数字信号处理(方勇)第二章习题答案

数字信号处理学习拓展 2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解： （1） （2） （3） ， （4） EMBED Equation.3 = （5） （6） 2－2 设信号 ，它的傅里叶变换为 ，试计算 (1) （２） （３） 。 解： （１） （２） ， （３） 2－3 已知 求 的逆傅里叶变换 。 解： 2－4 设 和 分别是 和 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。 （1） （2） （3） （4） 解：(1) ， 令 则： (2) (3) ，令 ，则： (4) 由 ，得 所以 2－5 已知序列 ，求其傅里叶变换DTFT。 解： EMBED Equation.DSMT4 2－6 设 ，试求 的共轭对称序列 和共轭反对称序列 ；并分别用图表示。 解： 图形如下题2-6图所示： 题2-6图 与 序列图 2－7 设系统的单位脉冲响应 ，，输入序列为 完成下面各题： （1） 求出系统输出序列 ； （2） 分别求出 、 和 的傅里叶变换。 解：（1） （2） 2－8 若序列 是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： 求序列 及其傅里叶变换 。 解： 2－9 试用定义计算周期为5，且一个周期内 的序列 的DFS。 解： 2－10 求出周期序列 的DFS。 解：由题知 周期为4 EMBED Equation.DSMT4 2－11 已知周期为 的信号 ，其DFS为 ，证明DFS的调制特性 。 证明： 命题得证。 2－12 设 将 以4为周期进行周期延拓，形成周期序列 ，画出 和 的波形，求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。 解： 以4为周期。 和 波形图如下题2-12图所示： 题2-12图 和 波形图 2－13 如果 是一个周期为 的周期序列，其DFS为 ，将 看作周期为2 的 周期序列，其DFS为 。试利用 确定 。 解： 按照题意，可以写出： = = + 令 ，则 + 所以 2－14 根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号 。 （1） （2） 解： （1） 因此 （2）因为 含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为 ，其周期为 ，DFS为 ，则有： 的DTFT ，有 即 而已知 可见 EMBED Equation.3 即 所以 ， ， ， ， 得 是以 为周期的周期函数。 2－15 计算以下诸序列的 点DFT，在变换区间 内，序列定义为 （1） （2） ， （3） EMBED Equation.DSMT4 （4） ,其中 （5） ，其中 解： （1） （2） （3） ， （4） 由DFT的定义直接计算序列的DFT，对 变换采样。由于 ，对 在 ， 上采样，求得: （5） = , 2－16 已知 ， ，求其 点DFT。 解: ， 2－17 设 ，求其原序列 。 解： 2－18 已知下列 ， ，求 ，其中 。 解： 2－19 已知序列 的4点离散傅里叶变换为 ，求其复共轭序 列 的离散傅里叶变换 。 解： EMBED Equation.DSMT4 2－20 证明DFT的对称定理，即假设 证明： 证明： 2－21 如果 ，证明DFT的初值定理 证明：由IDFT定义式 知 2－22 证明离散帕斯维尔定理。若 ，则 证明： 2－23 令 表示 点序列 的 点离散傅里叶变换。 本身也是个 点序列。 如果计算 的离散傅里叶变换得一序列 ，试用 求 。 解：按照题意，可以写成 因为 所以 2－24 一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换 ，如题2-24图所示。 令 求 的16点DFT，并画出其图形。 解：按照题意，当 为奇数时 为零，故可写出 而 所以 EMBED Equation.DSMT4 即 所以 的图形如题2-26（a）图所示： 题2-26（a）图 2－25 已知序列 是 的6点DFT。 （1） 若有限长序列 的6点DFT 是 ,求 。 （2） 若有限长序列 的3点DFT 满足， ， ，求 。 解： （1）序列 的DFT由 的DFT与复指数 相乘组成，这相当于是将 圆周移位了4点： ，所以： （2）序列 长度为3，DFT变换为 ， ， ， ，其中 是 的6点DFT。由于系数 是对 在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以 ， ， ， ，相当于是对 在单位圆上等间隔采样3点，所以 在 区间外 ,因而 ; ; EMBED Equation.DSMT4 就得到 。 2－26 在很多实际应用中都需要将一个序列与窗函数 相乘。设 是一个 点的序 列， 是汉明窗： 试用 的DFT求加窗序列 的DFT。 解：首先用复指数表示汉明窗 因此 如果 则 所以加窗序列 的DFT为 2－27 已知 求 和 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ；欲使两卷积相同，则循环卷积的长度 的最小值应为多少？ 解： ， L=4+2-1=5 2－28 已知序列 ，若 是 与它本身的4点循环卷 积，求 及其4点的 。 解： 的4点 ： EMBED Equation.DSMT4 2－29 和 都是长度为6点的有限长序列， 和 分别是 和 的8 点DFT。若组成乘积 ，对 作8点IDFT得到序列 ，问 在哪些点上等于以下线性卷积： 解： 和 都是长度为6点，则 的长度为11点，而 为 与 的8点循环卷积。根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积。 2－30 序列 （1） 求 的4点DFT； （2） 若 是 与它本身的4点循环卷积，求 及其4点DFT ； （3） ，求 与 的4点循环卷积。 解： 由题可知： （1） （2） 得到 即 （3）由题知 得 2－31 序列 为 计算 的5点DFT，然后对得到的序列求平方： 求 的5点DFT反变换 。 解：序列 的5点DFT等于乘积 ，所以 是 与本身5点圆周卷积的结果： 一个简单的计算圆周卷积的方法是先进行线性卷积 ，然后将结果叠加： 与本身的线性卷积的结果为 用 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 法计算圆周卷积，就会得到 题2-31表 0 1 2 3 4 5 6 7 4 4 1 4 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4 5 1 4 2 — — — 所以 2－32 考虑两个序列： 若组成 ，其中 、 分别是 和 的5点DFT，对 作DFT反变换得到序列 ，求序列 。 解： 因为 是两个5点DFT 和 的乘积，所以 是 和 的5点圆 周卷积。可以用图解法计算圆周卷积 ，也可以用先线性卷积再重叠的方法，还可以用先将DFT相乘再对乘积作DFT反变换的方法。本题中， 是一个简单序列，我们可以用分析法。 和 的5点圆周卷积是： ， 因为 ， ，且 ，5点圆周卷积是： ， 圆周卷积等于圆周移位序列 的值从 到 求和的结果，因为 是 （ 可以看作是长度为5 的序列） 可以通过反向读取序列得到，从 开始： 是 的前5个 值相加的结果，得到 。将此序列圆周右移1后， 就有 前4个值相加后得到 。继续求解，求得： , , 。 2－33 两个有限长序列 和 的零值区间为 EMBED Equation.3 ; 。对每个序列作20点DFT，得 和 ，如果 ， ， ， ， 。 ， ， ， ， 。试问在哪些点上 ？为什么？ 解： 设 ，而 EMBED Equation.3 ， 的长度为27， 的长度为20， 且 当上述周期延拓序列中无混叠的点上有： ， 2－34 两个有限长序列 和 ，在区间以外的值为 ，两个序列圆周卷积后 得到的新序列 为 其中 。若 仅在 时有非零值，确定 为哪些值时， 一定等于 和 的线性卷积？ 解： 由于 ， 等于 和 的线性卷积的点 是在区间 内，圆周移位 等于线性移位 的那些点。由于 仅仅在区间 内有非零值，我们可以看到杂区间 内 。所以当 时线性卷积与圆周卷积相等。 2－35 求证循环卷积定理。设有限长序列 和 的长度分别为 和 ，取 ，且 和 分别是两个序列的 点DFT。 （1） 若 ，求证 ； （2） 若 EMBED Equation.DSMT4 ，求证： 。 证明：（1） 点DFT等于 的序列为: , , , , 需要用 和 来表示 ，由于 ， 将 代入到 的表达式中，有： ， , , , 交换求和顺序，则 ， , , , 括号内的项等于 ，有： ， , , , = = （2） 由定义 ， 。若想用 和 来表示 ，将下面 的表达式代入上式得： ， 交换求和顺序，上式变成： 第二个求和就是 ，有： 所以， 是 和 圆周卷积的 倍： 问题得证。 2－36 若 和 都是长为 点的序列， 和 分别是两个序列的 点 DFT。证明： 证明：令 和 分别是 和 的 点DFT ， 是 的 点DFT，则 的DFT是 ， ， 由性质有 ， 让 计算 ，就可以得到结论： 2－37 已知实序列 的８点DFT前５个值为 ． 求 其余三点的值。 解： 为实序列，满足共轭对称性， 得其余三点： , 0 2－38 已知 、 是长度为4的实序列， ， ，求序列 ， 。 解：由 ，得： ， 所以 由上知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 综上可得： ， 2－39 已知序列 是 的6点DFT， 若有限长序列 的6点DFT等于 的实部，即 ，求 。 解： 的实部是 ，为了计算 的DFT反变换， 我们需要计算 的DFT反变换。由于 是 的DFT，所以 的DFT反变换是： ，所以 为： 2－40 如何用一个 点DFT变换计算两个实序列 和 的 点DFT变换？ 解： 两个实序列的DFT可以由一个 点DFT求得：首先，我们组成一个 点复序列 计算 的 点DFT后，利用DFT的共轭对称性质从 中提取出 和 。实序列的DFT有共轭对称性： 虚序列的DFT有共轭反对称性： 由于 是实序列的DFT： 这是 的共轭对称部分。同样， 是虚序列的DFT： 这是 的共轭反对称性。 2－41 一个有限长序列 ，设其 变换是 。如果在 ， ， ， ， 点上对 采样，就得到一组DFT系数 。求4点DFT等于这些采样值的序列 。 解：对 在单位圆上等间隔采样4点将造成 的混叠： 利用表格法计算上式中的求和，注意只有序列 和 在 时有非零值，所以有 题2-41表 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 — — — — 2－42 设 ，试画出时域基2FFT流图，并根据流图计算每个碟形 运算的结果，最后写出 的序列值。 解： 2FFT流图如题2-42图所示： 题2-42图 时域基2FFT流图 2－43 已知序列 = ，用FFT蝶形运算方法计算其8点的DFT。画出计 算流图，标出各节点数值。 解： EMBED Equation.DSMT4 用 点DFT计算 点的DFT 计算8点的DFT 所以其计算流图如题2-43图所示： 题2-43图 FFT蝶形运算流图 2－44 设序列 的长度为200，对其用时域基2FFT来计算DFT，请写出第三级蝶形 中不同的旋转因子。 解: 由于序列 的长度为200，所以取 ,得 。 又因为 ， ， ， ， 第3级蝶形运算中不同的旋转因子为： ， ， ， 2－45 如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要 ，每次复数加需要 ，用来计算 点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。 解： 当 时，直接计算DFT的复数乘法运算次数为 次 直接计算1024点DFT需要时间 为 s 用FFT计算1024点DFT所需计算时间为 快速卷积时，要计算一次 点FFT（考虑到 已计算好存入内存），一次 点IFFT和 次频域复数乘法。所以，计算1024点快速卷积的计算时间约为 所以，每秒钟处理的采样点数（即采样速率） 次/秒。由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为 应当说明，实际实现时， 还要小一些。这是由于实际采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与 长度有关，而且还有存取数据指令周期等。 2－46 序列 长240点， 长10点。当采用直接计算法和快速卷积法（用基2FFT） 求它们的线性卷积 时，各需要多少次乘法？ 解： （1）已知 直接线性卷积复乘的次数为 （次） （2）因为 取 。快速卷积中复乘的次数： 1） ，需 次复乘； 2） ，需 次复乘； 3） ，需 次复乘； 总的复乘的次数为： (次) 2－47 设有限长序列 的DFT为 ，我们可使用FFT来完成该运算.现假设已知 ， ,如何利用FFT求原序列 。 解： EMBED Equation.3 ， 　 EMBED Equation.DSMT4 ， 因此，利用FFT求 的步骤为： (1) 对 求共轭 (2) 对 进行FFT变换 (3) 对变换后的序列取共轭，并乘以 即得到 。 2－48 已知 和 是两个 点实序列 和 的DFT，若要从 和 求 和 ，为提高运算效率，试设计用一次 点IFFT来完成。 解： 为实序列。 为共轭对称序列， 为共轭反对称序列。 将 ， 作为序列 的共轭对称分量和共轭反对称分量 计算一次 点IFFT得到 由DFT的共轭对称性 ， 2－49 设 是长度为 的有限长实序列， 为 的 点DFT。 （1） 试设计用一次 点DFT完成计算 的高效算法。 （2） 若已知 ，试设计用一次 点IDFT实现求 的 点IDFT运算。 解： 本题的解题思路就是DIF-FFT思想 （1） 在时域分别抽取偶数点和奇数点 得到两个 点实序列 和 根据DIT-FFT思想，只要求得 和 的 点DFT，再经过简单的一级碟形运算就可以得到 的2 点DFT。又 为实，所以根据DFT的共轭对称性，可用一次 点DFT求得 和 ，方法如下： 令 则 2 点 可由 、 得到 这样通过一次 点DFT计算完成2 点DFT （2） 设 , 则 过程如下 ①由 计算出 ， ②由 ， 构成 点频域序列 其中 ， 进行 点IDFT得到 由DFT的共轭对称性 ③由 和 定义得 。 2－50 一个3000点的序列输入一个线性时不变系统，该系统的单位脉冲响应长度为60。为了利用快速傅里叶变换算法的计算效率，该系统用128点的离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换实现。如果采用重叠相加法，为了完成滤波器运算，需要多少DFT？ 解： 采用重叠相加法，将 分成若干个长度为 的不重叠的序列 。若 的长度为 ，则 的长度为 ，所以DFT变换的长度 。由题设， ， ， 必须分成长度为 的序列： 的长度为3600点，所以共有44个序列（其中最后一个序列仅有33个非零值）。为了计算卷积共需要： 1． 一个DFT用于计算 。 2． 44个DFT用于 的计算。 3． 44个用于 IDFT变换的计算。 一共需要45个DFT变换和44个IDFT变换。 2-51 已知信号 ，用DFT分析信号的频谱。 解：利用MATLAB分析信号的频谱画出频谱图如题2-51图所示： N1=128;N2=512; ws=100;w1=10;w2=12; fs=ws/(2*pi); n1=0:N1-1;n2=0:N2-1; xn1=exp(-n1/10).*(cos(w1/ws*n1)+cos(w2/ws*n1));%128点有效x(n)数据 %在128点有效数据不补零情况下的分辨率演示 xk11=fft(xn1,N1); mxk11=abs(xk11(1:N1/2)); figure(1); subplot(211);plot(n1,xn1); xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=127');axis([0,128,-3,3]); k1=(0:N1/2-1)*fs/N1; subplot(212); plot(k1,mxk11); xlabel('频率 单位rad/s');title('X1(k)的幅度谱'); %在128点有效数据且补零至512点情况下分辨率演示 xn2=[xn1,zeros(1,N2-N1)]; xk12=fft(xn2,N2); mxk12=abs(xk12(1:N2/2)); figure(2); subplot(211);plot(n2,xn2); xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis([0,512,-3,3]); k2=(0:N2/2-1)*fs/N2; subplot(212); plot(k2,mxk12); xlabel('频率 单位Hz');title('X1(k)补零后的幅度谱'); %%在512点有效数据下分辨率演示 xn3=exp(-n2/10).*(cos(w1/ws*n2)+cos(w2/ws*n2));;%512点有效x(n)数据 xk2=fft(xn3,N2); mxk3=abs(xk2(1:N2/2)); figure(3); subplot(211);plot(n2,xn3); xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis([0,512,-3,3]); k3=(0:N2/2-1)*fs/N2; subplot(212); plot(k3,mxk3); xlabel('频率 单位rad/s');title('512点有效数据的幅度谱'); 运行结果如题2-51图： 题2-51图 频谱图 2－52 设模拟信号 ，以时间间隔 进行均匀采样， 假设从 开始采样，共采样 点。 （1）求采样后序列 的表达式和对应的数字频率。 （2）在此采样下 值是否对采样失真有影响？ （3）对 进行 点DFT，说明 取哪些值时，DFT的结果能精确地反映 的频谱。 （4）若要求DFT的分辨率达到1 ，应该采样多长时间的数据？ 解： （1）采样后序列 的表达式为 其对应的数字频率 。 （2）因为采样频率 因此保证在一个周期内抽样四点（三点以上），无论 取何值，根据抽样定理，都可以由 准确重建 。 （3）对 进行DFT，要DFT的结果能精确地反映 的频谱，根据 ，所以当 时，就可以保证DFT结果的精确。 （4）因为分辨率为 因此若要求DFT的分辨率达到1 ，应该采样 多的数据。 2－53 用微处理机对实数序列做谱分析，要求谱分辨率 ，信号最高频率为 ，试确定以下各参数： （1） 最小记录时间 ； （2） 最大取样间隔 ； （3） 最少采样点数 ； （4） 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的 值。 解： （1）已知 （2） （3） （4）频带宽度不变意味着采样间隔 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频带分辨率提高1倍。 2－54 以 的采样率对最高频率为 的带限信号 采样，然后计算 的 个采样点的DFT，即 ， （1） 对应的模拟频率是多少？ 呢？ （2）频谱采样点之间的间隔是多少？ 解： （1）采样率 ，离散频率 与模拟频率 的关系是： ，或 。 点DFT是对DTFT在 个频率点上的采样： 所以， 对应的模拟频率为 ， 或 时，序号 对应 。 对于 要特别注意，因为 具有周期性： 对应的频率为 ， 。对应的模拟频率为 或 （2）频谱采样点之间的间隔为 � EMBED Visio.Drawing.11 ��� 题2-24图 PAGE 2－35 _1218030533.unknown _1242126516.unknown _1326113819.unknown _1326179731.unknown _1326181210.unknown _1326181666.unknown _1326350886.unknown _1326350963.unknown _1326359826.unknown _1326365971.unknown _1326366265.unknown _1326377340.unknown _1326377341.unknown _1326366342.unknown _1326366361.unknown _1326366130.unknown _1326366165.unknown _1326365991.unknown _1326365601.unknown _1326365620.unknown _1326356276.unknown _1326359762.unknown _1326359791.unknown _1326356438.unknown _1326351186.unknown _1326356158.unknown _1326356194.unknown _1326356207.unknown _1326356174.unknown _1326355578.unknown _1326351051.unknown _1326350922.unknown _1326350940.unknown _1326350904.unknown _1326181824.unknown _1326182117.unknown _1326182421.unknown _1326182447.unknown _1326350865.unknown _1326182457.unknown _1326182436.unknown _1326182218.unknown _1326182251.unknown _1326182155.unknown _1326182013.unknown _1326182084.unknown _1326181882.unknown _1326181711.unknown _1326181789.unknown _1326181741.unknown _1326181683.unknown _1326181512.unknown _1326181612.unknown _1326181632.unknown _1326181590.unknown _1326181293.unknown _1326181500.unknown _1326181269.unknown _1326180765.unknown _1326181068.unknown _1326181152.unknown _1326181177.unknown _1326181102.unknown _1326180975.unknown _1326181025.unknown _1326180814.unknown _1326179934.unknown _1326180455.unknown _1326180590.unknown _1326180067.unknown _1326179825.unknown _1326179906.unknown _1326179767.unknown _1326139810.unknown _1326175433.unknown _1326177684.unknown _1326178147.unknown _1326179051.unknown _1326179641.unknown _1326179697.unknown _1326179160.unknown _1326179177.unknown _1326179568.unknown _1326179071.unknown _1326178747.unknown _1326178785.unknown _1326178701.unknown _1326177831.unknown _1326177907.unknown _1326178077.unknown _1326177866.unknown _1326177758.unknown 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