随机利率下的生存年金组合精算现值模型

随机利率下的生存年金组合精算现值模型 () 文章编号: 100124098 20070720116203 Ξ 随机利率下的生存年金组合精算现值模型 1 2 2勇李长林, 陈 敏, 周 (1. 中国科学院研究生院 数学科学学院, 北京 100049; )2. 中国科学院 数学与系统科学研究院, 北京 100080 摘 要: 对随机利率做了相关分析, 然后在假定市场上存在多种相互独立的随机投资利率的条件下, 利用时间 序列得到一种推广的随机利率模型, 最后根据投资组合理论得出企业年金保险中多种生存年金组合的精算 现值模型。 关键词: 随机利率; 投资组合; 生存年金组合 中图分类号: 文献标识码: A n n n- 1 ) (() ?= ?Υ 1 - Λ -? t+ n t ΥΕt t + 6 1 引言 t= 1 + + ,i ()n = 1, 2, 1 企业年金保险是企业根据自身经济能力为本企业职 Υ< 1, Λ= E [ ?, { Ε} 是相其中, ?代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf t 年的利率, 0 < t t t 工建立的一种辅助性养老保险, 其运作方式主要有两种: 待2 法 遇预定型和缴费预定型。国内外很多学者利用自回归方 独立的均值为 0、方差为 Ρ的同正态分布序列, 即 Ε互 , 研究了企业生存年金精算现值问题。如 研究了可 逆 t F ree s 4 2 () 利率下生存年金精算现值, 在企业 年1M A H abe rm an () N 0, Ρ。则有: 令 ? t = ?1 ?2 ++ ? ( ) 金保险中得到了利息力满足稳定自回归 模型时 的1A R +t ,t t 1 - Υ1 - Υ5 生存年金精算现值模型。在 基础上 进() D h aene H abe rm an E ? t= t - ?1 Λ 1 - Υ1 - Υ( ) 一步研究了利息力满足稳定自回归 模型时矩母 2A R 函 +2 2t (t 1 - Υ) - () 6 1 - Υ者数的性质, 得到生存年金的一阶矩和二阶矩。国内学 ) (va r ? t= Ρ2 2(1 - ) Υ2 姚俭、高建伟等在研究生存年金时, 分别将 型、 V a sicek A 2() 时, 即当利率满足模型 引理2 M A q() () 1型、型随机利率进行了一定的推广, 并得出 1R M A 了2()2 ? + Ε+ ΗΕ+ ΗΕ?+ ΗΕt 1 t- 1 2 t q t- 相应条件下生存年金的精算现值模型。 当市场上存在多种随机投资利率时, 由于投资者的风 =+其中,t- 2 q ?代表 t 年的利率, {Ε} 是相互独立的均值为 0、t t 2 方 险偏好不同, 会对不同的生存年金偏好不一样, 此时可以 (差为 Ρ的同正态分布序列, 即 Ε, N 0, Ρt 2 选择多种随机利率下的生存年金以得到生存年金组合, 根 ) ? + ? t 令 ? t = ? , 则: + 1 2 据投资组合理论以达到风险与收益的最佳均衡。本文正是 + () E ? t= E ′? E ′+ E ′B Εr t t t2 3基于此考虑, 进一步考虑了多种随机利率条件下的生存年 2 () va r ? t= () ΡE ′[B B ′] E r r r t 1 1 t金组合精算现值模型, 最后事实证明, 对投资者来说, 通 过选择多种不同的年金产品可以达到降低风险的目的, 同 其中 时可以保证收益最佳; 对保险者来说, 对解决养老金等年 1 0 0 0 0 金产品的稳定性具有重要理论指导意义和实际应用价值。 Η1 1 0 0 0 Η2 Η1 1 0 0 B = 1 ΗΗΗ0 0 qq- 1q- 2 2 随机投资利率模型 7 Η0 0 0 1 qT ×T 引理1 当利率满足 模型时, 即V a sicek : 2006210222; 修订日期: 2006212210 收稿日期Ξ ( ) 作者简介: 李长林 19792, 男, 湖北黄冈人, 中国科学院数学科学学院博士研究生, 研究方向: 保险精算, 金融统计。 第 7 期李长林, 陈敏等: 随机利率下的生存年金组合精算现值模型 117 2- 1 - 1) ( ) ) (ΗΗΗΗva r ? t= (qq- 1q- 21′E 证毕ΡE ′A A 1 1 t t ΗΗΗq q- 1 2 0 3 生存年金组合精算现值模型 根据前面的引理及定理, 针对年末支付的缴费预定型 B = 2 0 0 0 Ηq生存年金精算现值讨论。在此, 只考虑三种推广后的随机 利率下的生存年金组合。 0 0 0 0 T ×q 假设职工平均退休年龄为 r 岁, 平 均 死 亡 年 龄 为 w) (() = , 1, 0, 0, ΕΕ, Ε1, 1, Ε′, E ′= , 0′, 表 , 3 1- q 2- 0 t 岁。, q 示由 t 个 1 和 T -t 个 0 组成的列向量。 ()() 定理 2 若随机投资利率分别满足式 1、式 2和式8 () 引理 3 当利率满足 A R 1模型时, 即 () ( ) = 1, 2, 3单位4, 则职工退休时在对应随机利率下 Αi i () ()?= ? ΥΕ?3 t ?t- 1 元的生存年金组合的精算现值为 + - t+ Ξ- t 1 < 其中, ?代表 t 年的利率, - Υ< 1, {Ε} 是相互独立 t t t 1 - Υ′1 - Υr λ Αr exp () - t - 1 ?′E ar =6 的 1 - Υ 1 - Υ y = 1 2 Λ 2 2 -(均值为 0、方差为 Ρ的同正态分布序列, 即 Ε, N 0, Ρt 2 - 1 t ( () (Ρt 1- Υ- 1- Υ() ) ) ) (((则 E ?= ?+ ?- ?Υ, va r ?= Υ1 - Υt 0 t + 2t 2 2 2 ) )2 2t () 2 1- Υ) ,()Ρ1 - 。 定理 1 假设利率会受到过去数年经济的影响, 则可 Ρ(() ) + E ′?E - E ′B ?+ E ′r- Α2exp t t t2 3 t B 1 B 1 ′2() 将 3推广为: 2 2 E t Ρ () () ? - 1 - 1 ?= Υ??Υ??- 1t 1 t- 1 2 t- 2 + Αrexp (() ) tP r 3- E ′A E ′A A ′E 1 A 2 ?33 tt 1 1 t2 + - + - + () ()++ Υ- ?4 p ?t- p + 因为时刻 t 支付一+ 证明 ?1 ?2 ? 令 ? t = Εt2 其中,{Ε} 是均值为 0、方差为 Ρ的 ?代表 t 年的利率, t t ++t ,t 同 正态分布序列。 ( ) )(单位元的确定年金在时刻 0 现值为 V t= exp - ?j ? j = 1 ??+ ?令 ? t = 1 2 则+ ) () (= texp - ? , 故利率满足 1式时, + , t - 1() E ? t= E ′A A ? 1 t2 3tt 1 - 1 - ΥΥ (( ) ) exp ?ΛE V t= t - - 1 2- 1 - 1 ) ( ) (va r ? t= 1 1 ΡE ′[A A ′]E 1 - Υ t t1 - Υ + 2 2 2t () 其中, E ′= 1, 1, , 1′是 t 个 1 组成的单位列向量。 ( () (t Ρ t 1 - Υ- 1 - + 2 2 ) )() Υ 2 1 - Υ1 0 0 0 0 () 利率满足 2式时, Υ1 0 0 0 - 12 Ρ Υ- Υ2 1 (( ) ) = - ′-E V texp E t ?E t 1 0 0 - (() ) ′E ′B B ′E ]E tB 2 ?3 t 1 1 t 2 + A = () 1 利率满足 3式时, - Υ1 0 p- Υp - 1 - Υp - 2 Ρ - 1- 1 - 1 2(( ) ) ( ) ) E V t= exp - + (1 1 1 E ′A A ?E ′A A ′E t2 3t t2 - Υ1 pt×t ) ( 则职工退休时在对应随机投资利率下 Αi = 1, 2, 3单位 i - ΥΥ- Υ- Υ- pp - 1p - 21 元的生存年金组合精算现值为 Ξ- ΥΥΥtp p - 1 2 - - 0 - 1 - Υ1 - Υ′ r () E Αexp - ?Λr -t - ′ar =1 6 1 - Υ 1 - Υ t= 1 2 2 A = 2 ( () (Ρt 1- Υ- 1- Υ Υ0 0 0 - p+ 2t 2 2 ) )() 2 1- Υ2 Ρ (() ) + r- E ′?E - E ′B ?+ E ′B B ′Α2exp t t t2 3 t 1 1 2 0 0 0 0 t×p 2 E tΡ - 1- 1 - 1 ) (= ?- ?, ????′ , ?1- p 2- 0 3( ( ) ) r+ E ′A A ?+ E ′A A ′E P r - Α3exp 1 1 t1 2 3 3 t 2 t , - - p (() 证明Ε, ?- ?′, Ε, 设 ?= ?- ?, 1 t t t t t证毕。? = ?- 2 ) () Ε, , Ε′, E ′= 1, 1, , 1′是 t 个 1 组成的列向量, 则 2 t t , 4 算例A ?+ A = Εr r 1 t 2 ?t 3- 1 某企业 2005 年为本企业职工办理企业年金保险, 若 ) ( 因为 A 为可逆矩阵, 所以 ?= A Ε1 t 1 t A r ?, 则 2 3 - 1职工退休后每人每年年末得到 10000 元人民币养老金, 假 - () E ?= A1 A t 2 设本企业 2005 年退休的职工为 300 人, 职工 60 岁退休, 企 ?2 - 1 - 13( ) ) ) ( (′va r ΡA A ?t = 1 12 ()() 1 - Υ - ?业 投资利率模型分别满足: ?= ?Λt t+ 2 t 故 ++ - 1() E ? t= E ′A 1 A ? t2 32 Υ; ? ? + Ε Η+ Η; ? t+ i t t 1 t- 1 2 t- 2 t ? + Υ1 t- 1 - 6 i= 1 ΕΕ= + Ε = (? 系统工程2007 年118 ) () 企业年金保险中多种生存年金组合的精算现值模型。本文?Υ??Ε; 其中, ?代表 t 年的利率, {Ε} 是 2 t- 2 t t + - + 2 均 从实际情况出发, 提出了随机利率条件下的生存年金组合 值为 0、方差为 Ρ的同正态分布序列。并且 Υ= 011, Λ= 2; Η= 011, Η12, ?Υ= 013, Υ= 0125; Ε精算现值模型, 从而得到了一种新的生存年金组合产品, 06; 18, 01 2 1 2 - 1 = = = 对投资者来说, 通过选择多种不同的年金产品可以达到降 Ε= 016, ?= 0104, ?= 0105。由于个人的风险偏- 2 - 1 - 2 好 低风险的目的, 同时可以保证收益最佳; 对保险者来说, 对 不一样, 现假设参见保险的 300 人中各有 100 人按三种不 解决养老金等年金产品的稳定性具有重要理论指导意义 同的投资利率模型分别参加相应的企业生存年金保险, 计 和实际应用价值。 算 2005 年退休的职工生存年金的精算现值。假定被保险 参考文献:人 服 从 中 国 人 寿 保 险 业 经 验 生 命 表 养 老 金 业 务 男 女 表 () ()CL 6 1990, 1993见文 1 附表 2. 6。 1 雷宇. 寿险精算学 [M . 北京: 北京大学出版社, 1998 ) (高建伟, 邱菀华. 利率模型为时的生存年金 2 2 和定理 1, 利用M a t lab 软件依次输入M A q根据引理 解 - 1 精算 现 值 模 型 [ . 系 统 工 程 理 论 与 实 践, 2002,J 相 应的矩阵 A , A , B , B , 容易计算出相应的 ?, ?1 2 1 2 3 3 2, 3 () 22 11: 104, 106. Ρ; 另外, 根据生命表查得职工 60 岁退休到其死亡的时段 3 王晓军. 企业养老金 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 精算模型 [. 统计研究,J )( T = 21, 并得到相应的生存概率P t = 1, 2, , 21。设 t r () 2003, 2: 24, 29.() E ′=1, 1, , 1′是 t 个 1 组成的列向量。 t 4 . F ree s E W S toch a st ick life con t ingencie s w ith 根据定理 2, 利用M a t lab 首先计算每人投保额为一单 [. so lvency con side ra t ion s J T ran sact ion of Socie t ie s 位元时的精算现值为21 of A ctua r ie s, 1990, 42: 91, 148. Υ′1 - 1 - Υ′ () exp - t - E aƒ?= ?-r t . 6 H abe rm an SS toch a st ic inve stm en t re tu rn and 5 1 - Υ 1 - Υ t= 1 ′ Λ2 2 2t con t r ibu t ion ra te r isk in a def ined benef it p en sion ( () (Ρ t 1 - Υ- 1 - + 2 2 ) )() Υ 2 1 - Υ[ J . In su rance: M a th em a t ics and E conom ics, sch em e 2 Ρ 2001, 19: 127, 139. (() ) + exp - + E ′B ?E ′B B ′E E ′?E t2 3 t 1 1 tt t 2 . D h aene JO n app rox im a t ing d ist r ibu t ion by th e ir 6 - 2 Ρ - 1 - 1- 1 ( ) ) + exp (P - + E ′A A tr E ′A A ? 1 t 1 1 ′E t t2 33[ . ,t ran sfo rm s J Scand inav ian A ctua r ia l Jou rna l 2 2002: 1, 23. = 9. 817 . 7 V a sicekA n equ ilib r ium ch a racte r iza t ion of th e te rm 则该企业共300职工投保额为10000元的精算现值:[ . st ructu re of in te re st ra te s J Jou rna l of F inancia l ) (A PV = 91817 × 100 × 10000 = 9817000 元, 1987, 5: 177, 188. E conom ics 5 结论. Zak s AA nnu it ie s unde r random ra te s of in te re st 8 随着金融市场日趋完善, 企业年金的应用范围越来越[ . : , 2001,J In su ranceM a th em a t ics and E conom ics 广, 对投资利率研究将成为研究热点。虽然很多学者对企 28: 1, 11. . 29 P e r ry D EL ongte rm stoch a st ic in te re st ra te m ode ls 业年金产品做了很多的研究, 但是大部分都是从单一利率 2001, [J . In su rance: M a th em a t ics and E conom ics, 的角度来考虑的, 这显然与复杂多变的市场实际情况不 29: 73, 82. 符。本文正是基于以上考虑, 进一步研究了多种随机利率 10 B e llhou se D R. S toch a st ic m ode ling of in te re st ra te s 条件下的生存年金组合精算现值模型。首先, 在假定市场 - [ . w ith app lica t ion s to life con t ingencie sP a r t IIJ 上存在多种相互独立的随机投资利率的条件下, 利用时间 , 1988, 47: 628, 637.Jou rna l of R isk and In su rance 序列得到推广后的利率模型, 然后根据投资组合理论得出 The L if e Ann u ity A ctua r ia l Presen t Va lue M odel s of Ann u ity Por tf o l io In suran ce Ba sed on Stocha st ic In terest Ra te 1 2 22, , L I C h anglinCH EN M inZHOU Yong (1. , , 100049, ;Schoo l of M a th em a t ica l Science s of GU CA SCA SB e ijing C h ina )2. , , 100080, A cadem y of M a th em a t ics and Sy stem s ScienceCA SB e ijing C h ina : . A bstra c tT h is p ap e r show s stoch a st ic in te re st ra te f ir st lyA nd suppo sing th a t th e re ex ist k ind s of indep enden t stoch a st ic , . , in te re st ra te s in th e m a rk e tw e de r ive ano th e r gene ra lized stoch a st ic in te re st ra te m ode l by u sing t im e se r ie sF ina llyth e .life annu ity actua r ia l p re sen t va lue m ode ls of annu ity po r tfo lio in su rance a re de r ived th rough th e po r tfo lio th eo ry : ; ; Key wordsS toch a st ic In te re st R a tePo r tfo lioL ife A nnu ity Po r tfo lio