高中不等式基础
练习题
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高中不等式基础练习题
11(函数y,x,xx,0)的值域为(
A(
C([2,,?)B( D(
a,b12(下列不等式:?a2,1,2a;?2;?x2,?1,其中正确的个数是 x,1ab
(
A(0B(1C(2D(3
3(若a,0,b,0,且a,2b,2,0,则ab的最大值为(
1A.2B(1 C(D(4
4(若函数f,x,1在x,a处取最小值,则a,( x,2
A(1,2B(1,3C(3D(4
t2,4t,15(已知t,0,则函数y,的最小值为________( t
考向一 利用基本不等式求最值
11?已知x,0,y,0,且2x,y,1,则x,y的最小值为________;
当x,0时,则f,2x________( x,1 已知x,1,则f,x,1的最小值为________( x,1
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2已知0,x,5y,2x,5x2的最大值为________(
若x,y?且2x,8y,xy,0,则x,y的最小值为________(
考向二 利用基本不等式证明不等式
bccaab?已知a,0,b,0,c,0abca,b,c.
(
已知a,0,b,0,c,0,且a,b,c,1.
111求证:a,b,c?9.
考向三 利用基本不等式解决恒成立问题
?若对任意x,0,
________(
已知x,0,y,0,xy,x,2y,若xy?m,2恒成立,则实数m的最大值是________(
考向三 利用基本不等式解实际问题
?某单位建造一间地面面积为1m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过m(房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为800元,如果墙高为m,且不计房屋背面的费用(当侧面的长度为多少时,总造价最低,
东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元(从今年起,工厂投入100万元科技成本(并计划以后每年比上一年多投
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入100万元科技成本(预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g与科技成本的投入次数n的关系是g,80.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f万元( n,1xa恒成立,则a的取值范围是x,3x,1求出f的表达式;
求从今年算起第几年利润最高,最高利润为多少万元,
1 设a,b,0,则a2,abA(1B(2C(3D(4
双基自测
D(
答案 C
2(解析 ??不正确,?正确,x2,112,1?2,1,1.答案 B x,1x,11( a?a,b?
13(解析 ?a,0,b,0,a,2b,2,?a,2b,2?2ab,即ab?2答案 A
4(解析 当x,2时,x,2,0,f,,
,4,当且仅当x,2,1,2?x,2?x,2?×12x,21x,2),即x,3时取等号,即当f取得最小值时,xx,2
,3,即a,3.答案 C
t2,4t,115(解析 ?t,0,?y,,t,tt,4?2,4,,2,当且仅当t,1时取等
号(答案 ,2
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解析 ?x,0,y,0,且2x,y,1,
112x,y2x,yy2xy2x?x,y,x,y,3,x,y3,22.当且仅当xy
?x,0,?f,2x221,1?2,1,当且仅当x,x,即x,1时取等号(答x,1x,x案 3,21
(解析 ?x,1,?f,,1,1?2,1,当且仅当xx,1
12,2时取等号(y,2x,5x2,x,5?5x?,?0,x,55x,2,2,
1?5x,2,5x?2,1,?y?5x,2,5x,x,0,?5x??52??1128即x,5时,ymax,5.由2x,8y,xy,0,得2x,8y,xy,?y,x,1,
8y2x?82?4yx?x,y,?xy,10,xy10,2?xy?10,2×2× ????4yxxy,18,
4yx当且仅当xyx,2y时取等号,又2x,8y,xy,0,?x,12,y,6,
?当x,12,y,6时,x,y取最小值18.
1答案 18
bcca证明 ?a,0,b,0,c,0,?a,b?2
bcabcaab,2bacb,c?cabcab,2c;aba,c?caab?bccaab?,bc2a.以上三式相加得:2?abc??2,即abca,b,c.
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111a,b,ca,b,c证明 ?a,0,b,0,c,0,且a,b,c,1,?a,b,c,aba,b,cbcacab?ba?ca?cb?a,b,?ac,?bc,3,caabbcc??????
1?3,2,2,2,9,当且仅当a,b,c,3
xx解析 若对任意x,0?a恒成立,只需求得y,的最大值即x,3x,1x,3x,1
可,因为x,0,所以y,x,x,3x,1111?当且仅当x,1时取115x,x,3xx
?1??1?等号,所以a的取值范围是?5,,??答案 ?5? ????
解析 由x,0,y,0,xy,x,2y?2xy,得xy?8,于是由m,2?xy恒成立,得m,2?8,m?10,故m的最大值为10.答案 10
12?16 解 第n次投入后,产量为万件,销售价格为100元,固定成本为80元,科技成本投入为100n万元(所以,年利润为f,(由知f,?,100n n)?n,1?n,1???
9?9n,1,?520(当且仅当n,1,,1 000,80?, n,1??n,1
即n,8时,利润最高,最高利润为520万元(所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元(
(正解 ?a,0,b,0,且a,b,1,
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12?12b2a?a,b,?a,b,1,2,ab?3,??b2aab,3,22.
a,b,1,??当且仅当?b2a??ab ?a,2,1,12即?时,ab3,22. ?b,2,2
11112尝试解答] a,ab,a,ab,ab,ab,a,a?a,b?a?a,b?
11,ab,ab?1a?a,b?,1abab,2,2,4.当且仅当a,1
a?a,b?且ab,1
aba,2b时,等号成立(答案
D
高中数学基本不等式的巧用
a,b
1(基本不等式:ab?2基本不等式成立的条件:等号成立的条件:当且仅当时取等号((几个重要的不等式
ba?a,b?2
; a2,b2?2ab;a,b?2;ab??
?2?a2,b2?a,b?2
( 2??
?2?3(算术平均数与几何平均数
a,b
设a,0,b,0,则a,b的算术平均数为2ab,基本
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不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数((利用基本不等式求最值问题 已知x,0,y,0,则
如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x,y有最小值是2p. p2
如果和x,y是定值p,那么当且仅当时,xy4简记:和定积最大) 一个技巧
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2,b2?2ab逆用就是
2
技巧和公式等号成立的条件等( 两个变形
222
?ab;
这两个不等式链用处很大,注意掌握它们( 三个注意
视(要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可(
“正”“定”“等”的条件(
应用一:求最值 例1:求下列函数的值域
1
1
y,x,
y,3x,
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2xx
解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知x?
技巧二:凑系数 例1. 当
时,求y?x的最大值。
5
,求函数y?4x?2?1的最大值。4x?5
技巧三: 分离
x2?7x?10
的值域。 例3. 求y?
x?1
。
技巧四:换元
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f?x?例:求函数y?
a
的单调性。
x
2的值域。
练习(求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.
11x2?3x?1
,x? ,x? y?2sinx?, y?2x?y?
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sinxx?3x
2(已知0?x?
1,求函数y?的最大值.;3(0?x?
2
,求函数y?3
.
条件求最值
ab
1.若实数满足a?b?2,则3?3的最小值是 .
11
变式:若log4x?log4y?2,求?的最小值.并求x,y的值
xy
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。:已知x?0,y?0,且
19
??1,求x?y的最小值。 xy
?
变式: 若x,y?R且2x?
y?1,求1?1的最小值
x
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y
?
已知a,b,x,y?R且a?b?1,求x
xy
?y的最小值
1,y 的最大值.
1
技巧七、已知x,y为正实数,且x,
y
2
,1,求x
技巧八:已知a,b为正实数,2b,ab,a,30,求函数y,
ab
的最小值.
技巧九、取平方
5、已知x,y为正实数,3x,2y,10,求函数W应用二:利用基本不等式证明不等式
1(已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a
2
3xy 的最值.
?b2?c2?ab?bc?ca
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1)正数a,b,c满足a,b,c,1,求证:?8abc 例6:已知a、b、c?R,且a?b?c?1。求证:?应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知x?0,y?0且
?
?1??1??1??1???1???1???a??b??c?
19
??1,求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy
应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若a?b?1,P?
1
1
a?lgb,Q?
1a?b,R?lg,则P,Q,R的大小关系是.2
解:y,3x,
?2x
1
3x?
2x
?值域为,+?)
当x,0时,y,x,?x
1
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x? ,2; x
1
x =,x
11
当x,0时, y,x= ,?,2
xx?值域为
解:因4x?5?0,所以首先要“调整”符号,又
1
不是常数,所以对4x?2要进行拆、凑项,x?5
511??x?,?5?4x?0,?y?4x?2????5?4x???3??2?3?14x?55?4x??
当且仅当5?4x?
1
,即x?1时,上式等号成立,故当x?1时,ymax?1。?4x
知,
,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 解析:由
积的形式,但其和不是定值。注意到2x??
8为定值,故只需将y?x凑上一个系数即可。
当
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,即x,2时取等号 当x,2时,y?x的最大值为8。
评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。 解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离。
当
,即
时,y?5?解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x,1,化简原式在分离求最值。
2?7?
A
?B,
g恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。 g
1
?t?
t2
?t
,则y?
?
因t?0,t??1,但t?解得t??1不在区间?2,???,故等号不成立,考虑单调性。 因为y?t?在区间?1,???单调递增,
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所以在其子区间?2,???为单调递增函数,故y?所以,所求函数的值域为?,???。
分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3?3定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解:和3都是正数,3?3?23a?3b?23a?b?6
ababab
当3?3时等号成立,由a?b?2及3?3得a?b?1即当a?b?1时,3?3的最小值是6(
a
b
1
t1t
1t5。
?5?2??
abab
不等式综合练习题
??? ; 常用不等式有:a、b、c?R,a?b?c?ab?bc?ca
若a?b?0,m?0,则?。
aa?m
1111111
常用的放缩技巧有:???2???
nn?1nnnn?1n
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???
1、对于实数a,b,c中,给出下列命题:
?若a?b,则ac2?bc2; ?若ac2?bc2,则a?b; ?若a?b?0,则a2?ab?b2; ?若a?b?0,则?若a?b?0,则
11
?; ab
ba
?; ?若a?b?0,a?b; ab
ab11
??若c?a?b?0,则; ?若a?b,?,则a?0,b?0。 c?ac?bab
其中正确的命题是______
2、已知a?b?c,且a?b?c?0,则
3、设a?0且a?1,t?0,比较
4、设a?2,p?a?
5、比较1+logx3与2logx2的大小
21
,q?2?a?4a?2,试比较p,q的大小 a?2
c
的取值范围是______ a
1t?1logat和loga的大小2
6、下列命题中正确的是
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12A、y?x?的最小值是 B
、y?的最小值是2
x4
C、y?2?3x?的最大值是2?
x4
D、y?2?3x?的最小值是2?
x
xy
7、若x?2y?1,则2?4的最小值是______
8、正数x,y满足x?2y?1,则
11
?的最小值为______ xy
9、如果正数a、b满足ab?a?b?3,则ab的取值范围是_________
222222
10、已知a?b?c,求证:ab?bc?ca?ab?bc?ca ;
已知a,b,c?R,求证:a2b2?b2c2?c2a2?abc; 已知a,b,x,y?R?,且
11xy
?,x?y,求证:?; abx?ay?b
若a、b、c是不全相等的正数,求证:
a?bb?cc?a
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?lg?lg?lga?lgb?lgc;22
222222
已知a,b,c?R,求证:ab?bc?ca?abc;
lg
*
若n?
N?
n;
|a|?|b||a|?|b|
?;
|a?b||a?b|
111
求证:1?2?2??2?2。
23n
2
11、解不等式?
0。
已知|a|?|b|,求证:
12、不等式、g的定义域都是R,且f?0的解集为{x|1?x?2},g?0的解集为?,则不等式fg?0的解集为______
14、要使满足关于x的不等式2x?9x?a?0的每一个x的值至少满足不等式x?4x?3?0和x?6x?8?0中的一个,则实
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数a的取值范围是______.
15、解不等式
16、关于x的不等式ax?b?0的解集为,则关于x的
不等式 17、 |2?
2
2
2
5?x
??1
x2?2x?3
ax?b
?0的解集为 x?2
31x|?2?|x?|2
18、|x|?|x?1|?3
19、若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立,则实数a
的取值范围为______。
20、若loga
2
?1,则a的取值范围是__________
ax2
?x1、解不等式
ax?1
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n?1
22、若不等式a?2?对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是_____
n
n
2
23、若不等式x?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立,求m的取值范围.
参考答案:1、?????2、??2,??时取等号);当0?a?1时,
?
?
1t?11?
3、当a?1时,logat?loga) 、p?q244
5、当0?x?1或x?时,1+logx3,2logx2;当1?x?时,1+logx3,2logx2;
33
4
当x?时,1+logx3,2logx26、C
、8
、3?、?9,???
3
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11、{x|x?1或x??2} 12、{x|x?3或x??1} 13、14、
[7,
[2,??))
81
)15、 16、?17、x?R
42
18、 19、{20、a?1或0?a?)
3
11
a?0时,a?0时,a?0时,{x|x?或x?0};{x|?x?0}或
x?0}){x|x?0};21、
aa
31
22、[?2,))3、m??)
22
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