部分数学奥赛题思路详细分解

部分数学奥赛 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 思路详细分解 部分奥赛解题思路详细分解 1 分 类 分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数(数个数的问题中，分类的方法是很常用的。 【例1】数一数，图1-1中共有多少条线段, 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与解】图1-1中的线段可分为这样几类: (1)以A为左端点的线段共4条，分别是: AB，AC，AD，AE; (2)以B为左端点的线段共3条，分别是: BC，BD，BE; (3)以C为左端点的线段共2条，分别是: CD，CE; (4)以D为左端点的线段有1条，即DE。一共有线段 4+3+2+1=10(条)。 还可以把图1-1中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。“基本线段”指AB、BC、CD、DE这样的线段，它们的两个端点之间没有标出其它的分点。按所含“基本线段”来分类，也是4类: (1)只含1条基本线段的，共4条: AB，BC，CD，DE; (2)含有2条基本线段的，共3条: AC，BD，CE; (3)含有3条基本线段的，共2条:AD，BE; (4)含有4条基本线段的，有1条，即AE。 分类，对于计数来说十分重要，因为当计数的对象没有规律地交错排列时，它能使我们的思考方向明确，条理清晰，而不容易发生差错。 【例2】 数一数，图 1-2中 共有多少个正方形, 【分析与解】图中的正方形可以分为两大类，第一类是“不斜的”，第二类是“斜着的”。在“不斜的”正方形中，又可分4类: 1 ?边长是4个单位的1个; ?边长是3个单位的4个; ?边长是2个单位的9个; ?边长是1个单位的16个。 共有 1+4+9+16=30(个) 斜着的正方形共有多少个呢, 我们还是先分类。分类之前，应当注意到这样一个图(图1-3)，中间画实线的部分与图1-2中不含斜线(不斜的)部分相同。因此，在“斜着的”正方形中，也可分4类，但边长是1个单位、边长是2个单位的比“不斜的”多，边长是3个单位、4个单位的与“不斜的”同样多，它们分别是: ?边长是4个单位的1个; ?边长是3个单位的 4个; ?边长是2个单位的(9+4=)13个; ?边长是1个单位的(16+8=)24个。 斜着的正方形共有 (1+4+9+16)+(4+8)=42(个)。 因此，图1-2中的正方形一共有 30+42=72(个)。 【例3】如图1-4，平面上有9个点，任意相邻两点之间的距离都相等，如果把其中任意几个点连起来，可得到各种图形。问:(1)可连成多少正方形,(2)可连成多少长方形,(3)可以组成多少直角三角形, 【分析与解】(1)可连成的正方形共有3类:边长是1个单位的，共4个;边长是2个单位的，有1个;边长等于小正方形对角线长的(斜的)有1个。所以，共可连成正方形: 4+1+1=6(个) (2)可连成的长方形共有两类，一类是正方形(因为正方形是特殊的长方形)，另一类是长和宽不等的长方形，有4个。所以共可连成的长方形有: 2 6+4=10(个) (3)可组成的直角三角形有两类: 一类是，以每个长方形(包括正方形在内的)4个顶点为直角顶点(如图5、图6中阴影部分)，这样的直角三角形每个正方形中都包含4个，一共有: (6+4)×4=40(个) 另一类是，以图1-4中第二行中间那个点为直角顶点(如图1-7中阴影部分)，这样的直角三角形共有: 1×4=4(个) 因而，用图1-4中的点共可连成直角三角形: 40+4=44(个) 请读者想一想:任意一个正方形(如图1-8)，作出它的两条对角线以后可组成的直角三角形应当是8个，其中以4个顶点为直角顶点各1个，以对角线的交点为直角顶点有4个。为什么在上面的“分析”中只举出4个。是不是有遗漏,为什么, 【例4】 数一数，图1-9中共有____个梯形。 【分析与解】 要数出图中梯形的个数，首先要弄清楚图中的梯形共有几类。根据梯形的概念(一组对边平行，另一组对边不平行的四边形)，图1-9中的梯形可分为4类: (1)上底、下底与BC平行，并且上底短、下底长的; 3 (2)上底、下底与BC平行，并且上底长、下底短的;(3)上底、下底与AB平行的;(4)上底、下底与DC平行的。 在第(1)类中，又可把这些梯形分成4小类(假设AD的长为1个单位): ?下底长是5个单位的，有: 4×1=4(个) 它们都以BC为下底，AD、EF、GH、IJ为上底; ?下底长是4个单位的，有: 3×(2+1)=9(个) 它们分别以BL、KC和IJ为下底，对于每个下底，上底都有三种可能。比如，以BL为下底的梯形，上底可为IM、GN、EO; ?下底长是 3个单位的，有: 2×(3+2+1)=12(个) 它们分别以 BQ、KL、PC、IM、SJ、GH为下底，对每个下底，上底都有两种可能; ?下底长是2个单位的，有: 1×(4+3+2+1)=10(个) 所以，第(1)类梯形共有: 4+9+12+10=35(个) 用同样的方法，我们可以数出第(2)类梯形(底与BC平行，上底长、下底短的)有: 1+4+6=11(个) 它们的上底分别为4个单位、3个单位、2个单位;第(3)类梯形、第(4)类梯形各有36个。从而，得到图1-9中共有梯形: 35+11+36+36=118(个) 想一想:对于第(3)类和第(4)类，我们没有像第(1)、(2)两类那样，按上底长、下底短和上底短、下底长再作分类，这样会不会遗漏一部分梯形,为什么, 其实，除了数图形之外，其它的计数问题也离不开“分类”这种重要的思路。 【例5】 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数,分别是哪几个数, 【分析与解】在算盘上，上珠一个表示5，下珠一个表示1。根据这两点，可以把两粒珠子在算盘上的位置分为3类: (1)都为上珠时，组成505， 550; (2)都为下珠时，组成101，110，200; (3)一个上珠、一个下珠时，组成510，501，105，150，600。 【例6】从 1，2，3，……，99，100中，选出两个数相加，使它们的和大于100，共有多少种不同的选法, 【分析与解】 我们把“选数”看作一件事，做这件事可有99类方法。第1类，第一个数选1，那么第二个数只能选100，共1种选法;第2类，第一个数选2，第二个数可选 4 100，也可选99，共2种选法;……依此类推，99类选数方法如下: „„„„„„ 第98类(98，99)、(98，100)2种 第99类(99，100)1种 一共有: 1+2+3+……+49+50+49+48+……+2+1 =2500(种) 不同的方法。 在例2的分析中，关键是怎样正确地分类。我们这里分类的标准是:每次选的两个数中，总是后一个比前一个大。为什么后一个不能比前一个小或与前一个相等呢,这是为了防止重复。比如在第 50类中选了(50，51)，在第 51类中不能再选(51，50)，因为(50，51)与(51，50)是一种选法。也正由于这个原因，到了第 51类以后，选法越来越少了。 【例7】 有一种用六位数表示日期的方法，例如，用950208表示 1995年2月8日。用这种方法表示1994年全年的日期，那么，全年中六位数字都不相同的日期共有____天。 【分析与解】 1994年全年的日期用六位数表示，头两位数字一定是“94”，因此 9月份和 4月份的所有日期都不符合要求。 11月份的所有日期也不符合要求。所以，只依次有1、2、3、5、6、7、8、10、12这九个月中的一些日期符合要求分九类一一列举(如下表): 续上表 5 分类计数的关键是正确分类，要做到“正确”，应考虑两条: (1)分类要全。分类不全，就会造成遗漏。在上面的例4中，如果稍不留心，就会忘记第3类和第4类。分类确定后，要把每一类 中的每一个符合要求的对象都列举出来。 (2)分类要清。如果分不清，第1类中有第2类，互相包含，那就会重复。例6中，我们强调了分类的标准是“后一个数比前一个大”，正是为了防止重复。不然的话，后面列举的数对就会与前面列举过的重复了。 【思考题】 1.数一数，图1-10中，共有多少个三角形, [提示:分“尖向上”、“尖向下”两大类，“尖向上”的三角形与“尖向下”的三角形同样多。“尖向上”的三角形又可分为3类，其中边长为1个单位的有“3+4+3+2”个;边长为2个单位的有“3+2+1”个;边长为3个单位的有1个。] 2.有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位:厘米)的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形, [提示:要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制:?a、b只能取1,11的自然数;?三角形任意两边之和大于第三边。] 2 化大为小找规律 我们先来看一个大数目的计算问题:计算自然数中小于10000的所有奇数的和。 本题实际上就是计算下式的结果: 1+3+5+…+9995+9997+9999 6 由于1至10000这10000个自然数中，奇数与偶数各占一半，所以上式中共有5000个加数。 5000个数太多，逐个相加太麻烦。多的不会，想少的，观察下列特殊情况: 2 1+3=4=2 2 1+3+5=9=3 2 1+3+5+7=16=4 2 1+3+5+7+9=25=5 „„ 2 从上面这组算式不难发现这样一条规律:从1开始连续n个奇数的和，恰好等于。这n样，我们只要知道小于10000的奇数共有多少个，就可以直接写出得数了。 我们知道，从1开始的连续偶数个自然数中，奇数、偶数各占一半，所以，小于10000的自然数中，奇数共有5000个。因此 1+3+5+7+……+9995+9997+9999 =50002 =25000000 在解决上面这个问题时，我们体会到: 对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况(化大为小)，从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。 这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。 【分析与解】 我们可以先来计算 11×99、 111×999、1111×9999，看看它们的积各是多少，它们积里各有多少个数字是偶数。 11×99=1089(有2个数字是偶数。) 111×999=110889(有3个数字是偶数。) 1111×9999=11108889(有4个数字是偶数。) 是偶数。 通过计算，可知 是偶数。 从上面4个算式的结果中，我们可以找到一个规律:几个1乘以相同个数的9，它的乘积，中间有1个0;在0的前面是若干个1，个数比被乘数1的个数少1;在0的后面是若干个8，个数与积中1的个数同样多;积的最末位是9。积里的偶数(包含1个0和若干个8) 7 的个数和被乘数1或乘数9的个数同样多。 根据这一规律，我们可以推想: 这个积里有1个0及19个8，有20个数字是偶数。 【例2】数一数，图 2-1中共有多少个正方形, 【分析与解】 我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。 在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是: 1+4=5(个) 在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是: 1+4+9=14(个) 在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分别有16个、9个、4个、1个，一共是: 1+4+9+16=30(个) 现在，我们发现了规律:当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点为端点， 8 作与它相邻的另一条边的平行线。由这些平行线所组成的正方形(包括原来那个最大的正方形)的总个数是: 2222 1+2+3+……+n 根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是: 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385(个) 【例3】 计算 【分析与解】 上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。还是用“化大为小”的方法试试吧。 写到这里，规律已经出现了:如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果(一个分数)的分子就是n，分母就是n+1。由此，可直接写出本题的答案 不过，要提醒同学们注意的是:当你找到了规律之后，不要急于马上就去套用，还得先检验一下，看这个规律是不是“灵”。如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。 【例4】 将自然数1，2，3，4，……像图2-5那样按顺序排列起来。在最上面一行中，从左到右第100个数是____;在最左边一列中，从上到下第100个数是____。 【分析与解】 先仔细观察最上面一行靠最左边的几个数，看它们的排列有什么规律。 第1列是a=1=1 1 第2列是a=3=1+2 2 第3列是a=6=1+2+3 3 第4列是a=10=1+2+3+4 4 „„ 9 现在可以发现规律了。 第100列是a100=1+2+3+4+5+…+99+100 =(1+100)×100?2 =5050 5050就是最上面一行中从左到右的第100个数。 再来看最左边一列数从上到下的排列规律。 第2行是b=2=1+1=a1+1 2 第3行是b=4=3+1=a2+1 3 第4行是b=7=6+1=a3+1 4 第5行是b=11=10+1=a4+1 5 „„ 现在，可以得出最左边一列的各个数与最上面一行数之间有一种对应关系，那就是: b=a+1 nn-1 知道a是多少，也就知道b是多少。要求最左边‎‎一列的第100个数b，应先算出an-1n100。 99 a=a-100 99100 =5050-100 =4950 所以，b=a+1 10099 =4950+1 =4951 【例5】 有甲乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次将甲 样来回倒下去，一直倒了1995次之后，甲杯里的水还剩( )千克。 【分析与解】 我们先不考虑倒1995次后甲杯中有多少水，还是先看前几次的情况(列出一个表更容易看出规律)。 续上表 10 规律出现了:第奇数次倒过之后，甲杯中的水与乙杯相等。1995是个奇数，所以倒了第1995次后，甲杯中的水仍为500克。 再举一个大家很熟悉的例子。 【例6】10条直线最多可把一个长方形分成多少块, 【分析与解】 先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块, 如图2-6，一条直线最多可把长方形分成两块。也就是a1=2; 再添一条直线，即2条直线(如图2-7)可把长方形分成几块呢,要注意“最多”二字，它要求这条添上去的直线必须同前一条直线相交，而不能平行。这样，两条直线最多可把长方形分成 2+2=4(块) 也就是a2=4=2+2。 在图2-7再添一条直线，这条直线既不能经过已有的两条直线的交点，也不能与其中一条平行(如图2-8)，它使图2-7中的3块再一分为二(增加了3块)。这样，三条直线最多可把长方形分成 4+3=7(块) 也就是:a=7=4+3 3 现在，我们发现这样的规律: a=a+n nn-1 因此，a=a+10 109 =a+9+10 8 =a+8+9+10 7 =……… =a+(2+3+4+5+6+7+8+9+10) 1 =2+54 =56(块) 这就是说，10条直线可把长方形分为56块。 【思考题】 11 3333 1.求1+2+3+4+……+103的值。 [提示:写出下列各式 332 1+2=1+8=9=(1+2) 3332 1+2+3=9+27=36=(1+2+3) 33332 1+2+3+4=36+64=100=(1+2+3+4) „„„„ 从这组等式中发现: 33332 1+2+3+……+n=(1+2+3+……+n)。] 2.有一个1000位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几, [提示:从最简单的情况算起: (1位数)2?6=0……2 (2位数)22?6=3……4 (3位数)222?6=37 (4位数)2222?6=370……2 (5位数)22222?6=3703……4 (6位数)222222?6=37037 算到这里，规律已经很明显了 当位数是3的倍数时，余数为0; 当位数是3的倍数多1时，余数为2; 当位数是3的倍数多2时，余数为4。 3.求图2-9中所有数的和 1234……100 2345……101 3456……102 4567……103 „„„„„„„„„ 100101102103……199 [提示:先算图 2-10、图 2-11中所有数的和。 从图2-10中，可算出所有各数的和是: 3 4×4×4=4=64 从图2-11中，可算出所有各数的和是: 3 5×5×5=5=125] 3 从一点突破 你见过建筑工人在墙上开洞装上窗户吗,一面用砖砌成的墙，本来是挺结实的，要在 12 上面开洞并不太容易。通常的做法是先敲开一块砖，这块砖被敲开后，它的上、下、左、右4块砖就容易敲了，然后逐渐向外扩张，一个窗户的地方就留出来了。先敲开一块砖，也就是先找一个突破口。解一些数学题，常常需要从一点突破。 【例1】 如图3-1，a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字。问它们分别代表什么数字, 【分析与解】 图中的字母a代表一个被除数，它和g都可写成另两个数的乘积，因而这两个字母的取值范围比其它字母要小一些。我们选择字母a(或g)作为推理的突破口比较好。 (1)由于8个字母代表的数字互不相同，所以，a只能取6或8(如果取4，要么d=e，要么a=e)。这样，a?d=e这个除式只可能是: 8?4=2 或 8?2=4 或6?2=3或 6?3=2 (2)如果a?d=e代表8?2=4 或 6?2=3，那么f无值可取。这就是说，除式a?d=e只可能是 8?4=2 或 6?3=2 (3)如果取8?4=2，f可取3，g=6，c、h只能分别取1和5。但是，如果c=5，b只能取3(与f重复)，不行。只有c=1，h=5，b=7 如果取6?3=2，f取4，g取8，用同样道理可推出:b=5，c=1，h=7 【例2】下面的算式中，不同字母代表不同的数字，解出这个算式谜。 【分析与解】解算式谜，我们一般把最容易下手的地方作为推理的突破口。这里最容易下手的地方是“先确定A”。 第一步A=E-E=0。 第二步因为A=0，从第一次减法百位上看，B=10-B或9-B(被十位上借出了1)。所以，B=5。 第三步因为B=5，所以C=4。 13 =8，I=9。 第六步剩下的没有用过的数字只有l、2、3、6、7。F=1时，F×9的个位为9，9已经出现过，不合要求，所以F不是1。2×9=18，3×8=24，6×9=54，8、4都已出现过，所以F不能为2、3、6，从而F=7。7×9=63，所以G=3。H=C-G=4-3=1。又因为7×8=56，所以E=6。 在上述过程中，我们可逐步将字母换成已经求出的数字，最后得到 【例3】把100个桔子分别装在6只篮子里，每只篮子里所装的桔子数，都要是含有数字“6”的数。该如何装, 【分析与解】这个分装桔子的问题，实际上就是把100分拆成6个数相加，使6个加数必须都含有数字“6”。 由于100的个位数字是0，所以这6个加数的个位数字不能都是6(不然的话，它们和的个位数字是6)。看来，从个位数字上下手比较容易突破。由于每个加数都要含有数字“6”，“6”不在个位上，必定在十位上，但是这6个数的十位数字之和不能超过10，所以它们的十位数字最多有1个为6，这样，就可以推出，有5个数个位数字是6，1个数十位数字是6。因为5个个位数字是6的数相加，和的个位是0，所以十位是“6”的数就是60，而60+6+6+6+6+6=90，比100还少10。所以，这6个数只能是60，16，6，6，6，6。 【例4】油库里有6桶油，分别是汽油、柴油和机油，用秤称得每桶油重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。但不知道每只桶里各装的是哪种油。已知柴油的总重量是机油的2倍，汽油只有一桶。问6个桶内各装的是什么油, 【分析与解】?因为柴油总重量是机油的2倍，所以柴油与机油的重量和一定是3的倍数。而6桶油(把汽油也包括进去)的总重量是15+16+18+19+20+31=119(千克)，119=39×3+2。这就容易推出汽油的重量被3除余2。从“重量被3除余2”这一点，可以先作突破，找出哪一桶是汽油。在15，16，18，19，20，31中，除以3余2的只有20。所以，汽油的重量是20千克。 ?剩下的5桶油一共重: 15+16+18+19+31=99(千克) 其中机油的重量为: 99?3=33(千克) 柴油的重量为: 33×2=66(千克) 14 在剩下的五个数15、16、18、19、31中，只有15+18=33，所以重15千克、18千克这两桶内装的是机油;最后剩下的三桶油是柴油。 【例5】A、B、C、D是从小到大排列的四个不同的自然数，把它们两两求和，分别得出下面的五个不同的和数:21，23，24，25，27。求原来四个数的平均数。 【分析与解】四个数两两相加，应该得到六个和数，而现在只出现五个不同的和数，说明这六个和数当中有两个相等，如果能找出这个相等的和数，找到了这个相等的和数，也就找到了解决问题的突破口。 因为A、B、C、D这四个数是按从小到大排列的，所以由“B,C”可以推知A+B,A+C。从而，可进一步推知 A+B,A+C,B+C A+D,B+D,C+D 它们当中有两个和数相等，那只能是B+C和A+D了，由此推出六个和数应该是21，23，24，24，25，27。 在把A、B、C、D这四个数两两相加，得出六个和数的过程中，A、B、C、D各用了3次，所以A、B、C、D的平均数应为(21+23+24+24+25+27)?3?4=12 【例6】如图3-2，把1,7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。 【分析与解】我们从图中可以看出:中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”。因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来。这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等。那么，怎样确定中间圆圈内所填的数呢,我们可以这样考虑:1,7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除(因为要分成和相等的三组数)，才能填写。所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来:可为1、4、7。这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出。 例如:当中间圆圈填1时，每条直线上两个数的和为9[(28-1)?3=9]，这时，三组数分别为2和7、3和6、4和5。我们很快可以得到一种填法(见图3-3)。 同样，当中间圆圈内填4或7时，分别可以得到1和7、2和6、3和5以及1和6、2和5、3和4两种填法。 上面我们讨论的这个例子中，从“重复用数”入手，因此分析起来还不太难。如果“重复用数”多一些的话，思考问题的过程又将怎样呢,请试一试思考题第2题。 【思考题】 1.把下面各题中的“?”换成适当的数字。 15 [提示:左边的算式中，乘数的个位、十位与被乘数相乘，积都是两位数，可见，乘数的个位、十位数字都是1，可以把确定乘数作为突破口;右边的算式中，由商的十位数字与除数的积个位是5，把确定商的十位数字作为突破口。] 2.把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在图3-4的圆圈内，要求三边四个数相加的和相等，并且?三边四个数相加的和要最小;?三边四个数相加的和要最大。怎样确定这两种情况下的三个重复用数, [提示:三个顶点上的数都是“重复用数”，设它们分别为a、b、c，每条边上4个数的和均为k，那么 1+2+3+……+9+a+b+c=3k 当a+b+c=6时，k最大;当a+b+c=7+8+9=24时，k最小。] 4 试 验 “鸡和兔共42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡、兔共有108条腿。问鸡、兔各有多少只,” 这道题你现在也许能用好几种方法列式解答。你知道一些数学家怎么想吗,他们这样做: 先在已知条件“42只鸡和兔”范围内，估计一个数，比如有10只兔、32只鸡，那么共有腿4×10+2×32=104(条)。104靠近108，但比108小，说明兔子不止10只。因此，我们进 一步估计有11只兔、31只鸡，那么共有腿4×11+2×31=106(条)。这时尽管没有到达成功的彼岸，但答案已是俯首可拾了，因为每增加一只兔和减少一只鸡(用兔来换鸡)，就等于增加了两条腿，所以兔子有12只，鸡有30只。 为什么数学家们一开始不先猜有1只兔、41只鸡呢,因为那样猜的话，就离已知条件“鸡兔的腿共108条”太远了，试验就太费时间了。可见，数学家们在用试验的方法解题时是这样想的:在符合部分已知条件的范围内，为了减少试验的次数，应尽量跨大试验的第一步，使第一个猜测尽量靠近题意。然后把猜得的答案进行试验，看是否符合题意。如果符合题意， 16 问题得解;如果不符合题意，就排除这种猜测(一种可能性)，接着再试，直到得出正确答案为止。 华罗庚爷爷十分欣赏这种试验的方法，他曾经赞不绝口地说:“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法。”“不要以为方法笨不可取，有了方法之后，方法是死的，人是活的。运用之妙，存乎其人。” 下面，我们来举例说明试验法在解题中的作用。 【例1】在下面15个8之间添上适当的运算符号(必要时，可使用括号)，使得数为1995。 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1995 【分析与解】我们可以先试一试，但应尽量跨大试验的第一步，使其中的几个“8”所组成的算式计算结果比较靠近1995，然后用剩下的几个“8”来调整。 容易看出，8888?8=1111 1111+888=1999 好，现在已经得到1999了，它与1995还相差4。这时，我们一共用去了8个“8”，还剩下7个“8”。下面的任务就是用7个“8”组成一个算式，使它的结果是4。 这是比较容易办到的: 8×8?8=8 8与4相差4，用剩下的4个“8”，组成得数是4的式子。 8×8?(8+8)=4 到这里，试验就算成功了，组成的算式是: 8888?8+888-8×8?8+8×8?(8+8)=1995 有没有别的方法组成得数是1995的算式呢,你可以再试试。 用试验法求得正确答案，首先要确定有几种可能，这就是试验的范围。范围越小，试验的次数越少，越容易试验成功。所以，应当把缩小试验范围看作我们解题的第一步。 【例2】有一个四位数3AA1，能被9整除。问A代表几, 【分析与解】一个数能被9整除的特征是:这个数的各位数字的和能被9整除。根据这个特征，我们可以知道:3AA1的四个数位上数字的和: 3+A+A+1=2A+4 2A+4能被9整除，它可能是9，18，27，…… 但是，A?9，所以2A?18，2A+4?22。这样，试验的范围比较小了(两种可能): 2A+4=9 或 2A+4=18 由于2A+4又一定是偶数，所以只能是: 2A+4=18 2A=14 A=7 【例3】一个三位数，百位数字是个位数字的3倍，十位数字等于百位数字与个位数字的积。求这个三位数。 【分析与解】我们先根据第一个条件，可以把试验的范围缩小在三种情况: (1)个位数字1，百位数字3; (2)个位数字2，百位数字6; 17 (3)个位数字3，百位数字9 再根据第二个条件“十位数字等于百位数字和个位数字的积”决定上面三种情况中应该选择哪一种。 第(1)种情况，可以求得十位数字是1×3=3，而第(2)(3)两种情况都不可能求得十位数字(因为2×6、3×9都大于9，不能做十位数字)，所以要求的三位数是331。 下面几个例子比较复杂些。 【例4】将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。问剩余部分的管子最少是多少厘米, 【分析与解】从题目的问句看，应抓住“最少”二字来思考，先考虑没有剩余，再考虑剩余1厘米、2厘米…… (1)如果把这根长管截成若干根两种不同规格的短管后没有剩余，那么374应该是4的倍数，因为两种短管的长度36厘米、24厘米都是4的倍数，但374不能被4整除，所以没有剩余不可能。 (2)如果截成若干根两种不同规格的短管后只剩下1厘米，根据36、24都是偶数，“偶数的倍数是偶数”、“偶数与偶数的和是偶数”可推知，原来铝合金管长应为奇数，这与管长374(偶数)的条件矛盾，所以，剩1厘米也不可能。 (3)如果最后剩下2厘米。这种情况有可能。374?(36+24)=6……14。这说明两种都截6根余14厘米，这时需要调整:少截一根24厘米长的，加上14，24+14=36+2，正好合一根36厘米长的，还剩2厘米。 【例5】老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数:1，2，3，…， 【分析与解】根据题意可知: 在上式中，被除数、除数都是整数，而商是一个分母为15的分数，这说明:剩下的数的个数是15或15的倍数。 我们可以根据这个猜测来试验。 如果剩下的数的个数是15，剩下的数的总和应是15×16+4=244，那么，擦掉一个数之前，从1开始的自然数有“15+1=16”个，它们的总和是1+2+3+…+16=136，136,244，也就是1至16这16个连续自然数之和小于1至16这16个连续自然数中的任意15个自然数之和。矛盾～所以，剩下的数不可能是15个。 那么，擦掉一个数以前从1开始的连续自然数有30+1=31(个)，总和是1+2+3+…+31=496，496,488符合题意。 由496-488=8可知，8就是被擦掉的数。 得到了符合题意的答案，15的其它倍数就不必再试了。 【例6】某校排演团体操时，全体学生恰好能由一个正三角形队列变换为一个正方形队 18 列。现只知道全校学生数在1000,2000人之间，那么这个学校有多少名学生, 【分析与解】先考虑“能组成正方形队列”这个条件，由这个条件可以知道学生总数是某个自然数的平方。因为正方形队列中每行、每列人数相等。在1000,2000之间共有22222222222232、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、442这13个数符合条件。这样，我们在1000,2000之间排除了许多数，大大缩小了答案的范围。在这13个数中，再根据“能排成正三角形队列”这个条件逐一试验，并不是一件困难的事。 如图4-1，等边三角形队列中，相邻两行之间的人数成等差数列。那么，这个队列中的总人数为(设总行数为n): 由于2S=n×(n+1)，而n×(n+1)表示两个连续自然数的乘积。所以，我们只要把上面筛选出来的13个数逐一试验，看哪个数的2倍能够分解为两个连续自然数的乘积。 试验的结果是，只有1225(352)可以，其它12个数都不行。 因此，题目的答案是:这个学校共有学生1225人。 下面这个例题中，由于计数对象较多，需要试验的次数也比较多，但不难。希望你既要细心，又要耐心。 【例7】有一种用六位数表示日期的方法，如890817，表示的是1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有____天。 【分析与解】这道题仍然用试验法，首先缩小试验的范围。 1月份，形如“9101??”，全部排除; 9月份，形如“9109??”，全部排除; 10月份，形如“9110??”，全部排除; 11月份，形如“9111??”，全部排除; 12月份，形如“9112??”，全部排除。 还有2月份， 上旬形如“91020?”，全部排除; 中旬形如“91021?”，全部排除; 下旬形如“91022?”，全部排除。 这样，1月、2月、9月、10月、11月、12月全部排除，试验的范围大大缩小了，只有在剩下的3月,8月这6个月中试。但这6个月按上旬、中旬、下旬不同，试验范围还可进一步缩小。因为表示中旬的日期排除了;表示月份的0?中的“0”又把每个月中表示上旬的日期排除了。这样，只需考虑三到八月份中下旬的日期就行了。 三月份:9103??，符合要求的有24、25、26、27、28。 四月份:9104??，符合要求的有23、25、26、27、28。 五月份:9105??，符合要求的有23、24、26、27、28。 19 类似地，在六、七、八三个月中，合要求的日期也各有5天。 所以全年中六个数字都不相同的日期共5×6=30(天)。 【例8】学校早晨6?00开校门，晚上6?40关校门。下午有一同学 【分析与解】题目中所说的“现在”是下午的某一时刻，因此我们可以采用试验的办法来解。 如果当时是下午3点，那么，从开门到“现在”的时间一共是 (12+3)-6=9(小时) 时。根据题目中的等量关系(老师说的话)，容易知道“现在”是下午3时还嫌早了一些。因为 所以，我们可以判断:“现在”一定在下午3点钟以后，并且比3点大约迟1小时。 根据上面的估计，我们可以大胆地跨出试验的第一步: 如果当时是下午4点，那么12+4-6=10(小时) 试验一步成功，说明“现在”的时间是下午4点。 【思考题】 1.解下面的算式谜: [提示:根据“4??1?”商3，推知除数只有14、15、16这三种可能，然后逐个试验。注意:“9??1?”必须余4。] 2.已知在每个正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，并且任意两个 20 相对的面上所写两个数的和都等于7。现在把五个这样的正方体一个挨着一个地连接起来(如图4-2)，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8。那么图中打“,”的这个面上所写的数是几。 [提示:根据“相对的面上所写的数字之和都等于7”和“紧挨着的两个面上所写数字之和都是8”，可推知，左上角的正方体前面所写的数字是3(由，后面是4;左、右两面分别是2或5。然后用2和5分别试。]3.三个连续偶数的乘积等于14????8，求这三个偶数。 [提示:三个连续偶数的积是七位数，由1003(100×100×100的积)是七位数，可估计这三个数是三位数的可能性较大。又因为这是三个连续偶数，它们的个位数必定是数列“0，2，4，6，8，0，2……”中连在一起的三个数，已知三个连续偶数的积的个位数字是8，所以这三个数的个位数字必定是2，4，6。又因为三个连续偶数的积的最高位数字是1，所以三个三位数的百位数字只可能是1。 3 由1103=1331000，120=1728000，推得三个数的十位数字都是1。] 5 移多补少 同学们都知道，解答“求平均数应用题”离不开“总数量?总份数=平均数”这个数量关系式。不过，如果你能紧扣“平均”二字的意义来思考，那么，解那些灵活性强的题目，往往能想出更简便的方法。 在“平均”二字中，“平”就是“拉平”，也就是移多补少，“均”就是相等。“平均”二字的意思，通俗地说，就是用“移多补少”的办法，使每份数量都相等。因此，移多补少是我们解答求平均数应用题的重要思考方法。 【例1】新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台, 【分析与解】按惯例，应该用四天装配的总台数除以4，综合算式为: [50+(50+5)+(50×2+3)]?4=52(台) 如果采用移多补少的方法，将会十分简便。假设每天都装配50台，那么四天一共多装配5+3=8(台)，把这8台平均分成四份，8?4=2(台)，因此，平均每天装配50+2=52(台)，综合算式为:50+(5+3)?4=52(台)，你看，这种解法多么巧妙～ 【例2】小红跳绳3次，平均每次跳156下，要想跳4次后达到“平均每次跳160下”，她第4次要跳多少下, 【分析与解】前3次的平均数为156，要想4次的平均数达到160，就是说第4次跳绳要超过160下，并且使超过的部分平均分成3份后恰好把前3次拉平(都是160下)。第4次应跳: 160+(160-156)×3=172(下)。 【例3】从11到20十个连续自然数相加的和，再加上2000，等于从( )到( )这 21 十个连续自然数相加的和。 【分析与解】我们容易算出:11+12+13+……+20=155，155+2000=2155。 要想知道2155是从( )到( )的十个连续自然数的和，只要知道其中最小的数或最大的数是多少就行了。我们可以用“削平”或“补齐”(也就是“移多补少”)的技巧来解。设这十个连续自然数中最小的为，它后面的a9个连续自然数依次为，aa，a，„„1234a，a，a。这9个数比a1分别大1，2，3，……8，9。如果把这些9个数的和减去，那么8910 原来的十个数都和a1相等了，这就是“削平”，如图5-1: 由于a+a+a+……+a=2155，可知“削平”以后，有 12310 10×a=2155-(1+2+3+4+……+9) 1 即10a1=2110 a=211 1 从而可求出: a=a+9 101 =211+9 =220 “移多补少”一般用于解“平均数应用题”，它的优点是简单灵活，便于心算。 【例4】某工厂一周内生产机器的台数统计表如图5-2，请你把星期三、星期四的产量算出来。 【分析与解】由“平均每天生产79台”可知，把六天中日产量超于79台的“移出”一部分(多出的一部分)，“补到”日产量不足79台的几天后，每天都是79台。可以这样移: 星期一的89台中移出10台，使星期一为79台(多10台); 星期六的85台中移出6台，其中5台给星期二，使星期二、星期六都是79台(还多1台); 星期五的81台中移出2台，使星期五也是79台。 现在，星期一、二、五、六都是79台，多出的是: 10+1+2=13(台) 补给星期三和星期四。 可以肯定星期四原有78台，如果是68或比68少，那么，一共多的13台不够;如果是88台或更多，那么，平均日产量就超过79台。这样，星期四需要补1台。星期三需要补 13-1=12(台) 星期三原有 22 79-12=67(台) 【例5】有6个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务。每个木工各得200元，漆工的工资比7个工人的平均工资多30元。漆工得了多少元钱, 【分析与解】根据“移多补少”的原则，漆工比平均工资高出的30元，分别补给6个木工以后，6个木工的平均工资恰好应该是7个人的平均工资: 30?6=5(元) 从而，7个人的平均工资应是: 200+5=205(元) 漆工的工资是: 205+30=235(元) 【思考题】 1.在迎新年的寿星联欢会上，有16位老寿星围坐在一起，他们的年龄恰好是16个连续自然数，而且30年后他们的年龄之和又恰好是1992。其中最老的寿星是多少岁, [提示:模仿例3的思路。] 2.在三场击球游戏中，阿丽丝的分数分别是139、143、144，为了使四场得分的平均分数为145，第四场阿丽丝应得多少分,[提示:由前三场的得分都比平均分低，需补足145，想“应补的分数+平均分=第四场得分”这个关系。] 3.甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出4角钱，问甲应收回多少钱,(以分为单位) [提示:由“丙应该拿4角钱”可知，8个面包共值40×3=120(分)，每个面包值120?8=15(分)，每人应拿出15×3=45(分);又由一共买了8个面包(不够9个)“三个人平均分吃”可知，每人所吃的面包不到3个。这样丙拿出的4角钱中既有甲的，又有丙的。] 6 等量代换 小朋友们一定都知道曹冲(曹操的小儿子)称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断:船上的石块共有多重，大象就有多重。 为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢,因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重(重量相等)时，才会淹没得一样深。 “曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法:两个完全相等的量，可以互相代换。 解数学题，经常会用到这种思考方法。 【例1】百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想:每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋, 【分析与解】我们根据“2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋,”可以求出每个纸箱装多少双球鞋。也就能求出一个木箱装多少双球鞋。 23 300?(2×2+6) =300?10 =30(双) 30×2=60(双) 答:每个纸箱里装30双球鞋，每个木箱里装60双球鞋。 想一想:如果把纸箱换成木箱，假如300双球鞋全部用木箱装，应该怎样解答, 【例2】如图6-1:阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。 【分析与解】因为中间是正方形，正方形的四边相等，所以DF=FE=BE=BD?长方形ABDC的周长为7×2=14(厘米)，长方形EHGF的周长为5×2=10(厘米)，又因为最大的长方形AHGC的周长等于: AB+AC+CD+DF+FG+GH+EH+BE ? 根据?式对?式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形ABDC的周长加上长方形EHGF的周长。 所以，图6-1中最大长方形的周长是: 7×2+5×2=24(厘米) 【分析与解】根据题意列成各种等量关系式: 鱼头重量=鱼尾重量+鱼身重量×1/2…………………? 鱼身重量=鱼头重量+鱼尾重量………………………? 鱼重量=鱼头重量+鱼身重量+鱼尾重量 将?式代入?式得: 24 【例4】甲乙两数之差是16.65，如果将乙数的小数点向右移动一位就与甲数相等，求甲、乙两数。 【分析与解】把一个小数的小数点向右移动一位，这一个数就扩大10倍。乙数扩大10倍后才与甲数相等，可见甲数是乙数的10倍。 把题目中的条件简写成这样的两个关系式: 甲数-乙数=16.65……………………………………? 乙数×10=甲数………………………………………? 由?式可知用“乙数×10”可代换甲数，所以?式可变成: 乙数×10-乙数=16.65， 乙数×(10-1)=16.65。 由此，我们可得出这道题的解答方法: 乙数:16.65?(10-1)=1.85， 甲数:1.85×10=18.5。 如果把题目要求的未知量用字母来表示，那么用代换法消去未知量的过程就一目了然了。 【例5】用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米, 【分析与解】设小水泵每小时的抽水量为X立方米，大水泵每小时的抽水量为Y立方米。根据题意，有 把?式改写成 6X+4×2Y=312………………………………………? 把?式中的“2Y”用“5X”代换，?式可写成 26 X=312 解方程，得 X=12 由X=12 可知 5X=60，用它代换“2Y”可得 2Y=60 Y=30 这就是说，小水泵每小时抽水12立方米，大水泵每小时抽水30立方米。 【例6】图 6-2中，正方形面积是50平方厘米。求阴影部分的面积。 25 【分析与解】要求阴影部分的面积，必须知道正方形的面积和扇形的面积，然后用正方形的面积减去扇形的面积求得阴影部分的面积。正方形的面积已知道，扇形的面积还不知道。要求出扇形面积必须知道扇形的半径，而扇形的半径就是正方形的边长，从正方形的面积求正方形边长，小学阶段没有学过，怎么办呢,如果把计算扇形面积的公式“S=πr2?4”认真观察、思考一下，就不难发现这里的r2恰好是正方形边长的平方，就等于正方形的面积50平方厘米。所以，计算扇形面积只要用“50”代换算式中的r2就可以了，没有必要再求出半径r的长度。因此，这道题可列式解答如下: 50-3.14×50?4 =50-39.25 =10.75(平方厘米) 【思考题】 1.在图6-3中，梯形的下底是6厘米，高3厘米，DF=2厘米，求阴影部分面积。 [提示:连接F、B，那么?BCE的面积与?BFE面积相等。] 2.在图6-4中，两个圆的半径都是1厘米，=SS。求长方形AO1O2B的面积。 24 [提示:长方形AO由S、S、S、S4四个部分组成的，S 是长方形1O2B123 7 画示意图 在数学中，“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟。几乎所有的数量关系或数学 26 规律都可以用生动形象的示意图来反映。 比如，我们在《找规律》中，曾经总结出这样的规律: 2 1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n 2 这个公式表示:从1开始的n个连续奇数相加，所得的和一定是。这条规律也n可用图7-1来表示: 2 再比如，(a+b)=a+2ab+b2这个公式也可以用图7-2表示: 2 “数”与“形”之间存在的这种密不可分的关系，对我们解数学题很有启发。当数学题中的数量关系式所包含的规律比较隐蔽、不容易理解时，应当恰当地画出示意图。 【例1】A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘, 【分析与解】根据“A已经赛了4盘”这个条件，可画出图7-3;再根据“B赛了3盘、C赛了2盘、D赛了1盘”，可画出图7-4。 从图7-4上很容易看出:小青赛了2盘。 【例2】学生问老师多少岁，老师说:“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年有多少岁。 【分析与解】用A-、A、A+分别表示学生过去、现在、将来的年龄，用-、BB、B+分别表示老师过去、现在、将来的年龄。这样，老师所说的两句话(数量关系)就可用图7-5来表示: 27 从图中可以看出 (B+-A+)+(B-A)+(B--A-)=39-3 由于两个人的年龄差保持不变，所以 B+-A+=B-A=B--A- 这样，就得到 (B-A)×3=39-3 B-A=12 A=B-=3+12=15(岁) B=A+12=15+12=27(岁) 也就是说，老师今年27岁。 在分析一些复杂的行程问题时，画示意图的作用就更大了。 【例3】甲、乙两辆汽车同时从 A、B两地相向而行。第一次相遇时离A地50千米，相遇后继续按原速度行完全程，到B、A后返回，第二次相遇时离B地25千米。求A、B两地的距离。 【分析与解】解这道题如果从路程、速度、时间的关系去分析，就会感到条件不足。现在我们从整体来分析:两车同时出发，第一次相遇时，它们一共行了A、B两地的1个全程;两车从出发到第二次相遇，合行了3个A、B两地的全程。这个重要的隐蔽条件从图7-6中才能更容易发现。 由于两车合行的“1个全程”中，甲车所行的路程是50千米，那么当两车从开始出发到第二次相遇这个过程(合行了“3个全程”)中，甲车共行的路程就是: 50 × 3=150(千米) 这时，甲车到达B地后已返回25千米。所以，A、B两地的距离是: 50×3-25=125(千米) 【例4】建国路小学五、六年级同学去参观科技展览，346人排成两路纵队，相邻两排前后各相距0.5米，队伍每分钟走65米。现在要过一座长889米的桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需要多少分钟, 【分析与解】要求从排头两人上桥到排尾两人离桥共用多少分钟，必须用“队伍过桥所走的路程?队伍过桥的速度”。队伍过桥走的路程是多少米呢,为了解决这个问题，我们可先画出示意图(图中“?”表示排头，“?”表示排尾):由于队伍本身有一定的长 28 度，所以“队伍过桥所走的路程”可看作“排头从B点到D点或者排尾从C点到A点所走的路程”。从图上看，这个“路程”应该等于“桥长+队伍的长”。 根据“346人排成两路纵队”，可知每个纵队的人数是“346?2=173”人。由于排头站了1人，所以173人把队伍分为“173-1”等份，由“相邻两排前后各相距0.5米”，可知每等份长0.5米，所以队伍的长度应为“0.5×(173-1)=86”米。 队伍通过大桥共用去的时间是: [889+0.5×(346?2-1)]?65=15(分) 几, 格，乙数代表9个空格，所以 【例6】某班语文、算术、外语三门功课期中考试成绩统计结果:语文、算术、外语得100分的同学分别有14人、12人、10人，语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学均各有5人，语文、外语两门都得100分的同学有4人，班上有3名同学三门都得了100分。根据上面统计数据，算一算，至少有一门得100分的有几名同学, 【分析与解】如图7-10，我们用A、B、C三个圆圈来分别表示语文、算术、外语得100 29 分的同学。那么语文、算术和算术、外语两门都得100分的同学就是A、B的公共部分和B、C的公共部分，A、C的公共部分就是语文、外语两门都得100分的同学，A、B、C三圆圈的公共部分表示三门都得100分的同学。题目所要求的“至少有一门得100分”的同学的人数，相当于求A、B、C三个圆实际所盖住的面积。为了求这个面积，我们可把它分成彼此不重叠的7个部分——，SS，S，S，S，S，S(如图 7-11): 1234567 从图中可知: A+B+C=(S+S+S+S)+(S+S+S+S)+(S+S+S+S) 123423563467 =(S+S+S+S+S+S+S)+(S+S)+(S+S)+(S+S)-S 12345672336343 把已知条件中的14，12，10，4，5，5，3代到上面式中，可得到“至少有一门得100分”的人数是: 14+12+10-4-5-5+3=25(名) 【思考题】 [提示:用正方形(图 7-12)表示“1”。] [提示:仿照例5，先推出乙数是甲数的几分之几。] 3.一个袋中装有若干红色与蓝色的弹子。如果取出1粒红弹子，那么剩余弹子的七分之一是红色的;如果不是取出1粒红弹子，而是取出2粒蓝弹子，那么剩余弹子的五分之一是红色的。袋中原来装有多少粒弹子, [提示:先根据题意画出图7-13。] 30 4.一个班有42名学生，其中有32人订《小学生数学报》，27人订《中国少年报》，每个同学至少订这两种报纸中的一种。问这两种报纸都订的同学有多少人, [提示:模仿例6。] 5.在两条垂直相交的公路上，甲由南向北走，乙由西向东走。甲出发地点在两条公路交叉点南1120米。乙出发地点在交叉点。甲、乙同时出发4分钟后，两人所在位置与交叉点距离相等，再经过52分钟，两人所在位置又与交叉点距离相等。甲、乙两人每分钟各走多少米, [提示:根据题意，画出图7-14:图中O点为两条公路的交叉点。在4分钟内，甲走完AB这段路，乙走完OC这段路。因为OC=OB，所以，甲、乙两人在4分钟内一共走完了AO(= AB+OB)这段路。这样，我们可求出甲、乙两人的速度和为每分钟 1120?4=280(米) 再经过52分钟，甲走完了BE这段路，乙走完了CD这段路。如果连同前4分钟算在内，在56分钟内，甲比乙多行的路为: AE-OD =AE-OE =AO 这样又可求出甲、乙两人的速度差为每分钟 1120?(4+52)=20(米) 现在，我们把问题转化成一个“和差问题”了。] 8 反过来想 许多同学都知道司马光破缸救小伙伴的故事吧。司马光在十分危急的情况下，不但没有惊慌失措，反而想出了一个非常聪明的办法把落在水缸里的小伙伴救出来了。真叫人佩服～ 司马光聪明在哪里呢, 在于他不受习惯思维的束缚，敢于反过来想问题。 一般人的习惯想法是:人落水了，要救落水的人，就要使人离开水，把人从水缸里拉出来。可是司马光等孩子人小力气小，水缸又深，让落水的小伙伴离开水一时是办不到 31 的。于是，司马光就反过来想:为什么不可以让水离开人呢,让水离开人与让人离开水，对于救落水的小孩来说，效果是一样的。因此，司马光用石头把水缸砸破了，落水的小孩也就得救了。 可见，当你按习惯思路解决问题困难时，不妨也反过来想想。反过来想，是我们解数学题的一种很好的方法。 【例 1】用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛, 【分析与解】首先要弄明白“淘汰制比赛”的意思，在淘汰制比赛中，每赛一场就有一人被淘汰(这个人不能再参加下面的比赛了)。我们可以这样想:先把200人分为100组，进行100场比赛，可淘汰100人;再把剩下的100人分为50组，进行50场比赛，可淘汰50人;把剩下的50人分为25组，进行25场比赛，又可淘汰25人;把25人中的24人先分为12组(另1人留到后面出现单数时加入分组)，进行12场比赛，淘汰12人;…… 这样做比较麻烦。 其实，只要反过来想一想，就会有更加简单的方法了: 考虑“产生冠军一名”的反面是“淘汰199名选手”。因为每淘汰1名选手需比赛1场，所以，要淘汰199名选手，共应进行比赛199场。 【例 2】1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少, 【分析与解】由于所有不能被9整除的数排列起来，没有什么规律，所以要求它们的和也就没什么简便方法了。但是，当我们考虑问题的反面(1,100中能被9整除的数的和)时，就可以从1,100这100个数的和中，减去能被9整除的数的和。 1+2+3+……+99+100=5050 9+18+27+……+90+99 =9×(1+2+3+……+10+11) = 9×66 =594 所以，要求的那些不能被9整除的数的和是: 5050-594=4456 【例3】有一个正方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6。有三个人分别从不同角度观察的结果分别如图8-1(a)、图8-1(b)、图8-1(c)。问这个正方体中，与“1”、“2”、“3”相对的面上分别是什么数字, 【分析与解】我们可以考虑“1的对面是什么数字”这个问题的反面—— “ 1的对面不是什么数字,” 从图8-1(a)可以看出: 1的对面不是6，也不是4; ? 从图8-1(b)可以看出: 1的对面不是2，也不是3。 ? 比较?、?这两个结果，可以肯定:1的对面是5。(这个结果又是一个条件，2、3、4、 32 6的对面都不可能是1和5。) 再看“3的对面不是什么数字,” 从图8-1(b)可以看出: 3的对面不是1，也不是2; ? 从图8-1(c)可以看出: 3的对面不是4，也不是5。 ? 比较?、?这两个结果，可知:3的对面是6。 现在只剩下2和4，它们一定是相对的两个面。 从以上几个例子中，我们可以体会到:“反过来想”对于解一些看上去很麻烦的题目，有意想不到的效果。不过，用这种方法解题，首先要弄清“问题的反面是什么”，“问题的反面”解决了，“问题”是不是就解决了。 【分析与解】对于第(1)题，问题的反面可看作“它们与1相比，差哪个大,”，“差”大的分数较小，“差”小的分数较大。 这就像两个人带同样多的钱上街买东西，如果想知道谁花掉的钱多，只要比较一下谁剩下的钱少就可以了。 对于第(2)题，问题的反面是“比较它们的倒数，倒数大的分数较小，倒数小的分数较大”。 【例5】设1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中每次取一个或者几个不同的数求和(每一个数每次只能取一次)，可以得到一个新数，这样共得到63个新数。如果把它们从小到大依次排列起来是:1，3，4，9，10，12，…… 那么，第60个数是多少, 【分析与解】“从左向右，第63个数”的反面是“从右向左，第4个数”。这样，我们只要找出这63个数中第4个的那个数就行了。 33 根据条件，从给定的六个数中每次取1个或者几个不同的数求和，可以得到(1+2+3+4+5+6)×6?2=63个新数，从小到大排列的第60个新数，也就是从大到小排列的第4个新数。在63个和数中，最大的是364(1+3+9+27+81+243)，接下来，依次是363(3+9+27+81+243)、361(1+9+27+81+243)、360(9+27+81+243)。所以，第60个新数是360。 【例6】某小学40名同学参加数学竞赛，用15分制记分(分数为0、1、2、……15)。经统计，全班总分为209分，而且相同分数的学生不超过5人，那么，得分超过12分的学生至多只有9人。试说明这是为什么。 【分析与解】假设“得分超过12分的学生至少有10人”(“得分超过12分的学生至多只有9人”的反面)是对的，那么全班总分至少有:5个13分，5个14分，5个0分，5个1分，5个2分，5个3分，5个4分，5个5分，合计得(0+1+2+3+4+5+13+14)×5=210(分)，它大于209分，与条件矛盾。所以，一开始的“假设”错误，假设的反面(“得分超过12分的学生至多只有9人”)是正确的。 例6的“分析与解”中这种从反面考虑问题的方法，也叫做“反证法”。 【思考题】 1.比较下面两个分数的大小: 2.一个迷宫(如图8-2)入口在A，中心在B。怎样从A到中心处B, [提示:想“怎样从中心处B走到A,”] 3.有一个4行6列，共(4×6=)24个方格的木箱(如图8-3)，每个方格可放置一瓶牛奶。现在要把有18瓶牛奶分放进去，但要求每行、每列摆放的牛奶瓶的个数都是偶数，这件事能办到吗, 34 [提示:由“24-18=6”可知，有6个空格不放牛奶瓶，其余18个空格分放18瓶牛奶瓶。因为图8-3是4行、6列，4和6都是偶数，由“偶数-偶数=偶数” 可知，如果每行每列不放牛奶瓶的空格数都是偶数，那么每行每列放了牛奶瓶的个数一定也是偶数了。注意:0也是偶数。 这样就将问题转化为它的反面——从图8-3的24个空格中选出6个空格。分别打上符号“×”(表示不放牛奶瓶)，使每行每列“×”的个数都是偶数。这件事是容易办到的，并且放置的方法很多。] 有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同。问:能不能将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数，等于他这一排其余孩子号码数的和,说明理由。[提示:用“反证法”解。假如可以按要求排成，那么每排中各号码的和一定是号码数最大的那个孩子的号码数的2倍。这样所有孩子的号码数一定是若干个偶数相加，仍是偶数。但是1,1993这1993个数的和是 (1+1993)×1993?2=997×1993 它是一个奇数。矛盾。] 9 分析因果关系 任何一件事都有前因后果，分析事物的因果关系，才能作出正确的判断和推理。公安机关的刑警从一点蛛丝马迹中，往往能找到搜捕罪犯的线索。这里的蛛丝马迹只是结果，刑警们更感兴趣的问题是:罪犯为什么留下这样的蛛丝马迹,这就是分析，也就是抓住结果找原因。我们解数学题，也应当学会这种顺藤摸瓜，分析因果关系的本领。 【例1】用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。想一想:一杯水和一个空瓶各重多少, 【分析与解】我们先把两次倒水的情况作一次比较。从连瓶重量来看，第二次比第一次重了“600-440=160(克)”，怎么会多160克的呢,因为第二次比第一次多倒了“5-3=2(杯)”水。这样，我们就容易求出每杯水的重量为:160?2=80(克)。求得一杯水的重量后，空瓶重量就不难求了。 这个例子虽然简单，但从上面的分析过程中我们可以归纳出这类应用题的一般思路:(1)先比较两种情形，从数量上看出差别;(2)分析造成这种数量差别的原因;(3)利用这种因果关系来沟通题目中已知量与未知量的关系，并求出正确答案。 【例2】兴旺养猪场，如果每间猪圈养猪8头，就还有4头猪没有猪圈养;如果每间猪圈养猪10头，将空出2间猪圈。问这个养猪场有多少间猪圈,共养了多少头猪, 【分析与解】我们把题中“如果„„就„„”与“如果„„将„„”这两个已知条件进行对比，可以发现，照第二种安排一共可比第一种安排多养猪10×2+4=24(头)。为什么可以多养猪24头的呢,原因是第二种安排比第一种安排每间猪圈多养猪10-8=2(头)。弄 35 清了这个因果关系，就容易求出猪圈间数和一共养多少头猪了。 (10×2+4)?(10-8)=12(间) 8×12+4=100(头) 或 10×12-10×2=100(头) 【例3】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器, 【分析与解】这道整数应用题，我们无论是从条件想起，还是从问题想起，都不容易找到解决问题的办法。如果抓住题目中的“25天完成全月计划”这一条件深入思考:这个厂为什么用25天就完成了全月的生产任务,这最后5天的生产任务为什么能提前完成,问题就能很快地得到解决了。 因为实际每天比原计划多生产80台，这样生产了25天，就比计划25天多生产了: 80×25=2000(台) 就把原来计划在后5天的生产任务给提前完成了。换句话说，这2000台机器就是原计划后5天的生产任务。那么，原计划每天生产的台数应为: 2000?5=400(台) 原计划十一月份的生产任务应为: 400×30=12000(台) 【例4】一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行整顿。整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天(包括停产整顿所用的3天时间)就完成了原计划50天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨, 【分析与解】我们容易算出整顿后生产的天数是:49-24-3=22(天)。由于整顿后每天比整顿前多生产化肥25吨，所以，一共多生产化肥22×25=550(吨)。可题目中却说整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，这岂不是“自相矛盾”吗, 究竟“矛盾”出在哪里呢, 原来，我们刚才算出的“550吨”是整顿后22天比整顿前22天多生产的化肥;而题目中告诉我们的“400吨”是整顿后22天比整顿前24天多生产的化肥。这完全是两码事，所以“550吨”与“400吨”并不矛盾。 从上面的比较中，我们看出:“550吨”与“400吨”的差150吨正好是整顿前2天的产量，因此，整顿前每天生产化肥150?2=75(吨)。从而，75×24=1800(吨)就是整顿前产的化肥;1800+400=2200(吨)就是整顿后产的化肥。 【例5】有一批砖，每块砖的长边比宽边长7厘米。如果把这些砖都横着接连铺下去(如图9-1)，可铺540厘米长;如果横竖相间接铺(如图9-2)，可铺386厘米长;如果“两横一竖”接铺(如图9-3)，可铺多长, 【分析与解】通过比较，我们发现图9-2的铺法比图9-1的铺法的总长要短540-386=154(厘米)。这个总长度的差是怎么来的呢,这是因为从图9-1到图9-2，每两块 36 砖(一组)中有一块由横铺变为竖铺了，因而，每两块砖就要使长度短一个“长边与宽边的差”，这个差就是题中已知的“7厘米”。现在，我们会想到这样解: (540-386)?7=22(组)，22×2=44(块) 按照我们刚才的思路，这批砖头应有44块，我们接着就可以算每块砖的长度(或长与宽的和)了，列式为: 540?44=12……12? 或 386?22=17……12? 糟了～怎么出现有余数了,根据题意，都是用整砖铺的，不应该出现余数，这到底是怎么回事呢, 仔细比较一下?式与?式。我们又会发现它们余数相同。这是偶然的巧合呢，还是说明我们在算这批砖总块数时考虑得不周密呢,把?式改写成:540=12×44+12也就是: 540=12×(44+1)? 由?式中的“44+1”，我们怀疑:总块数是不是少算了一块,可能，我们只考虑到这批砖是偶数块。如果是奇数，两个两个地分组一定要多1块。这就是?式?式余数相同的原因，实际上，?式可改写成: 386=(12×2-7)×22+12 这说明，总块数等于45是正确的。请读者自己算出图9-3可铺的长度。 从上面的例子中，我们还能体会到: 有时，题目中不直接告诉我们结果，需要通过比较才能得出结果，这样的结果往往表现为两个量的差。所以，我们在审题时，要特别注意把两种相类似的情形进行比较。 【思考题】 1.买2支圆珠笔和5支钢笔共花15.08元;买同样的5支圆珠笔和5支钢笔共花19.70元。每支钢笔多少元, [提示:两次花钱不一样多的原因是:由于第二次比第一次多买了3(=5-2)支圆珠笔。先算出圆珠笔每支多少元。] 2.牧场上有一片青草，长得一样密、一样快，这牧场上的草可供24头牛吃6周，或者20头牛吃10周。问这牧场上的青草可供18头牛吃几周, [提示:把原有的青草和新长的青草分开，把两种情况进行比较 第1种情况 原有的+6周新长的=24×6(份) 第2种情况 原有的+10周新长的=20×10(份)。] 10 假 设 37 在第4讲一开始，我们举了一个“鸡兔同笼”的例子。这里，我们再用它来说明数学上解题方法的灵活多样。 问题是:“鸡和兔共有42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡兔共108条腿。问鸡、兔各有多少只,” 对于这个问题中所说的“42只鸡兔”，有人作了这样奇特的想象: 假想笼子中的鸡和兔都受过专门训练，它们正在按主人的指令进行非凡的杂技表演。主人一击掌，每只鸡都只用一只脚站着，每只兔子只用后两只脚站立。这时，在笼子底下只能数出的鸡脚和兔脚是原来的一半，即: 108?2=54(只) 接着主人再一挥手，鸡全部飞去，每只兔子都再抬起一只脚(只剩一脚着地)。与刚才的情况比，每只鸡、兔又都少了一只脚，42只鸡、兔就少了42只脚。这时，从下面数只有脚 54-42=12(只) 这12只脚全是兔子的，而且每只兔脚与一个兔头相对应。因此，笼中的兔子就是12只，鸡有 42-12=30(只) 当然，也可以这样想:假设42只全是鸡，一共有84(=42×2)条腿。与实际情况相比，少了24(=108-84)条腿。为什么会少的,因为假设以后，有若干只兔“变”成了鸡，每有1只兔“变”成鸡，少掉2(=4-2)条腿，一共少了24条腿，说明共有兔子 (108-42×2)?(4-2)=12(只) 好家伙～几乎不需要列出算式，心算就得出了答案。这完全是想象的功劳～借助于鸡兔作杂技表演这一想象，原来比较复杂的问题转化为一个非常容易算的题目了。 或许有的读者小朋友会说，这种神奇的数学想象简直高不可攀，如果换了我，可实在想象不出。 不是想象不出，而是不习惯或者还不够大胆。不要紧，看了下面的例题和分析，你一定会大有长进。 千万别小看了你自己。 【例1】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器, 【分析与解】假设这个工厂(实际)生产了25天后继续生产到月底，那么全月一共比原计划多生产机器 80×(25+5)=2400(台) 但实际情况是前25天就把原计划要生产机器的任务完成了，这2400台全部是后5天生产的，所以，实际每天生产的台数为: 24O0?(3O-25)=48O(台) 这样就容易算出原计划要生产机器的台数是: 480×25=12000(台) 或 (480-80)×30=12000(台) 【例2】有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出 38 黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个, 【分析与解】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个(6=3×2)，也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，(留下)黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差(留下的是)2个。由此可知，一共取的次数是:16?2=8(次)。白棋子的个数为:3×8=24(个)。黑棋子的个数为24×2=48(个)。 【例3】小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得 56分。小华答对了几题, 【分析与解】假设小华全部答对:该得4×20=80(分)，现在实际只得了56分，相差80-56=24(分)，因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分(4+4=8)，根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数:24?8=3(题)，一共做20题，答错3题，答对的应该是: 20-3=17(题) 4×17=68(分)(答对的应得分) 4×3=12(分)(答错的应扣分) 68-12=56(分)(实际得分) 从上面几个例子中我们总结出用假设的方法解题的主要步骤: (1)假设有一种与事实(题中已知的一种实际情况)不符合的情况，但两种情况有共同之处，也有不同之处。比如42只鸡兔的实际情况是: a只鸡 b只兔 共108条腿? 而假设的情况是: a只鸡 b只鸡 共84条腿? (上面a+b=42) (2)把?与?进行比较，可以分析出:“a只鸡”还是“a只鸡”，但“b只兔”变成了“b只鸡”;还有“108条腿”变成了“84条腿”。这时你会发现事实情形与假设情形之间存在着差异。比如，“少了24条腿”。 (3)找出造成这个差异的原因。原因在于假设情形与事实情形之间差异上。比如，鸡兔问题中，“a只鸡”还是“a只鸡”，不会造成脚数的差异(少24)，只可能是“b只兔”变成“b只鸡”造成的差异。 (4)根据两种差异之间的因果关系，列式先求出一个未知量(比如上面的‎‎兔的只数b。) 概括地说，用假设法解题的思路就是图10,1: 有了这种巧妙的方法，许多复杂的问题就变得容易了。 【例4】晨光机械厂团支部买来两筐苹果共110千克。现取出甲筐苹果 39 克, (千克)。把这种假设的情形与题中已知情形一比较，发现多取出了“27.5- 从而，可算出乙筐原有苹果: 110-50=60(千克) 【例5】甲乙两人原来每天共加工零件500个，经过技术革新，甲每天加工的零件数比原来增加30,，乙每天加工的零件数比原来增加20,，因而现在两人每天共加工零件63O个。问甲乙两人原来每天各加工零件多少个, 【分析与解】假设现在甲、乙两人加工的零件数都比原来增加20,，现在两人每天应加工零件: 500×(1+20,)=600(个) 实际上比“假设”的多加工: 630-600=30(个) 这是因为假设中把甲的增产数少算了，少算的百分比是(30,-20,=)10,。 由此，可求出甲原来每天加工零件: [630-500×(1+20,)]?(30,-20,) =300(个) 【思考题】 1.王师傅原计划在15天内完成1050个零件的生产任务，实际提前1天完成了任务。王师傅实际平均每天比原计划多生产多少个零件, [提示:模仿例1的“分析与解”，假设王师傅用14(=15-1)天完成了生产任务后继续生产1天，那么比原计划多做零件 1050?(15-1)=75(个) 再由“75?15”求出实际每天比原计划多做几个零件。] 2.箱子里有红白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球。那么箱子里原有红球比白球多多少只, 40 [提示:假设每次从箱子里取出7只白球，(7×3)21只红球，经过若干次以后，如果箱子里剩下3只白球，那么就应剩下(3×3+2)11只红球。与实际剩下53只红球相差“53-11”只，这是由于每次多取(21-15=)6只红球产生的。两种取法，取的次数一样，都是(53-11)?(21-15)=7次。] 3.某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名,[提示:假设100名同学都是男生，那么应得分 60×100=6000(分) 比实际少得 63×100-6000=300(分) 原因是男生平均分比女生少 70-60=10(分) 从而求出女生人数为 (63×100-60×100)?(70-60)=30(名)] 11 转 化 前苏联(由今天的俄罗斯、乌克兰等国家组成)著名数学家雅诺科斯妞娅，有一次向参加奥林匹克数学竞赛的同学说: “什么叫解题,解题就是把题目转化为已经解过的题。” 这句话道出了解数学题常用的也是十分重要的一种方法——转化。这种转化通常是指转化条件或问题，特别是转化题中的数量关系。 【例1】一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少, 【分析与解】题中“两位小数去掉小数点”是什么意思呢,把它换句话说就是“把这个两位小数扩大100倍，得到一个新数(整数)”。新数比原来的数大多少呢,原数是1倍数，新数是100倍数，新数比原数大 100倍-1倍=99倍 这样，题中“去掉小数点后比原来的数大53.46”这个条件换句话说就是“原数的99倍等于53.46”。 现在，题中的数量关系就明朗了，原来的问题也就转化成一个我们早已会解的、比较简单的新问题了: “一个数的99倍是53.46，求这个数。” 原来这个数是: 53.46?(100-1)=0.54 【例2】4本日记本和8本练习本的价钱相等。小明买3本日记本和5本练习本，共用去2.2元。问日记本和练习本的单价各是多少元, 【分析与解】把“4本日记本和8本练习本价钱相等”换句话说，就是“1本日记本和2本练习本价钱相等”;再把它换句话说，就是“3本日记本和6本练习本价钱相等”;把它也换句话说，就是“3本日记本可以换成6本练习本”，与题目中的第2个条件“3本日记本和5本练习本，共用去2.2元”一比较，可知，“买6本练习本和5本练习本，共用去2.2元”。这样，容易先算出每本练习本的价钱是: 2.2?(6+5)=0.2(元) 从而，日记本的单价是: 41 0.2×2=0.4(元) 【例3】两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少, 【分析与解】我们知道，在有余数的除法里，商和除数相乘，再加上余数，结果等于被除数。题目中前一句话换个说法就是:被除数比除数的21倍还多3。再换个说法就是:被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。题目中第二句话换个说法是:被除数与除数的和是225-(21+3)=201。整个题目的意思换个说法就是:201比除数的22倍多3。从而可以先求出除数是: (201-3)?22=9 从而，可求出被除数是: 21×9+3=192 从上面的例1、例2、例3，我们可以看出，一些数学题中的已知条件(一般表现为数量关系)可以用多种方法来说。要学会把这种数量关系“换句话说”，使题目中的已知条件变得更加直接，使已知量与未知量之间的关系更加一目了然。经常做这种“换句话说”的练习，可以提高我们审题的水平，特别是对题的快速反应的能力。 【例4】两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。问5天中两堆煤被烧掉了多少吨, 【分析与解】题目中的已知条件先是说“现有煤”的吨数，后面已知“剩下煤”的倍数关系，这“现有”与“剩下”之间看上去并没有什么直接关系。要想沟通它们之间的关系，应当知道烧去多少吨，而这又是一个未知量，怎么办, 再看一遍题目，发现了“同样多”这个关键词(也是个隐蔽条件)，它能告诉我们什么呢,从下面的图(图11,1)中可以看出:“第一堆剩下的”与“第二堆剩下的”仍相差6吨。又知道“第一堆剩下的”是“第二堆剩下的”4倍。问题就转化为“差倍问题”了。可先求出第二堆剩下的煤为: (16-10)?(4-1)=2(吨) 5天内烧掉的煤为: 10-2=8(吨) 在上面这个例题中，我们是把两个量的相差关系，转化为另外两个量之间的相差关系，而使题中的数量关系变得更加直接了。这种转化当然是有条件的，那就是从两个量到另外两个量的变化(增加或减少)是同样的。就像两个年龄不同的人，几年以后他们岁数的差保持不变，也是有原因的，因为几年后两人岁数增加得也一样多。这种“差不变”的性质可用下面的式子表示: 如果 A-B=r 那么 (A+m)-(B+m) 42 =A+m-B-m =A-B =r (A-m)(B-m) =A-m-B+m =A-B =r 运用这条“差不变”的性质来转化数量关系，对于解答一些较复杂的图形问题也是很有用的。 【例5】如图11,2，正方形ABCD中，AB=4厘米，三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多2平方厘米。求DE的长。 【分析与解】要求DE的长，好像应当知道三角形DEF的面积及DF的长才行，这两个条件题目中都没有。仔细观察图形，我们可以发现:三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多出的2平方厘米，不就是正方形ABCD的面积比三角形ABE面积多的部分吗,于是，求出DE的长是: (4×4-2)×2?4-4 =14×2?4-4 =3(厘米) 【分析与解】在这道题中，我们可把软糖的块数看作单位 数是软糖的4倍”。根据转化以后的条件，可以把数量关系转化为:“总数增 【例7】抄一份资料，甲、乙单独抄各要10天完成，丙单独抄要7.5天完成。现在三人 43 合抄，在抄的过程中，甲因事外出一天，丙因病休息0.5天，结果用了多少天的时间抄完, 【分析与解】这道题属于工程问题。我们把这份资料的总页数看作单位 三人的工作效率之和为: 假如甲和丙都不休息的话，我们就可以直接用单位“1”除以三人的工作效率之和求出结果。但是现在题目中告诉我们:“甲因事外出一天，丙因病休息0.5天”，这就给解题带来了困难。那么怎样解这道题呢,从题目中我们知道甲、乙两人的工作效率是相同的，如果把甲休息一天变换为甲、乙两人各休息了0.5天，题目中的条件“在抄的过程中，甲因事外出一天，丙因病休息0.5天”就可转化为“在抄的过程中，甲、乙、丙三人因事都休息了0.5天”，这样，只要把三人合做的天数加上三人都休息的0.5天就行了。由此，可算出实际抄完这份稿件所用的时间为: 【例8】一个邮递员骑车送信去山上某气象预报小组驻地，上午10时半离开邮局，先走了段平路，然后上山。在山上休息40分钟后，顺原路返回邮局，下午2点10分回到邮局。已知他在平地每小时行12千米，上山每小时行10千米，下山每小时行15千米。这个邮递员往返共走了多少千米, 【分析与解】这道题只知道邮递员在平地上与上、下山的速度，能求出行的总时间是3小时，但由于总路程不知道，不能求出在平地、上、下山所行的时间。我们不妨适当变换条件的叙述方式，上山每小时行10千米，就是上 和下山的平均速度是: 这个速度与邮递员在平地上所行的速度正好相等。因此，往返的总路程是: 12×3=36(千米) 【思考题】 1.如果把数字7写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加70000。原来的数是多少, [提示:“把数字7写在一个数的个位数字后面”这个条件可以转化为“把原数扩大10倍后，再加上7”。] 44 2.1×2×3×4„„×100的积的末尾有多少个连续的“0”,[提示:题目所说的“积的末尾连续的‘0’的个数”与“乘积中分解出的2×5的个数同样多”。因此，所求问题可转化为“求1×2×3×4ׄ„×100中可以分解出多少对“2×5”。] 3.如图11,3， BCEF是平行四边形，三角形ABC是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米。求HC的长。[提示:由于平行四边形BCEF与直角三角形ABC都包含有梯形DBCH这个公共部分，所以由“差不变”性质，可以把题中“阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米”转化为“平行四边形BCEF的面积比直角三角形ABC的面积大12平方厘米”。] [提示:模仿例6转化题中数量关系。] 12 抓不变量 数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。 【例1】今年小明8岁，小强14岁。几年后小明和小强岁数的和是40岁, 【分析与解】不论两人的岁数增加多少，他们岁数的差总是不变的。所以，我们应当从年龄上不变来找解题的“突破口”。容易算出，小明和小强的年龄差是: 14-8=6(岁) 当他们岁数的和是40岁时，岁数的差仍是6岁。这样，我们可从“和差问题”的基本关系求出小明那一年是: (40-6)?2=17(岁) 是在几年之后呢, 17-8=9(年) 【例2】有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都问剪下的一段有多长, 【分析与解】根据题目意思，画出示意图图12,1。 从图上看出，两条纸带本来相差:21-13=8厘米，现在剪下同样长的一段以后，长纸带比短纸带多几厘米呢,我们知道，在减法中，被减数与减数减去同一个数，差不变。这就是说，长纸带仍比短纸带长8厘米，把长纸带剪后剩下的部分看作“1”，那么与8厘米相对 45 应的分率是 从而，可算出长纸带剪后剩下的部分为: 剪下的一段长是: 21-15=6(厘米) 【例3】王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为441，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为385。两个数的积究竟是多少, 【分析与解】乍一看这道题，不知该怎样解答。冷静地一思考，会发现两个人虽然都把甲数看错了，但是乙数都没有看错。441和385都是两个数相乘得出来的，其中有一个因数(乙数)没有变，所以乙数是441和385的公约数。 441和385有公约数1和7。因为乙数比1大，所以乙数一定是7。 441?7=63 „„王进看错了的甲数 385?7,55 „„张明看错了的甲数。 根据题意，王进看错了甲数的个位数字，63的个位数字3不是甲数的个位数字，但十位数字6是甲数的十位数字;张明看错了甲的十位数字，55的十位数字5不是甲数的十位数字，但个位数字5是甲数的个位数字。所以甲数是65。甲、乙两数的积为65×7=455。 【例4】育红小学原有科技书、文艺书共630本，其中科技书占20,，后来又买进一些科技书，这时科技书占现在两种书的30,，又买进的科技书有多少本, 【分析与解】原有文艺书的本数为:630×(1-20,)=504(本)，当又买进一些科技书后，文艺书的数量不变，因此，504本文艺书占现在两种书的对应分率是:1-30,，这样，现在两种书的总数为:504?(1-30,)=720(本)。又买进的科技书的本数为:720-630=90(本)，列成综合算式为:630×(1-20,)?(1-30,)-630=90(本)。 求这个数是多少, 46 克, 【分析与解】这道题中的两个分率虽然都是以第二桶油的重量为标准量(即单位“1”)，但由于第二桶前后两次的重量不一样，不容易找出量率对应关系，按一般思路不容易求解。我们可以这样进行分析解答:无论从第一桶内取出多少千克放入第二桶，但是两桶油的总重量并没有发生变化。我们设两 第二桶油重看作8份，第一桶油重相当于这样的5份，两桶油的总重量相当于 果第二桶的油重为10份，第一桶油重相当于这样的3份，两桶油的总重量相当 是: 第二桶油原来重: 47 =104(千克) 第一桶油原来重 【思考题】 1.今年(1995年)小花13岁，妈妈39岁。哪一年妈妈的岁数是小花的3倍, [提示:到妈妈岁数是小花3倍的那年，妈妈仍比小花大26岁。 [提示:男生人数没有变，可把男生人数看作单位“1”。] 13 找隐蔽条件 有些同学在分析比较复杂的应用题时，会感到题目中条件不够，没办法解。其实，这很可能是由于题目中隐蔽着的条件还没有被你发现。应用题中的隐蔽条件，往往是分析问题的突破口或者是最关键的一步。所以，审题时如果感到缺少条件，你不妨提醒自己:有没有什么隐蔽条件, 【例1】图13,1是用同样大小的长方形纸片摆成的。已知图中的长方形纸片的宽是12厘米。求阴影部分的面积。 【分析与解】图中阴影部分是由三个大小相同的小正方形组成的，它的边长不知道。题目只告诉我们长方形纸的宽，看上去好像缺少条件。还是仔细观察上面的图形吧，或许图形中隐藏着我们需要的条件哩～ 恰好等于阴影部分小正方形的边长。小正方 从图中可以发现:小纸片的长与宽的差， 形的宽已知，下一步关键是求小纸片的长。 进一步观察图13,1，我们终于发现了这样一个重要的隐蔽条件: 大长方形的长=5个小纸片的长 大长方形的长=3个小纸片的长+3个小纸片的宽 根据这个等量关系，可以推得 2个小纸片的长=3个小纸片的宽 也就是说 小纸片的长=小纸片的宽×3?2 这样，我们就可以由小纸片的宽是12厘米，求出它的长是: 48 12×3?2=18(厘米) 从而，阴影部分每个小正方形的边长是: 18-12=6(厘米) 所以，阴影部分的面积是: 6×6×3=108(平方厘米) 上面这个例题，把一个重要的数量关系隐蔽在图形中，如果不仔细看图，要找出这个等量关系，就困难了。在另外的情形下，数量关系还可能隐蔽在某个关键词的背后。 【例2】某人以年薪12卢布加一件长袍被雇。在工作7个月后他就离去，并公平地得到5个卢布和一件长袍的工钱。请问，长袍的价值是多少, 这是一道流传很广的俄罗斯古算题。(卢布是货币单位) 【分析与解】从题目可知，某人一开始已同老板订好 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 :“年薪得到的是“5个卢布加一件长袍”。这就是说，此人实际所得和根据合同应得的。这“公平”二字至关重要～在它背后，隐藏着这样一个等量关系—— 分人数不到 30人，那么成绩在80分以上的多少人, 【分析与解】如果知道参加竞赛的总人数，那么成绩在80分以上的人数立即可以求 49 出。现在只告诉你参加竞赛的人数不到30人，怎样才能知道参加竞赛的确切人数呢, 试试看，能不能从题目中找出隐蔽的条件, 能找到。我们知道，“人数只能是整数”，这就是一个隐蔽着的条件。由 加竞赛的人数能被2整除。同样道理，参加竞赛的人数还能被3和8整除。由此可知，参加竞赛的人数是2、3和8的公倍数。 2、3和8的公倍数有24、48、72……题中又告诉我们，参加竞赛的人数不到30人，可以确定，参加竞赛的有24人。 例3中，隐蔽了“人数的取值范围必须是整数”这一常识。 【分析与解】我们细心一想，可以发现:分子加上1，就是加上一个分数单位;分子减去1，就是减去一个分数单位。这个分数经过分子加1和分子减1两次变化后，和并没有变化，仍是原来分数值的2倍。这样，这道题中隐蔽着的条件暴露出来了。由此，可求出原来的最简分数是 这个答案是否正确呢,可以验算一遍: 【例5】一个家庭由丈夫、妻子、女儿和儿子组成，他们的年龄和是73岁。丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁。4年前这个家庭成员的年龄和是58岁。请问:这个家庭成员现在的年龄各是多少岁, 这是前苏联著名教育心理学家克鲁捷茨基编拟的一道测试题。 【分析与解】按照常规，会这样想:4年前这家4口人的“年龄和”应该比现在少 4×4=16(岁) 而题目告诉我们的是比现在减少 73-58=15(岁) 这不是矛盾吗, 没关系，这个“矛盾”正是题目的巧妙之处。因为我们抓住这个“矛盾”，可以找到隐蔽条件。 50 4年前这个家庭成员的年龄和是58岁，同现在相比，年龄和减少15岁。这说明，其中有一个人的年龄只减少了3岁。这种情况会发生吗,完全可能～它表明“4年前这个家庭中最小的成员还没有出生”(隐蔽条件)。有了这个隐蔽条件，可以推知:儿子今年才3岁。 由“女儿比儿子大2岁”可以算出女儿今年是: 3+2=5(岁) 从而可知，丈夫与妻子现在的年龄和是: 73-(5+3)=65(岁) 由他们的年龄差是3岁，容易算出 丈夫今年是: (65+3)?2=34(岁) 妻子今年是: 65-34=31(岁) 【思考题】 1.一个等腰三角形的周长是24厘米，其中有一条边长是6厘米，求另外两条边的长。 [提示:已知的这条6厘米长的边可能是一条腰，也可能是底边。但是题中隐蔽了“三角形任意两边之和大于第三边”这一条件。] 2.有9个大小、形状都相同的长方形，用这9个长方形可以拼成一个大长方形(如图13-2)。这个大长方形的面积是45平方厘米。求大长方形的周长。 [提示:设每个小长方形的长为a，宽为b，那么从图中可找到这样的隐蔽条件: 4a,5b 由 4a×(a+b)=45可求得a、b。] 3.如图13,3，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长 [提示:模仿例3。] 14 整体看问题 小朋友们都知道“只见树木，不见森林”这样一个成语故事。这个成语的意思是说有 51 的人看问题时只把眼光盯住一件事物，而不能高瞻远瞩，从整体和全局上去观察、分析个别事物与其它事物之间的联系。有的小朋友解数学题时，也容易犯这样的错误，结果一道本来并不难的题也感到缺少条件，束手无策。所以，我们要向数学家学习，从整体上观察思考，全面地审题。 【例1】有甲、乙、丙三种货物。如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去 3.15元;如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去 4.20元。现在买甲、乙、丙各1件，需要花多少钱, 【分析与解】0数学家在分析这个问题时，同一般人不一样。在数学家眼中，“X+X+X”可以看成一个整体，“求X，x，x =,”与“分别求X1=,，X=,，X=,”12312323是两回事。如果用题中的条件直接能求出X1，，XX这个“和”，那么，把X、X、X32312分别求出来再相加，就是“绕弯路”、“自讨苦吃”了。 由已知条件可得: 买甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 ? 买甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 ? 要想求出买甲1件，乙1件，丙l件，共需花多少钱，必须使上述?与?中对应的“件数”相差1。为此，可转化已知条件: 将条件?中的每个量都扩大3倍，得: 买甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 ? 将条件?中的每个量都扩大2倍，得: 买甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 ? 所以，买甲、乙、丙各一件，共需要花的钱数为 9.45-8.40=1.05(元) 这个解题方法的美妙之处在于:不在“买每一件货物分别需多少钱”的局部兜圈子，而是从整体角度考虑问题。当采用“各个击破”的解题方法难以奏效时，数学家常常用这种“整体看问题”的眼光来处理问题。就是根据题目特点，不纠缠于题目的局部或者细节，而是统观全局，从整体出发来 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 解题 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。这样，往往会收到事半功倍的效果。 加 =0.25×3”这个特点，对算式进行合理变形，并得出巧妙的解法。这就是: =0.25×19，0.75×27 52 =0.25×19，0.25×3×27 =0.25×(19，81) =25 问它们分别代表哪些数字, 别作为一个整体(三位数)，就可以把求六个未知数字的问题转化为求两个三位数的问题，这样解题一定能方便得多。 3×(1000×a，b),4×(1000×b，a) 对上式计算、整理得:2996×a=3997×b 再化简得: 428×a=571×b 因为a和b都是三位数，而且428与571互质，所以要使乘积“428×a”与“571×b”相等，必须使a=571，b=428。B、I、D、F、O、R这六个字母分别代表5、7、1、4、2、8六个数字。 【例4】“ 2×3×5×7×11×13×17”的各位数字之和是多少, 【分析与解】 解这道题的一般思路是先算出这个连乘式的结果，再把它各位上的数字相加。但这是一道“华杯”赛决赛的一道口试题，要求在1分钟内报出答案。在口试中，规定时间内答不出题是不能得分的。怎么办呢, 办法是有的。只要把算式中的每个数都仔细观察一番，抓住这些数字特点，可以绕开“把7个数连乘”这段弯路。 你看，式中有 2，又有 5， 2×5=10，10与其它 5个数的积相乘，只要在末尾添个0，不影响各位上的数字和。 再看看，式中有7，11，13。你如果记得:7×11×13=1001，而1001与位数比它少的自然数相乘，积的各位上除0以外，就是这个数重复一遍，如 51×1001=51051。题中7个数除2，5，7，11，13外，还有3×17=51。所以，本题的答案为(5，1)×2=12。 要提高解题的速度，当然离不开头脑反应快。但更重要的是认真全面地审题，想方设法“走近路”。另外，平时看课外书时还要注意积累，弄懂了，记牢了，解题时还要知道应用它。 【例5】 如图14,1，正方形的面积是50平方厘米，三角形ACD的两条直角边中，长边是短边的2.5倍，求三角形的面积是多少平方厘米, 想方设法去找“底”和“高”。但题目中只告诉了“底”和“高”的关系，“底”和“高”的实际长度都是未知量。因此，仅仅盯住这个三角形不行。 53 如果从整体上看图14-1，就可发现:三角形的一条直角边也是正方形的一条边，它的长等于正方形的边长。设正方形的边长是a，那么， 所以，直接可求得三角形的面积是: 有许多关于几何图形的计算问题，更需要全面细致地观察整个图形，并在此基础上分析图中各部分的关系，通过“公共”部分，“牵线搭桥”，问题才容易得到解决。 【例6】如图14-2，长方形的长是12厘米，宽是6厘米。把长三等分，宽二等分，并把长方形内任意一点与所有的等分点及四个顶点全部连接起来。求阴影部分面积占空白部分面积的几分之几, 【分析与解】只要分别求出阴影部分和空白部分面积，其中空白部分的面积可由长方形面积减阴影部分面积得到。 先求阴影部分的面积。甲、乙、丙、丁四个三角形的底边(落在长方形长或宽上)的长度分别是(12?3=)4厘米，(6?2=)3厘米，4厘米，3厘米，设与它们相对应的高分别是h、h、h、h，那么， 1234 54 乙、丙、丁四个三角形的面积是困难的。但从整个图形来观察，我们可以发现甲、丙两个三角形及乙、丁两个三角形之间有着密切的联系，这就是:，h=6h(厘米);h，h=121324(厘米)， 从而S，S=2h，2h 甲丙13 =2×(h，h)=2×6=12(平方厘米) 13 S=(S+S)+(S乙+S丁) 阴影甲丙 =12+18=30(平方厘米) 再求空白部分面积:12×6-30 =42(平方厘米) 【例7】以三角形的三个顶点为圆心，画半径是1厘米的三个圆(如图14,3)。求阴影部分面积的和。 【分析与解】从整体上看就会发现，阴影部分是三个扇形，它们的圆心角分别为三角形的三个内角，和为180度，各阴影部分拼起来恰好是一个半圆的面积: =1.57(平方厘米) 【思考题】 一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟跑100米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，……直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米, [提示:不需要把狗每趟所跑的路分别算出来，只要用它的速度乘以一共所跑的时间。] 15 分情况讨论 55 数学课上，老师给大家复习了真分数和假分数的意义，然后让大家讨论: 愣(leng)头愣脑的冒大保首先放了一“炮”:“这个问题不好回答。又不知道a比b大，还是a比b小。” 老师笑着说:“这就是要让你们好好地想一想啊～” 小林站起来说:“刚才说的a大于b和a等于b这两种情况，可以用„a都是自然 数，因为分母不能为0，而分子是0的分数等于0。” 老师认为小林的回答最完整，满意地点了点头。 从上面的问题及同学们的讨论中，我们应该得到这样的启示:对于那些缺少条件，看上去无法回答的问题，经过全面深入的思考，分几种情况来讨论，是可以找到问题的完整(全部)答案的。 我们再来看几个例子。 根剩下的部分长一些, 所对应的那个整体(“1”)不知道是多长。但它的长度不过三种可能: 就是说，第一根用去的比第二根用去的长。所以，第一根剩下的部分比第二根剩下的部分短。 56 部分比第二根用去的短。所以，第一根剩下的部分比第二根剩下的部分长。 根用去的就与第二根用去的同样长，当然，第一根剩下的部分也就与第二根剩下的部分一样长。 【例2】甲地到乙地的公路长400千米，两辆汽车从两地同时出发对开，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。出发几小时后两车相距80千米, 【分析与解】这道题目中的“两车相距80千米”也是个不确定的条件，因为两车在相遇前和相遇后都有可能“相距80千米”。这就得出以下两种可能(如图15,1): 在第一种情况下，两车共同行驶的路程是: 400-80=320(千米) 从而，所求的时间是: (400-80)?(38，42)=4(小时) 在第二种情况下，两车共同行驶的路程是: 400，80=480(千米) 从而，所求的时间是: (400，80)?(38，42)=6(小时) 【例3】在空地上将一堆方砖垒成长为40块砖，宽为20块砖，高为16块砖的长方体，然后给这个砖堆的表面涂上石灰。如果这个砖堆有一面靠墙，那么没有被涂上石灰的砖共有多少块, 【分析与解】 要算“没有被涂上石灰的砖有多少块”，可以把“被涂上石灰的砖”先“取走”。如果砖堆没有一面靠墙，那么取走涂上石灰的砖以后，剩下的砖堆的长、宽、高分别是: 40-2，20-2，16-1 由于现在砖堆有一面靠墙，这就包括两种情况: (1)左面(或右面)靠墙，那么，没有被涂上石灰的砖有: (40-2)×(20-1)×(16-1) =10830(块) (2)前面(或后面)靠墙，那么，没有被涂上石灰的砖有: (40-1)×(20-2)×(16-1) =10530(块) 【例4】在连续的49年中，最多可以有多少个闰年,最少应该有多少个闰年, 57 【分析与解】首先，要搞清楚题中所说的49年必须是连续的。但它没有规定这49年的起止时间。在历史的长河中，无论从哪一年开始算起都可以，因而，“49年”其实是一个不确定的条件。 第二，要清楚地知道“一般每隔4年就有一个闰年”这一知识。换句话说，这连续的49年中有几个4年，一般就有几个闰年(如图15,2，?表示平年，?表示闰年。下同)。 所以，在通常情况下，连续49年中有12个闰年。 由于题中没有规定这连续的49年的起止时间，所以当第一年是闰年时，最后一年也正好是闰年，如图15,3: 这就是说，连续49年中最多可以有13个闰年。 第三，必须充分考虑到“一般”以外的“特殊”情况。每隔4年有一个闰年，只是一般情况;如果年份是整百数，必须是400的倍数，这年才是闰年。这连续的49年，如果第一年不是闰年，而且中间有一个年份虽是整百数但不是400的倍数(比如从1891年到1939年)，那么它就只能有11个闰年。但是中间不可能有两个这样的年份，连续49年中最少也得有11个闰年。 【例5】把一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一个记号表示水深;再把这根竹竿掉过头来插入水中，也刻上一个记号表示水深。已知两个记号相距10厘米，是水深的十分之一。求竹竿的长。 100(厘米) 要弄清水深、竹竿长以及两个记号之间距离的数量关系，最好画出示意图(图15,4)，图中BC表示两个记号之间的距离为10厘米。由水深是指记号到竹竿一端的距离，这样，就应当考虑到两种情况:(1)水深等于AB或CD的长;(2)水深等于AC或BD的长。 在第(1)种情况下，水深×2，10=竹竿长;在第(2)种情况下，水深×2-10=竹竿长。 数学中有许多问题，它告诉我们的条件中有些是不确定的，这种不确定性正暗示我们在分析思考时应当全面、周密，分几种情况来讨论。这类问题的答案往往不只一个，有时甚至有无数个。 【思考题】 58 一根铁丝可以弯成长、宽分别是4厘米、3厘米的长方形。如果用这根铁丝弯成两个相同的正方形，每个正方形面积是多少, [提示:两个正方形可能有一条边共用。] 16 逐步调整 面对一个数学问题，特别是当它的答案受许多条件限制时，或者这个答案应当取某个极端值时，你可能不会一下子找到这个正确的答案。没关系，你可以根据题中的部分条件，找到一个与正确答案比较接近的“准答案”，然后再对它进行修改或调整。这样一步一步地逼近，最后一定会得到符合题中所有条件的正确答案的。 【例1】把0,9这十个数字分别填入下式的方框内，使下式成立。 ?，?=?，?=?，?,?，?=?，? 【分析与解】由于0，1，2，…，9=45，无论怎样填，45这个总和是不会变的。 为了便于推想，我们先把原式中的“,”看成等号，使它成为连等式。这样式中的五组数的和都相等，都等于9。因此，容易得出下式: 0，9=1，8=2，7=3，6=4，5。 下面需要调整。为使右边两组数的和增大并且相等，必须从左边三组数的和中分别取出相同的数来，平均分给右边两组。为保证平分，左边三组每一组都必须取出偶数。如果都取出2，那么左边三组数的和都变成7，右边两组数的和都变成12，由此得出一种填法。 0，7=1，6=2，5,3，9=4，8 小朋友们，从左边每组都取出4，进行调整后，也能得出一组答案，你不妨试一试。 【例2】在下面的数字中间填上加号或减号，使计算的结果得100，你能想出几种填法, 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 【分析与解】如果把它们看成是9个一位数，它们的和是45与100相差55。想什么办法来补足呢, 我们注意到，题中所说的“在下面的数字中间填上加号或减号”，并不是要我们在每两个数字之间都填上运算符号，也可以把相邻的两个或三个数字组成一个两位数或三位数。但要注意当把相邻的两个数字或三个数字组成两位或三位数后，和将发生怎样的变化。例如，把1和2组成12，和比原来增加了12-(1，2)=9;把1、2和3组成123，和比原来增加了123-(1，2，3)=117。 当把相邻的两个数字或三个数字组成两位数或三位数后，这一列数的和如果不满100，可以把另外的两个相邻的数字再组成两位数来试;如果和超过100，可以减去其中的几个一位数或两位数(即相邻的两个数字组成的两位数)，使和正好等于100。如果和比100多了8，应该把“，4”改成“- 4”，这样，得到的和才正好等于100(比108少4×2)。千万不能把“，8”改成“-8”，那样，和又会比108少8×2=16(比100少8)。例如: 1，2，3，4，5，6，78，9=108 应调整为1，2，3-4，5，6，78，9=100 这道题的答案有好多个。读者小朋友再试试，看你共能填出几种来。 【例3】有十个人各拿着一只水桶到水龙头前打水，他们打水所花的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟……10分钟。因为只有一个水龙头，所以他们得排队打水。问:怎样适当安排他们的打水顺序，才能使这个人排队等候和打水的时间总和最小, 【分析与解】同学们都有排队买东西(农村的孩子还可能向蚕茧收购站卖过蚕茧)的 59 经历。通常买东西，取货、付钱、算帐要很多时间，而且排在他后面的人又要等好长时间，在有一位顾客买很多东西的情况下，有位只买一件东西的顾客会很礼貌地去同这个买很多东西的顾客商量:“我只买1件，很快的，可以让我先买吗,” 经过这样先后次序的改变，这位买一件东西的顾客就节省了不少时间。当然，买东西还是要按排队次序一个一个来的。 对于例3这个排队打水的问题，我们凭经验也能想到:让打水所花时间(注满水桶所用时间)最少的人排在前面先打，所花的总时间要省些。 假设已经安排好了一种打水的先后次序，并且是最省时间的。其中第一个人打水要x分钟，x大于1。再假设打水需1分钟的人排在第y位(y也大于1)。作一次调整，使这两个人的位置交换一下(如图16—1)。 调整之后，排在第y个人后面的那些人所花的等候时间不受任何影响，排在“y”前面的那些人所花的等候时间减少了。 (x-1)×y-(x-1) =(x-1)×(y-1) 因为 x,1，y,1，所以上式大于0，说明总的时间更省了。可见，这种调整是必要的。 同样道理，经过逐步调整，可使第2号位、第3号位……分别排上打水时间为2分钟、3分钟……的人。这样，每人所花的打水时间和等候时间的总和是: 1×10，2×9，3×8，4×7，5×6，6×5，7×4，8×3，9×2，10×1 =(1×10，2×9，3×8，4×7，5×6)×2 =110×2 =220(分钟) 【例4】有十个村，分别位于从县城出发的一条公路上(如图16,2)。现在要安装水管，从县城送自来水到各个村，可以用粗细两种水管。粗管足够供给所有各村用水，细管只能供一个村用水。粗管每千米8000元，细管每千米2000元。把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程总费用，你认为最节省的方案，要多少元费用, 图 16,2 【分析与解】先假设从每个村各用一根细管连接到县城，那么从县城到各村之间要有10根细管，从第一村到第二村之间要9根水管……如图16,3，图中括号内的数表示每段公路上所安装的细管根数。 60 图 16,3 显然，这样的方案是不合算的，因为粗管每千米的费用是细管每千米费用的4倍。因此，要用“粗管换细管”的办法来调整上面的方案，调整的具体方案是:把有10根、9根、8根、7根、6根、5根细管的地方(前6段)用一根粗管替换，有4根细管的那一段可换可不换。这就是图16,4(“*”表示安装粗管的路段): 总费用是: (30，5，2，4，2，3)×8000，(2×4，2×3，2×2，5×1)×2000 =414000(元) 【思考题】 1.有一个六位数，能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同。这个六位数最小是多少, [提示:暂不考虑“能被11整除”这个条件，先写出首位数字是“7”，其余5个数字互不相同的最小的六位数701234。接下来对它进行调整，使它满足“能被11整除”这个条件，但又不能破坏“最小”这条要求，因此要从个位开始调整。] 2.在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图16,5)，共有五个仓库。一号仓库存有 10吨货物，二号仓库存有 20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行, [提示:先假设全部货物集中到一号仓库。如果改为集中到二号仓库，增加了(一号仓库)10吨货物的运费，减少了(2号仓库)20吨货物同样距离的运费。因此我们应把存放货物的地点由一号仓库调整到二号仓库。同样，我们可以看到把货物集中到三号仓库更合理一些，因为增加的是30吨货物的运费，减少的是40吨货物在同样距离内的运费。从而把存放货物的地点从二号仓库调整到三号仓库。继续调整下去，最终应是将货物全部集中到五号仓库，运费最少。所需运费是: (10×400+20×300)×0.5=5000(元)。] 17 合理变形 “1999+999×999”怎样算比较简便, 许多小朋友一定都会说:“变形。” 是的，把算式合理变形，是我们进行简便计算最常用的方法。上面的题目可以这样变形简算: 1999+999×999 =1000+999+999×999 61 =1000+(1+999)×999 =1000×(1+999) =1000×1000 =1000000 这样的例子很多很多。 【分析与解】比较式中的分子部分和分母部分，发现它们都含687，而且与687相乘的两个数只相差1，我们容易想到:通过“拆”或“凑”，使这两个乘积相同。简算过程是: 【例2】77×36+1001×3+7.7×250 【分析与解】从上面的算式中，很容易看出7.7与77只相差一个小数点，如果要使它们变成两个乘积公有的因数，反用乘法分配律，那就要把其中一个数变形。这是不难办到的，因为 7.7×250=77×25 式中的1001×3能不能参加简算呢,可以。只要记得 1001是个特殊的数，即 1001=7×11×13 =77×13 现在可以把原式变形进行简便计算了: 77×36，1001×3+7.7×250 =77×36+7×11×13×3+77×25 =77×(36+13×3+25) =77×100 =7700 可见，合理的变形可以使解题过程变得简捷而灵活。 怎样的变形才是“合理”的呢, (1)题目变形之后，要使隐蔽的简算特点暴露出来; (2)只能变“形”，而不能改变数的大小。不然的话，即使算起来方便，但结果是错误的，反而弄巧成拙了。 因此，我们在审题时，要对题中每个数字、符号都认真观察，要善于抓住它们之间的 62 联系，还要联想有关的运算定律和性质。 【分析与解】这是一道有若干个异分母分数相加的计算题，而且分母比较大。如果先通分，化成同分母的分数相加，计算是很麻烦的。不过，这个题目很有特点，题中每个分数的分子都是1，分母都是两个连续自然数相乘。根 上面式子中，前一个括号内的减数与后一个括号内的被减数可以连续消 22222 【例4】已知1+2+3+……+9+10=385求1×2+2×3+3×4+……+10×11。 【分析与解】如果把算式中10个乘积一一计算出来再相加，当然也不难得到答案。但 22222是，既然题目中提供了“1+2+3+……+9+10=385”这个已知条件，我们就应该充分利用它，或许这样做能使计算简便呢～ 22222 1+2+3+……+9+10=385也就是1×1+2×2+3×3+……+9×9+10×10=385，要求的是1×2+2×3+3×4+……+10×11的结果，仔细观察比较一下两个式子，我们容易发现: 1×1比1×2少1，2×2比2×3少2，3×3比3×4少3，……，10×10比10×11少10。这样，1×1+2×2+3×3+……+10×10就比1×2+2×3+3×4+……+10×11少了“1+2+3+……+10”，所以，要求的结果是 2222 (1+2+3+……+10)+(1+2+3+……+10) =385+55 =440 “变形”的方法在解其它类型的题目时，也能发挥“威力”。 【例5】把自然数1，2，3，4，……依次写下来，一直写到1000000，在这些写下来的数字中一共有多少个零, 【分析与解】我们在除了六位数以外的数的前面添零，将每一个数都改写成“六位数”。例如:3，102，4090，可以分别改写为000003，000102，004090。把0，1，2，3……依次写下来，一直写到999999，这些“六位数”应该是:000000， 000001， 000002，…，999998， 999999，不难算出，这些六位数所用数字的总个数是6×1000000=6000000(个)。因为在这些“六位数”的每一个数位上都可以写上0，1，2，……，8，9这十个数字，所以，这6000000个数中共有6000000?10=600000(个)零。要求出题目中所要求的零的个数，只需算出我们 63 所添上去的零的个数。从1到9共有9个一位数，共计添上了5×9个零;从10到99共有90个两位数，共计添上了4×90个零;……。所以添上去的零的个数是: 5×9+4×90+3×900+2×9000+1×90000=111105(个)。 因为与原来题目中的要求相比，上面的方法多算了“000000”中的6个“0”，而少算了“1000000”中的6个“0”，它们互相抵消。按添上111105个“0”来算不影响计算结果。所求的零的个数是: 600000-111105=488895(个)。 【例6】一个长方体的表面积是280平方厘米，底面积是60平方厘米，底面周长是32厘米。求长方体的体积。 【分析与解】设长方体的长、宽、高分别为 a、b、h，根据题意可知:(ah+ah+bh)×2=280。因为，底面积是60平方厘米，底面周长是32厘米，所以，ab是60平方厘米、(a+b)是32?2厘米。将上面的等式变形为: [ab+(a+b)h]×2=280， 因此就有: [60+(32?2)h]×2=280 60+16h=280?2 60+16h=140 16h=80 h=5 所以，长方体的体积为:60×5=300(立方厘米)。 【例7】求图17-1中阴影部分的面积。(单位:厘米) 【分析与解】因为圆的直径是它的对称轴，所以，可把图17-1沿圆的直径(虚线)对折，使上半圆与下半圆重合，这样，正好将阴影部分转化成两个完全相等的三角形(如图17-2)。因此，所要求的阴影部分的面积为: 我们还可以把图17-2左边的一个等腰直角三角形的顶点A固定不动，按顺时针方向把它旋转90?后，得到图17-3，这样，阴影部分就转化成一个边长为4(8?2)厘米的正方形。它的面积为: 64 【思考题】 1.计算19+199+1999+19999+19999 [提示:式中每个数都接近整十、整百、整千……，可变形为(20-1)+(200-1)+(2000-1)+(20000-1)+(200000-1)] [提示:分子部分的每个“加数”分别是分母部分每个“加数”的9倍。] 在中间, [提示:可根据分数的基本性质，把这五个分数都变形为分子相同的分数。] 5.如图17-4，一个长方形的草地，中间有一条路，是平行四边形，那么有草部分(阴影部分)的面积是多少平方米,[提示:用“平移”的方法把两个梯形拼合。] 6.如图17-5，要使甲的面积与乙相等，甲长方形的长应是多少米, [提示:用割补法，把图17-5变为图17-6。] 65 求图17-7、图17-8中阴影部分的面积(单位:厘米)。 [提示:分别用“翻折”、“旋转”的方法变形。] 18 借来还去 小宁在计算 19998+1998+198+18 这道计算时，只用20秒钟就报出了得数是22212。她为什么算得这么快呢, 小宁告诉小兵:“我用了‘借来还去’的方法。” 原来，小宁一看19998，1998，198，18分别接近20000，2000，200，20。她就先借来了4个2，分别加到19998，1998，198，18上，得到 20000+2000+200+20=22220 可是借来的4个2(=8)要“还”，也就是要从22220中减去，这样，正确的答案应该是: 22220-8=22212 小宁的思考方法可以从下面的式中看出来: 19998+1998+198+18 =(19998+2)+(1998+2)+(198+2)+(18+2)-(2+2+2+2) =20000+2000+200+20+2×4 =22220-8 =22212 这种“借来还去”的思考方法不仅在计算上，而且在解决一些实际生活问题上也用得着哩～ 【例1】某汽水厂规定:用3个空汽水瓶可换一瓶汽水，某人买了10瓶汽水，问他总共可喝到几瓶汽水, 【分析与解】对于这题，同学们或许会这样做:喝完 10瓶汽水后，拿着9个空瓶可换回3瓶汽水;再喝完，拿3个空瓶又换回1瓶汽水;又喝完，这时手里有2个空瓶，向别人“借来”1个空瓶，凑足3个，再换回1瓶汽水，喝完，把空瓶给别人“还去”。这样一共可以喝到“10+3，1，1=15”瓶汽水。 这道题经过“借来”、“还去”才得以解决，不妨把这类问题的解法叫做“借来还去”法。对于这类问题，它有一个有趣的结论:如果3个空瓶可换1瓶汽水，那么有2个空瓶就可喝到1瓶汽水。这是因为: 有了2个空瓶，再到别人那里“借来”1个空瓶，就可换来1瓶汽水，喝完把空瓶给别人“还去”，这时不欠不余。 因此，上述题目的解答就可简化为:10瓶汽水喝完后得10个空瓶， 10个空瓶又可换来5瓶汽水，总共可喝到“10+5=15”瓶汽水。 【例2】我国民间流传着这样一个故事，一位老人临终时决定把家里的17头牛全部分给 66 三个儿子。其中大儿子分得二分之一，二儿子分得三分之一，小儿子分得九分之一，但不能把牛杀掉或卖掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居用“借来还去”法顺利地把17头牛分完了。他的方法是:先把自己家的一头牛加到17头牛上，变成18头。 正好17头牛分完，邻居又把自己家的一头牛牵走了。 但是，聪明的邻居是怎么想到用“借来还去”法的呢,他一定经过了一番认真的分析和思考。 【分析与解】如果他先用下面的方法来试分: 那么，非把其中的两头牛宰了不可，这显然不符合老人的要求。即使允许这样分，弟兄三人能分得牛的头数之和只有8.5，5.67，1.89=16.06(头)， 为了把17头牛正好全部分完，就不能把“17头”看作单位“1”的量，而应 想出了我们开始介绍的那个巧妙的方法。 下面再举一个例子，这道题的解法虽然称不上是“借来还去”法，但解题思路却与例2很相似。 且结果一定要是整支的，该怎么分, 从例2的分析过程中我们可以受到启发。 【分析与解】 67 只要把三个结果的整数部分相加(6，4，3=13)，就可以发现13支粉笔无论如何也不够分。问题出在哪里呢, 不能把“13”看作整体“1”，而应该临时“借出”1支，把“12”看作整体“1”来分: 一共6+4+3=13(支)，把开始临时“借出”的1支再收回，正好够分。 【思考题】 2.卖冷饮的小店规定:5个空汽水瓶可换1瓶汽水。某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩的空瓶换来的。那么，他们至少要买多少瓶汽水, [提示:用“借来还去”法可求得，每买4瓶汽水，加上“借”来的一只空瓶，又可喝到1瓶汽水。如果买120瓶，实际可喝到(120，120?4=)150瓶;如果买128瓶，实际可喝到(128，128?4=)160瓶，还差1瓶，必须再买1瓶才行。至少买129瓶。] 19 用字母表示数 学过《简易方程》这一单元的小朋友都知道，有些应用题用算术方法解比较困难，但用方程解(把未知量设成字母)，容易多了。可见字母的作用真大。 【例1】方方、圆圆、丁丁、宁宁四个小朋友共有45本书，但是不知道每人各有几本书。如果变动一下:方方的减少2本，圆圆的增加2本，丁丁的增加一倍，宁宁的减少一半， 68 那么四个小朋友的书就一样多。问:每个小朋友原来各有几本书, 【分析与解】这道题用算术方法来思考很困难。如果把每个小朋友后来(一样多的时候)的书设为x本，那么 方方原来有书“x+2”本; 圆圆原来有书“x-2”本; 宁宁原来有书“x×2”本(2x本)。 根据题意，列出方程 化简，得 解方程，得 x=10 因此，方方原来有书12本，圆圆原来有书8本，丁丁原来有书5本，宁宁原来有书20本。 你看，只用了一下字母x，把它看成是题中已知的一个条件，根据“四个孩子原来共有45本书”这个关系，就列出了方程。这个方程并不复杂，很快能解出x=10。可以说，这个“10本”得来全不费功夫。 其实，有许多算术应用题，把未知量用字母替代后列出方程来解，都是很方便的。 【例2】有鸡和兔共35只，它们的脚共有100只。这35只鸡和兔中，鸡有几只，免有几只, 【分析与解】设鸡有x只，那么x只鸡的脚一共是2x只，兔子就是“35-x”只，兔子的脚就是“4×(35-x)”只。根据“它们的脚共有100只”可列出方程 2x+4×(35-x)=100 化简，得 140-4x+2x=100 140-2x=100 也就是 2x=40 解方程，得 x=20 所以，鸡有20只，兔子的只数是: 35-20=15(只) 有时，把未知数用字母代替，这些字母只参加列式，不需要求出它的值，起辅助作用。 【例3】有一辆汽车沿山路行驶，上山平均每小时行10千米，下山时沿原路返回，每小时行15千米。求这辆汽车上、下山往返一趟的平均速度。 69 【分析与解】通常，要求平均速度需要知道上、下山所行驶的总路程以及上、下山所行驶的总时间。但这道题中只知道上、下山的速度，怎样求平均速度呢,我们可发挥字母的作用。 设上、下山所行的路程都是S千米，那么上山时间为: 下山时间为: 由于汽车往返一趟所行驶的总路程是2S，所以，汽车上、下山的平均速度是 在例3中，我们把题中与平均速度相关的一个未知量用字母S替代。在整个解题过程中，我们所设的字母只是参与列式、运算，并不需要把它具体解出来。也就是说，字母好比是“拐杖”，辅助我们从已知走向未知，一旦问题解决了，“拐杖”也就自动离去了。数学家们把这种解题方法称为“辅助未知数”法。 【例4】一个直角梯形ABCD的中位线EF长15厘米，G是EF上的一点 米, 注:“梯形中位线”的长等于梯形上底加下底的和的一半。 【分析与解】根据梯形“中位线”的特点，我们想到:根据乘法交换律，梯形面积公式不是可以写成下面这种形式吗, S=中位线×高 在这道题中，梯形的高是AB。设AB=a，那么， S梯形AB=15×a CD =15a(平方厘米) 根据题目的第二个已知条件，我们可以推算出，三角形ABG的面积是: 70 由三角形面积公式，可得 另一方面， 也就是说， EG=2×S?a ?ABG =2×3a?a =6a?a =6(厘米) 我们再举一个复杂一些的例子。 【例5】有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光(这时池内已注入了一些水)。如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光;如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排出。问要想在4.5小时内把池内的水全部排光。需同时打开几根出水管, 【分析与解】设同时打x根出水管，可在4.5小时内把池内的水全部排光。再设池中原有的水为a，每小时放进来的水为b，每根出水管每小时排水为c。那么 8×3c=a+3b ? 5×6c=a+6b ? 4.5x×c=a+b×4.5 ? 把?-?，得 b=2c ? 把?代入?，得 a=18c ? 把?、?都代入?，得 4.5xc=18c+2c×4.5 也就是: 4.5c×x=27c 从而 x=27c?(4.5c) x=6 当然，这道题用算术方法解可能更简单些，我们举这个例子，说明辅助未知数只起辅助作用，最后全部都会被消去。所以，不能因为式中字母多了，就吓得不敢下手。 字母的作用不可低估。除了应用题，其它的数学题也常用设字母的办法，帮助分析推理。 71 【例 6】如图19-2，一个人要从A到B，他可按?号箭头所表示的路线走，也可以按?号箭头所表示的路线走。按哪条路线走近些,为什么, 【分析与解】设最大的半圆直径AB的长度为d，三个小的半圆的直径长分别为d1、、d2d。d=d+d+d。 3123 按?号箭头所示的路线走，需要行路线?的路程 可见，按照题目中所指的两条路线走，所走的路程同样长。 如果不用字母，我们举再多的例子也不能作出上面这样的肯定的判断。 【思考题】 1.幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个。问:如果全部分给小班小朋友，平均每人可分几个, [提示:设大班小朋友人数为x，那么苹果总数为10X，大班、小班一起分苹果时，小班共分得苹果10X-6X=4X，小班人数4X?6，最后在求全部分给小班每人可分几个时，“X”可以消去。] 2.黄、刘、洪、赵四位师傅加工同一种零件，在谈到完成任务的情况时，统计员说: ?赵比洪加工的多; ?黄、刘二位师傅加工的零件合在一起，与赵、洪二位师傅加工的零件合在一起，恰好一样多; ?刘、洪二位师傅加工的零件合在一起，比黄、赵二位师傅加工的零件合在一起多些。 问:哪位师傅加工的零件数最多,谁第二,谁第三, [提示:设黄、刘、洪、赵四人加工的零件数分别是:a、b、c、d。根据题意，有 d,c ? a+b=c+d ? b+c,a+d ? 72 把?+?，得 a+2b+c,a+c+2d ? ?两边都减去“a+c”，得 2b,2d(b,d) 由于?可变为 c-a=b-d 而b,d，b-d,0，所以c-a,0。] 3.沿着铁路线，有两个人相向而走，两人速度相等。一列火车开来，整个列车从第一个人身边开过用了8秒钟。5分钟后，火车又与第二个人迎面相遇，整个火车从第二个人身边开过用了7秒钟。问火车开过第二个人后多少分钟两人相遇, [提示:如图19-3，设人步行的速度为每秒x米，火车长为a米，火车的速度为每秒y米。 从图上看出:8y=8x+a，也就是a=8×(y-x)。火车和第二个人(相向而行)共同行完了a米，因而 a=7×(x+y) 把上面两个式于一比较，有 8(y-x)=7×(x+y) 化简得 y=15x 5分钟后(300秒后)，火车行了300y，第一个人行了300X，火车与第一个人相距“300y-300x”。这时火车已与第二个人相遇，就是说，这时两人相距的路程也是“300y-300x”。两人共同走完这段路所需的时间是 (300y-300x)?(x+x) =300×14x?2x =2100(秒) =35(分)] 20 把未知量具体化 老师问小平和小虎:“在减法中，被减数、减数、差相加的和，除以被减数，所得的商是多少，你们谁能先算出来,” 小虎说:“这可不好算，一个数都不知道。” 小平说:“别急，我先试试吧。” 只见小平写了三个式子 73 6-4=2 6，4，2=12 12?6,2 “是2吧。再举个例子试试。”小平心里没有把握。他又写了三个式子 21-3=18 21+3，18=42 42?21=2 还是2。 “所得的商是2，对吗,”小平问老师。 老师点了点头，表示肯定。 可小虎却在一边嘀咕:“题目中不知道的数，怎么可以随便假设呢,我弄不明白。” 老师接过小虎的话说:“你的问题提得好～一般情况下，题目中的未知量不可以随便假设。有时，问题中所求的未知量与其它相关的未知量具体是多少并没有关系。在这种情况下，可以把这些没有关系的未知量设为具体数。” 小平、小虎还不太清楚:“你怎么知道哪些量与问题有关，哪些量与问题无关呢,” “这就要看你对题目的意思理解得透不透了。在上面这个问题中，由于 被减数+(减数+差) =被减数+被减数 =被减数×2 所以，(被减数+减数+差)?被减数 =被减数×2?被减数 =2 可见，被减数是多少根本不影响问题的答案。” 读到这里，有的同学一定会说，在上一讲《发挥字母的作用》中后面几个例子也有些差不多。那些可以设为字母的辅助未知数，都可以直接设成具体数吗, 可以。你应该试一试。 【例1】(上一讲思考题1)幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个。问:如果全部分给小班的小朋友，平均每人可分几个, 【分析与解】全部分给小班的小朋友，每人可分几个，与苹果的总个数有关系，而与人数(无论是两班人数，还是大班人数)都没有关系。因为我们知道 苹果总数=两班总人数×6 而 苹果总数=大班人数×10 所以 大班人数×10=两班总人数×6 从而 74 由于把这些苹果全部分给小班小朋友， 到这里，我们从分数的基本性质发现，两班总人数具体是多少与每人可分个数确实是没有关系的。所以，我们可设两班总人数为100人。那么，苹果总数为: 100×6=600(个) 大班人数为: 600?10=60(人) 小班人数为: 100-60=40(人) 全部分给小班，每人可得 600?40=15(个) 这道题还可以直接设大班人数为6人或60人，或其它6的倍数。 【例2】一场足球赛的门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增 【分析与解】我们知道这样的关系 降价后门票价格=降价后的总收入?降价后的观众人数 变性质可知降价前观众具体是多少，并不影响上面除法算式的计算结果。这样，可以把降价前观众人数设为具体数量。 设降价前观众人数为1000人，那么，降价后门票收入为: 降价后的观众人数为: 降价后每张门票为: 18000?1500=12(元) 降价 15-12=3(元) 75 看来，运用“把未知数具体化”的方法解题，关键是认真分析题意。通常，当题目要求的那个未知量是通过另外两个量相除(如求比、求几分之几或百分比)而得到时，如果被除数与除数部分都含有相同的未知量作为它们的公因数，那么，这个充当公因数的未知量就可以具体化。比如，例1中的总人数，例2中的降价前的观众人数。 【例3】有两包糖，每包糖中都有奶糖、水果糖和巧克力糖。 (2)第一包中奶糖占25,，第二包中水果糖占50,; (3)巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍，当两包糖合在一起时，巧克力糖占28,。 求两包糖合在一起时，水果糖占百分之几, 【分析与解】题目中，两包糖的粒数，每包中奶糖、水果糖和巧克力糖的粒数都是未知数(第一包中水果糖、巧克力糖所占百分比等等也是未知数)。 不过，稍想一想便知道:两包糖的粒数不需要知道，也无法知道。不妨设第一包糖为200粒，第二包糖为300粒(也可以设第一包为400粒，第二包为600粒。因为问题只与百分比有关，可以将它们具体化。这样具体化以后，可以知道:第一包中奶糖有(200×2550粒,=50)，第二包中水果糖有150粒(300×50,=150)。 我们已经利用了题目中的条件(1)和条件(2)。下面要利用条件(3)。 设第二包中巧克力糖所占百分比为t，那么在第一包中巧克力所占百分比为2×t，第二包中巧克力糖的粒数为300×t，第一包中巧克力糖的粒数为200×2×t=400×t。根据条件(3)，可得 300×t+400×t=(300+200)×28, 也就是 700t=5×28 所以 100t=20 从而，第二包中的巧克力有 300×t=60(粒) 第一包中的巧克力有 400×t=80(粒) 第一包中的水果糖有 200-50-80=70(粒) 两包合在一起时，水果糖所占的百分比为 76 注1:我们设巧克力所占百分比为t(或x、y)，这比设百分比为t,好。 注2:我们求出100×t=20，就可以算出两包中巧克力的粒数，不必算 【思考题】 分，及格的同学平均分为80分。求不及格的同学的平均分是多少, [提示:设全班人数为40(或4的其它倍数)，那么不及格的人数为 2.一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做15天完成，两队合做，几天可以完成, [提示:把工程的总量设为具体数。] 3.有一个密封的长方体水箱(如图20-1)，从里面量得宽3分米，高5分米，箱内水的高度是4分米。如果将水箱向后推倒，以它的后面为底面，这时箱内水的高度是多少分米, [提示:水箱向后推倒后，长方体的长不变，可把它具体化。设推倒后水的高度为(如x图20-2)。根据推倒前后体积相等，可列出方程。] 77