高等数学复旦版答案与提示（第五章）

答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与提示 第五章 线性变换、特征值和二次型 §1 线性空间 1．（1）是；（2）是；（3）是；（4） 0b  时是线性子空间， 0b  时不是。 2．（1）是；（2） 0a 时是线性空间， 0a 时不是；（3）是。 3．略。 4．维数：1。基： T)1,1,1( 。 5．提示：参见例 5.1.8。 6． （1）            130 414 121 ；（2）             111 211 021 ；（3）           0 3/1 3/1 ；（4）           1 1 1 。 7． 1 ~ε  T)5,0,4(  ， 2 ~ε T)4,0,3( 。 若 Sx 在基{ 1 ， 2 }下的坐标为 T),( 21  ，在基{ 1 ~ , 2 ~ }下的坐标为 T),( 21  ，则                             21 21 2 1 2 1 3 2 31 21       。 8．（1）提示：按定义验证； （2）           100 410 421 ；（3）            1 3 3 。 §2 线性变换及其矩阵 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 1．（1）是，           101 110 011 ；（2）不是；（3）是，           100 020 001 。 2．       45 21 。 3．            203 022 211 。 4．（1）提示：直接验证；（2）             100 410 421 ； （3）             100 410 421 ；（4）             100 410 421 。 5．略。 6．提示：必要性：若 A 为可逆变换，则 1 A 1a 2 A 2a k A 0a k  1 1a 2 2a k 0a k  021  k  ，因此 {A 1a ,A 2a ,… ,A ka }线性无关。 充分性：若 x 1 1a 2 2a k ka U ，使得 A 0x  ，则 1 A 1a 2 A 2a k A 0a k  021  k  ，即 0x 。A 为单射，注意 A 也为满射 A 为可逆变换。 §3 特征值问题 1．（1） 21  ， T)1,0,0(1 ξ ； 132   ， T)1,2,1(2 ξ ； （2） 24321   ， T)0,0,0,1(1 ξ ； （3） 11  ， T)3,1,3(1 ξ ， 232   ， T)0,1,2(2 ξ ， T)1,0,2(3 ξ ； （4） 11  ， T)1,1,1(1 ξ ， i 2 3 2 1 2  ， T           14 i3315 , 14 i3511 ,12ξ ， i 2 3 2 1 3  ， T           14 i3315 , 14 i3511 ,13ξ ； 2．提示：因为 IA 2 且 A的特征值全为 1，则 0||  IA 以及 0))((  IAIA 。 3． 288|| B ， 72|5|  IA 。 4．（1）可逆；（2）可逆。 5．1或 2 。 6． !)!32(  n 。 7．（1） 322 22 xxxy  ；（2）                  23 12 1 322 322 322 nn nn nn nA y 。 8．              nnn n nnnnn nA 2420 040 42424 。 9． 5lim   n n x ， 5lim   n n y 。 10．   n n Alim 33O 。 11．提示：用反证法。若 1 21 ),,,(diag  PPA n  ，则 1 21 ),,,(diag  PPA k n kkk   。 因此 OAk  可以推出 021  n  ，于是 0A ，与题设矛盾。 §4 内积和正交变换 1．（1） ),( yx 5 ， 6|||| x ；（2） ),( yx 0 ， 3|||| x ； （3） ),( yx i1 ， 10|||| x 。 2．（1）           1 1 1 ，                      3 1 3 2 3 1 ；（2）               1 0 1 1 ，                        3 1 2 3 2 3 1 。 3．（1）                     3 3 3 3 3 3 ，                      6 6 6 6 3 6 ；（2）                     0 0 2 2 2 2 ，                          0 3 6 6 6 6 6 ，                              2 3 6 3 6 3 6 3 。 4．提示：作 x =  n i iic 1 ε 与 iε 的内积。 5． （1）                      2 2 2 2 0 0 ，                               38 383 38 383 19 38 19 382 ；（2）                      2 2 2 2 0 0 ，                               38 383 38 383 19 38 19 382 ，                      0 0 5 52 5 5 ，                             19 95 19 95 95 953 95 956 。 注：答案不唯一。 6．略。 7．提示：若b 是 maaa ,,, 21  的线性组合，那么显然对任何与 maaa ,,, 21  均正 交的向量 x，恒有 0),( bx 。 反之，不妨设{ raaa ,,, 21  }是{ maaa ,,, 21  }的极大线性无关组，则由上题可 知，存在 rn 个线性无关的向量 rnccc ,,, 21  ，它们均与{ raaa ,,, 21  }正交，这 样{ ,,,, 21 raaa  rnccc ,,, 21  }便构成 n R 的一个基，因此  rraaab  2211 rnnr   cc  11 对该式取与 jc （ rnj  ,,2,1  ）的内积便得 0i （ nri ,,,1  ），因此b 是 raaa ,,, 21  的线性组合。 8．略。 9．提示：直接验证。 10．略。 11． 3 1 a ， 2 1 b ， 0c 。 12．（1）是酉矩阵；（2）是酉矩阵；（3）是正交矩阵；（4）不是正交矩阵，也不 是酉矩阵。 13．提示：若{ maaa ,,, 21  }线性相关，则有不全为零的常数 m ,,, 21  ，使得 0aaa  mm 2211 ， 对该式取与 ja （ mj ,,2,1  ）的内积便得一个关于 m ,,, 21  的齐次线性方程 组，它有非零解，因此其系数矩阵的行列式 ],,,[ 21 mG aaa  0 。 反之，若 ],,,[ 21 mG aaa  0 ，则其m个行向量线性相关。因此有不全为零的 常数 m ,,, 21  使得 0),( 2211  jmm aaaa   （ mj ,,2,1  ），于是 0),( 22112211  mmmm aaaaaa   即 0aaa  mm 2211 。因此{ maaa ,,, 21  }线性相关。 14．提示：记 ),,,( 21 mA aaa  ，则 )det( AA T ],,,[ 21 mG aaa  ，再利用上题结 论便可。 15．提示：证明方程组 0x AAT 与 0x A 同解。 §5 正交相似和酉相似 1．记  ),,,(diag 21 n T ASS   。 （1）               5 3 5 4 5 4 5 3 S ，        00 025 ； （2）                      14 14 10 103 35 35 7 14 0 7 35 14 143 10 10 35 353 S ，            300 010 004 ； （3）                      6 6 2 2 3 3 3 6 0 3 3 6 6 2 2 3 3 S ，             100 010 005 ； （4）                      15 54 5 5 3 2 3 5 0 3 2 15 52 5 52 3 1 S ，            100 010 0010 。 2．记  ),,,(diag 21 n H AUU   （1）                      5210 i2 5210 i2 5210 15 5210 15 U ，            520 052 ； （2）                     10220 i)101( 10220 i)101( 10220 3 10220 3 U ，            1030 0103 。 3． （1）              1162 16514 21414 9 1 ；（2）           100 001 010 。 注：答案不唯一。 4．提示：不妨设 A是n阶上三角矩阵。记        nna A A 0 b1 ，其中 1A 是 1n 阶上三 角矩阵，b 是 1n 维列向量。因为 A为正交矩阵。所以 0nna ，且                          2 11 0 nn T nn nn TT nn T T nn T n aa aAA a A a bA AAI b bbb b 0 ， 于是 0b ，所以        nna A A 0 01 ，且 1A 是 1n 阶上三角矩阵，也是正交矩阵。用 归纳法便可证明结论。 5．提示：直接验证。 6．（1） T)1,0,1( ； （2）                    6 13 36 5 3 1 3 5 3 1 6 5 3 1 6 13 。 注：解不唯一。 §6 二次型及其 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式 1．作变换 yx S （1） 225yf  ，               5 1 5 2 5 2 5 1 S 。 （2） 2 2 2 1 22 yyf  ，                     224 1 224 12 224 21 224 1 S 。 （3） 2 3 2 2 2 1 8yyyf  ，                      3 2 2 2 6 2 3 1 0 3 22 3 2 2 2 6 2 S 。 2． 注意标准型不唯一。 （1）双曲线，图形如下： （2）双曲线，图形如下： （3）抛物线，图形如下： （4）椭圆，图形如下： 3．（1） 22 2 1 yy  ；（2） 2 3 2 2 2 1 5 1 5 yyy  ；（3） 2 3 2 2 2 1 22 yyy  ； （4） 22 2 1 82 yy  或 2 2 2 1 5 8 10 yy  ；（5） 23 2 2 2 1 6 2 1 2 yyy  。 4．提示： A为 n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 S ，使得 ASS T ，其中 ),,,(diag 21 n  为对角矩阵。记 ),,,( 21 nS aaa  ，则由假设得 0 i T ii Aaa （ ni ,,2,1  ）。 即 O ，于是 OA  。 5． 2a 或 2a 。 2a 时，                      2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 010 S ； 2a 时，                      2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 010 S 。 6．（1） 2x ； （2）                      2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 001 P 。 §7 正定二次型 1．略。 2．（1） BA 正定；（2） AB不一定正定。例如：          31 13 A 和          11 12 B 正定，但          45 47 AB 并不正定（它不是对称矩阵）。 3．（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是。 4． （1）        10 11 ；（2）             100 210 011 。 5． A的正定性证明略。                2 22 2 22 2 22 2 22 B 。 6．提示：A为n阶正定矩阵，则存在正交矩阵 S ，使得 ASS T ，因此 TSSA  ， 其中 ),,,(diag 21 n  为对角矩阵，且 0i （ ni ,,2,1  ）。记   Tm nmm SSB  ,,,diag 21  ， 则 mBA 。 7．提示： f 是正定二次型。 8．略。 9．（1） 2 ；（2） 0 5 4   。 10．提示：对任意n维实向量 x，n阶矩阵 A满足 0)()(  xxxx AAAA TTT 。 11．提示：此时 IAAAAA T 2 ，又 A正定，所以 A的特征值只能是 1。因此 存在正交矩阵 S ，使得 ASS T I)1,,1,1(diag  ，所以 IA  。 12．提示：由于 A为 n阶对称矩阵，则存在正交矩阵 S ，使得 SSA T ，其中 ),,,(diag 21 n  为对角矩阵。于是，对任意n维实向量 x， ))(()()( xxxx StIStIA TT  。 由于 tI 为对角矩阵，当 t充分大时其对角线元素均大于 0，此时可推知 tIA 正定。 13．提示：由于 A正定，则有可逆矩阵Q，使得 IAQQT  。显然 BQQT 是对称 矩阵，所以存在正交矩阵 S ，使得 BQSQS TT 为对角矩阵。则 QSP  即为所求。 14． （1）             112 010 002 L ；（2）            101 012 003 L 。 15．（1）         ;1 ,0 ,1 3 2 1 x x x （2）         .1 ,1 ,1 3 2 1 x x x