多边形

新课程网校[WWW.XKCWX.COM] 全力打造一流免费网校！ 多边形 【内容综述】 在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形均指凸多边形。它的重要性质是：几边形的内角和是 INCLUDEPICTURE "F:\\2002至2003学年度第一学期名师点拨稿件\\奥班\\1319\\新建文件夹\\Image9583.gif" \* MERGEFORMATINET ，由于这个结论与边数有关，所以这不是对多边形的最本质的刻划。更加本质的是它的推论：任意多边形的外角和等于。 【要点讲解】 　　多边形中通过连结对角线中把多边形就分割为若干个三角形，这就把研究多边形的问题转化为研究三角形的问题，这是一种重要的研究思路，请读者在下面的解题过程中认真体会这种思路。 　　★★例1 已知多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。 　　思路 设多边数的边数为n，然后通过已知条件列出n的方程，再求出n值。 　　解 设这个多边形的边数为n，根据题意得 　　 　　解之得 n=8 　　答：这个多边形的边数为8 　　说明 本题通过设边数为n，然后依题意列出n的方程，再求出n值。这是运用方程的思想解几何题。这种思想方法今后还会经常用到。 　　★★例2 一个多边形的每个内角都等于，求这个多边形的边数。 　　思路1 利用多边形的内角和定理。 　　解法1 设这个多边形的边数为n，根据题意得 　　 　　解之得n=10 　　思路2 利用多边形的外角和定理。 　　解法2 因为这个多边形的每个内角都等于，所以每个外角都等于，而多边形的外角和是，所以这个多边形的边数是 . 　　说明 当你们学习了解法1和解法2后，你们心里产生了怎样的想法呢？显然，解法1比较传统，解法2则标新立异，这就启发我们解题时选择恰当的出发点是多么重要。 　　★★★例3 一个多边形除了一个内角之外的所有内角和等于，求这个多边形的边数和这个内角的度数。 　　思路 利用多边形的内角和定理。 　　解 设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为X，根据题意有 　　 . 　　又 　　解之得 　　又 由n是正整数得n=14 　　 说明 在解题中要重视对题目隐含条件的发掘和利用。如本题中的x取值范围是。n是正整数等。 ★★★例4 求证：n边形的内角中，最多有3个锐角。 　　思路1 用反证法. 　　证法1 假设n边形至少有4个锐角，取出4个锐角之后剩下的角记为，，，则有 　　， 　　得 　　那么 ，，中至少有一个大于，而这与，，中的每一个都小于180矛盾。 　　所以，n边形的内角中，最多有3个锐角。 　　思路2 转化为 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 它的等价命题：n边形的外角中，最多有3个钝角。 　　证法2 因为n边形的外角和是，所以这n个外角中最多有3个钝角。（若有4个或4个以上角是钝角，则外角和就大于，这与n边形的外角和定理矛盾）。这3个是钝角的外角的对应内角就是锐角。所以，n边形的内角中，最多有3个锐角。 　　说明 当要证明的是有关：“最多”、“至少”等问题时，常常用反证法证明。通过证法1、2的比较后，我们就应认清“多边形的外角和定理”是对多边形的本质刻划。 　　 ★★★例5 如图2-9-1，求的度数。　　 思路 要想方设法把这些要求的角集中在一个或几个多边形中。 　　解 连结AF 　　∵AD和CF交于O 　　∴ 　　又在四边形ABEF中，有 　　 　　 　　 　　 　　即 　　★★★★例6 如图2-9-2，试求的度数。 思路 连结CH，利用五边形CDEFH求所求角的度数。 　　解 连结HC. 　　 　　在五边形CDEFH 中，有 　　 说明 这类题解决的关键在于通过连结辅助线，巧妙的把所求的角放入若干个多边形中，借助于多边形的内角和来解决问题。 ★★★★例7如图2-9-3， INCLUDEPICTURE "F:\\2002至2003学年度第一学期名师点拨稿件\\奥班\\1319\\新建文件夹\\Image9623.gif" \* MERGEFORMATINET 并且 　　试求k的值。 思路 利用题设条件求出的具 　　体值，然后求出K的值。 　　解 　　 　　 　　∴ INCLUDEPICTURE "F:\\2002至2003学年度第一学期名师点拨稿件\\奥班\\1319\\新建文件夹\\Image9632.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\2002至2003学年度第一学期名师点拨稿件\\奥班\\1319\\新建文件夹\\Image9633.gif" \* MERGEFORMATINET 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　∴ 　　 　　★★★★例8 己知一个凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成，求该凸十一边形的各内角的大小。 　　思路 设凸十一边形的内角中有 INCLUDEPICTURE "F:\\2002至2003学年度第一学期名师点拨稿件\\奥班\\1319\\新建文件夹\\Image9640.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\2002至2003学年度第一学期名师点拨稿件\\奥班\\1319\\新建文件夹\\Image9641.gif" \* MERGEFORMATINET 的个数分别为x, y, z, s. 列出它们满足的关系式，并求出x, y, z, s的值。 　　解 设此凸十一边形的各个内角中有 x个 y个 z个 s个由题意有 　　 　　由①得 代②入化简得 　　 　　因为均为非负整数， 　　所以 　　故=10. 则这个凸十一边形有一个角是，有十个内角都是。 A级 填空题 　　 ★★★1. 一个n边形的内角和等于它的外角和，则n=______. 　　 ★★★2. 一个凸n边形的外角中，最多有一个钝角。 　　 ★★★3. 已知凸n边形的n个内角与某一个外角之和为，则n=______. ★★★4. 如图2-9-4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 B级 　　★★★5. 一个六边形的六个内角都是,连续四边的长度依次是1,3,3,2, 则这个六边形的周长是_____. 　　★★★6. 一个多边形有三个内角为钝角,这样的多边形边数的最大值是_______。 　　★★★7. 在同一平面上画两个边数各为的凸多边形。如果 没有任何线段重合，则的交点数的最大值是__________。 　　★★★8. 在n边形内有m个点，以这n+m个点为顶点组成k个互不重叠的三角形，求k的值。 参考答案: 　　填空题 　　1. 4。 　　提示： . 　　2. 3。 　　 提示：因为n边形的外角和为，所以钝角最多有3个。（若有4个成4个以上外角为钝角，则外角和将大于，这与外角和定理矛盾）。 　　3． 9。 　　提示：设这个外角为，则。 　　。 又， 　　。解之得 。 　　又由n是整数得n=9。 　　4．。 如图2-9-5， ， 　　， 　　。 　　 　　5． 15。 提示：如图2-9-6，延长BC、DE、AF交于G、H、M，由六边形的每个内角都是，得△CHD、△FEM、△GBA、△GHM都是等边三角形GB=GA=AB=1， CH=DH=CD=3， GH=1+3+3=7。进而可求得EF=2，AF=4，周长为1+3+3+2+2+4=15。 　　6． 6。 　　提示： 由已知知这三个是钝角的内角的相邻外角是锐角，又因为外角和为，所以，外角中余下的钝角个数最多为3个，所以，多边形边数的最大值是6。 7． 2n。 提示：首先，任一直线与凸多边形的边最多有两个交点，否则至少有３个交点，必存在一个交点，其两旁均有交点，延长这一点所在的边，则多边形被这条延长直线分成两部分，与凸多边形矛盾。其次，当的每一条边都有两个交点时，交点数最多。故交点数的最大值是2n。 ８． k=2m+n-2。 简解：用两种方法来计算k个三角形的内角和Ｓ。一方面，, 另一方面按“点”来计算有 ① n边形内的m个点，每点对应一个周角，共。 ② n边形的n个内角和为。得 。 PAGE 北京今日学易科技有限公司 网校客服电话：010-87029231 传真：010-89313603 第1页 共8页