2017高中数学 第一章 解三角形章末演练轻松闯关 新人教A版必修5
[A 基础达标]
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A>B
B．A
sin B，三角形确定后，R为常数，所以a>b.又因为A，B为△ABC的内角，所以A>B.
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：选A.已知a＝15，b＝10，A＝60°，在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝
＝
＝
，又由a>b可得A>B，即B为锐角，则cos B＝
＝
.
3．在△ABC中，已知a＝17，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
解析：选B.由正弦定理得sin B＝
＝
<1，即sin B<1，因为A＝45°，所以B有两解，即三角形有两解．
4．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cos C＝
，则△ABC的周长为( )
A．5 B．3
C．8 D．4
解析：选A.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×
＝4，所以c＝2，从而△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
5．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于( )
A.
∶1∶1 B．2∶1∶1
C.
∶1∶2 D．3∶1∶1
解析：选A.由A∶B∶C＝4∶1∶1知
A＝120°，B＝30°，C＝30°，
所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
＝
∶
∶
＝
∶1∶1.
6．(2015·高考广东卷改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2
，cos A＝
且b
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
意得a＝3，c＝2，且
＝
(
＋1)＝
，所以b＝
＝
－1，所以cos A＝
＝－
，所以A＝120°.
答案：120°
8．(2016·宁德质检)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2asin B＝
b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________．
解析：因为2asin B＝
b，所以2sin Asin B＝
sin B.
所以sin A＝
，因为△ABC为锐角三角形，
所以cos A＝
，因为bc＝6，b＋c＝5，
所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋32－2×6×
＝7，
所以a＝
.
答案：
9．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．
解：由正弦定理，
得
＝
，
所以sin C＝
，且C为锐角(∠A＝120°)．
所以cos C＝
.
所以sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝
cos C－
sin C＝
×
－
×
＝
.
所以S△ABC＝
AB·BC·sin B＝
×5×7×
＝
.
10．(2015·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，
b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝
，b＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m∥n，所以asin B－
bcos A＝0，
$来&源：ziyuanku.com由正弦定理，得sin Asin B－
sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝
.
由于0＜A＜π，所以A＝
.
ziyuanku.com(2)法一：由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A，
而a＝
，b＝2，A＝
，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.
资*源%库 ziyuanku.com因为c＞0，所以c＝3.
故△ABC的面积为
bcsin A＝
.
法二：由正弦定理，得
＝
，
从而sin B＝
.
又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝
.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos
＋cos Bsin
＝
.
所以△ABC的面积为
absin C＝
.
[B 能力提升]
WWW.ziyuanku.com1．若△ABC的三边分别是a，b，c，它的面积为
，则角C等于 ( )
WWW.ziyuanku.comA．30° B．45°
C．60° D．105°
解析：选A.因为S△ABC＝
absin C＝
，
所以a2＋b2－c2＝2
absin C，
所以
＝
sin C，即cos C＝
sin C，
所以tan C＝
.因为C∈(0°，180°)，所以C＝30°.
2．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为________．
解析：如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝
，解得t＝
(负值舍去)，
小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．
答案：40分钟
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求
的值；
Ziyuanku.com(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积S△ABC.
解：(1)由正弦定理可设
＝
＝
＝
＝
＝
，所以a＝
sin A，b＝
sin B，
所以
＝
＝
.
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)，所以S△ABC＝
absin C＝
×4×
＝
.
4．(选做题)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝
，求△ABC周长的取值范围．
解：(1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin A·sin B，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cos C＝
＝
＝－
.
又因为0
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