由斜二测画法得到的直观图的性质

由斜二测画法得到的直观图的性质由斜二测画法得到的直观图的性质由斜二测画法得到的直观图的十条性质宁波市鄞州区正始中学方勇近日在讲解数学必修2(人教A版)第一章《空间几何体》第二节中关于直观图的几个命题的真假时，随着对平面直观图问题的深入，发现了其中一些不为人熟知的数据，现作文如下. 研究思路:在平面图形上建立直角坐标xoy平面，那么原平面图形经斜二测画法后得到平面图形的直 x'o'y'x'o'y'观图. 相应的，直角坐标系xoy也投影成仿射坐标系.为便于研究，笔者把得到的仿射坐标平面内的点也作为直角坐标平面xoy内一点，由此平面中...

由斜二测画法得到的直观图的性质由斜二测画法得到的直观图的十条性质宁波市鄞州区正始中学方勇近日在讲解数学必修2(人教A版)第一章《空间几何体》第二节中关于直观图的几个命题的真假时，随着对平面直观图问题的深入，发现了其中一些不为人熟知的数据，现作文如下. 研究思路:在平面图形上建立直角坐标xoy平面，那么原平面图形经斜二测画法后得到平面图形的直 x'o'y'x'o'y'观图. 相应的，直角坐标系xoy也投影成仿射坐标系.为便于研究，笔者把得到的仿射坐标平面内的点也作为直角坐标平面xoy内一点，由此平面中的点P，对应的直观图中的点P'，这种对应可看作是 ,2x',x，y,,4(x,y)(x',y')P'平面上的从点P到点的变换，记为变换T.由斜二测画法，可知T:. ,2,y',y,4, P'A'B'为方便叙述，本文中把点P的直观图记为;把线段AB的直观图记为;把的直观图记,ABC为，以此类推. ,A'B'C' 性质一. PP'斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.(点与点的连线的斜率恒为). 1,22 ,2x'xy,，,0022,4(x，y,y)P' 证明 :设点P，则由变换T可得，即，那么直线(x,y),00000442,y'y,0,4, 2y,y00y',y04PP',,1,22的斜率为.这可说明斜二测画法是一种特殊的平行投影画法. x',x20x，y,x0004 性质二把一个平面图形D平移后，得到图形D，则两者的直观图与全等. D'D'1212 说明:由性质一知，斜二测画法是平行投影画法，所以一个平面图形平移后，其直观图也进行了相应的平移. 故性质二成立. 性质三圆的直观图是椭圆. x,x',y',,1222T证明:设圆的方程为，则由变换T得到:，代入圆方程得到(x,a)，(y,b),r,y,22y', 222xy圆的直观图在平面xoy上的方程:(x',y',a)，(22y',b),r.由于该二次方程有的项，要认清该方程表示的曲线，故对方程作平移和旋转变换如下: 1 ,2x',a，b，x'',,4222(1)平移变换:令，得到方程; (x'',y'')，8y'',r,2,y',b，y'',4, x'',x'''cos,,y'''sin,,117,4sin,,cos,,(2)旋转变换:再令(其中，)，得,y'',x'''sin,，y'''cos,,34,81734,817 22x'''y'''到方程，,1. 22rr 5,175，17 2r22(a,b)(a，b,b)这就是说，一个以为圆心，r为半径的圆，其直观图是:以为中心，445,17 2r为长轴长，为短轴长的椭圆，且椭圆长轴所在的直线与x轴的夹角为. arctan(17,4) 5，17 性质四 k22kABA'B'A'B'AB若kk的斜率为，则的斜率为;反之，若的斜率为，则的斜率为. 1,kk，22 y,y2221A'(x，y,y)证明:设，，那么k,，又由变换T知:，A(x,y)B(x,y)1111122x,x4421 222y,y(y,y)2121k22244A'B'4B'(x，y,y)k,，则，有，,,k222A'B'441,kx,x422A'B'21(x,x)，(y,y)212144 22kkA'B'k,得到，又可反解得. 所以性质四得证. k,A'B'1,kk，22A'B' 性质五，，rrr'r',,长度为r的线段在直观图中的长度设为，则. ,, ,,5，175,17，， (a,b)说明:由性质二知，长度为r的线段，可将它平移成以为圆心，r为半径的圆的一条半径.又由性，，rrr'r',,质三可知，圆的半径r的直观图是椭圆的半径，显然. ,, ,,5，175,17，，性质六 2210,ABA'B'AB,A'B'当且仅当线段的斜率为时(由性质四知此时线段的斜率为)，有. 0,34 2 证明:对于性质三中的椭圆，由对称性可知，斜率为零的一条半径(长度为r)，关于长轴对称A'C' 1的一条半径A'B'，其长度也为r. 则可得到线段A'B'的斜率为tan[2arctan(17,4)],，由性质四知4 22线段的斜率为. 若以椭圆中心为圆心，r为半径作一圆，显然与椭圆必有四个交点，它们与椭圆AB3 2222中心的连线的斜率必是0或. 这就是说，当且仅当线段AB的斜率为0或时，其直观图长度不33变. 性质七菱形的直观图可能仍旧是菱形. 22说明:结合性质六知，当且仅当菱形两边的斜率分别为，时，其直观图仍旧是菱形. 03性质八矩形的直观图可能仍旧是矩形. 说明:当矩形的直观图两边的斜率分别为()和()(此即性质三中椭圆的长轴与17,4,17,4 34,32,34,32短轴的斜率)时，也就是当矩形两边的斜率分别为和(由性质四易得上述数据)44时，其直观图仍旧是矩形. 性质九正方形的直观图不可能是正方形. 说明:正方形既是菱形，又是矩形. 由性质七、八的说明可知，正方形相邻两边的斜率不可能同时满足性质七、八，故正方形的直观图不可能是正方形. 性质十 DDD'为xoy平面内一封闭区域，记面积为，为的直观图，记面积为，则有.; S,22SSSDD'DD' ,2x',x，y,x,x',y',1,1,4,1T 证明:由变换T:，得到:，所以得雅可比行列式， J,,22,,022y,22y'2,,y',y,4, 有. S,dxdy,Jdx'dy',22dx'dy',22dx'dy',22SDD',,,,,,,,DD'D'D' (本文结论都经《几何画板》验证.) 3

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