抽象代数复习题答案

抽象代数复习题答案 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 2+2;g(x)=+1,则(fg)(x)等于( B ) 1. 设Q是有理数集，规定f(x)= xx 22A. B. xx，，21x，3 22 D. C. xx，，45xx，，3 难易程度:易; 考查章节: 第1课时; 答题时长:30秒 AAgB2. 设是到的单射，是到的单射，则是到的 ( A ) fBgfCC A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 难易程度:易;考查章节: 第1课时; 答题时长:30秒 3. 设 S= {(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，则S中与元素(1 32)不3 3 能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 难易程度:较难; 考查章节: 第20课时;答题时长:90秒 4. 在整数环Z中，可逆元的个数是( B )。 A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 难易程度:较难; 考查章节:第34课时;答题时长:60秒 5. 剩余类环Z的子环有( B )。 10 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 难易程度:难; 考查章节:第35课时;答题时长:2分钟 86. 设G是有限群，a,G, 且a的阶|a|=12, 则G中元素的阶为( B ) a A( 2 B. 3 C. 6 D. 9 难易程度:易; 考查章节:第14课时;答题时长:1分钟 7(设G是有限群，对任意a,b,G，以下结论正确的是( A ) ,1,1,1(ab),ba A. B. b的阶不一定整除G的阶 C. G的单位元不唯一 D. G中消去律不成立 难易程度:较难; 考查章节:第12、13、14课时;答题时长:1.5分钟 8. 设G是循环群，则以下结论不正确的是( A ) ((( A. G的商群不是循环群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群 难易程度:易; 考查章节:第17课时;答题时长:1分钟 ，9. 设集合 A={a,b,c}, 以下AA的子集为等价关系的是( C ) RA. = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} 1 RB. = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} 2 RC. = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} 3 D. = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} R4 难易程度:较难; 考查章节:第3课时;答题时长:1.5分钟 AAgB10. 设是到的满射，是到的满射，则是到的 ( B ) fBgfCC A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 难易程度:易; 考查章节:第1课时;答题时长:0.5分钟 11. 设 S= {(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，则S中与元素(1 2)能3 3交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 难易程度:较难; 考查章节: 第20课时;答题时长:90秒 Z12. 在剩余类环中，其可逆元的个数是( D )。 8 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 难易程度:较难; 考查章节: 第34课时;答题时长:90秒 13. 设(R，+，?)是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R的零元惟一 B. 若，则 xa,,xa，,0 aR, C. 对，的负元不惟一 D. 若，则 aabac，,，bc, 难易程度:易; 考查章节: 第31课时;答题时长:60秒 3214. 设G是群，a,G, 且a的阶|a|=12, 则G中元素的阶为( B ) a A( 2 B. 3 C. 6 D. 9 难易程度:易; 考查章节:第14课时;答题时长:1分钟 15(设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是( A ) , A. B. |b| = ? ||||aG C. G的单位元不唯一 D. 方程在G中无解 axb, 难易程度:易; 考查章节:第12、13、14课时;答题时长:1分钟 16. 设G是交换群，则以下结论正确的是( B ) (( A. G的商群不是交换群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是循环群 D. G的任何子群都是循环群 难易程度:易; 考查章节:第11、26、27课时;答题时长:1分钟 2,,,17. 设A={1，-1, i，-i}，B = {1, -1}, : A?B, , a?A，则是从A到a!a B的( A )。 A. 满射而非单射 B. 单射而非满射 C. 一一映射 D. 既非单射也非满射 难易程度:较难; 考查章节:第2课时;答题时长:1分钟 ，a18.设A=R(实数域)， B=(正实数集)， ,:a?， a?A，则, 是从A到B的R10 ( C )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 难易程度:较难; 考查章节:第2课时;答题时长:1.5分钟 19.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是( C )。 A.x?10x B.x?2x C.x?|x| D.x?-x 难易程度:较难; 考查章节:第15课时;答题时长:1.5分钟 20. 数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C ) A. 构成一个交换群 B. 构成一个循环群 C. 构成一个群 D. 构成一个交换环 难易程度:较难; 考查章节:第9、31课时; 答题时间:1.5分钟 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为( D ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 难易程度:较难; 考查章节:第32、34课时; 答题时间:2分钟 22 . 剩余类加群Z的子群有( B )。 8 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 难易程度:易;考查章节:第18课时; 答题时间:30秒 23. 下列含有零因子的环是 ( B ) A. 高斯整数环Z[i] B.数域P上的n阶全矩阵环 ZC. 偶数环 2Z D. 剩余类环 5 难易程度:较难;考查章节:第34课时; 答题时间:1.5分钟 24( 设(R,+,?)是一个环，则下列结论正确的是( D ) A. R中的每个元素都可逆 B. R的子环一定是理想 C. R一定含有单位元 D. R的理想一定是子环 难易程度:较难;考查章节:第31、33、36课时; 答题时间:1.5分钟 25(设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为( A ) A( 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 难易程度: 易;考查章节:第18课时; 答题时间:1分钟 26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A到集合B的满射的个数为 ( D )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 难易程度: 较难;考查章节:第2课时; 答题时间:1.5分钟 27. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A的分类的是 ( C ) A. P = { {a, b},{a, c}} B. P = {{a},{b, c},{b,a}} 12 PPC. = {{a},{b,c}} D. = {{a,b},{b,c},{c}} 34 难易程度: 易;考查章节:第4课时; 答题时间:0.5分钟 ,,a0,,,,abZ,,28. 设R = ，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是,,,,0b,,,,,, ( A )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环 难易程度: 较难;考查章节:第33课时; 答题时间:1.5分钟 29. 设S={(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2)}，则S的子群的个数是( D )。 33 A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 难易程度: 难;考查章节:第9、21、22课时; 答题时间:2分钟 30. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。 i,iA. 0 B. 1 C. D. 难易程度: 易;考查章节:第31、33课时; 答题时间:0.5分钟 31.. 设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是 ( B )。 A. 任意两个子群的乘积还是子群 B. 任意两个子群的交还是子群 C. 任意两个子群的并还是子群 D. 任意子群一定是正规子群 难易程度: 较难;考查章节:第16、26课时; 答题时间:1.5分钟 32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 难易程度: 易;考查章节:第17、18课时; 答题时间:0.5分钟 33. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}, 则从集合A到集合B的映射有( D )。 A. 1 B. 6 C. 18 D. 27 难易程度: 易;考查章节:第1、2课时; 答题时间:0.5分钟 ，，G,,34. 设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的G,:a,b,a，b，kkG ，，G,,常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是( D ) ex ,(x，2k)A.0和,x; B.1和0; C.和; D.和} kx,2k,k 难易程度: 较难;考查章节:第9、10、11课时; 答题时间:0.5分钟 2,1xa,bxc,acx,xaca,b,cxx,35. 设和都是群中的元素，且，那么( A ) G ,1,1,1,1,1,1,1A.; B.; C.; D.。 bcaabcbcaca 难易程度: 难;考查章节:第12课时; 答题时间:2分钟 36. 下列正确的命题是( A ) A.欧氏环一定是唯一分解环; B.主理想环必是欧氏环; C.唯一分解环必是主理想环; D.唯一分解环必是欧氏环。 难易程度: 较难;考查章节:第43、44课时; 答题时间:1.5分钟 H,,37(设是群的子群，且有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果6，那么的|H|,GGG阶( B ) G, A.6; B.24; C.10; D.12。 难易程度: 易;考查章节:第23、24、25课时; 答题时间:1分钟 38. 设G是有限群，则以下结论正确的是( A ) (( A. G的子群的阶整除G的阶 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群 难易程度:较难; 考查章节:24、25、26课时; 答题时间:1分钟 f:G,G39(设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是( D ) 12 GGGA.的同态核是的正规子群; B.的正规子群的原象是的正规子群; f121 GGGGC.的子群的象是的子群; D.的正规子群的象是的正规子群。 1212 难易程度: 较难;考查章节:第26、29、30课时; 答题时间:1.5分钟 40. 关于半群，下列说法正确的是:( A ) A. 半群可以有无穷多个右单位元 B. 半群一定有一个右单位元 C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元 D. 半群一定至少有一个左单位元 难易程度: 易;考查章节:第9课时; 答题时间:1分钟 二、填空题(每空3分) m1. 设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有 ( n )个. 考查章节:第1、2课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 S2. n次对称群的阶是( n～ ). n 考查章节:第19、20课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 3.一个有限非交换群至少含有( 6 )个元素. 考查章节:第20课时; 难易程度: 难; 答题时间: 2分钟 4.设G是p阶群，(p是素数)，则G的生成元有( p,1　　　)　个. 考查章节:第16、17课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 5.除环的理想共有( 2 )个. 考查章节:第34、37课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 6.剩余类环Z的子环S={,0,,,2,,,4,}，则S的单位元是( ,4, ). 6 考查章节:第34、37课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 27.在 i+3, , e-3中，( )是有理数域Q上的代数元. ,i，3 考查章节:第49、50课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 28. 在有理数域Q上的极小多项式是( ). 2x,2 考查章节:第50、51课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 9. 设集合A ={a,b}， B={1,2,3}，则AB=() ，{(a,1)(,b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.考查章节:第1、2课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 10. 设R是交换环，则主理想=( ) Ra,{ra，ma| r,R,m,Z}.(a) 考查章节:第37、38、39课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 ,1,,(1345).11(设 则 ,,(5431), 考查章节:第20、21课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 12 . 设F是9阶有限域，则F的特征是( 3 ). 考查章节:第47、48课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1分钟 13(设是两个循环置换，则(()) ,,(351),,,(2154),,,13421221 考查章节:第20、21课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1分钟 14 . 设F是125阶有限整环，则F的特征是 ( 5 ). 考查章节:第47、48课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1分钟 AA，15. 设集合A含有3个元素，则的元素共有( 9 )个. 考查章节:第1、2课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 16. 设群G的阶是 2n,子群H是G的正规子群，其阶是n, 则G关于H的商群所含元素的个数是( 2 ). 考查章节:第25、27、28课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟. ,1,1,1 (ab)17.设a、b是群G的两个元，则 =( ). ba 考查章节:第13课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 Z18. 环的可逆元是( [1],[3],[7],[9]). 10 考查章节:第34、35课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 19. 欧式环与主理想环的关系是(主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环). 考查章节:第34、44课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 ,1AA,,，，ffa,(a)A20(如果是与间的一一映射，是的一个元，则。 fa 考查章节:第1、2课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 n21.设群中元素a的阶为m，如果，那么m与n存在整除关系为(m整除n)。 a,eG 考查章节:第13、14课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 ,1,,((52413)).22(设,,(31425)是一个5-循环置换，那么。 考查章节:第20、21课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 23(有限群G的阶是素数p，则G是( 循环 )群。 考查章节:第18课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1分钟 RII24(若是有单位元的环的由a生成的主理想，那么中的元素可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达为 {有限和xay|x,y,R}()。 ,iiiii 考查章节:第38、39课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 (Z,,)25(群的子群有( 6 )个。 12 考查章节:第17、18课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 26(由凯莱定理，任一个抽象群都同一个( 群的变换群 )同构。 GG 考查章节:第22课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 27(设A、B分别是m、n个元组成的集合，则=( )。 mn|A，B| 考查章节:第1、2课时; 难易程度: 易; 答题时间: 3分钟 28(设A={a,b,c}，则可定义A的( 5 )个不同的等价关系。A的分类 M={{a,c},{b}}确定的等价关系是R)。 ,({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}考查章节:第3、4课时; 难易程度: 难; 答题时间: 3分钟 29. 设G是6阶循环群，则G的生成元有( 2 )个。 考查章节:第17、18课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 30. 非零复数乘群C*中由-i生成的子群是( )。 {i,,i,1,,1} 31. 剩余类环Z的零因子个数等于( 0 )。 7 考查章节:第34、35课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 32. 素数阶有限群G的子群个数等于( 2 )。 考查章节:第16、17课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 33. 剩余类环Z的子环S={,0,,,3,},则S的单位元是( )。 [3]6 考查章节:第34、37课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1.5分钟 34(群:G~~，e是G的单位元，则是(的单位元 )。 ,,(e)GG 考查章节:第15、30课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 35. 复数域的特征是( 0 ). 考查章节:第46课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 (Z,，,,)36. 在剩余类环中， =( ). [6],[7][6]12 考查章节:第32、33课时; 难易程度: 易; 答题时间: 1分钟 S37. 在3-次对称群中 ， 元素的阶为:( 3 ). (123)3 考查章节:第14、21课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 ZZf:Z,Z,n,[n]38. 设和分别表示整数环和模剩余类环， 则环同态的同态核mmm为( ) mZ,{mr|r,Z} 考查章节:第36课时; 难易程度: 较难; 答题时间: 1分钟 33239. 在有理数域上的极小多项式为( ) x,2 考查章节:第49、50课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 40. 无限循环群一定和( 整数加群(Z,，) )同构. 18课时; 难易程度: 易; 答题时间: 0.5分钟 考查章节:第17、 三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“?”，错误的请打 ，“”，每小题3分) ，1. 设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。( ) 考查章节:第12课时 难易程度:较难 2. 群的有限子集(非空)构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运 算之下，仍在该非空子集之中。 ( ? ) 考查章节:第13、14课时 难易程度:易 x3. 设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 f: G?G是一个映射，且f(x) =7, xG. 则f是G到G的同态映射。( ) ,， 考查章节:第15课时 难易程度:较难 4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。( ) ， 考查章节:34、35课时 难易程度:易 5. 设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。( ? ) 考查章节:第27、28课时 难易程度:易 Z6. 设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群 。 ( ? ) n 考查章节:第16、17、18课时 难易程度:易 ,7. 设是群同态，则将G的单位元不一定映射为的单位元。( ) G，,:GG, 考查章节:第15课时 难易程度:易 AB，8. 设R是环，A，B是R的任意两个理想，则也是环R的理想。( ? ) 考查章节:第37、38课时 难易程度:易 9. 域的特征可以为任何自然数. ( ) ，考查章节: 第46课时 难易程度: 易 10. 群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群. (? ) 考查章节:第27、28课时 难易程度: 较难 AS11. 4次交错群在4次对称群中的指数为4. ( ， ) 44 考查章节: 第25、26课时 难易程度:较难 12. 复数域是实数域的单代数扩张。 ( ? ) 考查章节: 第49、50课时 难易程度:易 13. 除环一定是域. ( ， ) 考查章节: 第34、35课时 难易程度:易 S14.3-次对称群的中心是(1). ( ? ) 3 考查章节: 第12、21课时 难易程度:难 15. 整数环的商域是有理数域. ( ? ) 考查章节: 第42、43课时 难易程度: 较难 16. 无限循环群和整数加群同构. ( ? ) 考查章节: 第18课时 难易程度: 易 217. 多项式 在有理数域上可约。 ( ) ，x,3 考查章节: 第49、50课时 难易程度: 较难 pppF(a，b),a，b,,a,b,F.p18. 在特征为的域中始终有 ( ? ) 考查章节: 第46课时 难易程度: 易 19. 高斯整数环是唯一分解环. ( ? ) Z[i] 考查章节: 第44、45课时 难易程度: 较难 20(有限集合到有限集合的单射不一定是满射。 ( ) ，考查章节: 第1、2课时 难易程度: 较难 21. 有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。 ( ? ) 考查章节: 第25、26课时 难易程度: 易 22. 设,:G,G是群G到群G的同态， 则同态核是G的正规子群. Ker(,)12121 ( ? ) 考查章节: 第30、31课时 难易程度: 较难 23.素数阶群不一定是循环群。 ( ) ，考查章节: 第17、18课时 难易程度: 易 p24.设为整数环，为素数， 则是的极大理想。 ( ? ) (Z,，,,)(pZ,，,,)(Z,，,,) 考查章节: 第43课时 难易程度: 较难 四、证明题 T1. 设为有理数域，设， 则按数的乘法和加法构成一个域.QT,{a，b2|a,b,Q} (6分) T证明: 非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而 ,1T且这样我们就得关于加法、乘法构成实数域的,0,a，b2,T,(a，b2),T, T一个子域.，因此按数的乘法和加法构成一个域.。 考查章节:47、48课时; 难易程度:较难; 答题时间: 6分钟 F2. 设E是的扩域，且(E:F)=1，则E=F. (6分) E,F证明:用反证法:若， 则存在x,E,x,F， 这样(E:F),2， 矛盾～ 考查章节:48课时; 难易程度:较难; 答题时间: 6分钟 3. 证明:交换群的商群是交换群.(8分) G证明:设G为交换群， 且，则 G关于正规子群H的商群，且对 H,GH GaH,bH,,任意有, H (aH)(bH),(ab)H,(ba)H,(bH)(aH) 故是交换群. GH 考查章节:28、29课时; 难易程度:易; 答题时间: 6分钟 4. 设，“?”是数的乘法，证明:(A，?),(B，?)。(这里“,”A,{1,,1,i,,i},B,{1,,1} 表示(A，?)与(B，?)是满同态)(8分) 证明:构造映射:，则容易验证f 是f:A,B,1!1,,1!1,i!,1,,i!,1(A,,)到(B,,)的同态映射. 考查章节:15课时; 难易程度:较难; 答题时间: 8分钟 ,a0,,,2，2R,,,5. 证明:设G=， 则关于矩阵乘法构成()的子半群.(6分) ,|a,RG,,,,00,,,, a0b0a0b0ab0,,,,,,,,,,证明:对任意的， 故由子半群的,,,,,,,,,,,,G,,,G,,,,,,,,,,0000000000,,,,,,,,,, 2，2R,,判定知，关于矩阵乘法构成()的子半群，得证. G 考查章节:第9、10课时; 难易程度:易; 答题时间: 5分钟 ,16. 设a是群G的任一元素，若的阶|a|=2，求证: .(6分) aaa, 2,1a,e,证明:由题设我们知道: 对这个式子的两边同时乘以得 a ,12,1,1,1aa,ae,,(aa)a,a ,1利用群G中逆元和单位元的性质，即得，. a,a 考查章节:第13、14 课时; 难易程度:易; 答题时间: 5分钟 ,1，3i23,,1,,,,Z7. 设ε=，即=1，G=，证明:有如下的群同构:(，)?(G，?)，,,1,32 2这里σ([0])=1，σ([1])=ε，σ([2])=。(8分) , 证明:容易验证下述映射 2,: Z,G,[0]!1,[1]!,,[2]!,3 是双射，且,保持运算， 即: ,([i][j]),,([i]),([j]),,[i],[j],Z. 3 Z由同构映射的定义，即得(，)?(G，?). ,3 考查章节:第15 课时; 难易程度:较难; 答题时间: 6分钟 ×228. 设G是R中所有可逆矩阵组成的集合， (i). 证明G关于矩阵的乘法成群。(6分) 0 1,,(ii). 的阶是多少,(4分) ,,,,-1 0,, 1 1,,(iii). 的阶是多少,(4分) ,,,,0 1,, (iv). 证明G不是交换群.(6分) 解:(i)注意到由线性代数知识有:方阵可逆当且仅当它的行列式不为零， 而且两个方 ,1,A,B,G,A,G,AB,G阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积， 由此, 故G关于矩阵的乘法成群. 0 110,,,,(ii). 注意到此时群的单位元是:，经过简单计算，我们可知,, 的阶是3. ,,G,,,,01-1 0,,,, 1 1,,(iii). 的阶是. ,,,,,0 1,, 01111101,,,,,,,,,,,,,,,,(iv). 通过简单计算，得， 故G是非交换群。 ,,,,,,,,,,100101,10,,,,,,,, 考查章节:第17、18 课时; 难易程度:较难; 答题时间: 15分钟 解答题: 1. 设Q是有理数集，“+”是数的加法，找(Q，+)的所有不同的自同构映射。(8 分) f:Q,Q,a!ax,对,a,Q,解:对任意x,Q， 定义 则集合x {f|x,Q,但x,0}为(Q,，)的所有自同构映射. x 考查章节:第7、8课时; 难易程度:较难; 答题时间: ,分钟 1 01 01 0,,,,,,,,,,A,A,？,AA,(设G = ，其中= ,,,AA,,128123,,,,,,0 10 -10 1,,,,,, 1 0 0, 0 0, 0iiii,,,,,,,,,,AA,,,,,,,,,,= = ,,,,,,AAA47568,,,,,,,,,,0 -10 i0 -i0 -i0 i,,,,,,,,,,列出G的乘法(矩阵乘法)运算表。 解:运算表如下: AAAAAA A A? 35687241 AAAAAA A AA 356872411 AAAAAA A AA 365871422 AA AAAAAA A 338665742 AAAAA A A AA 385672144 AA AAAAAAA 556837214 AA AAAAAAA 665837124 AA AAAAAAA 778653421 AA AAAAAAA 885637412考查章节:第7、8课时; 难易程度:较难; 答题时间: ,分钟 S,((,)写出,,次对称群的所有元素;(,分) 3 S (,) 求出中所有元素的阶;(,分) 3 S (,)求出中所有元素的逆元.(,分) 3 解: 111,3,23232,,,,S,(,)的全部元素为: ，, ， ，,,,,,,,,,,3102,,,,,,112333221,,,,,,1112,32323,,,,, ， ，, ( ,,,,,,,,,,,345,,,,,,233312112,,,,,, ,||,,||,|,|,2,|,|,|,|,3,|,|,1.(,)各元素的阶为: 124350 ,,,,,,,,,,,, (,) ， ， ，，，的逆元分别为:，，，，，( 330505124124考查章节:第,,、,,、,,课时; 难易程度:较难; 答题时间:,,分钟 Z ,(找出中的所有零因子((,分) 12 解:[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]为所有的零因子( 考查章节:第,,、,,课时; 难易程度:易; 答题时间:,分钟 33,( 在有理数域的扩域Q()中，求1+的逆。(,,分) 22 33解:由于在Q上的最小多项式是p(x)= -2，因此由定理4.3.3，得到 2,,x 332 Q(2),{a，a2，a4a,a,a,Q}012012 33333(2)(2)(2)由于1+在Q的逆元仍然是Q中的元素，故可设1+在Q的逆元为2233a，a2，a4,则 012 333a，a2，a4(1+)()=1 2012 333(2)将p()= -2=0代于上式，并经过简单计算，得到 2 111,1 333(12)，4, 2，= 333 考查章节:第,,、,,课时; 难易程度:难; 答题时间:,,分钟 HZZ,( 设?，写出关于陪集分解式。(,分) H,{[0],[3],[6],[9]}1212 Z解:关于H的陪集分解式为 12 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Z03691471025811 = 12 考查章节:第,,、,,课时; 难易程度:易; 答题时间:,,分钟 Z,( 列出整数模6剩余类环 中元素的加法和乘法运算表.(,,分) 6 Z 解:= {[0] [1] [2] [3] [4] [5]} 6 Z 中元素的加法和乘法运算表如下: 6 [0] [1] [2] [3] [4] [5] + [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [0] [1] [2] [3] [4] ， [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [0] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1] 考查章节:第,,、,,课时; 难易程度:较难; 答题时间:,,分钟 ,( 写出中每个元所含整数。(,分) Z4 解 [0]{4|},[1]{41|},[2]{42|},[3]{43|},,,，,,，,,，,qqZqqZqqZqqZ 考查章节:第,、,课时; 难易程度:易; 答题时间:,分钟 S,(在中，计算(1 2)(2 3)与(2 3)(1 2)。(,分) 3 解: (1 2)(2 3) = (1 2 3)， (2 3)(1 2) = (1 3 2)。 考查章节:第,,、,,课时; 难易程度:易; 答题时间:,分钟 S,,(求出的所有正规子群。(,,分) 3 H,{(1)},H,A,{(1),(123),(132)},H,SS解: 的所有正规子群为:( 123333 考查章节:第,,、,,、,,、,,课时; 难易程度:较难; 答题时间:,,分钟 ,,1,2,,(设A=，写出A的所有双变换的集合G，关于变换的乘法列出G的运算表。(, ,分) 解:所有双变换为:， 则， 其运算表如下: f:1!1,2!2,g:1!2,2!1G,{f,g} ? f g f f g g g f 考查章节:第,,、,,课时; 难易程度:易; 答题时间:,分钟 Z,,(求模8的剩余类环的所有子环。(,分) 8 ZZ解:的所有子环为:;{[0]};{[0],[4]};{[0]，[2]，[4]，[6]}( 88 考查章节:第,,课时; 难易程度:较难; 答题时间:,分钟