数值分析 第五章-数值积分

nullnull第六章 数值积分 主讲老师: 汪达成 null在高等数学中，计算定积分根据微积分学基本定理，若被积 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 在区间上连续，只要找到的一个原函数便可利用牛顿—莱布尼兹公式 但是在工程技术和科学研究当中，往往遇到如下困难， 而不能使用牛顿—莱布尼兹公式。§1 构造数值积分公式的基本方法与有关概念求得积分值。null为原函数的计算复杂性大大超过被积函数。1、 找不到用初等函数表示的原函数例如：等等2、 虽然找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便于计算例如：null是由测量和计算得到的函数列表，即给出的是回顾积分中值定理可惜的是值不易找到，因而难以求出但若能对提供一种近似算法，也可以得到一种3、的一张数据表。由于这些困难，我们必须研究积分的数值计算问题。的准确值。数值积分公式。null若取，则得到 如取，则得到 如取，则得到 以上三个公式分别称为左矩形公式，中矩形公式和右矩形公式。null由定积分的定义 可以得到定积分的一个近似计算公式 为求积结点，为求积系数，它们均与的具体形式无关。进一步，我们设想更一般的求积公式为①称null 这类数值积分的方法通常称为机械求积法，主要 有插值型和外推型两种。它们均是应用被积函数于是求积分值的问题就转化为计算被积函数在节点处 的函数值的问题。对于求积公式①，关键在于确定 求积系数。在一些节点上的函数值得线性组合得出积分的近似值。null设给定一组节点且已知函数在这些节点上的值为则可作的次插值多项式1）构造数值积分公式的基本方法其中，为节点的基本插值多项式。null用近似代替被积函数，则得若记 我们称由系数式确定的数值积分公式①为插值型立即可得数值积分公式①。求积公式。null记插值型求积公式的截断误差为 2）插值型求积公式的截断误差与代数精度，则有其中，②null由余项公式②可以看出，如果是一个次多项式，，即 意义，就应要求它尽可能多的被积函数成立。为此我们引入代数精度的概念。则求积公式是准确成立的。为了使求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算都能准确地null定义1 如果一个数值积分公式对于次数的代数多项式均能准确地成立，但至少对一个次多项式不能准确地成立，则称该数值积分公式具有关于代数精度有如下结论：次代数精度。null定理1 含有个节点的插值型数值次代数精度，即其中 积分公式至少具有null定理2 数值积分公式 具有次代数精度的充分必要条件为该公式对精确成立，而对不精确成立。null例如: 梯形公式 由于当时，左端右端左端=右端当时，左端null右端左端=右端=左端这表明梯形公式，当时是准确成立的，当的次数高于1时，梯形公式却不准确地成立。即梯形。左端=右端但是，当右端时，公式的代数精度null 一个数值积分公式的代数精度越高，就越能对更多的 被积函数准确地或较准确地成立,从而具有更好的实际计算 意义。 利用待定系数法，可以得到具有尽可能高的代数精度的 数值积分公式。null例1 确定求积公式 解：为使求积公式当时都变为等式，应满足中的系数，使其具有尽可能高的代数精度。求积系数null解得 故 该求积公式对进一步 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，我们还知道该求积公式对也准确成立。但当时，左边故所得求积公式的代数精度。都准确成立，至少具有2次代数精度。右边，null将积分区间等分，取分点 作为求积节点，并作变量替换，那么插值型求积公式§2 牛顿-科茨公式 将积分区间的等分点作为求积节点，构造出来的 求积公式称为牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式。1）牛顿-科茨公式null的求积系数为 若记 则 于是得相应的插值型数值积分公式这就是一般的牛顿—科茨公式，其中称为科茨系数。③ ④null从科茨系数公式③可以看出，科茨系数区间及被积函数都无关。只要给出了积分区间的等分数就能算出例如，当时，有相应的牛顿—科茨公式为 这就是前面提到的梯形公式。的值与积分，⑤。null当时，有相应的牛顿-科茨公式为 辛普森公式的几何意义就是用通过三点的代替所得曲边梯形的面积。 ⑥这个公式称为辛普森（Simpson）公式。抛物线null如图所示为了便于应用，我们把部分科茨系数列在下表中。利用这张科茨系数表，可以很快写出各种牛顿—科茨公式。nullnull例如，当 其中 下面，我们给出梯形公式，辛普森公式和科茨公式的 截断误差（余项）和它们的代数精度的几个结论。时，有⑦null定理3若在上连续，则梯形公式⑤的余项为若在则辛普森公式⑥的余项为若在上连续，则科茨公式⑦的余项为其中 定理4 梯形公式⑤的代数精度为1；辛普森公式⑥的 代数精度为3；科茨公式⑦的代数精度为5。上连续，null梯形公式 辛普森公式 科茨公式 其中 进行计算。 2）复合低阶牛顿—科茨公式在实际计算中，我们常用null 但是当积分区间较大时，直接使用这些求积公式，所得 的积分近似值在精度上很难得到保证。为了提高计算结果的 精度，常常采用复合求积的方法。 分成几个小区间上计算积分的近似值并取它们的和作为整个区间上的积分复合求积，就是先将积分区间，然后在每个小区间用此方法得到的数值积分公式，统称为复合求积公式。的近似值。null 其中 上应用梯形公式的近似值于是 称为步长，得积分比如，在小区间null若将近似值记作，并注意到和则由上式可得复合求积公式 用类似方法可以导出复合辛普森公式该公式称为复合梯形公式。null和复合科茨公式其中 下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森公式和 复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。null定理5 若在积分区间上连续，则复合若在积分区间上连续，则复合辛普森若在积分区间其中 梯形公式的余项为公式的余项为上连续，则复合科茨公式的余项为null例2 对于，利用数据表计算积分null解：这个问题有明显的答案将积分区间划分为8等分，取应用复合梯形公式求得现在用复合求积公式进行计算。null如果将积分区间划分为4等分，取应用复合辛普森公式求得 null比较与点的函数值，工作量基本相同，然而精度却差别很大，只有2位有效数字，却有7位有效数字。的结果，它们都需要提供9个null例3 利用复合辛普森公式计算积分的近似值，使截断误差不超过并用同样点按复合梯形公式和复合科茨公式重新 计算近似值。null解：首先应根据精度的要求，确定区间的等分数由于 故 根据复合辛普森公式的余项表达式 null为满足精度要求，需满足这只需 即 ，取可得null对同样9个点上函数值（见下表）null若用复合梯形公式计算，所得近似值为若用复合科茨公式计算，所得近似值为null 三种方法计算工作量相同（都需计算9个点的函数值）， 但所得结果与积分准确值0.9460831…相比较，复合辛普森公式具有精度高，计算较简便等优点，因此得到较广泛应用。解：设所以由 9个点上的函数值如下表例4 利用复合辛普森公式计算null 于是null例5 取9个点的函数值，用复合辛普森公式计算积分近似值，估计误差，并说明结果的有效数字。解：各求积节点和各求积节点的函数值如下表：null为了估计误差,要求的高阶导数，由于故从而有null故复化辛普森公式的误差为由于结果有6位有效数字。null练习：取7个等距离节点（包括区间端点），用复合辛普森公式计算积分并说明结果的有效数字。近似值，估计误差，null 其中 为了便于编制程序，在实际计算中常将辛普森公式改写成