高阶变系数非线性常微分方程组的常系数线性化_续_

第 8 卷 第 2 期 1 9 9 4 年 3 月 山西师大学报 (自然科学版) J佣rn a l o f s卜a n x i T ea e her ‘5 U n iv e份ity N a tu ra l反ie n 忱 E ditio n V o l . 8 . N o . 2 J u n . 1 9 9 4 高阶变系数非线性常微分方程 组的常系数线性化 (续 ) ’ 汤光宋 原存德 (江汉大学数学系 ) (山西师大数学系) 摘要 本文在有关文献的荃础上提出了几类新的高阶变系数非线性常徽分方程组 , 应用 如bn iz 求导 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 及变换组法 , 将其化为变系数线性方程组 , 再由自变量变换化为常系数线性 方程组 . 然后利用文献中相应方程组的求解 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 , 便可求出方程组的解的表达式 , 从而论证了 方程组的可积性 . 关锐词 高阶 非线性 常徽分方程组 变换组 线性化 可积类型 中图分类号 0 1 7 5 · 1 4 定理 1 设 E , e 口 . 盆‘. 1 · ’ 3 ’ ,人 任〔冲x ‘’ , 二 : ’+ ’ , E : 任C~ 笼‘· : 二‘’, 几任Cm “ ‘· : , “ . ’+ , , , ‘(i一 l , 2 , 3 , 4 )均为正整数 , 三护。,关护 。(i~ l , 2 ) , w : 任c ~ ‘. , ’ ‘ , ’十’ , W Z 任 C“1 ‘一 , ’ “’+ ’ , W , 护 e o n s t , Q , 〔 C (i ~ l , 2 ) . a ‘(i= 0 , l , 2 , ⋯ , ” : ) , b , (i~ 0 , l , 2 , ⋯ , , 1: ) , ‘ (i= 0 , l , 2 , ⋯ , ” 3 ) , d , (i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n . )均为常数 , 且 a 。一 b 。= c 。= d 。 ~ l , 约定 公。, ~ 瓦 ,厂, , ~ 关 , w :o , ~ w ‘ , (i= l , 2 ) , 则非 线性常微分方程组 : 一 j名皿a , 一众 ,一 (, 一 ; )E ;‘, (x ){人 (x )皿: ’ (, ), ‘, , + sw 、”(, ), ’, · + W ;, , (, ) , , ’〕 + 3f , ‘ (x )〔W , ‘(少)少片 + W : ”(夕)夕‘〕+ 3人”(x )W : ’ (少)夕‘ + 月, , (x )W , (夕) }‘’ , 一 , , + 习习 bi 一众 : 一 (, 一 ‘,尽‘, (x ) {几 (x ) , : ’(, ) , ‘, , + 3W : ”(, ), ! , ” + W 二, , (, ) , , ,〕 j一 0 亡一 0 + 3fz , (x )〔W z , (少)少” + W : 分(少)y ,勺 + 3几”(x )W : ‘(少)少‘ + 几3 , (x )W Z (少) )‘’: 一 , , = Q , (x ) (l)习习e , 一众: 一 (, 一、)E ;‘, (x )(人(x ) 夕 , ‘(, ), ‘” + sw , ”(, ), ‘, ” + W ; , , (, ) , , ’〕 , . 0 二 O + 3人’ (x )〔w : ‘(y )少” + W , ”(夕)夕‘’〕+ 3几”(x )W , (夕 )少, + 月, , (x )W , (夕)}‘· 3 一 ” + 习习d , 一‘。‘一 (, 一 ‘)E是‘, (x ){几(x ) , : ’(, ), ‘, , + 3W : ”(, ), ’, ” + W 玉, , (, ) , , ’〕 + 3几‘ (x )〔W : ‘ (夕)少 阳 + W : 即 (少) 少, ’〕+ s几开(x )W Z ’(夕)夕, + 几 , , (x )W : (y ) }(· ; 一” t 收摘日期 1 9 95 一 10 一 1 2 山西师范大学学报(自然科学版) 1 9 9 4 年 一 Q : (x ) 可积 , 方程组 (l) 可经变换组 : E ; (劣 )了 ; (x )W , (, )〕‘, , = z ; E : (x )以2 (x )W Z (少)〕‘3‘ ~ z : 化为常系数线性方程组 : 、 、 (2 ) 习 ajz ;, 1 一 , , + 习句z ;·: 一 ‘, 一 Q , (x ) I 一 0 i 一 0 (3 ) 习。z 卜一” + · 名或z 卜一 ” ~ Q : (x ) J 一 O J 一 0 证 明 : 仿照文〔l] 的方法 , 将变换组 (2 )代入方程组 (1 ) , 并利用 lei bn i: 公式 , 即可得到 方程组 (3) . 又 由文〔2」的方法 , 可求出相应方程组 (3) 的齐次方程组 的通解 , 再应用 L a - gr a n ge (拉格朗日)常数变易法得到它的特解的积分表达式 , 从而获得方程组 (3) 解的表达 式 , 然后将此解通过变换组 (2 ) , 借助文【3」定理 1 , 即可得方程组 (l) 的解 w , (y ) 、w Z (y ) . 故原方程组 (l) 可积 . 类似地 . 易证得 定理 2 设 E ‘、 fi 、W ‘、Q * 及 a ‘、 b , 、 e‘、 d ‘同定理 l , 且 a , b 为常数 , 假定 a x + b> 0 . 则非线 性常微分方程组 : 月一 j 习艺a ,一 ‘c , 一 (, 一‘、(ax + b )一 ‘, 一 “E I。 (x ){f , (x )夕 1 ’(, ) , ( , , + 3W I”(, ), ’, ” I 一 O ‘一 O + W ; , , (少) 少‘’〕+ 3f : ‘(x )口犷 1 ‘(夕)夕即 + W 、”(夕)少, ’〕+ 3fl ”(x )W , ‘(夕)夕‘ . 2 , + 月” (x )W I (, ) }‘一 , + 名名b, 一 ‘C : : 一 、, 一‘、(二 + b )‘ : 一 ‘, 一 ‘, E是‘, (x ) I一 0 ‘一 0 · {fz (x )〔w Z ’(少)少‘3 , + 3W 2 ”(少 )少’ 少” + W ;3 , (夕) 少‘3〕 + 3fZ ‘ (x )〔W Z , (y )y , + W Z印 (y ) y , ’〕 + 3f 2 仲 (x )w : ‘ (y )y ‘ + 几 , ’(x )W : (y ) }‘’: 一 j = Q , (x ) 一3 j 习习e , 一众, 一( , 一‘, (ax + b )”一 ‘, 一 ‘, E ;‘, (x ) ‘f , (x ) 叮, ‘ (, ), (, , + 3W ; ’ (, ), , , · 7 . 厉 ~ O (4 ) + W ; ” (少 ) 少‘’〕+ 3几‘(x )口犷; ‘(少)少即 + W , ”(少) 夕, 勺 + 3 f : 斤 (x )W : ‘(夕)y ‘ 一 j + 厂, ’(x )w : (, ) }‘· ,一, + 艺名dj 一 :C 一 〔, 一 , , (ax + b )一 ‘, 一‘,E ;‘, (x ) · { fz (, )〔W : , (夕)) ‘3 , + 3W : ”(少 )少 ‘少即 + W ;3 ’(少) 少‘’〕 + 3 fz ‘ (x )〔W : ‘(少)少即 + W : ”(少) 少‘名〕 + 3fz 即 (x )W z , (少)夕‘ + 几, , (x )W : (少)‘’一 , , = Q : (x ) 可积 . 方程组 (4) 可经变换组 (2) .l , 化为变系数线性方程组 : 艺a , (ax + , )一 , z : (· , 一 , , + 习b , (二 + b )‘: 一 ’z ;·: 一 ” 二 Q , (x ) (5 . 1 ) 尹 一 0 I 一 O 第 2 期 肠光宋 原存德 :高阶变系效非线性常. 分方程组的常系效线性化(续) 习c,( 。 + b) 、一城、一” + 名d,( 。 + b) ”一,4’. 一刀 一 仇(x ) (5 . 2 )矛~ . 矛- . 可再经 自变量变换 t二坛(。+ 的 , 化为常系数线性方程组 : 习训”一 ” + 习私卜一 ” j 一 0 j 一 O (6 ) 习动卜一 ” + 艺J声舒一” 万一 0 j . 0 一 Q : (旱) 一 Q : (宁)其中 元五 、乙、又均为常数 . 注 : 我们不难看出文〔4] 的定理 1 、 2 、 3 , 仅在于研究方程组 (5) 的特殊情形的可积性 , 因而本文的定理 2 是文 [ 4 ]的推广 . 定 理 3 设 Et 任 c . 月《、 ·、 , , fl , g : , 入, 任 C . 月 卜: .’a , +- +z , 凡 〔 C . . 、..’ ’, fz , 承 , h : 任 C . . ‘、 · , . , + · + 2 , 踌 (i = 1 , 2 , 3 , 4 ) 与 , 均为正 整数 , 云铸 。, fi 特 。 , (i ~ 1 , 2 ) . W , 任 C -. . ‘, 一 : , + 3 , 平: 〔C . 月 { ·:一 , + 3 , W ‘护con st , Q 〔C (i= l , 2 ) , 久 (i= 0 , l , 2 , ⋯ , , ; ) , b‘(i一 0 , l , 2 , ⋯ , , : ) , 。 (i二 o , 1 , 2 , ⋯ , , : ) , 试(i ~ o , l , 2 , ⋯ , , ‘ )均为常数 , 且 a 。~ bo 一c0 = d 。= 一, 约定 公。, 一云 , 厂。, = 关 , 9 10 , ~ g ‘, h李。, ~ h‘, W李。, = W , (i= l , 2 ) , 则非线性常微分方程组 : 一 j习习 a , 一乙1 一 《, 一‘)E :“ (x ){f ; (x )〔W ; ‘(, ), ‘, , + 3W : ” (, ) , , , ’ 月 W {” (, ) , , ’〕 j一 0 ‘一0 + 〔Zf , ’ (x ) + g , (x ) 〕〔W , ’ (少)少即+ W ; ”(少) 夕, :〕+ 叭 即(x ) + 2 9 1 ’ (x )〕W : ’(夕)夕‘ + g : 片 (x )W ; (, ) + 入l ”(x )}‘· : + 一 j, + 习习‘一众 : 一 (, 一‘,耳‘, (x )蔺几(x )皿 : , (, ), ‘, , + 3W : ” (, ), , , ” + W 玉, , (, ) , , ’〕 J一 o , 一 o + 〔2几 , (x ) + g : (x )〕〔W : , (夕)少即 + W z即(夕) 少‘勺 + 〔几片(x ) + 2 9 2 ‘ (x )〕W : ‘(少)夕‘ + g , (x )W : (, ) + h : 即 (x ) } ‘一: + 一 j, 一 Q : (x ) (7 ) 习习C , 一、‘: 一 、, 一。 E ;‘, (x ) (f , (x )〔W : ’(, ), ‘, , + 3W ; ”(, ), ‘, ” + W ; , , (, ) , ‘’〕 J 一 0 ‘一 0 + 〔2人‘(x ) + g : (x ))〔W l ’(, )夕即 + W ; ” (二, ) 夕, 2〕+ 以: ”(x ) + 2 9 : ‘(x )〕W l ‘(夕)夕, + g , ” (x )W : (夕) + 入, ”(x )}‘·: + 一 i , + 习习d , 一只一 〔, 一 。E二“ (x ) {几(x )叮 : ‘(, ), ‘, , + 3W : ”(, ), ‘, ” + W互, , (, ), ‘’〕 J一 0 ‘一 O + 〔2人‘(x ) + 9 2 (x )〕〔W : ’(少), 开 + W : 即(少) 少‘勺 + 叭即(x ) + 29 2 ‘(x )〕W : , (夕 )少, + g : ” (x )W : (夕) + h z 一(沈 )}(’ . + 一j, ~ Q : (x ) 可积 . 方程组 (7) 可经变换组 E : (x )J ; (x )W l’ (y )y , + g ; (x )W : (夕) + h、(x )〕“+ 2 , ~ 2 1 (8 ) E : (x )叭 (x )W : ‘(夕)夕, + g : (x )W : (夕) + h : (x )〕‘. + ” 一 2 2 化为常系数线性方程组 : 山西师范大学学报(自然科学版) 1 9 9 4 年 名a 声卜一 i) + 习乞z 卜一 j) 一 Q , (x ) J . 0 J . 0 (9 ) 名马z 卜一 ” + 名峨z 卜一 j) 一 Q Z (x ) J 一 0 J 一 0 证明 :仿照定理 l 的证 明方法 , 将变换组 (8) 代入方程组 (7 ) , 并利用莱布尼兹公式 , 即 可得到方程组(9) . 由文〔2] 的方法 , 可求出相应方程组 (9) 的齐次方程组的通解 , 再应用拉 格朗 日常数变易法 , 得到它的特解的积分表达式 , 从而获得方程组 (9) 解的表达式 , 以此代 入方程组 (8 ) , 经简单变形后积分 m 十 2 次 , 最后解两个一阶线性方程 , 就可得到方程组 (7 )的解 W 、(夕) 、W : (夕) , 故方程组 (7 )可积 . 注 : 不难看出文〔1」的定理 1 及定理 3 可视为该定理 3 的特例 , 而且这个定理 3 也可 视为是本文定理 l 的推广 . 同理可得 : 定理 4 设 云 、关、 g ‘、h ‘、W ‘、Q‘及 从 、 m 、氏 、b ‘、c , 、 d ‘同定理 3 , 且 a 、b 为常数 , 假定 a x + b > 。 , 则非线性常微分方程组 : 门 l j 艺兄 a ,一众 , 一 。, 一‘, (a x + b )’、一 ‘,一 ‘, E ;‘, (x )友f , (x ) , : ‘(, ), ‘” + 3W ; ’(, ), ‘, ” j 一 伪 一 0 + W ; , , (夕) 少,勺 + 〔2几’ (x ) + g (x )〕〔W , ‘ (夕)夕即 + W , ”(少 ) 少 , ’〕 + 认 ” (x ) + 29 ; 尸(x )〕W , ‘(夕)少‘ + g , ”(x )W ; (, ) + h ; ”(x ) }‘一 : + ’ 一 ” . : , + 艺名b , 一 :C ;一 (, 一 ‘, (ax + b )’之一 ‘, 一‘, E互‘, (x ) {几 (x )〔W Z‘ (, ), ‘” j . 爪 ~ O + 3W 2 , (少)少 ,少, + W丢, , (夕) ) , ’〕+ 〔2几‘ (x ) + g : (x )〕〔W Z‘(少)夕即 + W Z ”(夕) 夕 ‘2〕 + 叮2 即 (x ) + 29 2 ‘(x )〕W z ‘ (夕)y , + g : , (x )W : (, ) + h : 即(x ) }‘. : + ‘一 J , = Q 、(x ) , 3 j 习名c , 一C 3 一、, 一 , 、(ax + b )’ 3 一 ‘, 一 ‘, E ;‘, (x ) 咬人(x )叶 , ‘(, ), ‘” + 3W I” (, ), ‘, ” J一 o f一 0 (1 0 ) + W ; ” (夕 )夕‘’〕+ 〔Zf ; ‘ (x ) + g : (x )〕〔W ; ‘ (夕)少即 + W ; ” (夕)少 , ’〕 + J : ” (x ) + 29 1 ‘ (x )〕W , ‘ (少)少 , + g , ”(x )W ; (少) + h , ” (x )}‘· 3 +一 , , J + 艺艺d , 一 , C ; ; 一 (, 一 ‘。(ax + b) ‘4 一‘, 一 ‘, E玉‘, (x )夕 : ‘(, ), ‘” j . 氏 ~ O + 3W 2 , (少)夕 ‘少, + W ; , , (少) 少, ’〕+ 〔2几, (x ) + g : (x )〕〔W : ‘ (少)少即 + W Z“(夕) 少 ‘’〕 + 叭 即(x ) + 29 : ‘ (x )〕W : ‘ (少)夕‘ + g : 厅(x )W : (少) + h : ”(x )}(’ ; + , 一j, ~ Q : (x ) 可积 . 方 程组 (1 0) 可经变换组(8 ) , 化为变系数线性方程组 : 艺a , (ax + b )’ , 一 , z ;一 , , + 云b , (ax + b )’ : 一 , z ;·: 一” 一 Q , (x ) I 一 0 (1 1 ) 习c , (二 一 b ) ’3 一 , z ;· : 一 , , + 艺 d , (ax + b )一 , z ;一 ” = Q : (x ) I 一 0 第 2 期 汤光宋 原存德 :高阶变系数非线性常徽分方程组的常系数线性化(续) 可再经自变量变换 t ~ ln (ax + 肺 , 化为常系数线性方程组 : 艺民z卜一 ” + 习氏城、 J . 0 j 一 0 一 , 》一 Q l (旱 ) 一 , 一 Q Z (宁 ) (1 2 ) 习毛z 卜一” + 习风约 万一 0 其中 三, 、石, 、若, 、夕, 均为常数 。 我们再借助于文 (3) 的定理 4 , 不难得到下面的定理 : 定理 5 设 ￡ : , , : : 任俨 X ‘·: 二 3 ’ , r , , 任〔, 工‘. , 二, ’+ ’ , W 、任C ~ ‘’ : 一 , ’+ 2 , E : , r : : 任 C, 工 ‘“ : · ’‘’, r Z : 任C~ ‘· : 二 ; ’+ ’ , w : e 〔:~ 】‘·: 二 ; + , , 、 (i二 l , 2 , 3 , 4 )均为正整数 , 凡铸。 , W .半 e o n s t , Q , 任C (i二 1 , 2 )a , (i~ 0 , l , 2 , ⋯ , , , ) , b ‘(i~ 0 , l , 2 , ⋯ , , : ) , e ‘(i二 0 , l , 2 , ⋯ , n 3 ) , d ‘(i~ 0 , l , 2 , ⋯ , , : . )均为 常数 , 且 a 。二 b 。~ ‘。 = d 。~ l , 约定 E李。, 一 E ‘ , W 李。, 二W ‘ , r聆, 一 r l、 , r留, = r Z‘ , (i~ l , 2 ) , 则非线 性常微分方程组 : 一 j 习习 a , 一戏 , 一 (, 一‘)E ;‘”(二) {, : (, ), ‘, , + 3甲 :’ (, ) , ’ , ” + W , ”(, ) , ”〕 . 0 . 一 O 一 〔r l 、(x ) + r , : (之)〕〔W ; () ), 即 + W , ‘ (夕 ) , ‘勺 + 〔r : : (x )r , : (才) 一 r l、’(x ) 〕平 , (少)夕, }‘, 厂 j, + 习 习气一 、C : 一 (, 一‘)E是‘, (二) {〔W : (, ), ‘, ‘ + 3W : ‘(, ), , , · + w : ·(, ) , , ,〕 一 〔r : 」(x ) + r。(x )〕(W : (夕)夕即 + W z ‘() ) 夕‘勺 + 〔r : , (x )r z : (x ) 一 r z : ‘(x )〕W : (y )y , }‘. : 一 j, 二 Q ; (x ) (1 3 ) 习习 c , 一众: 一 ‘, 一 ; )E互‘, (x )(〔W 、(, ), ( , , + 3W , ’(, ), , , ” + W : ”(, ) , ‘’〕 j ~ 百 ~ O 一 〔r : ; (x ) + r , : (x )〕〔W , (少), 印 十 W : ’(少) , ,勺 + 〔r 、; (x )r l : (x ) 一 r ‘1 , (x )〕W , (, )夕, }‘·: 一 j, + 名 习姚一、c ; 一 (, 一。E ;‘, (x ) ‘夕: (, ), ‘, , + 3详: ’(, ), ’, ” + 平 : ”(, ) , ”〕 J ~ O 百~ O 一 〔r z , (x ) + r : : (x )〕〔W : (夕), , + W z ‘ (y ) , ,勺 + 〔r : : (x )r : 2 (x ) 一 r : 、’(x )〕W : (, )y , }‘“‘一力 = Q : (x ) 可积 . 方程组 (13 )可经交换组 : E 、 (x ) {〔W , (夕)夕, 〕” 一 〔r , : (x ) + r , : (x )〕(W 、(夕)少, 〕’ + 〔r , , (x )r 、: (x ) 一 r : 、‘(x )〕W , (夕)夕 , } ~ z : E : (x ) {〔W : (少)少,〕” 一 〔介 , (x ) + r : : (x )〕〔W : (, )少‘〕‘ + 〔r Z 、(x ) r Z : (x ) 一 r Z , ’(x )〕W : (y )y ‘} ~ 几 化为常 系数线性方程组 : (1 4 ) 山西师范大学学报(自然科学版 ) 1 9 9 4 年 、 , , ‘·, 一” 十 习 + 明、一” ~ Q , (x ) ( 15 ) 学卜一户 + 、名 十拐一 ” ~ 0 : (x ) j . 0 ,l习、习 夕 . 0 同样可得 : 定理 6 设 E ‘、r l‘、、 、W 八 Q 及 踌 、 a ‘、反、‘ 、试 同定理 5 , 且 a , b 为常数 , 假定二+ b> o , 则非线性常微分方程组 : 一 j名习a , 一众 , 一 《, 一。 (。 + b ) ’一 ‘, 一 ’、月” ( x ) 丈, : ( y ) , ‘, , + 3w : ‘( , ) , ‘ , , + W l’ ( , ) , , ’〕 j . 0 百一 O 一 〔r ‘; ( x ) + r 、: (二 ) 〕〔W 、( y ) , , + W : , (, ) 了勺 + 〔r , , ( x ) r : : (二 ) 一 r , :‘ ( x )〕w , (少) , , } ‘、一刀 、 J + 习习b , 一众 : 一 《j一 ‘) (ax + b )一 ‘, 一‘, E盖‘, ( x ) (叶 : ( , ) , 〔, , + 3w : ‘ ( , ) , ’, ’ + 平 : , ( , ) y‘’〕 万一 0 饭~ 0 一 〔r : : ( x ) + r z : ( x )〕(W : ( , ) , 即 + W , 2 (少) 少,勺 + 〔r : : ( x ) r : : ( x ) 一 r z , ’ ( x ) 〕W : (夕) , , }‘. , 一j, 一 Q , ( x ) ( 16 ) . 3 ) 习习 e , 一 C 3 一 ( , 一 , ) (ax + b ) · ,一 ‘’一‘, E ;“ ( x ) {叶、( , ) , ‘, , + 3W I , ( , ) , ‘ , ” + W , “ (, ) , ”〕 少 . 加 一 O 一 〔r 、、( x ) + r , 2 ( x )〕〔W , (夕 ) ) 即 + W , ’ () ) 少尹勺 + 〔r , , ( x ) r , : ( x ) 一 r , : 尸 ( x ) 〕W ; (少 )少, }‘· : 一j, 、 了 + 名习d , 一 ;C 一 ( , 一 ‘、( a二 + b ) ’‘一 ‘, 一 ‘, E二‘, ( x )‘叮: ( , ) , ‘” + 3W : ’ ( , ) , ‘, ,, + 甲2 ” ( , ) , 犷’〕 J . O , . 0 一 〔r : , ( x ) + r Z : ( x )〕〔W : (少 )少 , + W Z‘ (夕 ) 夕‘’〕 + 〔r : , ( x ) r : : (x ) 一 r z、’ ( x ) 〕W : (夕 ) y , }‘一‘一 ” = Q : ( x ) 可积 . 方程组 ( 1 6) 可经变换组 ( 14 ) ,化为变系数线性方程 : 艺a , ( a x + b ) ” 1一 , z ;·、一 ” + 习b , (二 + b ) ’ : 一 , z毛一 , ) 一 Q , ( x ) ) . 0 I 一 0 ( 1 7 ) 习cj (ax + , ) ‘厂’z ;·, 一” + 习d , ( a x + b ) ’弓一 , z ;一 ” 一 Q Z ( x ) J . 0 矛 ~ 0 可再经自变量变换 t ~ !n (盯+ b ) 气 , 化为常系数线程方程组 : 习补 ;、一” 十 名外扒一 、 ~ e ‘ 一 b _ 一 , ’ ~ 砚 又— )j 一 0 J 一 0 ( 18 ) 习毛z 卜一” 十 习又z i’. 一 j) , 一 O j 口 O 一 e’ 一 b 、 ~ 叼: 戈— )“其中 三, 、石, 、于, 、风均 为常数 . 第 2 期 汤光宋 原存德 : 高阶变系数非线性常徽分方程组的常系数线性化(续 ) 参考文献 肠光宋. 高阶变系数非线性常徽分方程组的常系数线性化 . 西北民族学院学报 (自然科学版 ) . 1 9 9 3 年 1 4 (1 ) , 1 0 一 1 5 陈银通 . 杨彩梅 . 高阶常系数常徽分方程组的一种求解法 . 广东民族学院学报 . 1 9 9 0 年第 4 期 . 肠光宋. 三阶非线性徽分方程的某些可积类型 . 昭通师专学报 (自然科学版 ) . 1 9 9 1 年 (3) , 17 一 lg 陈银通 . 杨彩梅一类可化为常系数的变系数方程组的解法 . 广东民族学院学报 (自然科学版 ) . 1 9 9 1 年第 魂期 . 7 一 10 L in e a r iza t云o n a n d C o n sta n tfyin g C倪ffieie n ts o f th e G r o u Ps o f H ig h o r d e r N o n lin ea r O r d饭a r y D iffe v en tia l E q u a tio n s w ith V a r ia b le C此ffie ie 一ts (se q u e l) T a n g G u a n g s o n g Y u a u C u n d e A bs tra c t Ba s ed o n r e le v a n t lit e r a tu res , for se v e r a l n e w ty pe s o f the g r o u P s o f n o n lin - ea r or d in a r y d iffe re n tia l e q u a tio n s w ith v a r iable eoe ffie ie n ts , th is p a详 r g iv e , th e m e th曰 o f the ir lin a r iz a t io n a n d co n s ta n tfyin g o f the ir eoe ffieie n t s : tu r n in g firs t th em in to th e g r o u p s o f lin e a r eq t一a t io n s w ith n o n 一e o n s ta n t e oe ffie ie n t s by a Pp ly in g the le ib n iz d e r iv a tio n fo r m u la a n d the m e th记 o f g r o u p 一r e p la e em e n t , t he n e o n s t a n tfy ; n g t 卜户;r e oe ffie ie n ts by u s in g r e p la e em e n t o f a r g u m e n ts , fin d in g o u t th e s t re tu re e x p re ss io n s o f the 叨Iu t io n s o f th e 灼 t一a tio n s a n d d em n s t ra tin g th e in teg r a bility o f the eq u a tio n s . K ey w or d s rlig h o r d e r n o n lin e a r o r d in a r y d iffe re n tia l叫u a tio n G ro u p 一 re p la e e m e n t L in e a r iza tio n in te g r ability