第三章 内积空间，正规矩阵与H-矩阵

nullnull 第三章 内积空间，正规矩阵与H-矩阵 定义： 设 是实数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 与 的内积，记为 ，并且要求内积满足下列运算条件： null这里 是 中任意向量， 为任意实数, 只有当 时 ，我们称带有这样内积的 维线性空间 为欧氏空间。 例1 在 中，对于 规定 容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个欧氏空间。如果规定null容易验证 也是 上的一个内积, 这样 又成为另外一个欧氏空间。 例2 在 维线性空间 中，规定 容易验证这是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例3 在线性空间 中，规定null容易验证 是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。 定义： 设 是复数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为 与 的内积，记为 ，并且要求内积满足下列运算条件： null这里 是 中任意向量， 为任意复数, 只有当 时 ，我们称带有这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。 例1 设 是 维复向量空间，任取null规定 容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个酉空间。 例2 设 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义null容易验证 是 上的一个内积，于是 便成为一个酉空间。 例3 在 维线性空间 中，规定 其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证 是 上的一个内积，从而 连同这个内积一起成为酉空间。 内积空间的基本性质：null欧氏空间的性质：null酉空间的性质：null定义：设 是 维酉空间， 为其一组基底，对于 中的任意两个向量 那么 与 的内积令null称 为基底 的度量矩阵，而且 定义：设 ，用 表示以 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记null则称 为 的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：null定义：设 ,如果 ，那么称 为Hermite矩阵；如果 ，那么称 为反Hermite矩阵。 例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。nullnullnull熟悉下列概念: （1） 实对称矩阵 （2） 反实对称矩阵 （3） 欧氏空间的度量矩阵 （4） 酉空间的度量矩阵 内积空间的度量 定义：设 为酉（欧氏）空间，向量 的长度定义为非负实数 例 在 中求下列向量的长度null解： 根据上面的公式可知 一般地，我们有: 对于 中的任意向量 其长度为null这里 表示复数 的模。 定理：向量长度具有如下性质 当且仅当 时， null例1： 在线性空间 中，证明 例2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的 ，我们有null定义：设 为欧氏空间，两个非零向量 的夹角定义为 于是有 定理：null因此我们引入下面的概念; 定义：在酉空间 中，如果 ，则称 与 正交。 定义： 长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量 ，向量 总是单位向量，称此过程为单位化。 null标准正交基底与Schmidt正交化方法 定义 设 为一组不含有零向量的向量组，如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。 定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。 例 在 中向量组null与向量组 都是标准正交向量组。null定义：在 维内积空间中，由 个正交向量组成的基底称为正交基底；由 个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。 注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。 定理：向量组 为正交向量组的充分必要条件是 向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是null 定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。 Schmidt正交化与单位化过程: 设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量，利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。 null第一步 正交化 容易验证 是一个正交向量组.null第二步 单位化 显然 是一个标准的正交向量组。 例1 运用正交化与单位化过程将向量组 化为标准正交向量组。 解：先正交化 null再单位化 null那么 即为所求的标准正交向量组。 例2 求下面齐次线性方程组null其解空间的一个标准正交基底。 解： 先求出其一个基础解系 下面对 进行正交化与单位化：null即为其解空间的一个标准正交基底。null 酉变换与正交变换 定义：设 为一个 阶复矩阵，如果其满足 则称 是酉矩阵，一般记为 设 为一个 阶实矩阵，如果其满足 则称 是正交矩阵，一般记为 null例：是一个正交矩阵null是一个正交矩阵是一个正交矩阵null（5）设 且 ，如果 则 是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。 是一个酉矩阵null酉矩阵与正交矩阵的性质： 设 ，那么 设 ，那么null定理： 设 ， 是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）向量组是标准正交向量组。 定义： 设 是一个 维酉空间， 是 的一个线性变换，如果对任意的 都有null则称 是 的一个酉变换。 定理：设 是一个 维酉空间， 是 的一个线性变换，那么下列陈述等价： （1） 是酉变换； （3）将 的标准正交基底变成标准正交基底； （4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。 注意：关于正交变换也有类似的刻划。null 幂等矩阵 定义：设 ，如果 满足 则称 是一个幂等矩阵。 例 是一个分块幂等矩阵。 null幂等矩阵的一些性质：设 是幂等矩阵，那么有 （1） 都是幂等矩阵； （2） （3） （4） 的充分必要条件是 （5）null定理：设 是一个秩为 的 阶矩阵，那么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 使得 推论：设 是一个 阶幂等矩阵，则有 定义：设 为一个 维标准正交列向量组，那么称 型矩阵 null为一个次酉矩阵。一般地将其记为 定理： 设 为一个 阶矩阵，则 的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵 使得 其中 。 要证明定理,先看下面的引理.null引理： 的充分必要条件是 证明：设 ，那么必要性：如果 为一个 维标准正交列向量组，那么nullnull充分性：设 ， 那么由 ，可得nullnull即 这表明 是一个 维标准正交列向量组。 定理的证明： 必要性：因 ，故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵null 。注意到 的 个列向量都可以由 的 个列向量线性表出。即如果 那么可得nullnull其中由于向量组 的秩为 ，所以 的秩为 。null下面证明 。 由 可得 ，即 注意到 ，所以即 因为 ，所以 ，这样得到 于是null充分性：若 ，则Schur引理与正规矩阵 定义：设 ，若存在 ，使得 则称 酉相似(或正交相似)于 定理(Schur引理)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。null证明：用 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。 取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，因为 构成 的一个标准正交基，故null，因此其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足(上三角矩阵)null令 那么null注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值. 定理(Schur不等式): 设 为矩阵 的特征值, 那么 例: 已知矩阵 null试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵. 解: 首先求矩阵 的特征值null所以 为矩阵 的三重特征值. 当 时, 有单位特征向量 再解与其内积为零的方程 求得一个单位解向量null再解与 内积为零的方程组 求得一个单位解向量 取null计算可得null令null再求矩阵 的特征值 所以 为矩阵 的二重特征值. 当 时, 有单位特征向量null再解与其内积为零的方程 求得一个单位解向量null取 计算可得 null令 于是有null则null矩阵 即为所求的酉矩阵. 另解: 取向量 , 与 正交 的向量取为null则取矩阵P为 显然 是上三角矩阵,故null为所求的酉矩阵. 正规矩阵 定义: 设 , 如果 满足null那么称矩阵 为一个正规矩阵. 设 , 如果 同样满足 那么称矩阵 为一个实正规矩阵. 例: (1) 为实正规矩阵 null (2) 其中 是不全为零的实数, 容易验证这是一个实正规矩阵.null (3) 这是一个正规矩阵. (4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵. 正规矩阵的性质与结构定理nullnull 根据 得 。因此是对角矩阵。 由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理 定理 : 设 , 则 是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得null其中 是矩阵 的特征值. 推论1 : 阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量 . null推论2 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交. 例1 : 设 求正交矩阵 使得 为对角矩阵. 解: 先计算矩阵的特征值null其特征值为 对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 现在将 单位化并正交化, 得到两个标准正交向量null对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量null将这三个标准正交向量组成矩阵null则矩阵 即为所求正交矩阵且有例2 : 设求酉矩阵 使得 为对角矩阵.null解: 先计算矩阵的特征值 其特征值为 对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系null现在将 单位化, 得到一个单位向量对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量null对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量null将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有null 例3 证明: (1) H-矩阵的特征值为实数; H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的. (2) 反H-矩阵的特征值为零或纯虚数. (3) 酉矩阵的特征值模长为1. 定理: 设 是正规矩阵, 则 (1) 是H-阵的充要条件是 的特征值为实数 . null (2) 是反H-阵的充要条件是 的特征值的实部为零 . (3) 是U-阵的充要条件是 的特征值的模长为1 . 注意: 正规矩阵绝不仅此三类. 例4 : 设 是一个反H-阵, 证明: 是U-阵. 证明: 根据U-阵的定义null由于 是反H-阵, 所以 这样 于是可得 null这说明 为酉矩阵.null例5 : 设 是一个 阶正规矩阵且存在自然 数 使得 , 证明: . 证明: 由于 是正规矩阵, 所以存在一个酉矩阵 使得null于是可得 从而 这样null即 Hermite矩阵(简称H-矩阵) Hermite矩阵的基本性质 引理: 设 , 则 (1) 都是H-矩阵.null (2) 是反H-阵. (3) 如果 是H-阵, 那么 也是H-阵, 为任意正整数. (4) 如果 是可逆的H-阵, 那么 也是可逆的H-阵. (5) 如果 是H-阵(反H-阵), 那么 是反H-矩阵(H-阵), 这里 为虚数单位. (6) 如果 都是H-阵, 那么 也是H-阵, 这里 均为实数. (7) 如果 都是H-阵, 那么 也是H-阵的充分必要条件是null定理: 设 , 则 (1) 是H-阵的充分必要条件是对于任意的 是实数. (2) 是H-阵的充分必要条件是对于任意的 阶方阵 为H-阵. H-矩阵的结构定理 定理: 设 , 则 是H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵 使得null其中 , 此定理经常叙述为: H-阵酉相似于实对角矩阵. 推论: 实对称阵正交相似于实对角矩阵. null例 : 设 为一个幂等H-阵, 则存在酉矩阵 使得 证明: 由于 为一个H-阵, 所以存在酉矩阵 使得 null又由于 为一个幂等H-阵, 从而 或 将1放在一起, 将0放在一起, 那么可找到一个酉矩阵 使得null这里 为矩阵 的秩. Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式) 定义: 由 个复变量 , 系数为复数的二次齐次多项式null称为Hermite二次型, 这里 如果记 null那么上面的Hermite二次型可以记为 称为Hermite二次型对应的矩阵 , 并称 的秩为Hermite二次型的秩. 对于Hermite二次型作可逆的线性替换 则null这里 Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型 我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型. 定理: 对于任意一个Hermite二次型 null必存在酉线性替换 可以将Hermite二次型 化为标准形 其中 是H-矩阵 的特征值. 进一步, 我们有 定理: 对于Hermite二次型 null必存在可逆的线性替换 可以将Hermite二次型 化为 其中 . 我们称上面的标准形为Hermite二次型 的规范形. 例: 写出下面Hermite二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.null解: null 正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵 定义: 对于给定的Hermite二次形 如果对于任意一组不全为零复数 都有null则称该Hermite二次形为正定的(半正定的) , 并称相应的H-矩阵 为正定的(半正定的) . 例: 判断下列Hermite二次形的类别 null与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite二次形我们有 定理: 对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的 null (1) 是正定的 (2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有 为正定矩阵 (3) 的 个特征值都大于零 (4) 存在 阶可逆矩阵 使得 (5) 存在 阶可逆矩阵 使得 (6) 存在正线上三角矩阵 使得 , 且此分解是唯一的. 例1 : 设 是一个正定的H-阵, 且又是酉矩阵, 则 证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以必存在null酉矩阵 使得 由于 又是酉矩阵, 所以 null这样必有 , 从而 例2 : 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 与 的特征值实部为零. 证明: 设 为矩阵的任意一个特征值, 那么有 . 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得 将其代入上面的特征多项式有null这说明 也是矩阵 的特征值. 另一方面注意矩阵 为反H-阵, 从而 实部为零. 同样可以证明另一问. null例3 : 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 是可逆矩阵. 证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得 这表明 是可逆的. 于是 另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵, 而矩阵 为反H-阵, 由上面的例题结论可知null矩阵 的特征值实部为零, 那么矩阵 的特征值中不可能有零, 从而定理: 对于给定的Hermite二次形 下列叙述是等价的: (1) 是半正定的null(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有 为半正定矩阵 (3) 的 个特征值全是非负的 存在 阶可逆矩阵 使得 (5) 存在秩为 的 阶矩阵 使得null定理: 设 是正定(半正定)Hermite矩阵, 那么存在正定(半正定) Hermite矩阵 使得 例1 : 设 是一个半正定的H-阵且 , 试证明: 证明: 设 为 的全部特征值,由于 是半正定的, 所以 . 于是有 null例2 : 设 是一个半正定的H-阵且 是一个正定的H-阵, 证明: 证明: 由于 是一个正定的H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得 这样有null注意矩阵 仍然是一个半正定的H-阵, 有上面的例题可知 从而null例3 : 证明： （1） 半正定H-矩阵之和仍然是半正定的; （2） 半正定H-矩阵与正定H-阵之和和是正定的; 证明：设 都是半正定H-阵，那么二者之和 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为 其中null由于 都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数 我们有 这说明 为一个半正定H-阵。 类似地，可以证明另外一问。null例4 : 设 都是 阶正定H-阵，则 的根全为正实数。 证明：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵 使得 另一方面注意到 是一个正定H-阵，从而有null的根全为正实数。又由于 故 的根全为正实数。 定理 : 设 是一个（半）正定H-阵，那么必存在唯一的一个（半）正定H-阵 ，使得null Hermite矩阵偶(对)在复 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 （复相合） 矩阵下的标准形 例 ：设 均为 阶Hermite-阵,且 又是正定的，证明必存在 使得null与 同时成立，其中 是与 无关的实数。 证明： 由于 是正定H-阵，所以存在 使得 又由于 也是H-阵，那么存在 使得null其中 是H-阵 的 个实特征值。 如果记 ，则有null下面证明 个实特征值 与 无关。令 ，那么 是特征方程null的特征根。又由于 因此 是方程 的根。它完全是由 决定的与 无关 。 由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：null定理：对于给定的两个二次型 其中 是正定的，则存在非退化的线性替换 可以将 同时化成标准形null其中 是方程 的根，而且全为实数。 定义：设 均为 阶Hermite-阵,且 又是正定的，求 使得方程 有非零解的充分必要条件是null关于 的 次代数方程方程 成立。我们称此方程是 相对于 的特征方程。它的根 称为 相对于 的 广义特征值。将 代入到方程 中所得非零解向量 称为与 相对应的广义特征向量。 广义特征值与广义特征向量的性质;null命题： （1）有 个广义特征值； （2）有 个线性无关的广义特征向量 ，即 （3）这 个广义特征向量可以这样选取，使得其满足其中 为Kronecker符号。