三角函数解题中常用几种运算技巧例说

三角函数解题中常用几种运算技巧例说 例说三角函数解题中常用的几种运算技巧已发表 河南省人大附中郑州分校 刘凡 邮编(452370) (本文发表在2008.9《中学生理科应试》哈师大P17) 在三角函数解题中，通常要依据条件的结构特征，辅以适当的运算方法予以化简、变形，以期达到简化思路、顺利完成解题之目的。那么在三角函数解题中都有哪些常见的运算技巧呢, 一 利用乘除运算 12例:已知?，?，求的值。 sinsin1......,,，,coscos0......,,，,cos2cos2,,， 12132解析:观察??式的结构特征，不难发现?式可变形为?，?式可变sin1sin......,,,, 22434形为?，先对??两式两边平方且利用加法运算得: (1sin)cos1.,，,,,coscos......,,,, 1122？,,？，,,，,,,,sin,sin.cos2cos12sin12sin211.,,,,,, 22 3412例:已知?，?，求的值。 cos(),,，,,，,,,，,sinsin......coscos......55 ,,,,，,33解析:由条件中两式的结构特征，对其左端进行和差化积有:?， 2sincos......,225 ,,,,,,,，,4434cos0,?，因为?/?得:,？2coscos......,2225 ,,，21tan,，37,,2 tan,cos().,？，,,,,，2425,,21tan，2 注:在三角函数解题中，灵活的应用“乘除、乘方、加减”等运算技巧，常常可以构造 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 应用的条件或者把一些“分散”的条件联系起来，使得解题过程既巧妙又简单。 二 巧引参数 188例:求证: ,,，,sincos.8 22析证:由三角函数的平方关系式的结构特征，联想数列的有关性质不难sincos1,,，, 11111222288sin,,cos,,sin,cos,().,,,,,，,,,ddd发现:成等差数列。设则 sincos,,，,22222 11114442命题得证。 ()()23.,，，,，，,dddd2288 62,1sincos1sincos,，，，,,,,例:已知求的值。 ,cos,,，21sincos1sincos，，,，,,,, 221sin(1sin)(1sin)cos.1sin,cos,1sin,,，,,？，,,,,,,,,解析:由平方关系式得:成 1，,,,,,,,等比数列。于是利用等比数列的性质可以设元:则原式= 1sincos,1sincos.qq 11,,，，coscos1，，,，qqcoscos111sin1sin2,,,,qq ，,，,，,，,,，q62.11，，qqqcoscos1coscoscos,,,,,，，coscos1,,qq 注:对有些三角函数问题，若仔细观察其条件或待求结论的结构特征，会发现它们隐含着某些特殊的性质，如果能巧妙的应用这些性质引参转化，常常可以找到一条解题新途径。 三 构造方程巧用判别式 3,,,,，,，,,,,,,,,,例:设求之值。 sin(),,，0,0,coscoscos().2 ,,,,,,，,，322coscos(2cos1).,,,解析:对已知条件应用和差化积和倍角公式得:即 2222 ,,,,,,，，,,,，2114cos4coscos10......,，,cos?，现不妨视?式为关于为未知数的一2222 ,,，,,,,,,22cos,,,，,,,？(4cos)4416sin()0.元二次方程，因的值存在，故判别式非负，即 222 ,,,,,,,,,,,21sin()0,sin()0.,？,,,,？,,.由于知:代入?得: ,,,,(0,),,,22222 注:灵活应用三角函数公式变形条件，把它们转化为关于某一对象为未知数的一元二次方程，利用判别式的性质，常可以使问题巧妙获解。 四 巧用不等式的性质 coscos,,例:已知锐角且满足求的值。 ，,,,,,,，2,sinsin,, cossinsincos,,,,,,1解析:现把已知条件转化为:,即,?，(cossin)(sincos)0......,,,,,,,sinsin,, 2222而由相减得:(sincos)(sincos)(cossin)(cossin),,,,,,,,,,，,,,，？ sincos1,sincos1,,,,，,，, 212?，由??两个不等式可以得到(cossin)(sincos)0......,,,,,,,(cossin)(sincos)0,,,,,,, ,,,(0,),.,？，,即cossinsincos,,,,,,,或而 ,,,,22 注:变形条件，灵活的应用三角函数性质，构建不等式进而利用不等式性质化简条件 2()0(0)0xyxy,,,,,,是本题思路的巧妙之处。故而灵活的应用不等式某些性质如:等是解决某些类型三角问题的一种很重要方法。 五 构作对偶式 22sin3sincos3cosxxxx，例:求函数的最小值。 yx,，sin22cos2x 解析:本题求解关键是化简分子。现由分子的特殊结构，构建对偶关系式:设 2222mxxxxxxnxxxxxxmnxx,，,，？，,，sin3sinsincos3coscos,sin3sincoscos3cossin.sin3sin 12?，?，由mnxxxxxxxx,,,，,cos2sin3sincos2cos3coscos2cos4......cos3coscos2......xxx, ,2122cos2(1cos4)2cos2,cos2sin22sin(2),2.mxxxyxxxy,，,？,，,，？,,?+?得: max2注:对某些具有特殊结构的条件式，给予配上一个与其有着内在联系的关系式，然后实施某种运算，常可以使问题求解过程简单明了。 六 巧用常数 1AC1例:在中，已知求证:2,tantan.bac,，,,ABCcoscoscoscossinsinACACAC，,，2233 为定值。 11析证:观察待证式的结构，不难发现其含有常数现就以此常数为如手点，把 ,33 AC1AC,，,，,，coscoscoscostantansinsincosACACACA代入待证式中得:原式 ,tantan22322 1cos1cos,,AC原问题便简单得以证明。 coscoscossinsin1.CACAC,，,,,sinsinAC 22nn44sincos1xxsincos1xx, 例:已知正数a, b和实数x满足求证: ，,,,().nN，,.,,,nnn111abab()，abab， 22224 析证:现将条件中的常数“1”换成代入条件中整理得: (sincos).xx，bxsin, a2222222224亦即 (sincos)0,cossin0,sin,bxaxbxaxx,,？,,？,2sincoscos0.abxxax，,ab， 22nnbxxabsincos1，2 cos,.x,？，,,,,,nnnn111abababab，，，()() 七 转化应用向量运算 3222222cotcotcos.xyz，，, 例:若x , y, z为锐角，且cotcotcot1,xyz，，,求证: 2 axyzbxx,,(cot,cot,cot),(sincos,证明:由题设条件及待求式特点现构作向量: 222222abxyzaxyz,，，,,，，coscoscos1.cotcotcot,因为 sincos,sincos),yyzz 222222444又由于 bxxyyzzxyz,，，,,，，sincossincossincos1(coscoscos),abab,？,.1 1222444222cotcotcot1(coscoscos).cotcotcot,xyzxyzxyz，，,,，，？，，, 2221(coscoscos),，，xyz 222(coscoscos)1xyz，，12444444又得: coscoscos.xyz，，,,1(coscoscos)1.,，，,,,xyz3333 3222cotcotcot.xyz，，,故 2 注:依据题设结构特征，构造向量，应用向量运算如数量积、摸等运算性质，可以顺 利完成某些类型三角函数问题。 八 应用导数运算 11例:设x为锐角，求证: (1)(1)322.，，,，sincosxx 11(sincos)(1sincossincos)xxxxxx,，，，/证明:现不妨构造函数则 fx()(1)(1),,，，fx().,22sincosxxsincosxx ,,,,//0,,xfxx()0;,,,？,xfx()0.,显然时，时，又x是锐角，时，fx()取得最4424 ,1111？,fxf()(),，，,，，,，(1)(1)(1)(1)322.小值。即 ,,4sincosxxsincos44