向量与向量的线性运算
一、 知识清单
1.向量的定义
既有 又有 的量叫做向量.
2.向量的模
向量的大小,也就是向量的长度,记作 ;
3.共线向量的定义: ;
4.相等向量 ;相反向量 ;
5.向量的加法
向量的减法:同起点
, , ,
6.实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量,记作 ;长度与方向规定如下:
⑴ ;
⑵,与的方向 ;,与的方向 ;
, ;
7.向量与非零向量共线的充要条件是 ;
8.平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内任一向量,有且只有一对实数,使得 ;叫做表示这一平面内所有向量的一组 .
二 、典型例题
1、向量的基本概念
例1、判断下列说法是否正确,不正确的说明理由.
若向量与同向,且,则;
若向量,则与的长度相等且方向相同或相反;
对于任意向量若且与的方向相同,则;
由于零向量方向不确定,故不能与任意向量平行;
向量,则向量与方向相同或相反;
向量与是共线向量,则四点共线;
起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
若,且,则
变式训练:
1、下列说法不正确的是 ( )
A 零向量是没有方向的向量 B 零向量与任一向量共线
C 零向量只能与零向量相等 D 零向量的方向是任意的
2、设b是a的相反向量,则下列说法错误的是( )
A.a与b的长度必相等 B.
C.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量
3、下列说法正确的是 ( )
A、若,则 B、若,则
C、若,则 D、若,则或
2、向量的线性运算
例2、若,则 ( )
A、 B、 C、 D、
例3、在平行四边形中,下列结论中错误的是 ( )
例4、如图, 的两条对角线相交于点,且,,用、表示、、和.
变式训练:
1、下列各式:(1)(2)(3)(4),其中正确的个数为 ( )
A、个 B、个 C、个 D、个
2、 ( )
A、 B、 C、 D、
3、如图,在四边形ABCD中,设 ,则 等于( )
A. B.C. D.
4、 可以写成:① ;② ;③ ;④ ,其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
3、平面向量共线定理与基本定理
例5、 判断下列各题中的向量是否共线:
(1),;
(2),,且,不共线.
例6、已知梯形中,,,分别是、的中点,若,,用,表示、、.
变式训练:
1、设是两个不共线的向量,已知,,,若,,三点共线,求的值。
2、设是不共线的向量,与共线,则实数的值是
3、在平行四边形中,,为的中点,则_______(用表示)
4、相关应用
例7、 平行四边形ABCD点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=1/3BD。求证:M,N,C三点共线。
例8、设、不共线,点P在AB上,求证:=λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R.
变式训练:
1、如图所示,D、E是△ABC中AB、AC边的中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、和.
2、如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,
则的值为
三、归纳小结
1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.
2.共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础.
3.对于两个向量平行的充要条件:
a∥ba=λb,只有b≠0才是正确的.而当b=0时,a∥b是a=λb的必要不充分条件.
4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系,从而可用“数”来证明“形”的问题.
5.注意培养观察、分析、归纳、抽象的思维能力.
三 家庭作业
1、是平面内的所有向量的一组基底,若,则.
2、非零向量不共线,,则.
3、已知向量,,,且三点共线,则.
4、若,且,则四边形的形状是 .
5、在中,、分别为的中点,,,用表示.
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