常用均值不等式及证明证明
n
Hn,
,111,概念: 1、调和平均数:
,,，，，？,,aaa12n,,
1
n，，Gn,aa？a 2、几何平均数: n12
aaa，，，，？，12nAn, 3、算术平均数: n
222aaa，，？，12nQn, 4、平方平均数: n
Hn,Gn,An,Qn这四种平均数满足
，a,a,？,aa、a、？、a,R ，当且仅当时取“=”号 12n12n
1aaa，，rrr，，？，rDx,n，，均值不等式的一般形式:设函数(当 ,,12n
，，
1
n，，，，Dx,aa？ar,0r,0时); (当时)(即 n12
1
n，，，，D0,aa？a则有:当r=-1、1、0、2注意到Hn?Gn?An?Qn n12
仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)?D(0)?D(1)?D(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用
222a，ba，b,ab,, 1122,,，,,
ab,,
均值不等式的变形:
2222a，b,2ab(1)对实数a,b，有 (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b,0,2ab
a，b，，,ab,0a，b,2ab,0 (2)对非负实数a,b，有，即 2
a，b,-2ab,0 (3)对负实数a,b，有
，，，，aa-b,ba-b (4)对实数a,b，有
22a，b,2ab,0 (5)对非负实数a,b，有
2a，b22a，b,,2ab (6)对实数a,b，有 2
2a，b，c222abc，，, (7)对实数a,b,c，有 3
222a，b，c,ab，bc，ac (8)对实数a,b,c，有
23，，a，b22a，ab，b, (9)对非负数a,b，有 4
a，b，c3,abc (10)对实数a,b,c，有 3
均值不等式的证明:
方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序
不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
nn，，n-1B引理:设A?0，B?0，则 ，，A，B,A，nA
注:引理的正确性较明显，条件A?0，B?0可以弱化为A?0，A+B?0 (用数学归纳法)。
n？a，a，，a,,12naa？a,原题等价于: ,,12nn,,
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立，即
k？a，a，，a,,12kaa？a, ,,12kk,,
a,a,？,aa那么当n=k+1时，不妨设是中最大者， k，112k，1
ka,a，a，？，a则 k，112k，1
s,a，a，？，a 设 12k
k，1k，1，，ka-sa，a，，as,,
k，112k，1,，,,,,？k，1kkk，1,,，，
，，
k，1kss,,,,
，k，1ka-s,,,, ，，，，k，1kk,,,,,
，，kk，1
k
s,,
,a,aa？a,,k，112k，1用引理
k,,
用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式:上凸函数是函数在区间(a,b)内的任意n个点， ，，，，fxfx,x,x,？,x12n
xxxfxfxfx，，，，，，，，？，，，，,,12n12nf,,,则有: nn,,
设，为上凸增函数 所以， ，，，，fxfx,lnx
x，x，？，xlnx，lnx，？，lnx,,nn1212ln,,,
nn,,
1
n，，,lnxx？xn12
1x，x，？，xn12n，，,xx？xn12即 n
在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)
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