利用函数的凸凹性证明均值不等式

利用函数的凸凹性 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 均值不等式 利用函数的凸凹性证明均值不等式 第4期 2001年lO月 娄底师专 Journal0fLoudiTeachersCollege 0 Oct.,2001 利用函数的凸凹性证明均值不等式 鄢凤明 (娄底师范高等专科学校,湖南娄底417000) 摘要:从利用Jen~n不等式证明均值不等式关系的过程中函数的取法八手,证明了这种不等关系与函数性质(凸 性,单调性)之间的关系,由此可以定卫一种更一般的平均——函数平均,而调=和平均,几何平均,算术平均只是函数平均 在特殊函数上的表现. 关键词:均值不等式;函数平均;凸性;单调性 中图分类号:0174.13文献标识码:A文章编号:1008—1666{2001)04—0015—03 OntheProofofInequalityofEqualValue byConvexityorConcavityofFunction YANFeng-ming (LoudlTeachersCollege.Loudi,417000,Chfi~a) . M)stract:hL?【]1hechoiceoffunction;nlheprcofofinequalityofequalvaluebyuti]izingjensen'sinequali ty,theauthor ?】ns【ra【etherelationI~tweeninequalityufequalvalueandpmperti~offunction,anddefinesthefun ctionavewhich anK)regenera]averagethusthinking]~irill{mieav瑚gelge|m1etcaverageandarithm~icaveragearespecia]functi'm'snlal? festafionsoffunctionaverage Keywords:inequalityofequalvalue;functionaverage;txmvexity;raonotonially 算术平均,几何平均及调和乎均之间的不等关系的证明方法很多,本文从利用"不等式证明该不等关系的过程 中函数的取法人手,论述了这种不等关系与函数性质(凸性,单调性)之间的关系,由此可以定义一种更一般的平均—— 函数平均,而调和平均,几何乎均,算术平均只是函数平均在特殊函数上的表现,为此我们引人引理: 引理…(J删不等式)若,为[n,]上的凸(凹)函数,对任意置?:d,],. >O(i=1,2…,),且^一1. 『= 则: (?.)??.1厂(?),(,(??./(t)) 则数?的各均值定义如下: 设=(r.,-)是已知正数序列, 调和平均:H),几何平均:()=(皇,),算术平均:A(=告t. 这三个式子之间满足的不等式关系如下: H()?(J?()?A{)(当且仅当 事实上,在引理中取.={(=l,2,??时取等号) = 】nr,则由)=lt在[",b]上的凹性,得 收稿日期:200l一10—08,恬订日期:2001—10—15 作者筒舟:,~8(1966一).男,讲师,主要从事高等教学教学厦初等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 研究等工作, l6娄底师专第67期 即【n({)?_n(囊)i 同理可证得:()?fJ({) 故均值不等式成立 利用函数的凸(凹)性0证明均值不等式,归根到底是利用J…不等式证骈均值不等式 从上述证明的函数取法r()=【可知.该函数在其定义域内是凹函数且为单调上升,那么我iI:]自然会想该不等 式的取向与函数的凸凹性殁单调性是否有内在的某种联系呢该不等式中的算术,几何,调和均值是否为某种更一般的 定义在特殊函数上的取值呢?为此,我们给出如下定义: 定义i?设有函数厂和数列,…,且有反函数,,,我们称厂f,!1为数列 的岖数l/)平均,亦即,有限数列…:,…,的函数【)平均是数列j),,【!)…,r()的算术平均的反函数 以下我们假定f的反函数,存在 定理l如果是增函数且是凸的,那么一个有限数列的算术平均不大于它的函数(r)平均 证明设,,?,是.个有限数列?是凸函数,由…不等式有(告耋)?,.1 又可知增函数的反函数也是增函数,故有:,(厂(告))?厂({,()) 即一??(?/".) 类似可以得到如下定理: 定理2如果为增函数且具有凹性,则有限数列的算术平均不小于其,平均,即 {?(古.) 定理3如果,为减函数且具有凸性.则有限数列的算术平均不小于它的,的平均.即 . (古.)) 定理4如果J为碱函数且具有凹性,则有限数列的算术平均不大于它的,的平均即 古?t?,(??m.)) 下面我们来分析一下,耳三均与调和平均,几何平均之间究竟有何联系. i.如果,是对数函数,则,平均便为几何平均 若(,)=】0臣j【n>0,且?0),则有: ?,(?)=】%.=】嘬磨即:寺?L)=【嘴一童)lJlJ.-1 奠jI()=】(j(n>0且?1)的反函数是,'【)=?所以 f{,<.)卜f.?..)?:) 1)>1时.由定理2得: = ?厂(?))=t川 2)0<<f时.由定理3得: ()?(.(j 2如果,是倒数函数,则/平均便为调和平均 若=?(z?0)则{J()=1士;又,Icr】了L,所以 ,'.1)If)一囊 . )r>o厂(j)在(O.一..)凸且单调减,那么由定理3可知: ?_I_】,,】,'1【 {.. ?鲁_薹 t 茸A 总第67期嚣凤明:利用函数的凸凹性证明均值不等式17 从而A()?(X) 2)j<0,f()在(一oo,0)凹且单调减,那么由定理4可知: 1,1月 百刍__' ,r毒-毒- 由以上定理及讨论可知: 当函数的凸性和单调性同时改变时,算术平均与函数平均酌不等号保持原方向;当 函数的凸性和单词性只改变其… 时,算术平均与函数的不等号变向. 定理5设()=f(3-),则()的凸性以及单调性与()的均相反. 定理6设中()=r(),则中()的凸性与()相反,单调性与f()相同. 这两个事实是显而易见的,在此我们仅证(r)=厂()的凸性与_厂(,)的相反. 证明卜】=? 可见,当厂(z)?o时,中?o,当厂()0时,中?0. 由此可以立即得出结论: 函数变为其负函数时,算术平均与函数平均之问韵不等号方向保持不变;函数变成其反函数时,算术平均与函数平 均之何的不等号方向要改变. 上面1,2通过函数(,)平均,我们讨论了算术平均与几何平均以及算术平均与调和平均的关系,那么如何利用f平 均来讨论几何平均与调和平均之间的关系呢?我们有如下定理: 定理7如果_厂和g都是减函数灌厂是凹的那么一个有限数列的函数(,)平均不大于它的函数()平均 证明因/是减函数,故也是减函数,且已知譬为减函数,那么必为增函数,由定理2有: 字?(gJ(世) 即 等?抬一 但_厂是减函数,故 以厂I)代替(: 厂{ f.十1,, f__l1,", 1,2,-一,),则可知有: _+_)?s(l十 即_厂平均?g平均. 3.有限数列的调和平均不超过它的几何平均. 事实上,取,()={.g()={,n>1,则厂()={,()= 显然,是减函数,g是减函数,且盛厂()是凹的,所以由定理7,得/平均?g平均,即 l l_+lll_+ " 从而有: ?(二):rJ|-:(…) 故函数的调和平均不超过它的几何平均. 骞 参考文献: [I]DS密特利诺堆奇.解析不等式[M].北京:科学出版杜,1987 2]华东师范太学数学东鳊教学分析[M]北京:高等教育出版l社,1985 【3]张蛰平均数[JJ数学通报L999(3):3l一32