一、点在两投影面体系
一、点在两投影面体系中投影
(1)点的两个投影能唯一地确定该点的空间位置
首先建立两个互相垂直的投影面H及V，其间有一空间点A，它向投影平面H投影后得投影a，向投影平面V投影后得投影a′，投射线Aa及A a′是一对相交线，故处于同一平面内，如图2.9所示。
图2.9 点的两面投影 图2.10 两个投影能唯一确定空间点
从图2.9可知，若移去空间点A，由点的两个投影a、a′就能确定该点的空间位置。另外，由于两个投影平面是相互垂直的，可在其上建立笛卡尔坐标体系，如图2.10所示。已知a，即已知x、y两个坐标。已知a′，即已知x、z两个坐标。因此，已知空间点A的两个投影a及a′，即确定了空间点A的x、y及z三个坐标，也就唯一地确定该点的空间位置。 (2)术语及规定
1.术语
如图2.11(a)所示:
水平位置的投影面称水平投影面，用H
表
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示。
与水平投影面垂直的投影面称正立投影面，用V表示。
两投影面的交线称投影轴，用OX表示。
空间点用大写字母(如A、B、...)表示。
在水平投影面上的投影称水平投影，用相应小写字母(如a、b、...)表示。
在正立投影面上的投影称正面投影，用相应小写字母加一撇(如a′、b′、...)表示。
2.规定
图2.11(a)所示为一直观图。
为使两个投影a和a′画在同一平面(图纸)上，规定将H面绕OX轴按图示箭头方向旋转90?，使它与V面重合，这样就得到如图2.11(b)所示点A的两面投影图。投影面可以认为是任意大的，通常在投影图上不画它们的范围，如图2.11(c)所示。投影图上细实线a a′称为投影连线。
由于图纸的图框可以不用画出，所以今后常常利用图2.11(c)所示的两面投影图来表示空间的几何原形。
(a) 两投影面体系 (b)两面投影图 (c)不画投影面的范围
图2.11 两面投影图的画法
(3)两面投影图的性质
1.一点的两个投影连线垂直于投影轴(a a′?OX),且a a′到点O的距离反映x坐标。
因为投射线Aa和A a′构成了一个平面Aaax a′，如图2.11(a)所示。它垂直于H面，也垂直于V面，则必垂直于H面和V面的交线OX。所以处于平面Aaax a′上的直线aax和a′ax必垂直于OX，即aax?OX和a′ax?OX。当a跟着H面旋转而和V面重合时，则aax?OX的关系不变。因此投影图上的a、ax、a′三点共线，且a′ax?OX。
2.一点的水平投影到OX轴的距离(aax)等于该点到V面的距离(A a′)，都反映y坐标(aax=A a′=y);其正面投影到OX轴的距离(a′ax)等于该点到H面的距离(Aa)，都反映z坐标(a′ax=Aa=z)。
二、点在三投影面体系中的投影
图2.12 需用三面投影图表示的几何体
点的两个投影已能确定该点的空间位置。但为更清楚地表达某些几何体，有时需采用三
面投影图。例如图2.12 所示的几何体投影，相同的正面和水平投影，只有确定了其第三面投影，才能清楚地表示出该几何体的形状。
由于三投影面体系是在两投影面体系基础上发展而成，因此两投影面体系中的术语及规定、投影图的性质，在三投影体系中仍适用。此外，它还有一些本身的术语及规定、投影图的性质。
(1)术语及规定
与正立投影面及水平投影面同时垂直的投影面称侧立投影面，用W表示，如图2.13所示。
在侧立投影面上的投影称侧面投影，用小写字母加两撇(如a″、b″、...)表示。
规定W面绕OZ轴按图示箭头方向转90?和V面重合，得到三个投影的投影图。投影图中OY轴一分为二，随H面转动的以OYH表示，随W面转动的以OYw表示。
(2)三面投影图的性质
1.一点的侧面投影与正面投影连线垂直于OZ轴(a′a″?OZ)。
因侧立投影面与正立投影面也构成一个两投影面体系，故由上面
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可知，此性质成立。
2.点的水平投影a到OX轴的距离(aax)和侧面投影a″到OZ轴的距离(a″az)均等于A到V面的距离(Aa′)都反映y坐标(aax=a″az=Aa′=y)。
为作图方便，也可自点O作45?辅助线，以实现这个关系，如图2.13(b)所示。
以上的性质是画点的投影图必须遵守的重要依据。
(a) (b)
图2.13 三面投影图性质和画法
三、特殊位置点的投影
特殊情况下，点有可能处于投影面上、投影轴上。
(1)在投影面上的点
(a) (b)
浙公网安备 33021202002483