Strongart数学笔记：浅谈无界算子的基本思想

Strongart数学笔记：浅谈无界算子的基本思想浅谈无界算子的基本思想当年我学习无界算子是比较痛苦的，一来是那时不巧正在闹退学风波，情感上波动很大；二来这个无界算子的处理方式与有界算子有较大差异，需要重新整理思想框架才行。最近，我的泛函分析视频要讲到这个部分，正好借此机会克服了无界算子恐惧症，对无界算子的基本思想算是小有心得，下面就来给大家科普一下。即便是在Hilbert space上，无界算子的研究方式也是很特别的，它的第一个特别之处是我们更愿意关注它的图。这一点应该是显然的，既然范数不是有界的，那就失去相应的统治力，但为什么...

浅谈无界算子的基本思想当年我学习无界算子是比较痛苦的，一来是那时不巧正在闹退学风波，情感上波动很大；二来这个无界算子的处理方式与有界算子有较大差异，需要重新整理思想框架才行。最近，我的泛函分析视频要讲到这个部分，正好借此机会克服了无界算子恐惧症，对无界算子的基本思想算是小有心得，下面就来给大家科普一下。即便是在Hilbert space上，无界算子的研究方式也是很特别的，它的第一个特别之处是我们更愿意关注它的图。这一点应该是显然的，既然范数不是有界的，那就失去相应的统治力，但为什么要关注的它的图像呢？主要由于闭图像定理，它在无界算子理论中的解释就是 Hilbert space H 上的算子 T是连续的 iff D（T）=H（见下文中无界算子的第二个特别之处）且 H的闭图像的，可见连续算子在无界算子中最自然的推广就是闭图像算子（有些泛函书上简称其为闭算子，个人觉得很不妥当，它容易与大名鼎鼎开映射混淆，开映射直接从拓扑学中继承，这里闭算子却是另一回事了）。对于 Hilbert space H 上的稠定（见下文解释）无界算子 T，关于图 G（T）的一个基本结论是 G（T*）=V[G(T)]⊥，这里 V 是酉算子，使得 V{a,b}={-b,a}. 无界算子的谱定义大致与有界算子平行，只是既然T 允许无界，那么御姐集的条件中也不要求（λI-T）^(-1)有界。换句话说，就是把 Strongart 教授所提到的乌索普直接拉入御姐集之中，而不像算子那样是由 Banach inverse theorem（它等价于开映射定理，因此需要完备性支持）保证。对于无界自伴算子的谱，和有界算子谱一样是实数轴上的闭集，但却未必是紧集。比如乘法算子T： L^2(R)→L^2(R);T(x)(t)=tx(t),其谱就是整个实数轴；同样导数算子 T：L^2(R)→L^2(R);Tx=ix'的谱也是整个实数轴，这二者可以说是最常见的无界自伴算子了。无界算子的第二个特别之处是定义域可以不在整个空间上，一般我们说 Hilbert space H 上的有界算子 T，就是要求其定义域D（T） =H；但对于无界算子 T 而言，D（T）可以是 H 的一个子空间。为什么会有这么奇葩的约定呢？大概有两个原因，一是常见的无界算子很难定义在整个空间上，像上面的乘法算子与求导算子，其定义域实际上都在使得像集平方可和空间内，而且这个具体空间一般还得靠结果拼凑出来；二是我们对于最常见的一类自伴算子，假若定义在整个空间上，那就一定是有界的，这就是著名的 Hellinger-Toeplitz Theorem. 无界算子定义域的特别之处可能会导致一些奇葩的现象： 1）常见的算子等式可能不成立：对于 H 上的三个无界算子T，R， S，有（R+S）T=RT+ST，却可能只有 T（R+S)>TR+TS，比如 R+S=0但 R(H)可能不在 D（T）内！ 2）与无界算子关系密切的算子需要特别约定：比如对于闭图像算子，有的书上讲连续算子一定是闭图像的，有的书上则说未必如此，这是为什么呢？事实上，这取决于它定义于有界算子还是无界算子，作为有界算子是可以由连续性导出的，但作为无界算子就不可以了，比如假设 H有稠子空间 K，那么 H 上的恒同算子定义在K上就不是闭图像的。 3）对称算子与自伴算子的区分：先定义共轭算子 T*，y→T*y 是由=对任何 x∈D(T）定义的，它当 D（T）稠密时唯一，因此在处理与 T*有关的问题时，我们常常假设 T 是稠定算子。在此前提下，T是自伴算子，则必须 T=T*；而 T 是对称算子 iff =对任何 x,y∈D(T)成立。可见在有界算子中，对称与自伴是一个概念，但在无界算子中就区别开来了，这是因为D（T*）可能要比 D（T）大。事实上，自伴算子是极大对称的，也就是说假若 T对称，S 自伴，那么 S≤T→S=T.但这并不是说每个对称算子都可以扩张为一个自伴算子，一个基本的结论是von Neumann decomposition，有 D（T*0=D （A）⊙ker（A*-iI）⊙ker（A*+iI），然后定义亏指标n+=dim ker （A*-iI），n-=n+=dim ker（A*+iI）.对称算子 T是自伴的 iff 其亏指标 n±=0；它是可扩张为自伴的 iff n+=n-. 以上就是无界算子一些基本思想，主要是从有界算子到无界算子作一个自然的过渡，在这个框架下也能够加深我们对于有界算子理论的认识，希望能够帮助初学者度过这个难关，但对于无界算子的专门内容，还请参考相关的文献资料。本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者 Strongart，欢迎访问 Strongart 的新浪博客。

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