利用函数的凹凸性证明不等式
利用函数的凹凸J}生证明不等式
新疆农十师北屯高级中学
数学
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组魏振国
【摘要】利用函数的凹凸性证明不等式是不等式证明中的一个重要
方法,本论文通过选择适当的例题总结出如何利用函
数的凹凸性来证明不等式的一般方法与思路.
【关键词】不等式证明函数凹凸性
引言
在数学中我们所遇到的不等式已经很
多,且个别的不等式证明比较复杂,而
不等式的证明方法是我们必须掌握的一个
重要部分.不等式的证明方法有很多
种,其中利用函数的凹凸性证明不等式
的方法是数学研究中常用的,也是我总有x<x.<X:
(x2)/x3一x2 f(x2)一(x1)/x2-X1?f(x3)一
严格凸函数上式严格不等式成立.
证明见文献[1].
定理3设为f(x)区间1上的可导函
数,则以下论断等价:
1.f(x)为l上的凸函数;
2.f(x)为1上的增函数;
3.对l上的任意两点X,x,有f(x.)
?(x.)+f(x,)(X~--X.).
定理4设f为区间l上的二阶可导函
数,则在1上f为凸(凹)函数的的充要
条件是f”(x)?0(f(x)?0),x?1.
证明:f(x)?0,f(x)为增函数,
f(x)为l上的增函数f(x)为1上的凸函数
(根据定理3),同理f为1上的凹函数f”
(x)?0.
詹森(Jensen)不等式:若f为[a,b]
上的凸函数,则对任意的x?[a,b],
?(1,2…n),E=l有f(?.x.)
??九(f);若f为严格凸函数,不全
相等,x(I=1,2…r1)则上式严格不等
式成立.
证明见文献[1].
注:詹森不等式实质上是凸函数定义
的一般情况.
例1:证明X>0,Y>0:当时,
x1nx+ylny>(x+y)inx+y/2.
分析
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:这是一个函数不等式,但其含
有两个变量,对不等式作简单变形,不等
式等价于:xlnx+y1ny/2>(x+y)/2In
xy/2,不等式两边含有相同”形式”:
tlnt,故可设辅助函数f(t)=tlnt(t>0).
因此原不等式可化为f(x)+f(Y)/2>
f(x+y)/2,见到这个形式不难想到函数
的凹凸性定义及与凹凸性有关的,些定理
来证明了.
证明(定义证明法):设f(t)=tlnt(t
>O).
有f(t)=lnt+l,f(t)=l/t>0,
(t>0),则f(t)在(0,+..)为凸函数.
对任意x>0,Y>0(x?Y),有f(x)
+f(y)/2>f(x+y)/2(取=1/2).
(要使f(x)与g(x)的系数相同,当且
仅当--1一时成立,即=1/2).
因此xlnx+ylny>(x+y)inx+y/2,继
续看一个例题.
例2用凸函数的概念证明不等式:一边
是同一函数在不同点处函数值的叠加,则
一
般需通过将不等式适当变形构造辅助函
数,利用凹凸性证明之.
总之,在掌握函数的凹凸性定理反映
了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函
数之间的关系的基础上,通过具体的例题
总结出利用函数的凹凸性定义及与凹凸性
有关相关定理证明不等式的方法及步骤:
(1)定义证明法:将不等式写成定义的形
式,构造辅助函数f(X),并讨论f(X)在所
给区间上的凹凸性;(2)詹森不等式法:
对一些函数值的不等式,构造凸函数,应
用詹森不等式能快速证此类不等式;值得
注意的是:当不等式可写成凹凸函数定义
的形式或对一些函数值和且能够构造凸函
数的不等式.
结束语到此为止通过具体例题的解
法,详细阐述了利用函数的凹凸性证明不
等式的具体方法,步骤及思路.但不等式
的证明方法繁多,难度,技巧性也较大.
比如导数定义法,拉格朗日中值定理法,
柯西中值定理法,泰勒
公式
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法,幂级数展
开式法,定积分理论法,参数法等等.应
用这些方法来证明不等式将在以后的工作
和学习中不断地总结归纳,拓宽知识面,
提高自己的解题能力.