【精品】第三章：古希腊数学6

【精品】第三章：古希腊数学6 第三章:古希腊数学 第一节 古希腊数学产生的背景及研究依据 正当数学面临着积累起来的大量资料，有待于整理、创新，使之条理化、系统化时，首先把这些零散的数学知识经过归纳、提炼、开拓、发展并著书立说的民族是希腊人(他们开始尝试对命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的证明，对今日数学的奠基起到了十分重要的作用(正如M(克莱因所说:“数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在公元前600到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的(”(《古今数学思想》) 一、古希腊数学产生、发展的背景 数学在希腊的发展，有其社会原因(古代希腊人定居在小亚细亚，即欧洲大陆上如今希腊所在地区以及意大利南部，西西里(Sicily)，克里特(Crete)，罗德斯(Rhodes)，第罗斯(De,los)和北非等地区(当时，希腊为奴隶社会，早期进行了一系列变革，使之变得比较完善，比较先进(马克思把她比喻为“发育正常的小孩?”(恩格斯也指出，这种奴隶制“使农业和工业之间的更大规模的分工成为可能，从而为古代文化的繁荣，即为希腊文化创造了条件(没有奴隶制，就没有希腊国家，就没有希腊的艺术和科学，„„?”(因此，社会的变革，对希腊文化的发展，起到了非常重要的作用( 希腊人大约在公元前775年左右实施了文字改革，把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母(采用了拼音字母之后，希腊人变得更加通文达理，更有能力和条件来记载他们的历史和思想，也更有利于进行数学逻辑运算和推演了( 希腊是埃及、巴比伦的邻国(地理位置为希腊人游访埃及、巴比伦，并与之贸易往来创造了方便条件(通过这些往来活动，使希腊人有机会了解、学习埃及人、巴比伦人创造的数学(例如，被誉为希腊哲学、数学和科学的诞生地——小亚细亚、爱奥尼亚(Ionia)地区的米利都(Miletus)滨临地中海，来自希腊本土、腓尼基和埃及的船舶都驶进它的港口，并有队商大道与巴比伦相通( 古代希腊形成了多个数学学派，他们的活动和研究，对数学的发展和传播是有重要作用的(古希腊数学延续了1000年左右，这在数学发展史上也是屈指可数的几个国家之一( 二、研究古希腊数学的主要依据 在历史上，希腊曾遭受过波斯人的侵略，使希腊人受到不少磨难，文化活动中心发生转移和改变，记载数学书籍和文献也被破坏( 现在研究希腊数学，主要依据是拜占庭的希腊文的手抄本，这是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写成的(其原因是，希腊的原文手稿没有 保存下来(由纸草书写成易于毁坏，加之希腊的大图书馆毁于兵燹)( 希腊数学的抄录本，可能做了若干修改(例如，我们虽无希腊人海伦(Heron)的手稿，但我们知道他对欧几里得《几何原本》做了若干改动(他给出了不同的证明，添补了一些定理的新例子和逆定理(就是希恩自己也提到，他改动了《几何原本》的若干部分( 另外，研究希腊数学还要依靠两批评述本，其一是帕波斯(Pappus，公元3世纪)撰写的《数学汇编》(Sgnagoge或Mathematical Collection);其二是普罗克洛斯(Proclus，410—485)撰写的(《评述》(Commentary)(这是研究希腊数学史的两部重要史料( 要从如上资料中，把希腊数学发展的历史整理出来，是一项浩繁而复杂的工作，由于学者们的艰苦努力，已经基本弄清希腊数学的基本史实(但是，有些结论也有争议，可望在深入研究和探索中，进一步澄清史实( 第二节 创建学派，师徒相传 古希腊数学是在先后相继几个中心地点发展起来的，每个中心地点，总是由一两个伟大学者组织成群的学者开展学术活动，为数学大厦的筑起添砖加瓦(用现在的语言描述，乃为创建学派，师徒相传，推动数学的发展与传播( 一、爱奥尼亚学派 这个学派是由泰勒斯(Thales，约公元前625—前547)创建的(泰勒斯早年跟随父亲从商，由于贸易往来，有机会游访埃及、巴比伦等国家和地区，在游访期间，被当时兴旺发达的文化所吸引，萌发兴趣，开始倾心学习和研究天文、几何知识(被誉为“古希腊七贤人”之首?( 数学与哲学联系，尤其是在古代，很多数学家都懂得一定的哲学知识，正像我国古代的数学家一般都懂得历法知识一样，泰勒斯也是一位哲学家?(在他的学说里，首次对自然界进行脱离宗教的解释，他认为水是万物之源，一切都是由水形成的，一切事物的本质都依水的状态而改变(结论是，植物的生命保存在它的汁液里，因为植物干燥了就会死;动物的生命保存在血液里，甚至火焰也要吸取湿润( 根据现存原典史料证明，泰勒斯是古希腊的第一位天文学家(由于他准确地预言公元前585年5月28日的日食时间，使泰勒斯名声大振(据说古代两个奴隶制国家交战，5年未见胜负，泰勒斯扬言上天要制止战争，以某月某日必日食来作警告(果然到了那一天，两军正在酣战不停，突然太阳失去光辉，百鸟归巢，明星闪烁，白昼顿成黑夜(双方士兵将领大为恐惧，于是停战和好，后来两国还互通婚姻( 泰勒斯创建的学派——爱奥尼亚学派对数学的发展起到了很大作用，尤其对几何学的发展，起到的作用更大(有人认为泰勒斯是数学历史上第一位几何学家( 根据欧几里得《几何原本》第一卷的注释者普罗克洛斯记载的史料，充 分说明了泰勒斯学派确立和证明了为人们所公认的第一批几何定理(这种记载源于希腊数学史家欧德莫斯(Eude,mus of Rhodes，约公元前335年)所著《几何学史》，遗憾的是这部著作已经失传( 根据普罗克洛斯记载，泰勒斯至少证明了如下几个命题: (1)圆被任一直径所平分([Proklus:S(275(F(157;V(139)]? (2)等腰三角形的两底角相等(在古代，曾把角相等称作“相似”(Similar)([Proklus S(341(F(250;V(216)] (3)两条直线相交，对顶角相等([Proklus S(374(F(299;V(255)] (4)两个三角形两角与所夹边对应相等，则两个三角形全等(有人证实泰勒斯曾利用这条定理测定海上两船间的距离([Proklus S(409(F(352;V(300)] 泰勒斯是用如下简单的方法测量的: 假设:A，B是两条船，可望不可及(在岸上引AC垂直于AB，D是AC的中点，过C点向AB相反方向，引CE垂直于CA(使B，D，E在同一条直线上)这时，CE和AB距离相等，CE是可直接测量的( 根据希腊历史学家普鲁塔克(Plutarch，约46—120)的记载，泰勒斯曾应用两个等角三角形对应边成比例的定理，测出金字塔的高度(具体作法是将一根标杆竖立在平地上，利用塔影长与标杆影长的比，等于塔高与标杆高的比，来算出塔高(也有的学者说泰勒斯是根据当标杆影长和标杆长相等时，塔高与塔影也相等的道理推得的(有人认为这两种说法都有不妥之处( 根据有的史料记载，泰勒斯还发现了“半圆上的圆周角都是直角”的命题，但是，也有的史料指出了这个命题在巴比伦的数学中已经出现了，它与计算弦到圆心的距离有关系(而其证明应属泰勒斯( 从以上可以看出，泰勒斯学派并不满足于知其然，还要追求所以然的道理(他迈出了对数学命题证明的关键一步，为平面上线与角的理论奠定了基础，把科学的方法渗透于数学真理之中，载入数学史册(这标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学发展史上也是一个重要飞跃(因为数学中的逻辑证明，能保证命题的正确性，使理论立于不败之地，令人深信不疑，也能揭示出各定理间的内在联系，使数学构成严密的体系( 二、毕达哥拉斯学派 这个学派是以贵族式的观念形态作为基础，与在当时撒摩斯岛(Samos，现土耳其西岸小岛)的古希腊民主制的观念形态，形成尖锐的对立，是具有神秘色彩的组织(领头人毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572—前501)生于撒摩斯岛(关于毕达哥拉斯本人有很多传说，甚至很难判断哪些传说是符合实际的，哪些是虚构的(就连他的生卒年月也很难确定( 毕达哥拉斯年轻时期，游历了很多地方，特别是游访古埃及和古巴比伦等地，学习了一些数学知识，大约在公元前530年回国，开始组建学派(这个学派的主张和观念曾引起撒摩斯公民的不满情绪，毕达哥拉斯为了避开人们的舆论，只好离开自己出生的本土，逃往希腊的移民区阿佩宁半岛，并定居在克罗托那(Crotona)城，重新建立学派(由于毕达哥拉斯参与政治活动，后来被杀害(他死后，其门徒散居到希腊其他学术中心，继续传授他的教诲，达200年之久( 毕达哥拉斯首先研究了数学的抽象概念，希腊学者亚里士多德曾说，毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分?(数不能离开感觉到的对象而独立存在，即早期毕达哥拉斯学派认为一切对象由(整)数组成，或者说数乃宇宙的要素(因为他们心目中的数就如同我们心目中的原子一样，把数看作是现实的本源，是严谨性和次序性的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系，企图用数来解释一切(甚至认为万物都包含数(整数)，且万物也都是数(整数)(对周围观察到的现象，也都是用数的关系来说明(例如，当听到悦耳的音乐时，觉察到“和声”谐音，毕达哥拉斯学派认为只能用3根弦才能发出此音，其长度之比为3?4?6，并在很多场合，也都发现这种比例关系，立方体的面数、顶点数、棱数的比为6?8?12( 由于毕达哥拉斯学派赋予数如此重大的意义，因此，毕达哥拉斯学派非常注意研究数，也就是开始研究数的理论，研究数的性质，而注重实际的计算( 毕达哥拉斯学派首先使用了更加方便的记数系统，采用了腓尼基人所用的希腊字母表中的字母并增加某些腓尼基的字母来表示数(现仅举数码1—9的表示法(为了把数与字母区分开，在字母的上面画一横线)( 毕达哥拉斯学派还依据几何和哲学的神秘性来对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”;“正方形数”;“长方形数”;“五角形数”等等(如图3(2 实际上，以上各种类型的象形数，可从等差级数和导出来( 21，3，5，„„，(2n-1)=n (正方形数) 2，4，6，„„，2n=n(n，1) (长方形数) 例如，正方形数的图形可分为小正方形和曲尺形(gnomon)，反复分割，小正方形内一点和曲尺形内点的和，即是奇数系列之和:1+3+5+„„ 毕达哥拉斯学派还把“数”分成“完全数”和“相亲数”(如果一个数除其本身外的所有因数的和等于这个数，那么这个数就叫“完全数”(例如，6是完全数，因为它的每个因数之和为6，即:6,1，2，3(若两个数中每个 和数的因数的和等于另一个数，这两个数叫做“相亲数”(按此定义，220284是相亲数(因为220的因数之和为:1，2，4，5，10+11+20，22，44，55，110,284，而284的各因数之和为:1，2，4，71，142=220(毕达哥拉斯学派还声称:“谁是我的朋友，就应该像数220和284一样(” 毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”?(但是，在什么情况发现的,怎样证明的,说法不尽一致(普罗克洛斯在注释欧几里得《几何原本》第1卷题47时，说得也不明确，指出在古代历史上有各种传说，据说这个定理是毕达哥拉斯发现的，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛(普洛塔克(Plutarch，约46—120)也有类似的说法，指出毕达哥拉斯是用填加面积的方法证明“勾股定理”的?( 在直角三角形中，二条直角边分别为a，b，斜边长为c，以a，b为一边 个直角三角形、一个以a为边的正方形画正方形，这样，在此正方形中，含4 和一个以b为边的正方形，如图3(4(a) 另外，再画一个以a，b为边长的正方形，如图3(4(b)经过分割，这个正方形含有4个直角三角形和1个边长为c的正方形(因为两个正方形(即(a)和(b))面积相等，各减去同样的4个直角三角形的面积，立刻得到: 222a，b,c( 毕达哥拉斯学派通过“勾股定理”揭示了直角三角形三边之间的关 度，其“证明方法”用现代符号可叙述为: 222于是根据毕达哥拉斯定理得:p,2q(由于p是偶数，p必为偶数 222222p既然是偶数，可设p,2α，于是p,4α=2q(因此，q,2α，这样，q是偶数，于是q也是偶数，但q同时又是奇数，产生矛盾( 实际上，毕达哥拉斯学派发现“勾股定理”之后，很容易过渡到对新数 ——无理数的发现，但毕达哥拉斯学派认为这违背了他们的信条(世界上一切都是由整数和整数之比构成)，相传毕达哥拉斯学派成员在海上游玩，把无理数的宣传者希帕索斯(Hippa,sus，约公元前5世纪)推到波涛汹涌的大海里(希腊人称不可公度量之比为αλoγos(algos，意即不能表达)，当时，人们都在回避这种量，导致了数学史上的第一次危机( 毕达哥拉斯学派还研究了关于正多边形和正多面体的作图问题，尤其是首先完成了正五边形的作图，为解决正多边体的作图问题奠定了基础(毕达哥拉斯学派曾作出了当时所有可能的正多面体:具有4个等边三角形面的正四面体，具有8个等边三角形面的正八面体，由20个正三角形围成的正二十面体，由6个正四边形围成的正六面体，由12个正五边形围成的正十二面体(毕达哥拉斯学派认为这些都是“宇宙图形”，将四面体称为火;八面体称为气;二十面体称为水;六面体称为土;十二面体称为宇宙(他们认为在整个几何体中最优美的是球( 毕达哥拉斯学派在对数学的发现中，不断追求“美”的形式(他们认为日、月、五星都是球形，浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完美的平面图(就是曾被誉为“巧妙的比例”，并染上各种各样瑰丽诡秘色彩的“黄金分割”也是这个学派首先认识到的( 综上，使我们认识到，毕达哥拉斯学派对于研究解决数学问题的方法，发挥了很大作用(他们规定在数学中必须坚持严格证明，对数学的发展具有特殊意义( 三、诡辩学派 “诡辩”(Sophism σóυτσμα)一词含“智慧”之意，诡辩学派也译作“哲人学派”或“智人学派”( 诡辩学派主要是以讲授修辞学、雄辩术、文法、逻辑、数学、天文等科为职业，也经常出入群众集会场所，发表应时的演说等，其代表人物是普洛塔哥拉斯(Protagoras，约公元前481—前411)，哥尔基亚(Gorgias，约公元前487—前380)安蒂丰(Antiphon，公元前480,—前411)等( 值得注意的是，数学历史中著名的“三大几何难题”的研究始于诡辩学派(“三大几何难题”虽然不能精确求解，对其研究和探索，却引出了大量的数学发现( (1)倍立方问题，即求作一立方体，使其体积是一已知立方体的2倍( 关于这个问题的产生众说纷纭?，其中有一种说法是，在第罗斯(Delos)岛上，瘟疫不断蔓延，岛上的人求教于巫神，巫神告诉他们应把现有立方祭 坛加倍(这就产生了“倍立方问题”，也称“第罗斯问题”( 这个问题，实际上是已知立方体的边长为a，求作边长为x的立方 诡辩学派试图利用直尺(没有刻度)和圆规作出图形，据说希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉底(Hippokrates，约公元前470—前430)曾把倍立方问题归结为求线段a与2a之间的两个等比例中项，不妨用现代数学符号表示，设:x，y为两个比例中项，有: a?x,x?y,y?2a 2?a?x=x?y 则:x=ay (1) 2?x?y,y?2a 则:y=2ax (2) 4333由(1)和(2)，消掉y，则:x=2ax，?x,2a即为所求( 虽然希波克拉底没能根据所谓“几何作图法”(只用没有刻度的直尺和圆规，分别只能画直线和圆)求出x、y，但是他把立体问题转化到平面中来解决，这种思考方法是难能可贵的，是希波克拉底的重要贡献，为后人用二 (直角尺)作出a与2a两个等比中项奠定了基础(个矩 倍立方问题虽然不能精确求解，但希腊人对它的研究与探索，推动了数学的发现(例如，门奈赫莫斯(Menaechmus，约公元前4世纪中叶)给出了这个问题的两种解法，由此发现了圆锥曲线(下边简述门奈赫莫斯的解法: ? 作两条有公共顶点的、其轴互相垂直的抛物线，并且使得其中一个的正焦弦为另一个的2倍(设x表示从两条抛物线的另一个交点向较小的抛物线的轴所作垂线之长(于是，以x为边的立方体的体积等于以较小的正焦弦为边的立方体的体积的2倍((用现代解析几何证明这种作图法是正确的() ? 作一正焦弦为s的抛物线，然后作一横截轴等于4s且以抛物线之轴为其渐近线的等轴双曲线，并且过抛物线顶点作其切线(设x为从两条曲线的 33交点向抛物线的轴所作垂线之长，则x,2s((用现代解析几何证明这种作图法是正确的() 另外，狄俄克利斯(Diocles，公元前2世纪)在解决这个问题时，发现了蔓叶线( (2)任意角三等分问题 按希腊时期几何作图法的要求，?直尺只能做连结两点的直线之用;?圆规只能做画圆之用，不许作分度计或量长度之用(在这两个条件限制下，任意角三等分是不可能的( 希腊学者把任意角三等分问题归结为斜向问题，对它研究与探索，发现了蚌线等等( 如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，三等分法有几十种之多，不妨举两个例子( 如图3(6所示，首先将直尺三等分，分点是D和E，取直尺DR过B点垂 直于PQ，垂足是D(以DQ为直径，E为圆心画半圆，与BC边相切于F(?BPE是等腰三角形，BD?PE，??PBD,?DBE，另外，BD和BF是从圆外一点B引出的两条切线，则?DBE,?EBF(所以，?PBD=?DBE=?EBF，这便将?ABC三等分了( 如图3(7，在已知?ABC的一边AB上，取一点D，引DE垂直于BC，DF平行于BC，取一直尺，上面刻上三点P，Q，R，且PQ,QR,DB，直尺通过点B(DE过点P，DF过点R)，由此，?PDR是直角三角形，且Q是斜边PR之中点，PQ,DQ=RQ，??DQB,2?BRD，又?PQ,QR,DB，?DQ,DB，??DQB,?DBQ(另外，DF?BC，??BRD,?RBC，故?DBQ,2?RBC，直线BR是?ABC的三等分线( 上面二种作法都能将任意角三等分，但是，已经突破了希腊时期的“初等几何作图法”的要求( 若用代数思想解释这两个古老问题，也是很清晰的(实际上，倍立方和任意角三等分问题，都是属于求解三次方程问题(直尺画出的直线可表示为一次方程 ax，by，c,0 而用圆规画圆，其方程可表示为二次方程 22x+y，ax+by+c=0 仅用直线和圆构成的图形是不能求解三次方程的(因此，用初等作图法解决如上两个问题是不可能的( (3)化圆为方问题(即:求作一正方形，使其面积等于一已知圆( 远在公元前1800年，古代埃及人就取正方形的边长等于给定圆的直 希腊时期的希波克拉底(Hippocrates)成功地求出了某些特殊的由两个圆弧围成的月形面积，当然没有解决化圆为方问题，但确实解决了一个有关的问题(设ABC是一等腰三角形(图3(8)，并设它内接于中心为O的半圆，设AEB是以AB为直径的半圆(则有:半圆ABC的面积?半圆AEB的面积E, 22AC?AB,2?1，所以，OADB的面积等于半圆AEB的面积(现在把两者的公共面积ADB去掉，则有月牙形(阴影部分)的面积等于三角形AOB的面积( 上边的例子说明希波克拉底从探索曲边形面积与直边形面积相等的思路，试图来解决“化圆为方”的问题( 希波克拉底另一个月形求积问题是，设ABCD等于以AD为直径的圆的内接正六边形的一半(作该圆与以AB为直径的半圆之间的月形(试证明: 梯形ABCD的面积等于该月形面积的3倍加上以AB为直径的半圆的面积( 若取消作图工具的限制，“化圆为方”问题也是可以解决的(欧洲文艺复兴时代的大师达?芬奇(L(Davinci，1452—1519)曾创建用圆柱来解决化圆为方问题的巧妙方法(取一圆柱，使底和已知圆相等，高是半径之半，将这圆柱在平面上滚动一周，产生一个矩形，使矩形的 形( 2000多年来，“三大几何难题”显现出经久不息的魅力，无数具有聪明才智的有志之士曾做出不懈的努力，都未如愿以偿(直到1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)创建解析几何，尺规作图的可能性才有了准则(1837年，数学家凡齐尔(P(L(Wantzel，1814—1848)给出了“倍立方”，“任意角三等分”不可能性的证明(1882年，数学家林德曼(F(Lindemann，1852—1939)证明π的超越性，“化圆为方问题”的不可能也得以确立(1895年，克莱因(F(Kline，1849—1925)给出了三大几何难题不可能用“初等几何作图法”解决的简单而明晰的证明，彻底解决了2000多年的悬案( 值得注意的是，随着人们对“几何三大难题”的研究，激发了人们对数学新概念的研究和探索，例如，对圆锥曲线，三、四次代数曲线及割圆曲线等等的发现，就是在寻求解决“几何三大难题”中应刃而生的(对数学理论的发展，也是有重要作用的(譬如，在对“化圆为方”的研究中，希腊学者安蒂丰先作圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，再加倍，得正十六边形，这样继续下去，最后的正多边形必与圆周相合(也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是可以化圆为方了(结论虽然是错误的，但提出了一种有重要价值的“穷竭法”，它是近代极限理论的雏形( 四、厄勒亚学派 这个学派主要活动在厄勒亚(Elea，意大利的南um耑)地区，主要代表人物是芝诺(Zeno约公元前496—430)(他首次用量的观点揭示运动中的矛盾，提出了4个违背运动常识的悖论(芝诺提出4个悖论的目的尚需进一步探索(而其背景是，当时人们对空间和时间有两种对立的看法:一种认为空间和时间无限可分，这样，运动则是连续而平滑的;另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的，这样，运动则是一连串的小跳动(芝诺的悖论是针对这两种理论的，他的关于运动的4条悖论的前两条是反对第一种学说的，而后两条是反对第二种学说的(我们不妨简略地考察一下4条悖论( (1)二分法说(dichotomy):认为运动不存在，因为一个物体从A到B，首先要通过AB距离的一半，但要通过一半，必须通过一半的 诺认为此物体永远不能到达B地( 也有人把芝诺的悖论理解为:要通过有限长度就必须通过无穷多的点，这就意味着必须到达没有终点的某种东西的终点( (2)追龟说:据说在希腊有一位快走如飞的阿基里斯(A,chilles)，芝诺 认为他永远追不上步履迟钝的龟(譬如说，阿基里斯以10倍的速度追逐距离他100米处爬行的龟(当阿基里斯走100米时，龟爬了10米， 米，这样永远相隔1小段距离，所以，总也追不上( 实际上，这个问题用极限方法可以马上得出结论(他(它)们走过 何处阿基里斯能追逐到龟，可从下列式子得出: (3)飞箭静止说:芝诺认为飞箭在任一瞬刻必在一确定位置，因而是静止的，于是，所谓运动不过是多个静止点的总和( (4)运动场(Stadium)论:两组个数相同的物体沿跑道相向移动，一组从终点出发，而另一组是从中点运动，两者以相同速度移动，芝诺认为一半的时间和整个时间相等( 按照芝诺提出的观点，设有甲、乙、丙三排运动员，(如图3(9)，并设在单位时间内，乙排往左移动一步，而丙排则往右移动一步，于是相对于乙排而看丙排就移动了两步(因此使丙向右方移动一步所需的时间为半个单位，所以半个时间单位等于一个时间单位( 悖论思想不仅在运动方面存在，而且渗透到社会领域(相传在远古时期就曾产生过悖论(据说一个残忍的国王，下令不许外地人进入他的领地，否则就要处以死刑(并规定进入他的领地若说真话，要处以砍头罪，若说假话处以淹死罪(一天，一个聪明的外地农民大摇大摆地进入了他的领地，说:我是来被淹死的(守卫领土的士兵无法处刑，如果认为他说的是真话，应处以砍头罪，如果一旦执行，他的话便是假话(如果认为他说的假话，应处以淹死罪，一旦执行，他的话又变成真话(这样，使国王也束手无策，只好放走农民(这说明悖论思想充满了矛盾，需要我们认真研究与探索( 芝诺在描述运动中，产生了悖论思想，实际上，芝诺的认识已经接近极限观念的边缘，但他最终还是否认了运动的真实性，没能认识极限(值此，应该认识到，悖论思想给数学界以极大的影响，直到集合理论建立时，仍余波未尽( 五、柏拉图学派 这个学派是继诡辩学派之后兴起的(其主要代表人物是柏拉图(Plato，约公元前427—347)，他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底(Socrates，公元前468—399)学习哲学，受到逻辑思想影响，尔后成为雅典举世瞩目的大哲学家(柏拉图在雅典建立了自己的学派，对其哲学思想的产生和扩大影响具有 重要意义(柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观点，并运用到自己的学说中，因此，柏拉图的哲学提高了对数学科学的兴趣(他认为，不知道数学的人，不可能接受哲学知识，充分认识到了数学对研究哲学和宇宙的重要作用，并积极鼓励自己的朋友、学生学习和研究数学(据说，在他的学园门口写着:“不懂几何者不得入内(” 柏拉图在其著作《共和国》(Republic)中，曾强调:我们必须竭力奉劝我国未来的主人学习算术，不是像业余爱好者那样来学，而必须学到唯有靠心智才能认识数的性质那种程度;也不像商人和小贩那样，仅是为着做买卖去学，而是为了军事上的应用，为了灵魂本身去学的((学习算术)是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径(我所说的意思是算术有伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象„„( 柏拉图学派重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法;例如，在推理中，假设已知所求未知数，再以这个假设为基础，得出已知量与未知量应当存在的关系式的结论，归根到底是化为求未知量(柏拉图学派把这种方法运用到作几何图形上( 在柏拉图思想的影响下，希腊学者重视对数学的学习和研究，出现了一批对数学发展作出贡献的数学家(例如，欧多克索斯(Eudoxus，约公元前408—355))曾是柏拉图的学生，他创造性地排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法，用公理法建立比例论，欧几里得《几何原本》第五卷《比例论》的大部分内容是欧多克索斯的工作成果( 欧多克索斯曾证明了对近代极限理论发展起重要作用的命题，例如，“取去一量之半，再取去所余之半，这样继续下去，可使所余的量小于另一任给的小量(”他也曾提出过:“对任意两个正数a，b，必存在自然数n，使得na,b”的重要命题((这里采用现代分析学的说法)(后来，在阿基米德的名著《论球和柱》(On the Sphere and Cylinder)中，给予了几何意义的阐述，在现代数学中，被誉为“阿基米德公理”( 欧多克索斯比较熟练地利用“穷举法”证明了“圆锥、棱锥的体积 棱锥体积V，两者关系有三种可能:V,3V;V,3V;V=3V，排除前2121212二种情况，则只有V=3V成立( 12 柏拉图的另一位学生亚里士多德是吕园学派的创始人和领导者，被誉为形式逻辑的鼻祖，其思想影响西方数千年，他也非常重视数学的学习和研究，他所给出的点、线、面、体的定义，广为传播(他还应用演绎逻辑的方法对许多数学问题作出了证明( 柏拉图学派主张科学的任务是发现自然界的结构，并把它在演绎系统里表述出来，首次提出了应该把严格推理法则系统化，从而为数学走向新的阶段起到了前导作用( 综上，我们列举了希腊时期的几个学派的工作，以此来了解这个时期数学的发展(实际上，希腊学派的建立是推动数学发展和传播的重要因素，在 数学历史中，产生很大影响(可谓创建学派的师徒相传，对数学发展产生莫大的推动力( 第三节 撰写名著，始创初等数学体系 值此之前，希腊各学派积累了很多数学知识，但都没有形成比较完整的体系，到了亚历山大时期?，希腊数学家们在柏拉图几何思想的启示下，开始将数学知识进行系统整理，使之脱离哲学而成独立学科，从用实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中(完成此项具有划时代意义工作的是亚历山大前期第一个大数学家欧几里得(Eu,clid，约公元前330—前270)，他撰写名著《几何原本》(Elemen-ts)开创了数学发展的新时期，使初等数学形成了体系( 一、欧几里得《几何原本》产生的背景 公元前338年，马其顿的菲力蒲王征服了雅典，希腊便沦为马其顿帝国的一部分，从此，雅典处于衰败的状态(在公元前336年时，菲力蒲王去世，由其子亚历山大大帝继承王位(亚历山大大帝野心勃勃，发动了空前的侵略战争，将文明世界的大部分区域并入新兴的马其顿帝国之版图(当亚历山大大帝进入埃及后，于公元前332年建造了亚历山大里亚城，公元前323年亚历山大大帝去世后，紧接着内部混乱，军阀割据，而埃及由托勒密(Ptolemy)掌管，他是亚里士多德的学生，并从老师那里学到了治学思想，便努力发展科学文化，繁荣经济，很快使亚历山大里亚成为当时世界的文化中心和商业中心，并创建了著名的博物馆和图书馆，培育了年轻一代学者(当时，这座繁荣的城市吸引着众多的有志学者，其中两个人是最主要的人物，他们有力地推动了数学的发展(他们是欧几里得和阿基米德( 欧几里得的生平，现在知道的甚少，由帕波斯(Pappus，约300—350)记述，欧几里得在公元前300年左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大里亚教学(人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家(欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想(斯特比亚斯记述一个有趣的故事:“一个学生学习几何时，才开始学习完一个定理，就问老师——欧几里得，学了之后能得到什么好处呢,欧几里得说:给他三个钱币算了，他就想得到这点利益(” 欧几里得在从事数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新(他的巨著《几何原本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无以伦比的历史意义(他精僻地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机(这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，象《几何原本》那样长期广为传颂(从1482年到19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近1800年之久( 欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部分是希腊前期各学派创建的成果(据普罗克洛斯[Proclus，410(另一说412)—472]记载，欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法(欧几里得在《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4科为内容的科学思想( 另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善(《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因此，当《几何原本》问世之后，其它诸类逐渐消声匿迹了( 欧几里得还曾撰写过其它的著作，据一些材料记载，主要是《光学》(Optica);《反射光学》(Catoptrica)解决镜的反射问题;《论音乐》(Sectiocanonis) 研究音乐理论;《论天文现象》(Phaenomena)，天文学的初步理论，主要解决天体运转、黄道分割等问题( 二、欧几里得《几何原本》的主要内容 欧几里得本人撰写的《几何原本》手稿现已无存，所以他的著作只能参考其他作者的许多修订本、评注本和简评重新整理出来(欧几里得的《几何原本》的所有英文版和拉丁文版都来源于希腊人的手稿(这些来源是亚历山大里亚城的戴恩(Theon，公元4世纪末)对欧几里得《几何原本》的修订本，戴恩修订本的抄本，戴恩讲课记录以及佩拉(F(Peyrard，1760—1822)在梵蒂冈图书馆里发现的一本希腊手稿(这本10世纪的手稿是赛翁以前出版的一本欧几里得著作手抄本(数学史家海伯格(J(L Heiberg)最早编集了《欧几里得全集》八篇，这是我们能见到的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的《欧几里得原本》，后来，又根据海伯格的深入研究，进行各种考证，开始定本(从第一篇到第五篇，有从希腊文译成的拉丁文本，并附有详细脚注，其余各篇由达塔(Data)等学者完成( 在这个基础上，英国数学史家希思(T(L(Heath，1861—1940)把海伯格等校订的希腊原文翻译成英文，并附有详细的注释(对现在研究《几何原本》有重要参考价值( 另外，有人又把海伯格版的著作译成德文(这种德文版没有希思那样的详细注释，但是对进一步研究《几何原本》，尚有方便之处( 希思还用现代数学符号注释希腊古代数学书籍，撰写成:Histoy of Greek Mathematics，2 Vols，Oxford，1921( 希思在同一年，又撰写成:Euclid in Greek，Book I，Cambridge，1921(在此著作中，收录了《几何原本》的第一篇，并对序论做了适当的注释( 现在流行的《几何原本》(希思版本)，由13篇组成，将内容简要介绍如下(首先看一下欧几里得《几何原本》的基本结构，归纳成下表，会一目了然( 在希腊时期，公理和公设是有区别的(公理是数学各分支都承认的基本道理，公设则只是几何学中所需要的基本道理(按照希腊时期的含义，不承认公理，整个数学体系都将产生变化;不承认公设，只牵涉到几何学体系(现代学者已不再将它们区分，而统称为公理了( 第一篇:主要叙述全等形的一些定理、平行线、毕达哥拉斯定理、初等作图法、平行四边形等(在一些命题的证明中，显现出希腊人的聪明和才智( 例如命题5:等腰三角形两底角相等( 欧几里得延长AB到F(图3(10)，延长AC到G，使BF,CG(于是，?AFC??AGB(因而，FC,GB，?ACF=?ABG，且?3,?4( ??CBF??BCG，则?5=?6， 故?1,?2 《几何原本》中的证法比目前一些初级中学课本中的证明还好，因为后者在此就假定了角A存在角平分线(但这个存在性的证明要依靠命题5( 第二篇:主要阐述了几何代数法(由于希腊人不承认无理数，这就很难从数量上解决长度、面积、体积等问题，他们曾用线段来代替数(第二篇的 头10个命题，揭示了一些代数恒等式的几何等价关系(尤其是命题12和命题13更引人注意(这两个命题合并在一起用现代语言叙述，即:在一个钝角(锐角)三角形中，该钝角(锐角)的对边的平方等于三角形其余两边的平方和加上(减去)这两边之一与另一边在其上的投影之积的2倍(实际上，这两个命题是毕达哥拉斯定理的推广，现在我们称之为“余弦定理”( 第三篇:首先给出有关图的定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等等(这些定理多数是现代中学几何课本中的内容(例如: 命题16，通过圆直径一端垂直于直径的直线全在圆外，且在这直线和圆周之间的空间内不能再插入另一直线;半圆和直径夹角大于而半圆和垂线夹角小于直线间的任何锐角( 此定理的新颖之处在于考察了切线与圆弧间的空间，他不仅说在这空间里不能作过切点并全部在圆外的直线，并考察了切线与圆弧的夹角( 第四篇:主要论述圆的内接和外切图形——三角形、正方形、正五边形和正六边形，最后一命题讲怎样在一给定圆内作正15边形( 第五篇:对欧多克索斯比例理论作了精彩的阐述(欧多克索斯的比例定义(即两个比相等)是很重要的，即:如果有4个量，取第一个量和第三个量的任何相等的倍数，取第二个量和第四个量的任何相等的倍数，当第一个量的倍数大于、等于或小于第二个量的倍数时，相应地有第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，那么我们就说，第一个量与第二个量的比等于第三个量与第四个量的比(换言之，如果a，b，c，d是4个不分正负的量，a和b为同类量(均为线段或角或面积或体积)，c和d为同类量，且对于任意正整数λ和μ，相应于λc=μd(或λc,μd或λc,μd)有λα=μb(或λ,αμb或λα,μb)则a?b=c?d(欧多克索斯的比例理论为数学分析实数系的建立提供了条件( 第六篇:将比例理论应用于平面几何(主要讨论相似形问题(还有二次方程的几何解，并对毕达哥拉斯定理作了推广( 第七、八、九篇总共包括102个命题，主要是初等数论的内容(定义了奇数和偶数，素数和合成数，平方数和立方数，完全数等等( 第七篇:命题1指出，“若在两个不等数中，每当从大数中尽可能地减去小数，再从小数中尽可能地减去所得余数，又从前一余数中尽可能地减去下一余数，如此下去，并且任何余数都不是前一余数的约数，直至达到1为止，则此两给定数互为素数”(这个命题是用归谬法证明的，从此可以得出求不是互素的两个或三个数的最大公约数的方法(第七篇其余部分讨论素数的性质( 第八篇:研究有关连比例数的定理(该篇指出如何在两个数之间插入若干几何中项，并证明了，如果两个数a与b之比等于另外两个数c与d之比，且a与b之间有n个几何中项，则在c与d之间也有n个几何中项( 第九篇:在此篇中发展了素数的理论，并且指出素数的个数是无限的(命题20:“素数比任何指定的数目都多”(欧几里得对此定理的证明，已被数学家们普遍地认为是数学的典范(此证明是用间接方法即归谬法(reductio ad absurdum)完成的(现简述为:若只有有限个素数，不妨用α，β，„，l表 示，设Q,αβ„l，则Q，1要么是素数，要么是合数(但是，因为α，β，„，l是全部素数(而Q，1大于α，β，„，l中的任一个数，所以不可能是素数(另一方面，若Q，1是合数，它必定能被某素数q整除(但是q必定是全部素数α，β，„，l的集合中的一个元素，这就是说， q是Q的一个因子，结果q不能整除Q，1，于是我们最初假设(素数只有有限个)不能成立，此定理得证( 在本篇命题35采用了比较巧妙的方法来求几何级数的和:如果有任意多个数连成比例，并且第二个数与最后一数都可以减去第一个数，则第二个数的增量与第一个数之比，将等于最后一数的增量与最后一数前面的所有数之和的比(例如，若级数是 a，a，a，„，a，a 3nn+112 现在，如果有任意多个数成连比例，则由于任一前项与后项之比等于所有前项的和与所有后项的和之比(第七篇命题12)，故将所有前项与所有后项相加，即得 这个关系即可确定S，即a+a+a+„+a(但欧几里得实际上没有用这个方n123n 法来求几何级数的和，而是用它来建立确定完全数的法则( 第十篇:主要讨论无理量(本篇中的16个定义可分为三类，第一类(4个定义):主要阐述可通约量(Symmetra mege,the)，不可通约量(asymmetra de)，有理性和无理性的一般定义(第二类(6个定义):为了表示6个和无理量，确定6个二项线段(ek du honomaton)(第三类:为了表示6个差形无理量，确定6个余线段(apotome)(应该说这一篇是欧几里得的杰作，一些数学史家认为第十篇最为完美，远非其它各篇甚至第五篇所能比拟的( 值得注意的是命题1，它提供了穷竭法的基础，实际上，此种方法早在欧多克索斯时已经使用过，到了欧几里得手中已经能运用自如了(命题1的含意是，取两不等量，若从大量中减去一个大于或等于它本身一半的量，再从余量中减去大于或等于这余量一半的量，并且不断重复这一程序，则最后剩下的将是一个比所取二量中较小的一个还要小的量(欧几里得的证明如下: 设AB与c为二给定的不等量，AB,c(同时c的某一倍数一定会大于AB(定义4)(不妨设EF是c的倍数，则EF,AB(将EF分成几部分，即EM，MN，NF各与c相等(从AB割去大于它本身一半的AD，再从剩下的DB割去大于本身之一半的DG，这样不断继续下去，直到AB的分段数目与EF的分段数目相等( 设AD，DG，GB为AB的分段，其段数与EM，MN，NF的段数相等(由 于EF大于AB，并从EF已经割去了小于其一半的FN从AB已经割去了大于其一半的AD，所以剩下来的NE大于剩下来的DB( 由于NF,DB，并且从NE已经割去了其一半，即MN，从DB已经割去了大于其一半的DG，由此可知剩下来的EM大于剩下来的GB(但是，EM,c即GB,c，亦即剩下来的量小于给定二量中较小的量(此命题得证( 第十一篇至第十三篇集中讨论了立体几何问题(第十一篇把平面直线和平面角的几何学推广到平面和平面所构成的角上(立体角的定义是由两个以上的平面角所包围的角，这些平面角不在同一平面内，但都是从同一点作出的( 第十二篇:主要应用“穷竭法”证明一些命题(穷竭法(Method of exhaustion)的“穷竭”一词起源于相继作正内接多边形“穷竭”了圆的面积(希腊人并没有用这个词，到了17世纪，人们才使用这个名词(这种方法，仅仅是走向严格极限概念的一步，但是，我们会看到这种方法是严格的(它依赖于间接证法，不含明确的极限步骤，实际上，有人认为欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼兹这方面的工作严密可靠，因后者试图建立代数方法和数系并想用极限概念( 命题1:圆内接相似多边形之比等于圆直径平方比( 命题2:圆与圆之比等于其直径平方之比( 欧几里得对命题2的证明步骤如下: 设两圆分别为ABCD和abcd;BD与bd分别是两圆直径(若圆ABCD面积: 2222圆abcd面积?BD?bd，则BD与bd之比将等于圆ABCD与某一大于或小于圆abcd面积之比( 22(1)设BD与bd之比等于圆ABCD与一较小面积之比，令比较小面积为S(在圆abcd内作正方形abcd，如图3(12(通过a，b，c，d作圆的切线，于是构成一圆外切正方形，并且它的面积将是正方形abcd的面积的2倍(由于圆的面积小于其外切正方形的面积，所以内接正方形的面积大于圆abcd的面积的一半( 现在将弧ab，bc，cd，da在e，f，g，h处平分，并连接ae，eb，bf，fc，cg，gd，dh，ha(在e点作切线，于是在ab上完成了一个长方形(此长方形是三角形abe的2倍，因为弓形aeb小于此长方形，所以，三角形abe大于弓形aeb的一半(同理，对于弓形bfc等等也是如此(若把余下的各弧，例如ae再予以平分，且把它们的中点同a和e等点连接，最后就会得到一些弓形，其面积小于圆abcd的面积与面积S之差(由第十篇命题1(即:对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大量，再从所余量减去大于其半的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来那个较小量)，多边形aebfcgdh就大于面积S(再在圆ABCD内作内接多边形AEBFCGDH，它与多边形aebfcgdh相似(于是多边形AEBFCGDH之面积:多边形aebfcgdh 22的面积=BD?bd( 22而BD?bd=圆AEBFCGDH?S， 所以，圆AEBFCGDH?S=多边形 AEBFCGDH?多边形aebfcgdh，故圆AEBFCGDH?多边形AEBFCGDH=S?多边形aebfcgdh(又因为圆AEBFCGDH大于其内接多边形，所以面积S大于多边形aebfcgdh之面积(由假设，它也小于多边形aebfcgdh之面积，这是不对的( 2(2)同理可证，圆ABCD与一个大于圆abcd的面积之比，不可能等于BD 2与bd之比( 第十三篇:叙述了球的五种内接正多面体(即四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体)的作图法，实际上是要建立立体的边(棱)与球的半径之间的关系(欧几里得通过巧妙的推理得出了下列结果: 在最后的命题18，证明了正多面体不能多于5种( 三、欧几里得《几何原本》的历史意义 欧几里得《几何原本》是一部最早且内容丰富的数学著作，是在公理法的基础上，逻辑地创造几何学的首次尝试( 1(欧几里得创造性地建立了初等数学体系，采用先摆出所用公理，明确提出所用的定义，由浅入深地揭示一系列定理的方法(这样编排符合人们的认识规律，所以，一直被人们所沿用( 2(欧几里得在《几何原本》中，对公理的选择是很出色的，使得用一小批公理证出几百个定理，其中，有很多是深奥的，尤其对平行公理的处理更显得高明(在定理的取舍方面，他是经过认真筛选的(例如:在《几何原本》中没有列入三角形三条高交于一点(在初等数学中最一般)的定理，还有一些欧几里得其它著作中的定理，在此他也不屑一顾( 3(欧几里得把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法，从而把数学作为演绎系统建立起来，使数学从经验知识上升成为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生，并相对独立地得到发展( 4(欧几里得示范地规定了几何证明的方法:分析法，综合法及归谬法(有的证明相当精练，有独道之处( 5(对欧几里得撰写《几何原本》的目的有不同看法，有人认为是给数学家看的学术著作，也有人说是写给学生的课本，普罗克洛斯比较相信后一种说法(确实《几何原本》对数学教育产生了极为深远的影响，两千年来，一直被公认为初等数学的基础教材( 当然，《几何原本》也有其不完善的地方，例如，没有逻辑依据地运用了运动的概念，认为把图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变，等等( 总之，欧几里得《几何原本》的著成与传播，标志着数学进入一个新的阶段(在中国，17世纪始有《几何原本》前6卷的译本，直到19世纪中叶，才有完整的《几何原本》的译本(《几何原本》的传入，曾对中国数学和数学教育产生了深远的影响( 第四节 阿基米德对数学发展的贡献 阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)是数学历史上最伟大的数学家之一，近代数学史家贝尔(E(T(Bell，1883—1960)说:“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯(不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德(”?阿基米德的名字在他同时代的人们中成为贤明的象征，他会用简单的方法解最难的问题(古希腊著名的作家和历史学家普鲁塔克(Plutarch，公元前1世纪)说:把这样困难的题目解决得如此简单和明白，在数学里没有听到过，假如有谁尝试一下自己解这些题目，他会什么也得不到(但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就会立刻得出这样的印象，这个解法他自己也会找到(阿基米德用如此容易和简明的方法把我们引向目的( 阿基米德出生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古，他的父亲是天文学家，曾撰写过有关太阳和月球直径的文章(阿基米德早年在亚历山大学习，以后和亚历山大的学者一直保持联系( 阿基米德终生倾心对科学的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普鲁塔克曾写道:阿基米德废寝忘食，完全忽视关心自己的身体(经常要强迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形(古罗马建筑师维脱罗卫(Vitruvius，公元前2世纪)记述的阿基米德发现浮体规律的情景，令人感叹不已(有一次叙拉古的亥厄洛(Hieron)王让人制造纯金的皇冠(做成后国王怀疑是否完全用纯金制成，便请素称多能的阿基米德来鉴定(阿基米德曾长时间地思考解决的方法，正在苦闷之中，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的浴盆中时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻(于是，他忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等(根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的重量(这次成功的发现使阿基米德大吃一惊，他光着身子跑出浴池，大声喊:“我找到了”(?经过仔细地实验，他终于发现了流体静力学的基本原理:“阿基米德原理”——物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量( 在阿基米德一生的最后几年中，表现出了真挚的爱国热情(他为祖国的安危献出了自己全部力量和智慧(当罗马军队首领马塞拉斯率领大军进攻叙 拉古时，阿基米德发挥了自己的聪明才智，制造新的机械对抗罗马当时先进的军事设施(他制造了许多武器，做好在任何情况下击退敌人的准备(若敌人离城市很远，便用巨大的远射程投射机器，发射大量的“重炮弹”和“火箭”，击败敌人的战船(当阿基米德发觉炮弹落得太远，不能击中船只时，便使用了适合较小距离的投射机器(这样，使罗马军队胆战心惊，以致他们无力再向前推进(希腊文献记载，当罗马兵船靠近城下，阿基米德用巨大火镜反射日光使兵船焚烧(另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹出去，烧毁敌人的战船(总之，阿基米德竭尽全力，发明各种新式器械，给罗马军队以沉重的打击，为保卫祖国作出了重大贡献(后来，终因叛徒的出卖，叙拉古城失守了(一种说法是阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于数学的深思，埋头画几何图形(当一个罗马士兵冲到他面前时，阿基米德严肃地说:“走开，不要动我的图(”罗马士兵听了，觉得受到污辱，就拔剑刺死了阿基米德(终年75岁(根据阿基米德生前遗嘱，在墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，象征着他特别珍视的发明( 阿基米德在数学中做出很多贡献，他的许多著作的手稿一直保存到现在(一些数学史家都把他的原著译成现代文字(例如，希思的英译本，兹瓦 Ver(Ee,cke)的法译本，还有荷兰的迪利那的德译本，维尔?埃斯克(P( 克特赫斯(E(J(Dijksterhuis)的名著《阿基米德》(其著作涉及的范围很广，也说明他对前人在数学中的一切发现具有渊博的知识(保存下来的阿基米德著作多半是几何内容的著作，也有一部分力学和计算问题的著作(主要是《论球与圆柱》(On the Sphere and Cylin der)，《论抛物线求积法》(On Quadrature of the Parabola)，《圆的度量》(Measurement of a Circle)，《论螺线》(OnSpirals)，《论平板的平衡》(On Plane Equilibriums)，《论锥型体与球型体》(On Conoids Spheroids)，《砂粒计算》(The Sand Reckoner)，《论方法》(On Method)(阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理)，《论浮体》(On Floating Bodies)，《引理》(在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究(在这些研究中，他预见到了极微分割的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限概念(阿基米德的求积法蕴育着积分思想的萌芽，利用这种方法，发现了定理 阿基米德研究了曲线图形求积的问题，并且用穷竭法建立了这样的结果:“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形(即抛物线)， 下面是阿基米德的简略证明，可以揭示他的研究方法(AQQ是一抛物14线弓形，抛物线顶点为A(如图3(14)(QQ交抛物线的轴于O点(QO和QO1414各在Q和Q处平分，作图中所示的各线段就可完成图形(现在，QO,4QO231222,4BC，AO,4AC，因此BQ,3AC( 22 采用同样方法重复把QQ，QO平分就可证明(1)式的右方加上 122 等(在这些线上不断这样做下去，就可证明抛物线弓形面积是 这里?是指?AQO( 14 然而阿基米德没有求极限的观念，他是用归谬法来证明他的结论的(这种证法的要点是，如果所求面积不等于给定的面积S，它就一定同时大于它又小于它(而这是不合理的，由此，推知抛物线弓形的面积等于 阿基米德在《圆的度量》(Measurement of acircle)一文中，利用外切与内接96边形求得圆周率π: 史上最早给出的关于圆周率的误差估计( 在进行证明时，阿基米德避免了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所怀疑的(他考虑了内接多边形和外切多边形(他确立这个基本原理的方法是说明并证明:“给定二不等量，则不论大量与小量之比如何接近1，都有可能:(1)求出两条直线，使得较长的与较短的之比更小(大于1);(2)作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比”(然后就像欧几里得所做过的那样，他证明如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面积都要小(阿基米德对此做了一点补充，即指出若把外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面积之差，小于任何给定的面积( 阿基米德还研究了螺线，撰写了《论螺线》一书，有人认为，从某种意义来说，这是阿基米德对数学的全部贡献中最出色的部分(许多学者都在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方法(值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条螺线(这种螺线后来称为“阿基米德螺线”(螺线有一个基本性质，把矢径的长度和初始线从初始位置旋转时所通过的角度联系起来(此基本性质是以命题14出现的，现在都以r,aθ这个方程来表示之(阿基米德然后证明了，在第一个周转和初始线之间所包围的面积，亦即在矢径O与2 写道:“我认为螺线和回到原处的直线所围的面积，等于以该固定点作 有一直线在螺线的末端与螺线相切’并从固定端另作一直线垂直于旋转一周后返回到原处的直线，以致与切线相遇，我认为这样做成的与切线相遇的直线，就等于这个圆的圆周”(此即为《论螺线》一书中命题24( 阿基米德在《砂粒计算》(论数砂)著作中，设计出了一种表示大数的计数系统，能表示超出当时希腊计数系统所能表示的数(在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过10000，并将10000叫做无数之多(阿基米德把无数之多当作一种新的单位，把无数之多引入计算，并且提出了更高位的单位(据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个“群牛问题”(实质上要从7个方程中，得出8个正整数解，最后归结为一个二次不定方程 22x,472949y,1， 这个方程的解的位数相当大( 《引理》(Liber Assumptorum)一书是阿基米德最早的著作，其中含有15个命题，例如: 命题2，如果做正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍( 命题3，如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的4条线段的平方和等于直径的平方( 在《论浮体》(on Floating Bodies)一文中，阿基米德首先给出了比重比流体小的物体、相同的物体、大的物体浮力的法则，这确实是一部具有时代意义的杰作( 阿基米德在数学的创作中，运用了很多独到的方法(尤其他根据力学的原理发现问题之法，被整理成《阿基米德方法》?(The Method of Archimedes)(1906年海堡(J( L(Heiberg)在君士坦丁堡(Constantinople，现称伊斯坦布尔(lstanbul)，土耳其最大城市)发现阿基米德写给厄拉托塞(Eratosthenes，约公元前274—194年)的信以及阿基米德其他著作的传抄本， 记述了阿塞米德结合静力学和流体力学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等有关几何问题(其要点是:体积是由面积构成，面积是由彼此平行的直线构成(每条直线都有重量，而且与它们的长度成正比(因而可以把问题归结于使未知的几何图形与已知的几何图形相互平衡以求重心，其中利用杠杆原理确定抛物弓形面积，球和球冠面积，旋转双曲体体积就是例证(实际上，这是通往积分的较快的迂回之路(阿基米德信心百倍地预言:“一旦这种方法确立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后继者，就会利用这个方法又发现另外一些定理，而这些定理是我所预想不到的(”阿基米德为了能在数学中确立发现问题的方法，并给出了逻辑证明(阿基米德的预言，终于在近2000年之后，得以实现(18世纪，丹尼尔?伯努利(Da,niel Bernoulli)由物理知识推测到了三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解(19世纪中叶黎曼(G(F(B(Riemann)由电学理论确定在每一个封闭的黎曼曲面上都存在着通常有解的代数 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ( 阿基米德作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下获得的，使证明的过程颇为复杂，但他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明融为一体，并将抽象的理论与工程技术的具体应用紧密结合起来，将希腊数学推向一个新阶段( 由于阿基米德在科学研究中，注意在实践中洞察事物的各种现象，并透过现象认清本质，然后通过严格的论证，使经验事实上升为系统的理论，因此，阿基米德在天文学、力学等方面也作出了重大贡献( 阿基米德一生酷爱天文学，但遗憾的是他关于天文学的著作没有保留下来，根据希达克斯(Syntaxis)的记载，为了进行天文观测，阿基 比较精确的(并用仪器测量太阳的视角直径等，据说阿基米德撰写过《天文仪器的制作》(On the mak,ing of spheres)一书，现已失传( 总之，阿基米德的所有名著都以精确和严谨著称(正如数学史家希思所说，“这些论著毫无例外地都是数学 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 的纪念碑(解题 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 的逐步启示，命题次序的巧妙排列，严格排除与目的没有直接关联的一切东西，对整体的润饰——其完美性所给人的印象是如此之深，以致在读者心中能产生一种近乎敬畏的感情”(? 第五节 阿波罗厄奥斯与圆锥曲线 阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262—前190)是与欧几里得、阿基米德同一时期的伟大数学家(年轻时曾到亚历山大里亚就学，受教于欧几里得的弟子，后来从事教学工作( 阿波罗尼奥斯是一位有名望的天文学家，但他写过多种数学著作，其中《圆锥曲线论》(Conic Sections)是一部非凡的巨著，以此在同辈中间赢得了“伟大的几何学者”的称号(《圆锥曲线论》一书对几何学的发展产生了深远的影响(在数学界统治了近2000年，直到17世纪帕斯卡、笛卡儿时代才开始有本质上的改变( 《圆锥曲线论》共含8卷，包括了400多个命题，将圆锥曲线的性质网罗 殆尽，几乎使后人没有插足的余地(名著《古代的圆锥曲线论》(Zeuthen Die Lehre Von den Kegelsch,nittenim Altertum)中，对阿波罗尼奥斯的思想作了阐述(后来，数学史家诺依格包尔(O(Neugebauer，1899—)著《阿波罗尼奥斯研究》一书，对一些问题又作了补充(从而，可以看出阿波罗尼奥斯把希腊的几何学发展到炉火纯青的境地( 也应看到，阿波罗尼奥斯是在前人工作的基础上发展了圆锥曲线理论(门奈赫莫(Menaechmus，约公元前375—前325)是系统研究圆锥曲线的第一个人，在通过解决三大几何难题之一“倍立方”问题中，他知道a?x,x? 22y,y?2a与x,ay和2a,xy相当，由此导致对圆锥曲线的探讨(在公元前300年左右，欧几里得曾写过关于圆锥曲线的教科书，即《圆锥曲线原本》(Ele,ments of Conic Sections)，现已失传(后来阿基米德曾引用一些零散的命题( 阿波罗尼奥斯在第一卷中，主要是给出三种圆锥曲线即椭圆(ellipse)，抛物线(parabola)和双曲线(hyperbola)的定义(实际上，阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线理论就是从给出这三种圆锥曲线定义开始的(他首先给出圆锥曲面的定义: “如果有一点A，在不含此点的平面α上画一圆，在圆周上取一点P，连结AP并沿圆周运动形成的曲面叫做圆锥面(如图3(16 阿波罗尼奥斯把A叫做顶点，把A与圆心的连线叫圆锥面的轴，圆锥面和圆面围成的立体叫做圆锥(把圆面叫做圆锥的底( 如果用含轴的平面截圆锥，可得两个三角形ABC和AB′C′，BC和B′C′是圆锥的底与截面的交线，也可找到一个平面截这个圆锥，使交线DE垂直于BC，得到截面和三角形ABC的交线ZH，如图3(17( (1)ZH平行于AC 过曲线DZE任意一点K，引直线平行于ED、交ZH于G，线段KG在平行 于底的MKN面中，切口MKN是以MN为直径的圆，如图3(18(若引ZF，满 22足ZF?ZA,BC?BH?AC，K是曲线DZE上的点，总有KG=FZ?ZG，于是，以FZ、ZG为边的长方形面积FZ?ZG相当于?以KG为边的正方形的面积(把具有这种性质的曲线DZE叫抛物线(这乃是门奈赫莫斯的“直角圆锥切线” (2)ZH不平行于AC ??ZHB,?ACB时(如图3(19 取交线ZZ′，做截面与底的交线DHE，由于DHE和BC相交，过A引直 2线平行于ZZ′，交BC延长线于一点K，做ZF满足AK?BK?KC,ZZ′? 2ZF，过曲线任一点G，过点G作平行于DHE的直线交ZZ′于M，于是有GM,FZ?ZM-α成立((α是正值)这说明以GM为一边的正方形面积小于以FZ和ZM为边的长方形的面积，称为“不 奈赫莫斯的“锐角圆锥曲线”( ? ?ZHB,?ACB如图3(20( 用平面切以A为顶点的两圆锥，可得相对二条曲线DZE和? 希腊语是παραβολειν(D′Z′E′，平行于ZZ′的直线交BC于K，作FZ 2满足AK?BK?KC,ZZ′?FZ，对于曲线上任意一点G，有: 2GM,FZ?ZM+α(α为正值)成立(这说明以GM为边长的正方形面积大于以FZ、ZM为边的长方形面积(阿波罗尼奥斯命名为“过剩的”(,πρβαληhyperbola)，即现在的双曲线( 阿波罗尼奥斯能在如上复杂的图形中，寻求各种圆锥曲线的定义，显示出了他的高超才智( 第二卷开始部分描述了渐近线性质，其中指出，由于渐近线是向无限远伸展，所以它们要与曲线越来越靠近，以致它们相隔的距离可以小于任何给定的长度(此外，还证明了，由曲线上任一点向固定方向上的渐近线作直线所围成之矩形，其面积是一定的;这相当于笛卡儿术语中应以方程xy=c来表示的关系(接着是描述求圆锥曲线的直径、抛物线的轴、椭圆与双曲线的轴和中心的方法(最后说明作曲线之切线的各种方法( 第三卷含有一些定理，其中有一部分关于面积的定理(例如，若一条圆锥曲线上的任意两点A和B处的切线交于C，并与过B和A的直径交于D和E，则?CBD和?ACE面积相等(还有极点和极轴的调和性质(类似于我们在射影几何初等课本中的习题)以及关于相交弦线段乘积定理(例如，如果平行于两个给定方向的弦AB和CD相交于O， 第三卷开头论述关于切线与直径所成图形的面积的定理，并且还介绍了一些有关轨迹的问题，在本篇最后叙述了有心二次曲线的著名的焦点性质(但是，在整个著作中，既没有讲到圆锥曲线的焦点——准线的性质，也没有讲到抛物线的焦点，这是难以理解的，因为据帕普斯说，欧几里得已知道这些性质( 第四卷主要是讨论关于圆锥曲线相交的定理(还证明了第三卷中的极点和极轴的某些命题的逆命题( 第五卷的独到之处在于它论述从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线(阿波罗尼奥斯先从有心圆锥曲线长轴上或抛物线轴上的特殊点讲起，求出这些点到曲线的最大距离与最小距离(然后他取椭圆短轴上的点来做(他又证明，若O是任一圆锥曲线内的任一点，且若OP是从O到圆锥曲线 OP的一极小或极大距离，则P处垂直于OP的直线是P处的切线，又若O′是延长线上在圆锥曲线外面的任一点，则O′P是从O′到圆锥曲线的极小线(切线在切点处的垂线现在叫法线，因此极大和极小线都是法线(阿波罗尼奥斯其次考察任一圆锥曲线的法线性质(例如，在抛物线或椭圆任一点处的法线还与曲线交于另一点(然后他指出怎样从圆锥曲线内部或外部的给定点作该曲线的法线( 值得指出的是阿波罗尼奥斯在书中没有把法线看成是垂直于切线的直线，而是看成从曲线的内点或外点所作的到曲线上的极大直线和极小直线(此部分著作以严谨性著称( 第六卷:包括全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形(这弓形也像圆的弓形那样是由圆锥曲线的弦所割出的一部分面积(还讲述了如何在一个给定的直圆锥上求一个等于给定圆锥曲线的截线( 第七卷:包含—批涉及共轭直径的定理，例如，关于在一对共轭直径的端点对有心圆锥曲线所作切线形成的平行四边形的面积恒等的定理( 第八卷已失传( 阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》是一部内容广泛的著作，其中对许多复杂命题叙述奇特，读起来是相当吃力的( 除了《圆锥曲线论》，阿波罗尼奥斯还著有《论比例截点(或截线，截面)》(On Proportional Section);《关于相切》(Tangencies);《论特殊截点(或截线、截面)》(On Dete,rminate Section);《论确定的截点(或截线、截面)》(OnDeterminate Section);《关于平面轨迹》(Plane Loci);《斜向》(Vergings)(帕普斯曾对如上6部著作的内容作过简短的描述( 第六节 希腊后期的数学 希腊后期的数学一般指公元前146年罗马灭亡希腊以后的数学(由此，希腊本土的文化逐渐退居次要地位，科学中心开始转移到埃及的亚历山大里亚城，成为新的希腊文化渊薮(由于亚历山大里亚的学者继续不断地发明、创造，推动了数学的发展(以下几位数学家的工作是值得提及的( 在希腊后期，虽然对欧几里得《几何原本》没有作出根本性改革，但也作了很多添补工作(对此，首先作出贡献的是海伦( 海伦(Heron，约公元60年) ?著《关于测量仪》(Diopt,ra)一书，其中提出了确定罗马和亚历山大之间的时差问题的一个较复杂的方法，并用这种仪器观测两地的月食( 海伦的著作主要是由几何学、应用几何学、应用机械学合编成的一部百科全书性质的书籍——《几何》(在这部著作中，阐述了象测量仪一类器具的使用方法(他还注释了欧几里得的著作以及撰写有关面积和体积的书籍，但其名著是《测量术》(这部著作分三篇，第一篇是面积的计算;第二篇是体积的计算;第三篇是解决面积和体积的有关比例问题( 第一篇是最重要的篇章，其中给出已知三角形边长，求三角形面积的公式，即“海伦公式”( 海伦是通过具体的三角形推出此公式的，首先假定三角形的边长分别是13，14，15(海伦给出二种方法计算，其一是利用三角形的高来求面积，其二是不求出高，利用三边求面积，他按如下步骤计算( (1)将三边长相加 13，14，15,42( (2)取和的一半 42ô2=21( (4)求积、开方 21×8×7×6,7056，此三角形的面积是84( 如上步骤，可写成如下公式: (?表示三角形面积，a、b、c为三边长， 这就是著名的海伦公式( 德国数学家康托尔(M(B(Cantor， 1829—1920)曾指出，上述公式在海伦的原典中有明确记载(但是，根据阿拉伯文献记载，阿基米德已经知道这个公式，是海伦利用三角形的内切圆征明了此公式( 三角学在这个时期有了进一步发展(虽然人们对这门学科本身的兴趣在衰退，但逐渐成了其他学科，尤其是天文学的辅助学科(三角学这门科学是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的(很可能埃及人早已发现三角形的不同元素之间具有某种关联，但首先看到有必要建立三角形的边与角之间的精确关系的，仍是希腊人( 三角学在西方的最早的奠基人是希腊的希帕霍斯(Hippa,rchus，,—公元前127以后)(他是古希腊的天文学家(为了天文观测的需要，作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这份表没有保存下来( 继承和发展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文学的集大成者托勒密(ptolemy，约100—约170)(他撰写一部天文学著作，原名为《数学汇编》，后来译成阿拉伯文，再转译成拉丁文，变成Almagest的书名，意为《天文集》，这是一部主张“日心说”的著作( 托勒密在天文学上的研究，试图建立能精确确定某些关系的规则，正是为了改善天文计算为目的，三角学才应运而生(因此，球面三角学的研究先于平面三角学( 长度( 由于弧的大小是它所对之角的量度，所以，显然在图3(21中弦2α(即在弧上对着角2α所张弦的长度)和我们所说的sinα之间存在等价 可以推测，托勒密的方法相当复杂，不妨简述如下(托勒密首先认识到，确定不同角度的弦相当于如何设法解决用圆的直径长度表示圆内接正多边形的边长问题(值此，他把圆周分成360等份，即360度(直径则被分成120等份，使用60进位分法，实际上也推广到分数，并使用了等分、分、秒(partes minutoe，primoe，secundoe)等名称(这样就能用直径上许多等份来表示圆弧上对任一圆心角所张弦的长度(这乃是角的弦( 托勒密为扩充他的表，利用了人们熟知的关系式(从图3(22可以看出: 222222(chord2β)， chord(180?-2β),AC，AB,BC，即120( 22sinα，cosα,1( 托勒密进一步建立chord(α,β)的表示式，即 sin(α,β)公式， 托勒密的具体作法可表述为: 在直径AD上作一半圆，B和C是半圆上的两点，如图3(23(显然有 AC=chordθ，AB,chordθ，BC,chord(θ,θ)， l212 BD=chord(180?,θ)，CD=chord(180?,θ)( 21 从定理表达式 AC?BD=BC?AD+ AB?CD 或 BC?AD,AC?BD- AB?CD 亦即[chord(α-β)]?[chord180?] ,(chordθ)?[chord(180?-θ)],[chord(180?,θ)]， 121 可得出sin(A-B)的形式( 为了确立半角公式，托勒密以AB为直径作一圆，画出两相等的弦 AD?CB，CD?AB,AC?BD， 2222即 AD，CD?AB,BD=AB-AD( 2因此 2AD,AB2-AB?CD， 利用以上公式，托勒密求出有关角的正弦值，进行造表( 在第二篇中，托勒密研究了与地球球面有关的知识( 在第三、四、五篇中，利用本轮解释天文学的地心学说(在第四篇中，提出了测量学的三点问题的解:确定这样的点，使这一点与给定的三个点中每两点的连线所成之角分别为给定的角( 在第六篇中，提出了日、月蚀的理论( 在第七、八篇中，含有1028个恒星目录( 其余几篇是研究行星的(《天文集》一书，在哥白尼(N(Copernicus，1473—1543)之名著《关于天体的运转》(Derevolutionibusorbium Caelestium) 成书前，一直是标准的天文学著作( 托勒密曾怀疑过欧几里得平行公设，试图利用《几何原本》中的其它公理和公设推出第五公设，使之去掉欧几里得的一系列原始假定，但未能成功( 几乎在同一时期，希腊学者门纳劳斯(Menelaus of Ale,xandria，进一步研究了球面三角，并著《球面论》(Sphaeri,ca)，着重讨论球面三角形的几何性质( 在托勒密逝世之后，希腊的黄金时代已经过去，希腊数学开始走下坡路(正是在此时，有一些才华出众的学者，又为希腊数学增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亚历山大里亚的帕普斯(Pappus， 300,-350,)和丢番图(Diophantus)，他们的工作推动了希腊后期的数学( 帕普斯的主要数学著作是《数学汇编》(MathaematicalCollections)，此书共8篇，只第一、二篇的一部分保存下来了，其余部分都已失传(《数学汇编》一书统一了希腊早期几何学知识，开始进一步探求解决古代三个著名几何难题的方法，并做重要补充，其中包括对立体几何、高次平面曲线和等周问题的详尽处理( 按照解题所需的曲线性质，帕普斯进行了分类(他说:“我们已考虑过三种几何学问题(即:平面问题，立体问题，线性问题(那些可以用直线和圆周来解决的问题，都称为平面问题，因为用来解决这类问题的线的起源是在平面内(那些要靠一条或一条以上的圆锥曲线来解决的问题称为立体问题，因为在这些问题的作图中要用到立体图形的面，例如圆锥曲线(还有第三类问题:它们叫做线性问题，因为在这些问题的作图中必须用到不同于刚 才所述的线，它们有着不同的并且更复杂的起源，或者它们是由于运动而产生的(属于这类线的是螺旋线或螺线、割圆曲线、蚌线、蔓叶线等等(”? 《数学汇编》中含有两个重要等周问题(即:(1)在所有周长相同的圆弓形中，以半圆为最大((2)在所有表面积相等的立体中，以面数最多的立体为最大(这部著作中，记载着著名的“帕普斯问题”，即:“若从任一点作直线与五条具有给定位置的直线在各个给定角度上相交，并且其中三条直线所围之长方体的体积与其余两条直线和一给定直线所围之长方体的体积的比是给定的，那么这一点仍将落在给定位置的曲线上(”笛卡儿曾试图用分析方法解决这一问题，导致其发现了解析几何学的原理( 《数学汇编》中的第七篇，含有一著名的定理，现称古尔丁定理(因为，古尔丁(P(Guldin，1577—1643)重新独立发现了这一定理，并给出证明(这个定理是，如果一平面闭曲线图形绕曲线之外但在同一平面内的一轴转动一周，则旋转出来的形体的体积等于曲面面积乘以其重心所转过的圆周(这是有普遍意义的结果，帕普斯没有给出定理的证明( 第八篇主要研讨力学，他把物体的重心定义为物体内(并不一定属于物体)的一点，若在那一点把它吊起来，就能使它静止，而不管吊放的位置如何(然后他说明了用何种数学方法来确定这个点(帕普斯还讨论了物体沿斜面移动的问题( 《数学汇编》的水平和价值虽然不能与希腊黄金时代的名著相比，但是，它是在希腊数学衰落时的著作，从而展现出它的特殊意义( 在希腊后期，代数学获得了重大发展(发展的标志之一是对数学符号的使用(历史学家内塞尔曼(G(H(F(Nesselmann)在1842年对代数学符号历史发展概括出三个阶段(第一阶段，称为文字叙述代数(rhetorical algebra)，即对问题的解，不用缩写和符号，而是写成一篇论说文章(第二阶段，称为简化代数(Syncopatedalgebra)，即对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法(第三阶段，称为符号代数(Symbolic algeb,ra)，即对问题的解，多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与其所表现的内容没有什么明显的联系(希腊代数学在此之前都是文字叙述，而在此之后，代数学开始出现简化的倾向，对一些常用的量和运算采用了缩写的方法，对此作出卓越贡献的是丢番图(Diophantus，约公元246—330)(他的生平事迹没有流传下来，4世纪时的《希腊诗文集》的麦特罗多尔所写的墓志铭，用谜语的形式叙述了他的生平: “丢番图的一生，童年生活占1/6，青少年的时代占1/12，然后独身生活占1/7(结婚后过了5年生了一个儿子，儿子比父亲早4年而亡，只活了父亲年龄的一半”(? 可由一元一次方程，算出丢番图的一生年龄(即: 可得:x=84( 丢番图撰写过三部书，其中最著名的是《算术》(Arithmetica)，另外两部，有一部失传，还有一部是《多角数》(Depolygonis numeris)( 根据《算术》序文记载，这部著作共有13卷，现存只有卷(此书共解决 了189个问题(主要阐述数的理论，但大部分是解决代数问题，这种脱离几何范畴，研究实际问题的方法，为希腊数学增添了异彩( 丢番图的《算术》曾被人誉为“过渡代数”，尤其是把数学从纯粹语言叙述，转为借助于简单的词和某些符号来表达(例如: Y2?= ?,ναμιs 表示平方，s Y3K,K,βos 表示立方，s Y6KK,K,βòк,βos 表示立方的立方，s ,1,2丢番图还给出了负数幂s，s，„的表示法，对于各数的和，把各符号简单地排列在一起( 如上，他不写12，而是写12个单位(花拉子米也有类似的写法，丢番图曾给出减法用的符号，用来表示(关于乘法、相等、大于、小于符号的建立，主要是阿拉伯人的工作(因此，丢番图的《算术》基本上还是属于文字叙述阶段?(丢番图的代数还是原始的，但有了一定的简化符号( 丢番图曾给出求解一次方程的方法，即:“若方程两边的未知数的幂相同，但是系数不同，应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止(若在方程的一边或两边有减项，那么应当向两边加上这个项，使两边只有加项(然后需要再一次等量减等量，直到得出未知数等于某个数为止(”总之，丢番图施用了“合并同类项”，“移项”，“两边除以未知数的系数”(但他尽量避免除法运算，而用重复的减法代替(至于二次方程，他总是算出一个正根，其解法没有保存下来，不可详考( 222丢番图在解ax，c,y，bx，c,y等类型的不定方程时显示出了他的卓越才能(每题都用其特殊方法解决，没有给出一般解法，即使类型相同的题目，解法也不同(正如德国数学史家韩克尔(Hermann Hankel， 1839—1873)说:“近代数学家研究了丢番图100个题后，去解101个题，仍然感到困难(”? 丢番图也曾以具体的实例研究不定方程，在《算术》第二卷问题9，“把已知平方数分成两个平方数的和”，并把16分成两个有理数的平方 足方程: 222x，y,z 的有理数x，y，z( 大数学家费马就是看了丢番图的不定方程，而提出所谓“费马大定理”?的( 丢番图也曾解过二个或二个以上未知数的联立一次方程组( 总之，丢番图是把新思想引入数学的亚历山大数学家的最后代表(他在代数方面做出了重要贡献，被誉为代数学的鼻祖，人们用“解方程的形式，刻画他的年龄”，这亦是一种后世的深刻怀念吧～ 前面已经提到希腊数学衰退，在公元最初几个世纪里一直持续着(当丢 番图去世后，到了公元5世纪时，希腊数学到达了衰落的顶点(当时罗马已经成为世界之王，她的领土从印度河一直伸展到直布罗陀海峡，从尼罗河直到不列颠海岸(由于罗马人不关心智慧的追求，只需要食物和娱乐(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不关心，因此，罗马人在头几个世纪里，他们对数学或科学的发展贡献很小(西撒罗在他的塔斯克来尼恩讲话(Tusculanian Oratio ns)中曾为这个事实而痛惜(他感叹道:“希腊人给予几何学家以最高的荣誉;因此他们中间没有什么东西比数学发展得更光辉灿烂了(但是我们却把这门艺术局限于测量和计算的应用方面(” 在早期的基督教学者中，也只有少数几个对数学或科学有点兴趣(强烈的宗教热忱，是不鼓励他们对世俗学问追求和探索的( 但是，强盛的罗马帝国很快地瓦解，随着凯撒城在公元455年的陷落，罗马的统治权实际上已告结束(在此40年前，即公元415年，亚历山大里亚的著名学者赛翁之女希帕蒂亚(Hypatia，约370—415)惨遭一群基督教暴徒杀害(她是古希腊最后一位数学家，曾协助父亲完成对欧几里得《几何原本》的评注，还评注过丢番图的《算术》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》(她的死标志着通常被称为黑暗时期的那段荒芜时期的开始(希腊古代文明历史结束了，在随后的3个世纪左右，欧洲一直处于科学文化的衰退之中，即黑暗时期(