数列的概念及等差数列例题解析
数列的概念及等差数列例题解析 题型一:数列的概念
2nn，,1例1.数列中，已知， aanN,,(),,n，n3
(1)写出，，; aaa210n，1n
2(2)是否是数列中的项,若是，是第几项, 793
22nn，,110101109，,解析:(1)?anN,,()，?， ,,an，10333
2222422nn，,1，，nn，，，,111nn，,1，，，，nn，，31，a; ,,a,,2n，1n3333
2nn，,12(2)令,，解方程得， 79nn,,,15,16或33
2?，?， 即为该数列的第15项。 n,15nN,79，3
点评:该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属 题型二:数列的递推公式
2an,a例2((1)已知数列适合:，，写出前五项并写出其通项aa,1,,nn，11a，2n
ab公式;(2)用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，baa,,b,,,,nnnnn，1n
b并写出的前5项 ,,n
22222解:(1) ，，，，，……，; a,a,a,a,a,a,12345n13456n，1
222b,,, (2)， nnnnn，，，，12(1)(2)
11111 ，，，，( b,b,b,b,b,1234531015216
点评:会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。
题型三:等差数列的概念
2例3(设S是数列{a}的前n项和，且S=n，则{a}是( ) nnnn
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案:B;
S (n,1)1 (n,1),,1,,a解法一:a=，?a=2n,1(n?N) nn,,n,,SS (n2)2n1 (n2),,,,1,nn
a2n，1n，1又a,a=2为常数，?常数，?{a}是等差数列，但不是等比数,n+1nna2n,1n
列.
解法二:如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
点评:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a=S,S的推理能力.但不要忽略a，解法一紧扣定义，解法二较为灵活 ,nnn11
题型四:等差数列通项公式
例4((2009安徽卷文)已知为等差数列，，则等于
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
【答案】 B
aaa，，,1053105a,a,35a,33【解析】?即?同理可得?公差135334daa,,,,2aad,，,，,(204)1?.选B。 43204
题型五:等差数列的前n项和公式
SS136例5(设S是等差数列,a,的前n项和，若,，则,( ) nnSS3612
3111A( B( C( D( 38910
答案:A;
题型六:等差数列的性质及变形公式
*例6((1)设,a,(n?N)是等差数列，S是其前n项的和，且S,S，S,nn566S,S，则下列结论错误的是( ) 78((
A. d,0 B.a,0 C.S,SD.S与S均为S的最大值 795 67n(2)等差数列{a}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ) n
A.130 B.170 C.210 D.260
(1)答案:C;
由S
0， 56123512566
又S=S，?a+a+…+a=a+a+…+a+a，?a=0， 6712612677
由S>S，得a<0，而C选项S>S，即a+a+a+a>02(a+a)>0， ,78895678978
由题设a=0，a<0，显然C选项是错误的。 78
(2)答案:C
(,1)mm,，,30mad1,,2解法一:由题意得方程组， ,2(2,1)mm,2ma，d,1001,,2
4010(m，2)d,,a,视m为已知数，解得， 122mm
3ma(3m,1)10(m，2)3m(3m,1)401S,3ma，d,3m，,210?。 m31222m2m解法二:设前m项的和为b，第m+1到2m项之和为b，第2m+1到3m项之和12
为b，则b，b，b也成等差数列。于是b=30，b=100,30=70，公差d=70,312312
30=40。?b=b+d=70+40=110，?前3m项之和S=b+b+b=210. 323m123
解法三:取m=1，则a=S=30，a=S,S=70，从而d=a,a=40。 1122121
于是a=a+d=70+40=110.?S=a+a+a=210。 323123
点评:本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。
题型七:数列的应用
例7( 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差(
(2 )nnN,,，(1) 设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式; {}apaannn,1
(2) 若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列; {}an
(3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这22{}aaaaa，，，，n12310种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数(
22(2 )nnN,,，(1) 解:由等方差数列的定义可知: aap,,,nn1
d(2) 证法一:?是等差数列，设公差为，则，又是 {}aaaaad,,,,{}annnnn,，11n
2222等方差数列，?? ，即aaaa,,,()()()()aaaaaaaa，,,，,,，nnnnnnnn,,，，1111nnnn11
2， ?d,0，即是常数列( daaaad()20，,,,,,{}annnn,，n11
d证法二:?是等差数列，设公差为，则… …1 {}aaad,,nnn,1
22又是等方差数列，设公方差为，则… …2 {}apaap,,n,nn1
221代入2得，……3 ， 同理有，…… 4 ddap，,,20ddap，,,20nn,1
2d,0两式相减得:即，?，即是常数列( 2()20daad,,,{}ann,n1
证法三:(接证法二1、2)
dp由1、2得出:若d,0，则是常数列 ，若d,0， 则 是常数, {}aa,，nn22dd,0?，矛盾; ?是常数列( {}an
2222(2 )nnN,,， (3) 依题意， ， ， aa,,2a,4ann,，,,，42(1)22nn,n11
an,，22an,,，221 ?，或， 即该密码的第一个数确定的方法数是，nn
其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，
92512,512即确定密码的方法数是种，故，这种密码共种( 点评:解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。
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