晶体结构的对称性_从点阵到空间群(可编辑)

晶体结构的对称性_从点阵到空间群(可编辑) 晶体结构的对称性_从点阵到空间群 晶体结构的对称性-董成 晶体结构的对称性- 从点阵到空间群 中国科学院物理研究所 董成 主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 晶体的平移对称性三维点阵和晶胞 晶体学中的对称操作元素 旋转轴倒反中心镜面反轴映轴螺旋轴和滑移面 晶体学点群晶系和点阵型式 空间群及其应用空间群符号等效点系分数坐标不对称单位 晶体性质 对称性的不同含义 物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应等价或相等的关系希腊字根类似尺寸的 由于平衡或和谐的排列所显示的美 形态和在中分平面中心或一个轴两侧的组元的排列构型的精确对应 晶格 晶体点阵与晶体对称性 在每个重复周期都选取一个代表点就可以用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性而平移对称性是晶体最为基本的对称性整个点阵沿平移矢量 tuavbwc uv w为任意整数 平移得到的新空间点阵与平移前一样称沿矢量t的平移为平移对称操作 晶体点阵与晶体对称性 点阵是一组无限的点连接其中任意两点可以得到一个矢量点阵按此矢量平移后都能复原三维空间点阵是在三维空间中点的无限阵列其中所有的点都有相同的环境选任意一个阵点作为原点三个不共面的矢量a b和c作为坐标轴的基矢这三个矢量得以确定一个平行六面体如下 晶胞 如上确定的六面体称为晶胞由矢量a b和c确定的方向称为晶体学的晶轴 X Y Z 如果晶胞中只包含一个阵点则这种晶胞被称为初基的 primitive 晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示即用晶胞的三个边的长度a b c三个边之间的夹角a b g表示 晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息如果知道了晶胞中全部原子的坐标就有了晶体结构的全部信息 一般写作晶体结构点阵结构基元但准确的描述应为 晶体结构点阵结构基元 晶体结构结构基元点阵 晶胞的选取 晶胞的选取可以有多种方式但在实际确定晶胞时要尽可能选取对称性高的初基单胞还要兼顾尽可能反映晶体内部结构的对 称性所以有时使用对称性较高的非初基胞-惯用晶胞 1符合整个空间点阵的对称性 2晶轴之间相交成的直角最多 3体积最小 4晶轴交角不为直角时选最短的晶轴且交角接近直角 点阵结构和单胞 点阵晶体的周期性忽略填充空间的实际结构分子 点阵矢量由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移 初基点阵矢 可选择的最小点阵矢量 初基晶胞 初基点阵矢量定义的平行六面体仅包含一量 个点阵点 晶体结构 原子在晶体中的周期性排列 它可以通过在每点阵点安放一个称为基元或型主的一组原子来描述 不要混淆点阵点和原子 阵点是在空间中无穷小的点 原子是实在物体 阵点不必处于原子中心 三维晶胞的原子计数 在晶胞不同位置的原子由不同数目的晶胞分享 顶角原子T 18 棱上原子T 14 面上原子T 12 晶胞内部T 1 石墨晶体结构 三维点阵和晶胞 使用矢量ab和c 指定点阵在所有两个点阵点之间的矢量r满足关系 r ua vb wc 其中uv和w是整数 指定晶体中的任意点 r uxa vyb wzc 其中u v w为整数 r ua vb wc xa yb zc x y z是在晶胞之内指定一个位置的分数座标 x y z用晶胞边长的分数表示在0-1之间变化晶胞原点的分数坐标总是000 用相同分数座标xy和z指定的所有位置都对称等价由于晶体的三维周期性在分数坐标上加减任意整数仍然表示平移对称的等价位置 晶体学中的对称操作元素 分子和晶体都是对称图像是由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成的对称图像是一个能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原的图像这样的操作称为对称操作 在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称操作如简单旋转和镜像转动反映和倒反是点式操作使空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作如平移螺旋转动和滑移反映 对称操作和对称元素 对称操作 一个物体运动或变换使得变换后的物体与变换前不可区分复原重合 对称元素在对称操作中保持不变的几何图型点轴或面 点群 保留一点不变的对称操作群 空间群为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群由点群对称操作和平移对称操作组合而成由 32 晶体学点群与 14个Bravais 点阵组合而成空间群是一个单胞包含 单胞带心的平移对称操作反射旋转和旋转反演等点群对称性操作以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合 全同操作 1全同操作Identity符号表示为1 E对应于物体不动的对称操作对应的变换矩阵为单位矩阵 旋转轴 2旋转轴旋转轴 绕某轴反时针旋转q 360n度 n称为旋转轴的次数或重数符号为n Cn其变换 晶体中的旋转轴限制 练习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 平移对称性对旋转轴的次数n矩阵为 旋转矩阵 有很大的限制证明在晶体学中只能出n12346的旋转轴 写出沿三个坐标轴XY和Z的4次旋转轴的表示矩阵 矩阵乘法 倒反中心Inversion center 倒反中心也称为反演中心或对称中心Center of symmetry它的操作是通过一个点的倒反反演使空间点的每一个位置由坐标为xy z变换到- x - y - z符号为1i变换矩阵为 反映面--镜面 反映面也称镜面反映操作是从空间某一点向反映面引垂线并延长该垂线到反映面的另一侧在延长线上取一点使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离符号为m s 为了表示反映面的方向可以在其符号后面标以该面的法线如法线为[010]的反映面可记为m [010] 镜面类型和矩阵表示 关于对称平面或镜面σ的反映可以平行于vertical σv 或 垂直于horizontal sh 主轴 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面σd dihedral plane 旋转倒反轴-反轴 旋转倒反轴简称反轴 Axis of inversion Rotoinversion axis其对称操作是先进行旋转操作n后立刻再进行倒反操作这 样的复合操作称为记为 旋转反映轴--映轴 旋转反映轴简称映轴rotoreflection axis其对称操作是先进行绕映轴的旋转操作n后立刻再对垂直于该映轴的反映面进行反映操作m符号为 Sn设对称轴沿[001]方向其矩阵表示为 旋转反映Sn 旋转反映 Sn包括绕对称轴的逆时针旋转360?n接着作垂直反射 旋转反演和旋转反映Improper rotation被译称为异常旋转非真旋转不当旋转等 反轴和映轴间的对应关系 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示所以在新的晶体学国际表中只用反轴 所有的点对称操作实际上可以简单的分为简单旋转操作和旋转倒反操作两种全同操作就是一次真旋转轴倒反中心为一次反 轴镜面为二次反轴所有映轴都可以用等价反轴表示 反轴和映轴间的对应关系 旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对应关系旋转角度为q的反轴和旋转角为q-p的映轴是等价的对称轴这一关系也很容易从他们的表示矩阵看出所以1次 2次 3次 4次和6次反轴分别等价于2次 1次 6次 4次和3次映轴 证明1倒反中心是一次反轴2镜面是二次反轴 找出一个立方体具有的练习题 所有旋转轴6个2次轴 4个3次轴 3个4次轴 非点式对称操作 非点式对称操作是由点式操作与平移操作复合后形成的新的对称操作平移和旋转复合形成能导出螺旋旋转平移和反映复合能导出滑移反映 螺旋轴 螺旋轴先绕轴进行逆时针方向360n度的旋转接着作平行于该轴的平移平移量为pn t这里t是平行于转轴方向的最短的晶格平移矢量符号为np n称为螺旋轴的次数 n可以取值2346 而p只取小于n的整数所以可以有以下11种螺旋轴 2131324142436162636465 二次螺旋轴 螺旋轴 2131 32 63 螺旋轴4142 43 41和43彼此对映当其中之一是左手螺旋时另一个为右手螺旋 螺旋轴61626364 石英结构中的六次螺旋轴 石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴附近的螺旋链 在如下左边其中一个三倍螺旋右方显示的是螺旋连接构成晶体框架 滑移面 滑移反映面 滑移面简称滑移面其对称操作是沿滑移面进行镜面反映操作然后接着进行与平行于滑移面的一个方向的平移平移的大小与方向等于滑移矢量 点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位置与起始位置相差一个点阵周期所以滑移面的平移量等于该方向点阵平移周期的一半 滑移反射 不对称单位先经镜面反射然后沿平行与镜面的方向平移 滑移反射改变了不对称单位的手性 滑移面分类 轴向滑移面沿晶轴ab c方向滑移 对角滑移面沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移平移分量为对角线一半 金刚石滑移面沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移平移分量对角线14的对角滑移面只有在体心或面心点阵中出现这时有关对角线的中点也有一个阵点所以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半 镜面和滑移面 对称操作分类 只产生可重合物 体的操作统称为第一类操作而产生物体对映体镜像的操作统称为第二类操作 第一类操作真纯旋转螺旋旋转 第二类操作反射反演滑移非真旋转旋转反演旋转反映 没有反轴对称性的晶体是手性晶体 晶系The seven crystal systems 晶系按照晶胞的特征对称元素可以分成7个不同类型称为晶系 7个晶系的单胞 不 群的定义 假设G是由一些元素组成的集 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 晶系中的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 单胞选择 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 即G g 在G中定义了一种二元合成规则操作运算群的乘法 如果G对这种合成规则满足以下四个条件 a封闭性 G中任意两个元素的乘积仍然属于G b结合律 c单位元素 集合G中存在一个单位元素e对任意元素 有 d可逆性 对任意元素 存在逆元素 使 则称集合G为一个群 晶体学点群 晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作晶体学点群点对称操作的共同特征是进行操作后物体中至少有一个点是不动的 晶体学中点对称操作只能有轴次为12346的旋转轴和反轴对称中心 镜面 如果把点对称操作元素通过一个公共的点按所有可能组合起来则一共可以得出32种不同的组合方式称为32个晶体学点群 32个点群 点群是至少保留一点不动的对称操作群 点群晶体非晶体 32个晶体学点群是满足晶体制约的点群 晶体学点群的对称元素方向及国际符号 点群的Schnflies符号 Cn 具有一个n次旋转轴的点群 Cnh 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群 Cnv 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群 Dn 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群 Sn具有一个n次反轴的点群 T具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群 O具有3个4次轴4个3次轴和6个2次轴的八面体点群 32种点群的表示符号及性质 32种点群的符号表示符号及性质 晶体点群的Schnflies和国际符号 点群与物理性质 点阵带心 带心操作 带心 不是所有七个晶系都可能带心–仅有14个可能的组合Bravais点阵 一些带心的类型不允许因为他们将降低单胞的对称性 如立方晶系不可能有底心点阵因为这将破坏立方对称的一个基本条件有三次对称轴 一些带心的类型是多余的 如C心的四 方点阵总可以用一个更小的初基四方单胞