【强烈推荐】高中数学解析几何公式与题型
高中数学解析几何公式与题型
解析几何中的基本公式
221、 两点间距离:若A(x,y),B(x,y)，则AB,(x,x)，(y,y) 11222121
特别地:轴， 则 。 AB,AB//x
轴， 则 。 AB//yAB,
2、 平行线间距离:若l:Ax，By，C,0,l:Ax，By，C,0 1122
C,C12 则:d, 22A，B
注意点:x，y对应项系数应相等。
P(x,y),l:Ax，By，C,03、 点到直线的距离: ,,
Ax，By，C,,则P到l的距离为: d,22A，B
y,kx，b,4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式: ,F(x,y),0,
2消y:，务必注意 ax，bx，c,0,,0.
(x,y),B(x,y)若l与曲线交于A 1122
22AB,(1，k)(x,x) 则: 21
(x,y),B(x,y)5、 若A，P(x，y)。P在直线AB上，且P1122
分有向线段AB所成的比为， ,
x，,x,12x,,,1，,则 ，特别地:=1时，P为,,yy，,12,y,,1，,,
x，x,12x,,,2AB中点且 ,yy，12,y,,2,
x,xy,y11,,或,,变形后: x,xy,y226、 若直线l的斜率为k，直线l的斜率为k，则l到l的角为 ,,,,(0,,)112212
k,k21,适用范围:k，k都存在且kk,1 ， tan,, 12121，kk12
k,k,12若l与l的夹角为，则， ,,(0,]tan,,,1221，kk12注意:(1)l到l的角，指从l按逆时针方向旋转到l所成的角，范围(0,,) 1212
l到l的夹角:指 l、l相交所成的锐角或直角。 1212
, (2)ll时，夹角、到角=。 12,2
(3)当l与l中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 12
,,,(0,,)7、 (1)倾斜角，;
,,
(2); a,b夹角,，,,[0，,]
,(3)直线l与平面; ,的夹角,，,,[0，]2
,(4)l与l的夹角为，，其中l//l时夹角=0; [0，],,,,12122
(5)二面角; ,,,,(0,,]
(6)l到l的角 ,，,,(0，,)12
,8、 直线的倾斜角与斜率k的关系
,a) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
,,b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan。 9、 直线l与直线l的的平行与垂直 12
(1)若l，l均存在斜率且不重合:?l//l k=k 121212,
?ll kk=,1 1212,,
l:Ax，By，C,0,l:Ax，By，C,0 (2)若 11112222
若A、A、B、B都不为零 1212
ABC111? l//l;,,12 ,ABC222
? ll AA+BB=0; 121212,,
AB11? l与l相交 ,12,AB22
ABC111? l与l重合; ,,12,ABC222
,注意:若A或B中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。 22
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点 斜截式: y=kx+b 应分?斜率不存在
?斜率存在
y,y,k(x,x)x,x点斜式: (1)斜率不存在: ,,,
y,y,k(x,x) (2)斜率存在时为 ,,
y,yx,x11,两点式: y,yx,x2121
xy截距式: 其中l交x轴于，交y轴于(a,0)(0,b)，,1ab
当直线l在坐标轴上，截距相等时应
分:
(1)截距=0 设y=kx
xy (2)截距= 设 ，,1a,0aa
a 即x+y= 一般式: (其中A、B不同时为零) Ax，By，C,0
10、确定圆需三个独立的条件
222(x,a)，(y,b),r圆的方程 (1)标准方程: ， (a,b),,圆心，r,,半径。
2222x，y，Dx，Ey，F,0D，E,4F,0) (2)一般方程:，(
22D，E,F4DEr, (,,,),,圆心,222
222(x,a)，(y,b),r11、直线与圆的位置关系有三种 Ax，By，C,0
Aa，Bb，Cd,r,相离,,,0若d,， 22A，B
d,r,相切,,,0
d,r,相交,,,0
12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r， OO,d121212
d,r，r,外离,4条公切线 12
d,r，r,外切,3条公切线 12
r,r,d,r，r,相交,2条公切线1212
d,r,r,内切,1条公切线12
0,d,r,r,内含,无公切线12
外离 外切
相交 内切 内含
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
(一)椭圆
a定义?:若F，F是两定点，P为动点，且 (为常数)PF，PF,2a,FF121212则P点的轨迹是椭圆。
定义?:若F为定点，l为定直线，动点P到F的距离与到定直线l的距离之比为常11
数e(0
1)，则动点P
的轨迹是双曲线。
(二)图形:
(三)性质
2222xyyx,,1,,1(a,0,b,0)(a,0,b,0) 方程: 2222abab
定义域:; 值域为R; {xx,a或x,a}
实轴长=，虚轴长=2b 2a
焦距:2c
2a,,x准线方程: c
22aa()PF,e(,x)PF,ex，焦半径:，，; PF,PF,2a1212cc
， 注意:(1)图中线段的几何特征:AF,BF,c,aAF,BF,a，c1221
2222aaaaa,或a，,或，cc 顶点到准线的距离:;焦点到准线的距离: cccc
22a两准线间的距离= c
2222xyxyb,,1,,0, (2)若双曲线方程为渐近线方程: ,y,,x2222ababa
22xyxyb,,, 若渐近线方程为双曲线可设为 ,,0,,y,,x22ababa
2222xyxy,,1,,, 若双曲线与有公共渐近线，可设为 2222abab
(，焦点在x轴上，，焦点在y轴上) ,,0,,0
(3)特别地当离心率e,2两渐近线互相垂直，分别为y=，a,b时,,x,
22x,y,,此时双曲线为等轴双曲线，可设为;
,PFFcos，FPFPF,PF,2a (4)注意中结合定义与余弦定理，将有关121212
线段、、和角结合起来。 PFPFFF1212
(5)完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。 二、抛物线
(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。
(二)图形:
2y,2px,(p,0),p,,焦参数(三)性质:方程:;
p 焦点: ，通径; (,0)AB,2p2
px,, 准线: ; 2
ppp 焦半径:CF,x，,过焦点弦长CD,x，，x，,x，x，p ,1212222
p 注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=2p;焦点到准线的距离=;通径长= p2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
2y2,y,2px (2)抛物线上的动点可设为P或(,y),2p
22P(2pt,2pt)或(x,y)其中y,2pxP ,,,,
解析几何新题型 【考点透视】
一(直线和圆的方程
1(理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程(
2(掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系(
3(了解二元一次不等式表示平面区域(
4(了解线性规划的意义，并会简单的应用(
5(了解解析几何的基本思想，了解坐标法(
6(掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程( 二(圆锥曲线方程
1(掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质(
2(掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质(
3(掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质(
4(了解圆锥曲线的初步应用(
【例题解析】
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
222xy例1(若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为( ) ypx,2p，,162
A( B( C( D( ,2,442
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
22xy2解答过程:椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，ypx,2p,4，,162
故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.
2例2(已知抛物线y-x+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
22A.3 B.4 C.3 D.4 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
2,yx,,，32yxb,，解:设直线的方程为，由，AB,，，,,,，,,xxbxx301,12yxb,，,
1111进而可求出的中点，又由在直线上可求出xy，,0ABMb(,),,，Mb(,),,，2222
， b,1
222AB,，,，,,1114(2)32?，由弦长公式可求出(xx，,,20 故选C
22xy例3(如图，把椭圆的长轴 ，,12516
x分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部 AB8
分于七个点，是椭圆的一个焦点， FPPPPPPP,,,,,,1234567
则____________. PFPFPFPFPFPFPF，，，，，，,1234567
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
222xy解答过程:由椭圆的方程知 aa,？,25,5.，,12516
72，a? PFPFPFPFPFPFPFa，，，，，，,,，,，,77535.12345672
故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:
c(1)椭圆的离心率e,?(0,1) (e越大则椭圆越扁); a
c(2) 双曲线的离心率e,?(1, ，?) (e越大则双曲线开口越大). a
结合有关知识来解题.
例4(已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为 (4,0),(4,0)
22222222xyxyxyxyA( B( C( D( ,,1,,1,,1,,1412124106610考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.
c2解答过程: 所以故选(A). ？,,ab2,12.ec,,,2,4,a
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其
对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.
22例5(已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距3x,y,9
离之比等于( )
23 A. B. C. 2 D.4 23
c考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e,?(1, ，?) 的有关知识的应用能力. a
22解答过程:依题意可知 ( a,3,c,a，b,3，9,23
考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
222例6(已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x,y),B(x,y)两点，则y+y112212的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
22解:设过点P(4,0)的直线为 ykxkxxx,,？,，,4,8164,，，，，
2222？,，，,kxkxk84160,，， 2841k，,,22？，,，,，,，,yyxx4416232.，，12,,2212kk,,
故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心.
例7(
在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标2
22xy原点O.椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. ，29a
(1)求圆C的方程;
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力(
[解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
mn,,,m,,2,,,, 则 解得 ,,n,2.n,,222,,,,
22 所求的圆的方程为 (2)(2)8xy，，,,
(2) 由已知可得 ， ( a,5210a,
22xy椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ; ，,1259
假设存在Q点使, ,，，222cos,222sin,,QFOF,，，
22( ,，,，，,222cos4222sin4,,，，，，
22整理得 ， 代入 ( sincos1,,，,sin3cos22,,,，
,,,,1228122222得: , ( 10cos122cos70,,，，,,cos1,,,,1010
因此不存在符合题意的Q点.
例8(
2 如图,曲线G的方程为.以原点为圆心，以 t(t,0)y,2x(y,0)
为半径的圆分别与曲线G和y轴的 正半轴相交于 A 与点B. 直线AB 与 x 轴相交于点C.
(?)求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式; (?)设曲线G上点D的横坐标为,求证:直线CD的斜率为定值. a，2
[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
问题的能力. [解答过程](I)由题意知， A(a,2a).
22因为 |OA|,t,所以a，2a,t.
2由于 (1) t,0,故有t,a，2a.
xy由点B(0，t)，C(c，0)的坐标知，直线BC的方程为 ，,1.ct
a2a又因点A在直线BC上，故有 ，,1,ct
a2a将(1)代入上式，得解得 . c,a，2，2(a，2)，,1,ca(a，2)
(II)因为，所以直线CD的斜率为 D(a，22(a，2))
2(a，2)2(a，2)2(a，2)， k,,,,,1CDa，2,ca，2,(a，2，2(a，2)),2(a，2)
所以直线CD的斜率为定值.
22xy例9(已知椭圆，AB是它的一条弦，是弦AB的中点，若M(2,1)E:1(ab0)，,,,22ab
以点为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点，M(2,1)N(4,1),
eee1,若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求: 11
(1)椭圆E的离心率;(2)双曲线C的方程.
解答过程:(1)设A、B坐标分别为， A(x,y),B(x,y)1122
2222xyxy2211 则，，二式相减得: ，,1，,12222abab
222b1(1),,yy(xx)b,，1212 ， ,,,,,k1k,,,,MN2AB2a24,xx(yy)a,，1212
222222c2 所以，， 则; a2c,a2b2(ac),,,e,,a2
221a(2c)(2)椭圆E的右准线为，双曲线的离心率， e2,,x2c,,,1cce
设是双曲线上任一点，则: P(x,y)
22(x2)(y1),，,|PM| ， ,,2|x2c||x2c|,,
两端平方且将代入得:或， N(4,1),c1,c3,
22 当时，双曲线方程为:，不合题意，舍去; c1,(x2)(y1)0,,,,
22 当时，双曲线方程为:，即为所求. c3,(x10)(y1)32,,,,
小结:(1)“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法;
(2)求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题:
22xy例10(双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线. 3x，,184
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).l
8当，且时，求Q点的坐标. PQQAQB,,,,,，,,,12123
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用
数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
22xy解答过程:(?)设双曲线方程为, ,,122ab
22xy由椭圆,求得两焦点为， (2,0),(2,0),，,184
？对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 Cyx,3Cc:2,
b22？ 解得 ， ab,,1,3,3a
2y2？双曲线的方程为 Cx,,13
(?)解法一:
由题意知直线的斜率存在且不等于零. lk
4设的方程:，,则. lykxAxy,，4,(,)Bxy(,)Q(,0),1122k
44,. PQQA,,？,,,，,(,4)(,)xy1111kk
44,x,,,441,,kk,,,，,()x ,,111？,kk,,4,,,,4yy,,,11,1,,1,
1，1616,21？在双曲线上， . CAxy(,)()10,,,112k,,11
16162222222？？ ，，,,,,,,1632160.kk,，，,,,,(16)32160.kk111133
16222同理有: ,，，,,,,(16)32160.kk223
22若则直线过顶点，不合题意. l160,,,k？,,160,k
16222是二次方程的两根. ？,,,(16)32160.,，，,,kxxk123
2328,，此时. ？,k4,,？,,0,2k？，,,,,,122,k163
？所求的坐标为. Q(2,0),
解法二:由题意知直线的斜率存在且不等于零 lk
4设的方程，，则. lykxAxyBxy,，4,(,),(,)Q(,0),1122k
,， 分的比为. PA？QPQQA,,11
由定比分点坐标公式得
,44x,,11,,,,，x(1),11,, kk1，,,,,11,,,44，y,11,,0,y,,1,,1，,,,1,1
下同解法一
解法三:由题意知直线的斜率存在且不等于零 lk
4设的方程:，则. lykxAxyBxy,，4,(,),(,)Q(,0),1122k
444， . PQQAQB,,,,？,,,，,，,,(,4)(,)(,)xyxy12111222kkk
44， ，， ？,,,4,,yy？,,,,,,112212yy12
8112又， ,即. 3()2yyyy，,,,，,,？，,1212123yy312
2y2222将代入得. (3)244830,,，,,kyykykx,，4x,,13
2，否则与渐近线平行. l30,,k
224483,k. ？，,,yyyy,12122233,,kk
224483,k. ？,,k2？，,，322233,,kk
. ？,Q(2,0)
解法四:由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程:，,lykx,，4AxyBxy(,),(,)1122
4则 Q(,0),k
44,. ？,,,，,(,4)(,)xyPQQA,,1111kk
4,44k？.同理 . ,,,,,,,11，kx44，kx421，x1k
448. ,,，,,,,,12，，kxkx44312
225()80kxxkxx，，，,即 . (*) 1212
ykx,，4,,2又 ,y2x,,1,3,
22(3)8190,,,,kxkx消去y得.
22当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，. 30,,k30,,k
8k,xx，,122,,3,k由韦达定理有: ,19,xx,,122,3,k,
2kk,,,4,2代入(*)式得 .
？所求Q点的坐标为. (2,0),
例11(
设动点P到点A(,l，0)和B(1，0)的距离分别为d和d， 12
2?APB,2θ,且存在常数λ(0,λ,1,,使得ddsinθ,λ( 12 (1)证明:动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程;
N两点,试确定λ的范围, (2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、
使?,0,其中点O为坐标原点( OMON
[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知
识进行推理运算的能力和解决问题的能力(
222[解答过程]解法1:(1)在中，，即， ?PAB22cos2,，,dddd,AB,21212
222，即(常数)， 4()4sin,,，dddd,dddd,,,,,,44sin212,,12121212
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线( PCAB，221a,,,
22xy方程为:( ,,1,,1,
(2)设， Mxy()，Nxy()，1122
x?当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上( MNx,1MNM(11)，N(11)，,
1115,,51,2即，因为，所以( 01,,,,,,,,,,,，,,,,110212,,,
x?当不垂直于轴时，设的方程为ykx,,(1)( MNMN
22,xy2222,,1,由得:， ，，,,,,,(1)2(1)(1)()0kxkxk,,，,,,，,，，1,,,,,ykx,,(1),
22,,2(1)k,,,，(1)(),,k2由题意知:，所以，( ，，,,,,,(1)0kxx，,xx,121222，，,,(1)k,,(1)k,,,,
22k,2于是:( yykxx,,,,(1)(1)12122,,(1)k,,
因为，且在双曲线右支上，所以 OM,ON,0MN，
,,(1),,2xxyy，,0,(1),,,,,k,12122,,( 512,,,,，,1,,2xx，,,,,,,0，,,11,,,,,,,1223,22,,,k,，,,10xx,0,,,12,,1,,,
512,由??知，( ,?,23
解法2:(1)同解法1
(2)设，，的中点为( MNMxy()，Nxy()，Exy()，112200
,22xx,,1?当时，， MB,,,,，,,110,,,121,,
51,因为，所以; 01,,,,,2
22,xy111,,,,xxx,?当时，( ,,,1,012k,,,,MN221,y,xy022,1,,,1,,,,
y220又(所以; (1),,,,,,yxxkk,,000MNBE1x,0
222,,MN,,MN,exxa()2，,22，，12由得，由第二定义得 xy，,?MON,,,,00,,,,2222，，,,,,
211,,2( ,,,,，,,,,xxx1(1)2000,,1,,1,,,,
222所以( (1)2(1)(1),,,,，,,,,,yxx000
222,(1),,,,yxx,,,(1),,,000于是由得 x,.0,22223,,(1)2(1)(1),yxx,,,,，,,,,,,,000
2(1),,x,1因为，所以，又， 01,,,,1023,,
512,512,解得:(由??知( ,,,,?,2323
考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用
解析几何知识建立等量关系容易.
3例12(设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线C(1,0),3
交椭圆E于A、B两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方,AOBCA2BC,
程.
223解答过程:因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为，直线方程为2x3yt(t0)，,,3
， myx1,，
2222,2x3yt，,A(x,y),B(x,y)由得:，设， (2m3)y4my2t0，,，,,1122,myx1,，,y4mA则…………? yy，,1222m3，
Cy2y,,又，故，即…………? CA2BC,(x1,y)2(1x,y)，,,,,121122ox
B,4m8m由??得:，， y,y,21222m3，2m3，
1m66则,， ,,,S|yy|6||,AOB12,2，22m3322|m|，|m|
632当，即时，面积取最大值， ,AOBm,,m,22
22t32m,此时，即， t10,yy,,,122222m3(2m3)，，
622所以，直线方程为，椭圆方程为. 2x3y10，,xy10,，,2
小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13(已知，，且， 求的最大PB(x5,y),,|PA||PB|6，,PA(x5,y),，|2x3y12|,,值和最小值.
解答过程:设，，， A(5,0),B(5,0)P(x,y)
因为，且， |PA||PB|6，,|AB|256,,
所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，
22xy椭圆方程为，令x3cos,y2sin,,,,， ，,194
,则,， |2x3y12|,,|62cos()12|,，,4
,1262，当时，取最大值， |2x3y12|,,cos()1,，,,4
,1262,当时，取最小值. |2x3y12|,,cos()1,，,4
小结:利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域
问题.
2x2例14((2006年福建卷) 已知椭圆的左焦点为F， ，,y12y
O为坐标原点.
(I)求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程; lB
(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
xOFGlx线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. A考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.
22解答过程:(I) abcFlx,,？,,,,2,1,1,(1,0),:2.圆过点O、F，
1？圆心M在直线上. x,,2
131设则圆半径 r,,,,,()(2).Mt(,),,222
1322由得 OMr,,(),,，,t22
解得 t,,2.
1922？所求圆的方程为 ()(2).xy，，,,24
(II)设直线AB的方程为 ykxk,，,(1)(0),
2x22222代入整理得 (12)4220.，，，,,kxkxk，,y1,2
？直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根. 记中点 AxyBxyAB(,),(,),Nxy(,),112200
24k则 xx，,,,12221k，
1的垂直平分线NG的方程为 ？AByyxx,,,,().00k
令得 y,0,
222211kkkxxky,，,,，,,,,，.G002222 212121242kkkk，，，，
1kx,？,,,0,0,G2
1？点G横坐标的取值范围为 (,0).,2
22xy例15(已知双曲线C:，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半,,,,1(a0,b0)22ab
轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂|OA|,|OB|,|OF|
线，垂足为P， l
(1)求证:; PAOPPAFP,,,
(2)若与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围. l
222a|OB|aA(,0)解答过程:(1)因成等比数列，故，即， |OA|,|OB|,|OF||OA|,,cc|OF|
a直线:， lyy(xc),,,b
a,Dy(xc),,,2,aabP,由， b,P(,)E,Fbcc,yx,OBAx,a,
22abaabbabPA(0,),OP(,),FP(,),,,,,故:， ccccc
22abPAOPPAFP,,,,,PAOPPAFP,,,则:，即; 2c
PA(OPFP)PA(PFPO)PAOF0,,,,,,,,PAOPPAFP,,,(或，即)
a,4442y(xc),,,aaac,2222(2)由， ,,，,，,(b)x2cx(ab)0b,222bbb222222,bxayab,,,
42ac22,，(ab)24422222bbabcaae2e2.,,,,,,,,, 由xx0,,得: 124a2b,2b
ab22222kk,,bcaae2e2,,,,,,,(或由) ,,,,DFDOba
小结:向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求
出各个点的坐标.
a(x,0),b(1,y),(a3b)(a3b)，,,例16(已知，，，
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程;
ykxm(m0),，,D(0,1),|AD||BD|, (2)若直线与曲线C交于A、B两点，，且，
试求m的取值范围.
(x,0)3(1,y)(x3,3y)，,，解答过程:(1)a3b，,，
(x,0)3(1,y)(x3,3y),,,,a3b,,，
(a3b)(a3b)，,,(a3b)(a3b)0，,,,因，故，
22(x3,3y)(x3,3y)x3y30，,,,,,,,即，
2x2,,y1故P点的轨迹方程为. 3
ykxm,，,222(13k)x6kmx3m30,,,,,得:， (2)由,22x3y3,,,
A(x,y),B(x,y)M(x,y)设，A、B的中点为 112200
22222,,,,,,,，,,(6km)4(13k)(3m3)12(m13k)0则，
xx，6km3kmm12，，， xx，,x,,ykxm,，,1200022213k,213k,13k,
3kmm即A、B的中点为， (,)2213k13k,,
m13km则线段AB的垂直平分线为:， y()(x),,,,2213kk13k,,
2将的坐标代入，化简得:， D(0,1),4m3k1,,
22,m13k0，,,,2则由得:，解之得或， m4m0,,m0,m4,,24m3k1,,,,
12又，所以， 4m3k11,,,,m,,4
1故m的取值范围是. (,0)(4,),，,4
小结:求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐
标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17(已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的
|BC|2|AC|,ACBC0,,中心O，且，，
(1)求椭圆的方程;
(2)如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得，PCQλPQ,λAB,请说明理由; y
C解答过程:(1)以O为原点，OA所在直线为x轴建立
AO 平面直角坐标系，则， A(2,0)x
Q22xyBP，,1 设椭圆方程为，不妨设C在x轴上方， 24b
|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|,,,, 由椭圆的对称性，，
又ACBC0,,，即为等腰直角三角形， ΔOCA,,ACOC
42 由得:，代入椭圆方程得:， A(2,0)C(1,1)b,3
22x3y，,1 即，椭圆方程为; 44
PQ,λAB(2)假设总存在实数，使得，即， AB//PQλ
0(1)1,,k,, 由得，则， C(1,1)B(1,1),,AB2(1)3,,
若设CP:，则CQ:， yk(x1)1,,，yk(x1)1,,,，
22,x3y，,1,222 由， ,，,,，,,,(13k)x6k(k1)x3k6k1044,
,yk(x1)1,,，,
222(13k)x6k(k1)x3k6k10，,,，,,, 由C(1,1)得是方程的一个根， x1,
223k6k1,,3k6k1，,xx1,,,x, 由韦达定理得:，以代k得， ,kPPQ2213k，13k，
yyk(xx)2k,，,1PQPQ 故，故AB//PQ， k,,,PQxxxx3,,PQPQ
PQ,λAB 即总存在实数，使得. λ
评注:此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.
考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进
一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18(设G、M分别是的重心和外心，，，且， GMAB,,A(0,a),B(0,a)(a0),,ABC
(1)求点C的轨迹方程;
(2)是否存在直线m，使m过点并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且(a,0)
OPOQ0,,,若存在，求出直线m的方程;若不存在，请说明理由.
xy解答过程:(1)设，则， C(x,y)G(,)33
x 因为GMAB,,，所以，则， M(,0)GM//AB3
xx2222()a(x)y，,,， 由M为的外心，则，即， |MA||MC|,,ABC33
22xy，,,1(x0) 整理得:; 223aa
(2)假设直线m存在，设方程为， yk(xa),,
yk(xa),,,,2222222(13k)x6kax3a(k1)0，，，,, 由得:， ,xy，,,1(x0),223aa,
2226ka3a(k1),P(x,y),Q(x,y)xx，,xx, 设，则，， 121211222213k，13k，
22,2ka222yyk(xa)(xa)k[xxa(xx)a],,,,,，， ,， 12121212213k，
xxyy0，,OPOQ0,, 由得:， 1212
22223a(k1)2ka,,，,0k3,, 即，解之得， 2213k13k，，
又点(a,0)在椭圆的内部，直线m过点(a,0)，
y3(xa),,, 故存在直线m，其方程为.
小结:(1)解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的
结果，然后做出正确的判断;
(2)直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组
成的方程组的求解问题.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
11(如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，那么双曲线方程是() (6,3)yx,,3
2222222xyxyxyx2 A( B( C( D( ,,1,,1,,y1,,19369183819
2222xyxy2(已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方，,1,,122222m3n3m5n
程为( )
331515 A. B. C. D. xy,,yx,,xy,,yx,,4422
22xyF,FMF3(已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴， ，,,,1(ab0)12122ab
且，则椭圆的离心率为( ) ，,:FMF6012
2133 A. B. C. D. 2322
22xy4(二次曲线，当时，该曲线的离心率e的取值范围是( ) m[2,1],,,，,14m
35235636 A. B. C. D. [,][,][,][,]22222222
225(直线m的方程为，双曲线C的方程为，若直线m与双曲线C的右xy1,,ykx1,,
支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D. (2,2),(1,2)[2,2),[1,2)
226(已知圆的方程为，若抛物线过点A(1,0),，B(1,0)，且以圆的切线为准线，xy4，,
则抛物线的焦点的轨迹方程为( )
2222xyxy A. B. ，,,1(y0)，,,1(y0)4334
2222xyxyC. D. ,,,1(x0),,,1(x0)3443
二、填空题
22xyFF7(已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 PF,PF,0，,1(a,b,0)211222ab
1，则椭圆的离心率为 ______________ . tan，PFF,122
228(已知椭圆x+2y=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆
413截得的弦长为，点A的坐标是______________ . 3
22xyF,F9(P是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点，设，则k的最大值|PF||PF|k,,，,1121243
与最小值之差是______________ .
10(给出下列命题:
2222 ?圆关于点对称的圆的方程是; (x2)(y1)1，，,,(x3)(y3)1，，,,M(1,2),
22xy29?双曲线右支上一点P到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为; ,,11692
92?顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点的抛物线方程只能是; (4,3),,yx,,4
122?P、Q是椭圆上的两个动点，O为原点，直线OP,OQ的斜率之积为，x4y16，,,4
22则等于定值20 . |OP||OQ|，
把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题
211(已知两点，，动点P在y轴上的射影为Q，， A(2,0)B(2,0),PAPB2PQ,,
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)设直线m过点A，斜率为k，当时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直0k1,,
线m的距离为，试求k的值及此时点C的坐标. 2
4A,A12(如图，，是双曲线C的两焦点，直线是双曲线C的右准线， F(3,0)F(3,0),x,12123
AAPAP是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于的一动点，直线、交212
y双曲线C的右准线分别于M,N两点， PM(1)求双曲线C的方程;
FF21oAA(2)求证:是定值. 12xFMFN,12N
13(已知的面积为S，且，建立如图所示坐标系， OFFQ1,,,OFQy
Q1(1)若，，求直线FQ的方程; |OF|2,S,2
3o(2)设，，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当取|OQ||OF|c(c2),,FSc,x4
得最小值时的椭圆方程.
14(已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满H(3,0),
3足，， HPPM0,,PMMQ,,2
(1)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C; y
P(2)过点作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点T(1,0),
EQoE(x,0)x，使得为等边三角形，求的值. H,ABET00MxA
B
22xy15(已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x，,1(a,b,0)22ab
F轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量( ABOM1
(1)求椭圆的离心率e;
FF (2)设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求? 的取值范围; FQF211216(已知两点M(-1，0)，N(1，0)且点P使成公差小于零的等MP,MN,PM,PN,NM,NP
差数列，
(?)点P的轨迹是什么曲线,
(x,y) (?)若点P坐标为，为的夹角，求tanθ( ,PM与PN00
【参考答案】
11(6,3)一. 1(C .提示，设双曲线方程为，将点代入求出即可. ,(xy)(xy)，,,,33
222(D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为(3m5n,0),
222222，由得，所以，双曲线的渐近线为3m5n2m3n,,，|m|22|n|,(2m3n,0)，
6|n|3 . yx,,,,2|m|4
|MF|d,|MF|2d,3(C .设，则，， |FF|3d,1212
|FF|c2c3d312 . e,,,,,a2a|MF||MF|d2d3，，12
2254.C .曲线为双曲线，且，故选C;或用，来计算. a4,bm,,,12
5(B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.
6(B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7(解:设c为为椭圆半焦距，? ，? . PF,PF,0PF,PF1212
,22,2PF，PF,(2c)12,1 又 ? tan，PFF,,12PF，PF,2a,212,PF12,,,PF21,
cc552(),,,e 解得: ( 选D( ,aa93
8( 解:设A(x，0)(x,0)，则直线的方程为y=x-x，设直线与椭圆相交于P(x，ll0001
22y)，Q(x、y)，由 y=x-x 可得3x-4xx+2x-12=0， 1220 00
22 x+2y=12
24x212x,00 ，，则 x，x,x,x,121233
2216x8x,4822200 ( |x,x|,(x，x),4xx,,,36,2x1212120933
414241422 ?，即( ,2,,36,2x,1，x,|x,x|012333
2 ?x=4，又x,0，?x=2，?A(2，0)( 000
222k|PF||PF|(aex)(aex)aex,,,，,,,9(1; . 12
10(??.
PA(2x,y),,,三. 11(解(1)设动点P的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，，， PQ(x,0),,
22PB(2x,y),,,,PAPBx2y,,,，，，
2222x2y2x,，,因为，所以， PAPB2PQ,,
22yx2,,即动点P的轨迹方程为:;
yk(x2)(0k1),,,,(2)设直线m:，
依题意，点C在与直线m平行，且与m之间的距离为的直线上， 2
2|2kb|，m:ykxb,，设此直线为，由，即b22kb2，,，……? ,212k1，
22222yx2,,(k1)x2kbx(b2)0,，，,,把代入，整理得:， ykxb,，
222222,,,,,,4kb4(k1)(b2)0则，即，…………? b2k2，,
2510由??得:，， k,b,55
,2510yx,，,此时，由方程组 . ,C(22,10)55,22,yx2,,,
2a42,12(解:(1)依题意得:，，所以，， b5,c3,a2,c3
22xy,,1 所求双曲线C的方程为; 45
P(x,y)M(x,y)N(x,y)A(2,0),A(2,0)(2)设，，，则，， 00112212
210，，，， AP(x2,y),，AP(x2,y),,AN(,y),,AM(,y),100200221133
10y2y1000因为与共线，故，，同理:， y,y,,APAM(x2)yy，,12010113(x2)，3(x2),300
135则，， FN(,y),,FM(,y),221133
25(x4),0220，6520y656504所以,,, . FMFN,,，yy,,,,,,10121222999(x4),99(x4),00
|OF|2,OF(2,0),Q(x,y)13(解:(1)因为，则F(2,0)，，设，则， FQ(x2,y),,0000
5，解得， x,OFFQ2(x2)1,,,,002
11151由，得，故， y,,Q(,),S|OF||y||y|,,,,00022222
所以，PQ所在直线方程为yx2,,或yx2,,，; Q(x,y)|OF|c(c2),,(2)设，因为，则， FQ(xc,y),,0000
1由得:， OFFQc(xc)1,,,,xc,，00c
133又，则， y,,Sc|y|c,,00224
131922，， Q(c,)，,|OQ|(c),，，c2c4
53|OQ|易知，当时，最小，此时， c2,Q(,),22
22,ab4,,222,a10,xy,,，,,,1,(ab0)，则，解得， 设椭圆方程为,,259222abb6,，,1,,,224a4b,
22xy，,1所以，椭圆方程为 . 106
3yx14(解:(1)设，由得:，， M(x,y)P(0,),Q(,0)PMMQ,,232
y3y2y4x,HPPM0,, 由得:，即， (3,)(x,)0,,22
由点Q在x轴的正半轴上，故， x0,
即动点M的轨迹C是以为顶点，以为焦点的抛物线，除去原点; (0,0)(1,0)
2y4x,(2)设，代入得: m:yk(x1)(k0),，,
2222kx2(k2)xk0，,，,…………? A(x,y)B(x,y)x,x设，，则是方程?的两个实根， 112212
222(k2),2k2,xx1,(,)xx，,,则，，所以线段AB的中点为， 121222kkk
2212k,线段AB的垂直平分线方程为， y(x),,,,2kkk
22令y0,，，得， x1,，E(1,0)，022kk
3|AB|因为为正三角形，则点E到直线AB的距离等于， ,ABE2
241k,222又,， |AB|(xx)(yy),,，,,，1k12122k
4113231k2,2所以，，解得:， . x,k,,,，1k0223k|k|
22bb15(解:(1)?，? . (,,0),则,,,,Fcxcy,,k1MMOMaac
2bbb2 ?是共线向量，?，?b=c,故 . k,,,OM与AB,,,e,AB2acaa
FQrFQrFQF,,，,,,,,112212 (2)设
？，,,rraFFc2,2,1212
2222222rrcrrrrc，,，,,4()24aa 121212,cos110,,,,,,,rr，22rrrrrr212121212()2
,r,r 当且仅当时，cosθ=0，?θ . ,[0,]122
16(解:(?)记P(x,y)，由M(-1，0)N(1，0)得
， . PMMPxy,,,,,,(1,),PN,,NP,(,1,x,,y)MN,,NM,(2,0)
22 所以 . ， . PM,PN,x，y,1MP,MN,2(1，x)NM,NP,2(1,x)
于是， 是公差小于零的等差数列等价于 MP,MN,PM,PN,NM,NP
1,2222x，y,1,[2(1，x)，2(1,x)],,，,3xy 即 . 2,,,x,0xx2(1,),2(1，),0,,
3 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
22(x,y) (?)点P的坐标为。 . PM,PN,x，y,1,20000
22222 PMPNxyxyxxx,，，,,，,，,,,,(1)(1)(42)(42)240000000
PMPN,1 因为 0〈， x,3,所以cos.,,02PMPN,4,x0
所以
1,12,cos,1,0,,,,,,,,,sin,1cos,1,223,x40
11,24,x,sin 02,tan,,,3,x,y.00,cos124,x0
浙公网安备 33021202002483