数列通项公式的求法

nullnullnull观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，… 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，… ∴通项公式为：1.观察法null当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。2.公式法例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)， (1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2， ∴a3－a1=d 2－(d－2)2=2d， ∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)； 又b1= f (q+1)= q 2，b3 =f (q－1)=(q－2)2， ∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1null3.S n法nullnull（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d （2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有 an　=an-1　+ f(n-1) an-1 =an-2　+ f(n-2) ………………… 　 a3　= a2　 + f(2) a2 = a1 + f (1) 所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1). 一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。4.  叠加法也可用横式来写：(也称累加法） null例 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） … … … … a3= a2 + 3 a2= a1 + 2 各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2 =1+ n+(n-1)+…+3+2 = n(n+1)/2 当n=1时，a1=(1×2)/2=1, 故，an= n(n+1)/2null例 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) … … … … a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1 各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21) -[(n-1) +(n-2)+…+2+1] =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 – 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1null已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。备 注：null（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）, 此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由 得n>1 时， ，5.叠乘法对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。(也称累乘法、累积法） null本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.null（1）若c=1时，数列{an}为等差数列; （2）若d=0时，数列{an}为等比数列; （3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列， 其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法 设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d, 所以有：m=d/(c-1) 因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列， 6.辅助数列法这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）null.null方法四：归纳、猜想、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 . 先计算出a1,a2,a3; 再猜想出通项an; 最后用数学归纳法证明.方法三：迭代法 由 递推式直接迭代得null例已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3） 所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（ a1+3）× 2n-1 故an=6×2n-1-3解法2：因为an+1=2an+3，所以n>1时， an=2an-1+3，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1). 故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1, an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)nullnullnull例.已知求数列{an}的通项公式.null例. 已知数列{an}中，a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.null7.逐差法 形如an+1+an=f(n)的数列. （1）若an+1+an=d （d为常数），则数列{ an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an+1-an=f(n) 型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项. null例. 数列{an}满足a1=0, an+1+an=2n, 求数列{an}的通项公式.nullnull. nullnullnull