巧用杠杆原理妙证“分点线三角形面积定理”
巧用杠杆原理妙证“分点线三角形面积定
理” ?
18?中学教研(数学)
是余弦凼娄丈的代数和以及余弦函数积化干口差后1』, 然是余弦函数的代数和的个性特点求解? 事实上,先化简(c.s号一c.s2了'rr+c.s),我 们发现:
(cos了71"一s„s=
吾一吾(c.s号一c.s+c.s),一lc.丁一e.丁+c.丁J, 由方程的思想,令X----COS等一c.s2丁,rr+c.s,得 235一—
,
解得:1
,::一3(舍去),
所以原式:1.
同样地,借助统一与和谐美的思想将原式的运 算符号统一,可以得到:
原式=c.s号+c.s丁3,rr+c.s5—v.
联想复数与三角之间的关系,可将三角问题化归为 复数问题求解.如果观察到各个角度的倍数关系, 那么还可以构造几何图形或者向量求解„„如此 新奇的解法无不体现了数学知识的和谐与奇异. 可见数学问题的求解需要数学美的引领,并且 也应该以美启真去追求那些漂亮的解法,这样在我 们心灵深处就会引起一种愉快的体会和欣赏.通过 如此长期的训练,我们就能透过抽象的数学符号看
到美的形象,透过严密的逻辑推演领略美的神韵,
就可以完善人的思维品质,陶冶人的情趣,增强人
的创造能力.
巧用杠杆原理妙证"分点线三角形面积定理"
?邹生书(阳新县高级中学湖北阳新435200)
分点线三角形面积定理设AABC的面积为s,点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的分点,AE和CD,
BF和AE,CD和BF分别相交于点P,Q,R.若AD:DB=A,BE:EC=A2,CF:FA=A3,则分点线三
角形APQR的面积为
S?卵=f1一一1啬A)5=+A3+A31/
二:
(1+A1+AlA2)(1+A2+A2A3)(1+A3+A3A1)' 文献[1]证明了这个定理,笔者另辟蹊径运用质点系重心的有关知识来证明这 个定理.接下来先介绍物理学中重心的有关知识.
一
个物体的各部分都要受到重力的作用,从效果上看,我们可以认为各部分受到 的重力作用于一点,这一点叫做物体的重心.关于质点系重心有如下结论: 若点G是质量分别为m,n的2个质点A,B的重心,则点G在线段AB上,并且满. 足杠杆原理,即mAG=nGB.图1
若质点系有n个质点A()(=1,2,„,).表示质点A的质量.把这rz个质 点任意分成2组:一组m个质点,不妨设为4(),A:(),„,A();另一组n—nz个质点,设为
A+(+),A+(+:),„,A().若第一组m个质点的重心为G(+十„+),第二组n一112个 质点的重心为G:(+.+++„+),这n个质点的重心为G,那么点G在线段GG上,且满足杠杆原
理,且(1+2+„+)G1G=(m+1+m+2+„+)GG2.
下面用上述质点系重心的有关知识来证明该定理.
证明设质点A的质量为1,把点D当作质点A,B的重心,因为AD=ADB,由杠杆原
理得质点B的
质量为A,所以质点A,B的重心为D(1+).把点E当作质点B(A.),C的重心,因为BE=A:EC,由杠杆
原理得,质点C的质量为AA,所以质点B,c的重心为E(A+AA).由3个质点A,B,c的重心既在AE
第10期陶治国,等:一道解析几何题引发的思考?19?
上又在CD上,可知质点A,B,C的重心就是AE与CD的交点P.因为点P为质点A(1),E(A+AA:)的重
=s„.又由S~,EAC= 由杠杆原理得+AIAz,所以=,从而s一
1s
伽.=
S滑
同理可得
A1(1+A2)SA1S
?PcA一1+A1+A】A21+A2—1+A1+A1A.
a
A2S
a
A3S
?口d一1+A2+A2A3'?删一1+A3+A3A1'
故s堋=sc—S?P一|s伽c=(1一一一).s:
(1一A1A2A3).
(1+A1+l2)(1+A2+A2A3)(1+A3+A3AI)u' 特别地,当A.=A:A=A时,s,卵=
更特别地,当A=A=A.=2时,SAp=寺s,就是如下一道小学奥数训练填空题的答秦 在?ABC中,点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的分点,AE和CD,BF和AE,CD和BF分别相交于点P,
Q,R.若AD:DB=BE:EC=CF:FA=2,则?P与Z~ABC的面积之比为——(答案为1:7). 参考文献
[1]张远患分点线三角形面积定理[J].数学通讯,2007(23):29—30.
[2]颜美玲."分点线三角形面积定理"的另证[J].中学教研(数学),2011(4):13一l4.
一
道解析几何题引发的思考
?陶治国(应城市第一中学湖北应城432400)?江斌(应城市第三中学湖北应城
432400)
题目已知点P(.,Yo)是椭圆:S-+Y=1 上任意一点,且xoy.?1,直线2的方程为+ yoy=1.
(1)判断直线与椭圆交点的个数;
(2)直线过点P与直线f垂直,点M(一1, 0)关于直线2.的对称点为?,直线JP?恒过一定点 G,求点G的坐标.-
这是湖北省部分重点中学2011届高三第2次 联考的一道解析几何试题.第(1)小题主要考查了 直线与椭圆的位置关系问题;第(2)小题考查了点 关于直线对称以及直线过定点问题.从参考答案来 看计算量非常大,学生在单位时间内解出来的人数 少之又少.那么命题者到底想考查什么?以F为命 题者所给的参考答案:
f等+y=1;
解(1)由jl),=1,
消去Y并整理得
+2y
——
2
又由要+.2=l,得
22一
Yo丁,
从而一2o+;=0,
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