大冈中学高 三 年级 数学（理科） 学科课堂
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课题：§25 等比数列及其前n项和
导学目标：1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.了解等比数列与指数函数的关系.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
【知识梳理】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______
表
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示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝____________.
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________．
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，，{a}，
{an·bn}，仍是等比数列．
(4)单调性：或⇔{an}是________数列；
或⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；
q<0⇔{an}是________数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝＝－.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．
【基础训练】
如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________.
已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an＝______________.
变式迁移 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
例3 设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．
设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值为________．
5．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)＝____________.
【典例选析】
例1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求 数列{an}的通项an和前n项和Sn.
例2 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式以及Sn.
例4 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.
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