙上 7 形成影子(如图示 现测得OA?20cm，OA??50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子 的周长的比是 ( 25、如图，点M是?ABC内一点，过点M分别作直线平行于?ABC的各边所 形成的三个小三角形?1、?2、?3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49(则 ?ABC的面积是 ( 26、如图(1)，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交BD于P，交 CD于Q，若DQ?CQ,4?3，则AP?PR, AD FP C BRC BAB 图(2) 图(1) 图(3)图(4) 27、如图(2)，在梯形ABCD中，CD?AB，AC、BD交于点O，过点O作AB的平行线交AD于点E，交BC于点F，则图中有对相似形三角形;若DC,9，AB,15，则OD?OB,，EF,。 28、如图(3)，在?ABC中，?BAC,90，CE平分?ACB，AD?BC，垂足为D，AD、CE相交于点F，则?AFC?? 。 29、如图(4)，要使?AEF??ABC，已具备的条件是，还需补充的条件是或 或 。 30、如图(5)，点D是?ABC内一点，连结BD并延长到 8 E，连结AD、AE，若?BAD,20，AB?BC?AC，则?EAC, ADDEAE BE C B C (5) 图(6) 图 222 31、在?ABC中，AD?BC，DE?AB，则有AD, ，ED, ，BD, 。若DF?AC，则还有线段 是比例中项。 32、把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为原来的100倍，则边长扩大为 原来的 倍。 33、在?ABC中DE?BC， AD1 ?，且S?ABC,8cm2，那么S?ADE, cm2 AB2 - 2 - 的面积比为 。 A 图(2) C A 9 E 图(3) C 34.如图(2)，C为线段AB上的一点，?ACM、?CBN都是等边三角形，若AC,3， BC,2，则?MCD与?BND 35、如图(3)，在?ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则?ADE与四边形DECB的面积之比为 三、解答题 1、已知，如图，在平行四边形ABCD中，E为AC三分之一处，即AE = 2、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE?CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且?BFE,?C (1)求证:?ABF??EAD;(2)若AB,4，?BAE,30?， 求AE的长;(3)在(1)(2)的条件下，若AD,3，求BF长. (计算结果含根号). C 3、如图(3)，在?ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，AF与BE交于点O，ED?AF，交BC于点D，求BO?OE的值。 2 4、如图，AE,AD?AB，且?ABE,?C，试说明?BCE??EBD。 - 3 - 10 1 AC，DE的延长线交AB于F，求证:AF = FB 3 C 2 5、如图五，在?ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在 AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知 C ( 图五) S?AGF:S?ABC,9:64，EF,10，求AH的长( 6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E在对角线BD上， 且?DCE??ADB，如果BC?9，CD?BD = 2?3，求CE的长( 7、在九年级数学课本练习册上有这样一道题: 已知:如图七，点O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD， 点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且有OA,OB，EH?AD，HG?CD，FG?BC，求证:EA,FB( 8.若将这题目中的点O移至四边形ABCD外，其它条件不变，题中要求证的 11 结论还成立吗, (1)请在图八中画出相应的图形，观察并回答:(填成立或不成立);(2)证明你(1)中观察到的结论( 、 D H E C C B C ( 图八) B (图七) - 4 - 一、填空题: 1、如图,在?ABC中,DE?BC, AD:AC=2:1，则?ADE???C=??ABC的面积:?ADE的面积=. E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2、已知:如图,直线DE交?ABC的两边AB、AC于点D、E,且?1=?B则 (()(?)()(?)(). ) 3、如图,DE?BC,则???若AD=3,BD=2,AF?BC,交DE 12 于 G,则, ?AGE??AFC,且它们的相似比为 . 4、如图,平行四边形ABCD中,P是CD上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB的面积:平行四边形ABCD的面积?BCP:S?APD:S?APB= :: 5、已知:如图,梯形ABCD的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M为腰AD、BC的交点,则点M到上底CD的距离为 cm,点M到下底AB的距离为 cm. D P CAB (第4题图)(第5题图) 6、如图，在直角梯形ABCD中，BC?AB，BD?AD，CD?AB，且BD=3，CD=2，则下底AB的长是. 7、如图，在?ABC中，DE?BC,且?ADE的周长与?ABC的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD=. A E (第7题图) (第8题图) B C B 2 8、如图，在?ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、 3 E为顶点的三角形和?ABC相似，则AE等于9、若?ABC??A1B1C1，AB=3，A1B1=4.5，且S?ABC+S?A1B1C1=78，则S?A1B1C1= . 10、如图，CD是直角三角形ABC斜边 13 上的高，已知AB=25cm，BC=15cm，则BD= . C 二、选择题: 11、下列命题中，不正确的是( ) A、如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等; - 5 - 篇三:九年级数学相似三角形知识点及习题 相似三角形考点 一、本章的两套定理 第一套(比例的有关性质): bd? ac dcabac?或? ??ad?bc? bacdbd a?bc?d(比例基本定理) ?合比性质: bd acma?c???ma????(b?d???n?0)?等比性质:? bdnb?d???nb 涉及概念:?第四比例项?比例中项?比的前项、后项，比的内项、外项?黄金分割等。 二、有关知识点: 1.相似三角形定义: 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“?”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比: 相似三角形的对应边的比叫做 14 相似比。 4.相似三角形的预备定理: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理: (1) 相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.相似三角形的传递性如果?ABC??A1B1C1， 15 ?A1B1C1??A2B2C2，那么?ABC?A2B2C2 三、注意 1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ X ”型。 ADDEAE，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而??ABBCAC ADDEAE比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成的??DBBCEC在利用定理证明时要注意A型图的比例 错误。 2、相似三角形的基本图形 ?.平行线型:即A型和X型 ?.相交线型 A E C B 3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明三角形相似及比例式或等积式。 4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等 16 比问题，常用处理办法是设“公比”为k。 6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。 第4讲 图形的相似 A级 基础题 1((2010年广西桂林)如图X6,4,1，已知?ADE与?ABC的相似比为1?2，则?ADE 与?ABC的面积比为( ) A(1?2 B(1?4 C(2?1 D(4?1 2(若两个相似三角形的面积之比为1?16，则它们的周长之比为( ) A(1?2B(1?4C(1?5D(1?16 3(下列各组线段(单位:cm)中，是成比例线段的为( ) A(1,2,3,4B(1,2,2,4 C(3,5,9,13 D(1,2,2,3 4((2011年湖南怀化)如图X6,4,2，在?ABC中，DE?BC，AD,5，BD,10，AE,3， 则CE的值为( ) A(9B(6 C(3D(4 5(若?ABC??DEF，它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是( ) A(3AB,4DEB(4AC,3DEC(3?A,4?DD(4(AB，BC，AC),3(DE，EF，DF) 17 6(如果?ABC??A′B′C′，BC,3，B′C′,1.8，则?A′B′C′与?ABC的相似比为( ) A(5?3B(3?2C(2?3D(3?5 7(下列说法中:?所有的等腰三角形都相似;?所有的正三角形都相似;?所有的正方形都相似;?所有的矩形都相似(其中说法正确的序号是________________( 8(如果两个相似三角形的相似比是3?5，周长的差为4 cm，那么较小三角形的周长为________cm. 9((2012年湖南株洲)如图X6,4,3，在矩形ABCD中，AB,6，BC,8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O. (1)求证:?COM??CBA; (2)求线段OM的长度( 图X6,4,3 C 10((2011年湖南常德)如图X6,4,4，已知四边形ABCD是平行四边形( (1)求证:?MEF??MBA; (2)若AF，BE分别是?DAB，?CBA的平分线，求证:DF,EC. 11((2011年广西来宾)如图X6,4,5，在?ABC中，?ABC,80?，?BAC,40?，AB的垂直平分线分别与AC， 18 AB交于点D，E. (1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD; (2)证明:?ABC??BDC. 12(已知如图X6,4,6，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是BC的延长线上一点，且BE,CF，BD与AE相交于点G. 求证:(1)?ABE??DCF; (2)CF?AE,BF?GE. B级 中等题 13(如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4和x，那么x的值( ) A(只有1个 B(可以有2个 C(有2个以上但有限 D(有无数个 14(如图X6,4,7，已知在?ABC中，AD,DB，?1,?2.求证:?ABC??EAD. 15(如图X6,4,8，在?ABC中，AB,AC，BD?AC于点D，试证明:BC2,2CD?AC. 16(如图X6,4,9，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于 江边的小路AD，BE，长度分别为3千米和2千米，且两条小路之间的距离 19 为5千米(现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短， 则供水站应建在距E处多远的位置, C级 拔尖题 17((2011年湖南怀化)如图X6,4,10，?ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC上的高，BC,40 cm，AD,30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE 的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD 与HG的交点为M. AMHG(1)求证: ADBC (2)求这个矩形EFGH的周长( 选做题 18((2012年湖南株洲)如图X6,4,11，在?ABC中，?C,90?，BC,5米，AC,12米(点M在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒;同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒( (1)当t为何值时，?AMN,?ANM? (2)当t为何值时，?AMN的面积最大,并求出这个最大值( 图X6,4,11 20 21