对偶线性规划理论的经济意义
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[摘 要] 举例说明对偶线性规划在企业生产中的经济意义。
[关键词] 对偶 线性规划 影子价格
线性规划在经济活动中有着重要应用,它为经济理论提供了一个很好的数量分析
方法
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，尤其是线性规划对偶理论的经济意义——影子价格在资源利用、投资决策等方面有着重要作用。这里举例说明它在企业活动分析中的重要作用。
定义:线性规划问题
(?)与(?)
其中，，，，称作互为对偶的线性规划问题。
利用单纯形法求解其中一个问题可同时给出两个信息，一个是原问题的最优解，另一个是对偶问题的最优解——即各种资源的影子价格。
引理:若互为对偶的线性规划问题(?)和(?)中任意一个有最优解,则另一个也有最优解,并且(?)、(?)的最优植相等。
由引理易得某一约束条件的影子价格表示为当它所对应的约束条件右端的常数增加一个单位时(假设原问题最优基不变)，原问题目标函数最优值增加的数值。
例:某工厂利用甲、乙、丙三种原料生产B1,B2,B3,B4四种产品,每月可供该厂原料甲500吨,乙300吨,丙200吨。生产一吨不同的产品可获得的利润及生产一吨不同产品所消耗的原料数量见下表。
问工厂每月应如何安排生产
计划
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,使总利润最大?
显然,这属于线性规划问题。
设B1,B2,B3,B4四种产品分别生产1，2，3，4吨,根据题意得到线性规划问题
由单纯形表求得1=2=0，3=200，4=100/3松弛变量5=100/3，6=7=0,三种原料的影子价格分别为y1=0，y2=50，y3=250。在其它资源不变的情况下,通过对三种原料参数500,300,200的灵敏度分析得知,在保持其最优基不变的条件下，三种原料的变化范围是甲?1400/3，200?乙?350，0?丙?225,分析所得的结果可以得出:
1.当生产B3产品200吨，B4产品100/3吨，而不生产B1，B2产品时,总利润最大,为65000元,此时甲种原料还剩余100/3吨未用，原料乙、丙没有剩余。因此该厂在保证取得最大利润情况下可考虑把剩余的甲种原料用于其它产品的生产为企业增加一部分转让基金。
2.由于影子价格较真实地反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益(目标函数)的影响和贡献率大小，资源的影子价格越高，表明该种资源对总收益的贡献越大，反之则越小，若等于零，则说明在最优决策下尚有闲置资源。比较三种原料的影子价格可知:原料丙的影子价格最大,对总利润的增量最大即现有原料丙每增加1吨,最大利润将增加250元,原料乙每增加1吨,最大利润将增加50元,而原料甲每增加1吨,最大利润不变。因此当该厂的产品不是国家计划产品，而市场上原料丙的实际价格又小于影子价格250元时应首先考虑增加丙原料的投入来扩大生产,使利润增加,由基变范围可知最多增加25吨,使总利润的增量达25050=6250元，但原料丙的吨价大于250元,这样做就不合算了。同样,可对乙进行分析。但原料甲的影子价格为零,说明在资源最优分
配方
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案中有剩余,即再增加或适当减少总利润不变,因此工厂可以有偿转让一部分原料甲,给企业增加一部分转让基金,同时也可为其它部门提供部分原料,但最多出让500-1400/3=100/3(吨)。
3.通过以上分析，国家可对最紧缺资源借助影子价格规定使用这种资源一单位时必须上缴的利润额，以便控制一些经济效益低的企业自觉地节约使用资源，使有限资源发挥更大的经济效益。
以上仅是理论分析了对偶线性规划在企业活动分析中的作用，它为管理者提供了一种决策的理论依据，实际在使用时还要结合经济环境及企业的特点,综合多方因素,为决策者提供科学的务实的量化资料。
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