高等数学复旦大学出版社习题答案九

高等数学复旦大学出版社习题答案九 习题九 1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程: π(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点; t,4222(2)x+y+z=6,x+y+z=0,点M(1,-2,1); 022(3)y=2mx,z=m-x,点M(x,y,z). 0000 ,,,解: xattybtzctt,,,,2sincos,cos2,2cossin π曲线在点的切t,向量为 4 ,,πππ,,,,,,,,, Txyz,,,,,,ac,0,,,,,,,,,,,,,,,,444,, abcπt,当xyz,,,,,时， 4222切线方程为 abcxyz,,,222. ,,ac0,法平面方程为 abc,,,,,,ac，，,,0()0. xyz,,,,,,,,,,,,,,,222 22acaxcz,,，,0即 . 22(2)联立方程组 222,xyz，，,6 ,xyz，，,0, 方程组两边对x求导，得 它确定了函数y=y(x),z=z(x)， ddyz,2220xyz，,，,,,,ddxx ,ddyz,10，，,,ddxx, ddyzxzxy,,解得 ,,,, ddxyzxyz,, 194 ddyz在点M(1，-2，1)处， ,,,0,1 0ddxxMM00 所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为 xyz,，,121 ,,101,法平面方程为 1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0 即x-z=0. 22(3)将方程y=2mx,z=m-x两边分别对x求导，得 ddyz 22,21ymz,,, ddxx dd1ymz于是 ,,,, dd2xyxz m1,,1,,,曲线在点(x,y,z)处的切向量为,故切线方程为 000,,yz200,, xxyyzz,,,000 ,,,m11,yz200法平面方程为 m1. ()()()0xxyyzz,，,,,,000yz200 t2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L:x = t-sint, y=1-cost, z = 4sin在相应点的切线垂直于平面2 ，并求相应的切线和法平面方程。 xyz，，,20 t,,,xtytz,,,,1cos,sin,2cos解:, 2 ,,t在t处切向量为, T,1cos,sin,2cos,tt,,2 , n,已知平面的法向量为. ,,1,1,2 t2cos,,,1cossin,tt2,,nT且?,故 112 ,,ππ,,t,T,解得，相应点的坐标为,1,1,22.且 ,,1,1,2,,2,,2 195 故切线方程为 πx,，1yz,,1222 ,,.112法平面方程为 π xyz,，，,，,,112(22)02 π,,xyz，，,,20即 . 4，,,,,23. 证明:螺旋线x = acost, y = asint, z = bt的切线与z轴形成定角。 ,,,证明: xatyatzb,,,,sin,cos,. 螺旋线的切向量为 ,, . Tatatb,,{sin,cos,}与z轴同向的单位向量为 , k,{0,0,1}两向量的夹角余弦为 bb cos.,,,22222(sin)(cos),，，，atatbab 为一定值。 故螺旋线的切线与z轴形成定角。 4. 指出曲面z = xy上何处的法线垂直于平‎‎面x-2y+z =6,并求出该点的法线方程与切平面方 程。 解:z=y, z=x. xy ,, 曲面法向量为. n,yx,,1,,,1 ,,, 已知平面法向量为. n,,,1,2,1,2 ,,,,,yx,,,1且?，故有 nn1212, 解得x=2,y=-1,此时，z=-2. 即(2,-1,-2)处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为 xyz,，，212,,. ,,121 切平面方程为 -1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0 即 x-2y+z-2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程: 196 22(1)z = x+y,点M(1,2,5); 0 yπ(2)z = arctan,点M(1,1,); 0x4 zz,,,,2,4. 解:(1)2y 2xyxmmm0m000 故曲面在点M(1,2,5)的切平面方程为 0 z -5=2(x-1)+4(y-2). 即 2x+4y-z=5. 法线方程为 xyz,,,125 ,,241, yx11z,(2) z,,,,,,. yx2222mm00xyxy，，22mm00 π故曲面在点M(1,1,)的切平面方程为 04 π11z-=- (x-1)+(y-1). 422法线方程为 πz,xy,,114. ,,11,1,22 6. 证明:曲面xyz = a3上任一点的切平面与坐‎‎标面围成的四面体体积一定。 3证明:设 F(x,y,z)=xyz-a. 因为 F=yz,F=xz,F=xy, xyz 所以曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面方程为 0000 yz(x-x)+xz(y-y)+xy(z-z)=0. 000000000切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y,3z.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐00标面围成的四面体的体积为 11191，，33Vzxyzaa,,,,，,32727. 33xy,000000,,3662，，2 它为一定值。 22,7.解:平面与曲面在的切平面的法向量为 (1,2,5),zxy,， , nxy,,,,,2,2,12,4,1 ,,,,00 , 从而平面的方程为:2450xyz,,,, 197 ,,, ijk,,,, l 又的方向向量为 sijak,,,，，,110(1) 11a, ,, a,,5 由求得 ns,,0 l 在上取一点，不妨取求得 x,1ybzb,,，,，(1).53000 ,b,,2 由于在平面上，代入平面方程中可求得. (,,)xyz000 πππ238. 求函数u=xy+z-xyz在点(1，1,2)处沿方向角为的方向导数。 ,,,,,,,,343 ,u,u,,uu解: ,，，coscoscos,,,,y,l,,xz(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2) πππ22 ,，，,coscoscos5.(2)xyxz,()(3)yyzzxy,,(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)343 9. 求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点A(5,1,2)到B(9，4，14)的方向导数。 ,,,,,,,,解: AB,,{4,3,12},13. AB ,,,, 的方向余弦为 AB 4312,,,,,, cos,cos,cos131313 ,u,,yz2(5,1,2)(5,1,2),x ,u,,xz10 (5,1,2)(5,1,2),y ,u,,xy5(5,1,2)(5,1,2),z ,u431298,，，，，，,2105.故 ,l13131313 2222xyab,,,,xy，,1,10. 求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的z,,1，,,,,2222ab22ab,,,,方向导数。 解:设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为 222xybx,, ，,,,yy0, 222abay ab,,,所以在点处切线斜率为 ,,22,, 198 a2,bb2ab,,, .y,,,,,,,b22,,a2a, 2 a法线斜率为. cos,,b ba于是 tan,sin,,,,,, 2222abab，， ,,zz22? ,,,,xy,, 22,,xayb ba,,,,,221zab22ab,,,,? ,,,,,,,，2().ab,,,,,22,,222222,,,labab22，，abab,,,, 11.研究下列函数的极值: 33222x2(1) z = x+y,3(x+y); (2) z = e(x+y+2y); 222222,，()xy(3) z = (6x,x)(4y,y); (4) z = (x+y); e (5) z = xy(a,x,y),a?0. 2,zxx,,,360,x解:(1)解方程组 ,2zyy,,,360,y, 得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2). z=6x,6, z=0, z=6y,6 xxxyyy2在点(0，0)处，A=,6，B=0，C=-6，B,AC=,36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 2在点(0，2)处，A=,6，B=0，C=6，B,AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 2在点(2，0)处，A=6，B=0，C=,6，B,AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 2在点(2，2)处，A=6，B=0，C=6，B,AC=,36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. 22x,zxyy,，，，,e(2241)0,x(2)解方程组 ,2xzy,，,2e(1)0,y, 1,,得驻点为,1,. ,,,,2 22xzxyy,，，，4e(21)xx 2x zy,，4e(1)xy 2xz,2eyy e11,,,,22z,,,1,,1,在点处,A=2e,B=0,C=2e,B-AC=-4e<0,又A>0,所以函数有极小值. ,,,,2,,2,,2 199 2,zxyy,,,,(62)(4)0,x(3) 解方程组 ,2zxxy,,,,(6)(42)0,y, 得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). 2 Z=,2(4y-y), xx Z=4(3,x)(2,y) xy2) Z=,2(6x,xyy2在点(3，2)处，A=,8，B=0，C=,18，B,AC=,8×18<0,且A<0，所以函数有极大值 z(3,2)=36. 2在点(0，0)处，A=0，B=24，C=0，B,AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 2在点(0，4)处，A=0，B=-24，C=0，B,AC>0，所以(0,4)不是极值点. 2在点(6，0)处，A=0，B=-24，C=0，B,AC>0，所以(6,0)不是极值点. 2在点(6，4)处，A=0，B=24，C=0，B,AC>0，所以(6,4)不是极值点. 22,，()22xy,2e(1)0xxy,,,,(4)解方程组 ,22,，()22xy2e(1)0yxy,,,,, 22得驻点P(0,0),及P(x,y),其中x+y=1， 00000 在点P0处有z=0，而当(x,y)?(0,0)时，恒有z>0， 故函数z在点P0处取得极小值z=0. -u 再讨论函数z=ue dzdz,u,,,0由，令得u=1, e(1)ududu dzdz,0,0当u>1时，;当u<1时，, dudu22222由此可知，在满足x02+y=1的点(x,y)的邻域内，不论是x+y>1或x+y<1,均有 000 2222()1,，,xy. zxy,，,()ee -1故函数z在点(x,y)取得极大值z=e 00 zyaxy,,,,(2)0,x(5)解方程组 ,zxayx,,,,(2)0,y, aa,,得驻点为 PP(0,0),,,,1233,, z=-2y, z=a-2x-2y, z=-2x. xxxyyy ,,,222yaxy，，故z的黑塞矩阵为 H,,,axyx,,,222，， 2aa，，,,,,0a，，33HPHP(),().,, 于是 ,,12,,aaa02，，,,,,,,33，， 易知H(P)不定，故P1不是z的极值点， 1 200 3aaa,,H(P)当a<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且, z,,2,,2733,, 3aaa,,H(P)当a>0时负定，故此时P2是z的极大值点，且. z,,2,,2733,, 22212. 设2x+2y+z+8xz-z+8=0，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。 解:由已知方程分别对x,y求导，解得 ,,,,,zxzzy484 ,,,,，,,，,xzxyzx281281 x,,zz令解得yz,,,0,, ,,0,0,2,,xy 16将它们代入原方程，解得. xx,,,2,7 16,,从而得驻点. (2,0),,,0,,7,, ,,zz,,,,(281)(48)zxxz，,，，,,，48282,,,,,z,,xx,,,,,22,，,xzx(281) ,z,,4y28，2,,,z,x,,,, 2,,，，xyzx(281) ,z,，,,4(281)8zx2,z,y,.22,，,yzx(281) 442ZABC,,,,1,,0,,在点(-2，0)处，B-AC<0，因此函数有极小值z=1. 1515 82828816,,2ZABC,,,,,,,,,0,,z,,在点处，B-AC<0，函数有极大值. ,0,,710510577,, 16=0三直线距离的平方之和为最小。 13. 在平面xOy上求一点，使它到x=0, y=0及x+2y-解:设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距 离为 xyxy，,，,216216 ,.22512， 距离的平方和为 1222zxyxy,，，，,(216) 5 201 ,z2,,，，,,2(216)0xxy,,x5,由 ,,z4,,，，,,2(216)0yxy,y5,, 816816,,,,得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。 ,,,,,,5555,,,, 214. 求旋转抛物面z = x+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。 2(1)xyz，,,解:设P(x,y,z)为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为,即求d,3 2(1)xyz，,,222其在条件z= x+y2下的最值。设F(x,y,z)= ,，,,()zxy3 2(1)xyz，,,,,Fx,,,20x,3,2(1)xyz，,,,Fy,,,20,,y解方程组 3, ,,，,,2(1)xyzF,，,0,z,3,22,zxy,，, 1xyz,,,得 2 1 32d,,.故所求最短距离为 63 215. 抛物面z = x+y2被平面x+y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 解:设椭圆上的点为P(x,y,z)，则 2222|OP|=x+y+z. 因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为 22z=x+y， x+y+z=1 22222设F(x,y,z)= x+y+z+λ(z-x-y)+λ(x+y+z-1) 12 Fxx,,，,220,,,x12,Fyy,,，,220,,y12,,解方程组 Fz,，，,20,,,z12 ,22zxy,，, ,xyz，，,1, ,,13得 xyz,,,,23 ,2 202 由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且 2,,2,,13222. ,，，,，,xyz2953,，，OP23,,,,,2所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是. 953，953,16. 在第I卦限内作椭球面 222xyz ，，,1222abc的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。 222xyz解:令 Fxyz(,,)1,，，,222abc 222xyz? FFF,,,,,,xyz222abc ?椭球面上任一点的切平面方程为 Pxyz(,,)0000 222xyz000 ()()()0.xxyyzz,，,，,,000222abc xxyyzz000，，,1.即 222abc 222abc切平面在三个坐标轴上的截距分别为，因此切平面与三个坐标面所围的四面体,,xyz000 的体积为 2222221abcabc V,,,,,66xyzxyz000000 222222xyzabc，，,1即求在约束条V,件下的最小值，也即求xyz的最大值问题。 222abc6xyz 222,,xyz设 , (,,)xyzxyz,,,，1，，,,,222abc,, 2,x,,,，,yz0,x2,a,2x,,xz0,,,，,y2,b解方程组 ,2x,,,,，,xy0,z2,c ,222xyz,，，,1.222abc, 203 abc得. xyz,,,,, 333 abc,,故切点为，此时最小体积为 ,,,,333,, 222abc3 Vabc,,.abc26,,, 333*17. 设空间有n个点，坐标为,试在xOy面上找一点，使此点与这(,,)(1,2,,)xyzin,？iiin个点的距离的平方和最小。 解:设所求点为P(x,y,0)，则此点与n个点的距离的平方和为 222222Sxxyyzxxyyz,,，,，，,，,，，()()()()？111222 222 ，,，,，()()xxyyznnn 22,,，，，，,，，，nxxxxxnyyyyy2()2()？？nn1212 222222222 ，，，，，，，，，，，，()()()xxxyyyzzz？？？nnn121212 Snxxxx,,，，，,22()0？,xn12解方程组 ,Snyyyy,,，，，,22()0？,yn12, xxx，，，？,12nx,,,n得驻点 ,yyy，，，？12n,y,,n, nn11,,又在点处 xy,,,ii,,nn,,11ii,, S=2n=A, S=0=B, S=2n=C xxxyyy22B-AC=-4n<0, 且A>0取得最小值. nn11,,xy故在点处，S取得最小值. ,,,ii,,nn,,11ii,, nn11,,xy即所求点为. ,,0,,ii,,nn,,11,,ii *18. 已知过去几年产量和利润的数据如下: 340 47 55 70 90 100 10产量x(件) 332 34 43 54 72 85 10利润y(元) 204 试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润。 解:在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b， 62求的最小值，即求解方程组 uyaxb,,，(),,,ii,i1 666,2axbxyx,，,,,,iiii,,,,,iii111 ,66,axby6.，,,,ii,,,ii11, 把(x,y)代入方程组，得 ii 2983440224003ab，,, ,4026320ab，,, 解得 a=0.884, b=-5.894 即 y=0.884x-5.894, 3当x=120时，y=100.186(10元). 205