多元函数的极限与连续

数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 第16章 多元 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的极限与连续 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 课时： 1 0 时 第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) § 1 平面点集与多元函数 1. 平面点集: 平面点集的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示: 满足的条件}. 余集 . 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : , , , 等. ⑵ 矩形域: , }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 和 . ⑷ 角域: . ⑸ 简单域: 型域和 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 的区别. 3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）: （1）内点、外点和界点： 内点：存在 使 集合 的全体内点集表示为 ,. 外点：存在 使 界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为 集合的内点 , 外点 , 界点不定 . 例1 确定集 的内点、外点集和边界 . 例2 为Dirichlet函数. 确定集 的内点、外点和界点集 . （2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。 孤立点： 但不是聚点。孤立点必为界点 . 例3 EMBED Equation.3 . 确定集 的聚点集 . 解 的聚点集 . 4．区域： （1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: 时称 为开集 , 的聚点集 时称 为闭集. 存在非开非闭集. 和空集 为既开又闭集. （2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . （3） 有界集与无界集: （4） 点集的直径 ： 两点的距离 . （5） 三角不等式： （或 ） . 或 二. 中的完备性定理: 1． 点列的极限: 设 , . 定义1。 的定义 ( 用邻域语言 ) 或 例4 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , , . 例5 设 为点集 的一个聚点 . 则存在 中的点列 , 使 . 2． 中的完备性定理： （1）Cauchy收敛准则: . （2）. 闭域套定理: （3）. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理. （4） 有限复盖定理: 三．二元函数: 1. 二元函数的定义、记法、图象： 2. 定义域： 例6 求定义域： ⅰ> EMBED Equation.3 ; ⅱ> EMBED Equation.3 . 3. 二元函数求值: 例7 EMBED Equation.3 , 求 . 例8 EMBED Equation.3 , 求 . 4. 三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: EMBED Equation.3 ,例8中的函数变量对称. ⑵ 变量分离型函数: EMBED Equation.3 .例如 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 等 . 但函数 不是变量分离型函数 . ⑶ 具有奇、偶性的函数 四．n元函数 二元函数 推广维空间 记作 作业 P92 1—8 . § 2 二元函数的极限 一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限 1. 二重极限 定义1 设 为定义在 上的二元函数， 为D的一个聚点，A是确定数 若 则 或 EMBED Equation.3 例1 用“ ”定义验证极限 . 例2 用“ ”定义验证极限 . 例3 证明 . ( 用极坐标变换 ) P94 E2. 2. 归结原则： 定理 1 , 对D的每一个子集E , 只要点 是E的聚点 , 就有 . 推论1 设 , 是 的聚点 .若极限 不存在 , 则极限 也不存在 . 推论2 设 , 是 和 的聚点. 若存在极限 , , 但 , 则极限 不存在. 推论3 极限 存在, 对D内任一点列 , 但 , 数列 收敛 . 通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在 例4 证明极限 不存在. 二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质. 例5 求下列极限: ⅰ> EMBED Equation.3 ; ⅱ> EMBED Equation.3 ; ⅲ> EMBED Equation.3 ; ⅳ> EMBED Equation.3. 3．极限 EMBED Equation.3 的定义: 定义2．设 为定义在 上的二元函数， 为D的一个聚点， 若 则 或 EMBED Equation.3 其他类型的非正常极限， 无穷远点的情况. 例6 验证 EMBED Equation.3 . 2. 累次极限 二次极限 1. 累次极限的定义: 定义3．设 分别是 的聚点，二元函数 在集合 上有定义。若对每一个 存在极限 记作 若 存在，则称此极限为二元函数 先对x后对y的累次极限 记作 简记 例7 , 求在点 的两个累次极限 . 例8 , 求在点 的两个累次极限 . 例9 , 求在点 的两个累次极限 . 2. 二重极限与累次极限的关系: ⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) ⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数 在点 的情况 . ⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例10中的函数, 由 . 可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. ⑷ 两个累次极限存在( 甚至相等 ) 二重极限存在 . ( 参阅例4和例8 ). 综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系. 定理2 若二重极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则必相等. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在 . 但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 二重极限不存在 . 参阅⑵的例. 作业提示: P99 1、2、4 § 3 二元函数的连续性 ( 4 时 ) 1． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 . 1. 连续的定义: 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 . 函数 有定义的孤立点必为连续点 . 例1 证明函数 在点 沿方向 连续 . 例2 ( [1]P124 E4 ) 证明函数 在点 沿任何方向都连续 , 但并不全面连续. 函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . 2. 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P132 图16—9. 3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. 仅证复合函数连续性. 2. 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. 3. 一致连续性: 定义. 4. 有界闭区域上连续函数的性质: 1. 有界性与最值性. ( 证 ) 2. 一致连续性. ( 证 ) 3. 介值性与零点定理. ( 证 ) Ex [1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5； P137—138 1，4. 1 2 _1091955391.unknown _1091958362.unknown _1091958800.unknown _1155710947.unknown _1155713817.unknown _1156058431.unknown _1156058588.unknown _1156058832.unknown _1156059723.unknown _1156059766.unknown _1156059657.unknown _1156058709.unknown _1156058517.unknown _1156058476.unknown _1156058503.unknown _1155990674.unknown _1156057949.unknown _1156057955.unknown _1155992260.unknown _1155714041.unknown _1155990498.unknown _1155990513.unknown _1155990544.unknown _1155717067.unknown _1155714028.unknown _1155711174.unknown _1155713602.unknown _1155713801.unknown _1155711722.unknown _1155711115.unknown _1155711169.unknown _1155711093.unknown _1091968301.unknown _1091974996.unknown _1091992517.unknown _1091992936.unknown _1091993026.unknown _1091992888.unknown _1091975660.unknown _1091976438.unknown _1091992310.unknown _1091975434.unknown _1091973968.unknown _1091974190.unknown _1091974951.unknown _1091974777.unknown _1091974844.unknown _1091974078.unknown _1091969146.unknown _1091969147.unknown _1091968442.unknown _1091966909.unknown _1091967380.unknown _1091968219.unknown _1091968281.unknown _1091967603.unknown _1091968185.unknown _1091967324.unknown _1091966714.unknown _1091966765.unknown _1091966671.unknown _1091958567.unknown _1091958691.unknown _1091958756.unknown _1091958629.unknown _1091958437.unknown _1091956990.unknown _1091958232.unknown _1091958314.unknown _1091957263.unknown _1091958170.unknown _1091957593.unknown _1091958066.unknown _1091957219.unknown _1091956337.unknown _1091956580.unknown _1091956856.unknown _1091956397.unknown _1091955527.unknown _1091956234.unknown _1091955423.unknown _1091951494.unknown _1091954460.unknown _1091955012.unknown _1091955226.unknown _1091955381.unknown _1091955159.unknown _1091954620.unknown _1091954738.unknown _1091954492.unknown _1091951779.unknown _1091954194.unknown _1091954317.unknown _1091952070.unknown _1091954145.unknown _1091951904.unknown _1091951658.unknown _1091951683.unknown _1091951706.unknown _1091951555.unknown _1091951569.unknown _1091951621.unknown _1091907417.unknown _1091909295.unknown _1091950794.unknown _1091950932.unknown _1091950965.unknown _1091951327.unknown _1091950891.unknown _1091909376.unknown _1091950705.unknown _1091909330.unknown _1091908579.unknown _1091908952.unknown _1091909123.unknown _1091908732.unknown _1091908014.unknown _1091908551.unknown _1091907840.unknown _1091805685.unknown _1091806122.unknown _1091907301.unknown _1091907392.unknown _1091811792.unknown _1091811873.unknown _1091811557.unknown _1091805933.unknown _1091806071.unknown _1091805783.unknown _1091805038.unknown _1091805336.unknown _1091805368.unknown _1091805109.unknown _1091804570.unknown _1091804995.unknown _1091804475.unknown