矩阵的迹及其应用 --毕业论文

矩阵的迹及其应用 --毕业论文 【标 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 】矩阵的迹及其应用 【作者】王砚 【关键词】矩阵的迹 相似矩阵 幂等矩阵 复合矩阵 【指导老师】林 昌 盛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1.引言 矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具，它是国内外数学理论以及工程理论研究的基础和动力，充满着创新精神，具有极其重要的学术价值和文化价值.本文主要以高等代数中所学的矩阵的秩，以及零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的迹的性质为根据，从这些方面举例说明它们在 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 相关问题中的应用,为了进行深入的思考和研究，有必要写这样一篇关于矩阵的迹及其应用的论文。 2.定义与引理 定义 设 是一个数域, ，矩阵 的主对角线上元素之和，叫做矩阵 的迹，记为 为了证明下面的主要结果,我们先给出以下的几个引理. 引理1设 , 是矩阵 的全部特征根,那么 引理2 相似矩阵具有相同的迹. 引理3 设 ,则 引理4 设 其中 均为方阵，则 3.定理及其证明 定理1设 ，则 证明 不妨设 我们首先证明矩阵 与 的特征多项式有以下关系式 (1) 当 时，则 ， 两边取行列式，得 即 故(1)式成立。 当 时，令 由上面证明可得出 (2) 而且 (3) (4) 由(3)，(4)式，有 (5) (6) 将(5)，(6)两式代入(2)式，得 即得证(1)式. 其次，设 的全部特征根为 的全部特征根为 ，则 (7) (8)再由公式(1)知，矩阵 与 具有相同的非零特征根，它们之区别仅在于零特征根的重数不同，因此 设 ，若 ，则称 为幂等矩阵. 定理2 若 是幂等矩阵，且 ,则 . 证明 因为 ,所以存在 ，且 皆为可逆矩阵,使得 ,设 于是 又因为 , 所以 由引理3,引理4和定理1,我们有 设 ,若存在一个自然数 ,使得 ,则称矩阵 为幂零矩阵. 定理3 若 为幂零矩阵,则 . 证明 若 是 的特征根, 是 的属于特征根 的特征向量,则 ，从而可以推出对于任意正整数 都有 ,因为 为幂零矩阵,故存在自然数 使得 ,所以 ,而 ,故 ,从 而 ,由引理1得证 设 ,若 ,则称 是对合矩阵. 定理4 若 为 阶对合矩阵,则 ,其中 ,则 . 证明 设 是 的特征根, 是 的属于特征根 的特征向量,则 ,从而 ,又因 ,所以 ,即 ,而 ,所以 . 即是说对合矩阵的特征根只是 . 设 的特征根+1的重数为 ,则 的特征根-1的重数 .故 令 ,则 4.矩阵迹的若干性质 4.1.若干基本概念 我们给出下述的几个基本概念 (1)设 , 为复数域上的 维向量，则向量 与 的内积为 又设 , 为复数域上 阶矩阵，则矩阵 乘 的迹为 当 时， = 因此，在这种意义上，矩阵的迹包含了向量内积在内.反之，若把 看成 维向量， 即对每个 ，记 则 ，即这种意义下矩阵的迹是一种特殊的向量内积. (2)由向量内积公式 ,当 时，有 ，而 称为向量 的 长度.类似地，对矩阵 和 ，当 时， = 并记 = = 为矩阵 的欧氏模.如果方阵 的特行征根为 ，下面记 为方阵 的谱模，若以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 的特征 根，则 = .若 为埃尔米特矩阵， 为其特征根，则有 = .事实上，存在酉矩阵 使 ，且 = ， 4.2.若干基本性质 定义1 设 ，记与向量范数 相容的 的 一范数为 (1) (2) (3) + , (4) (5) 矩阵迹的性质: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)若 ，则 ,特别, (10)若 则 5.特殊矩阵--复合矩阵 5.1复合的概念与性质 设 是 阶矩阵， 的主对角元 的和称为 的迹，记作 若 是 的 个特征值，则 . 的第 次复合矩阵 记作 .熟知， 的主对角元都是 的 阶主子式，不在 的主 对角线上的元都不是 的 阶主子式.显然， 的迹 . (1) 这里， 表示 的由 行，列的元素构成的 阶主子式. 本文在讨论 计算的基础上得到一个有关于迹的不等式，并由此推出两个有关实对称阵正定 的必要条件. 设 阶矩阵 的特征多项式是 因为 所以，由(1)即得 . 或者 这表明，求复合矩阵 的迹相当于求 的特征多项式 的系数.对于求 已有Kpouiob 等成法 . 这里采用文献[11]中的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 .其计算格式为 这里， 即为 的系数，而 . 现在给出复合矩阵迹的一个不等式. 引理 ，设 . 其中 是 个元素中取 个的组合数. 引理 的 个特征值中每一个都等于以 的 个特征值中取 个的乘积. 定理 设 阶矩阵 有 个正特征值，则 . 证明 设矩阵 的 个正特征值为 ，由引理2知 个特征值中的每一个都等于以 的 个特征值 中取 个的乘积 ，所以 ， 又 ，而 ， 所以由引理1得(2). 由于正定矩阵的特征值恒为正数，所以，由定理可得 推论1设 阶矩阵 是正定矩阵，则 . 由于 ， 所以 当 为偶数时， ;当 为奇数时， . 推论 2 设 是 阶正定矩阵， 是它的特征多项式，则当 为偶数时， ;当 为奇数时， . 推论1，2都是实对称矩阵正定的必要条件，在否定实对称矩阵的正定性时，有时是很方便 的. 6. 矩阵的迹的应用 6.1.已知 阶方阵 ，若对所有的 阶方阵 有 . 证明 设 ，则有某 .作矩阵 ，使 =1, 时， . 则矩阵 主对角线上的元素 即 . 与已知矛盾，故 6.2. 设 为同阶实对称矩阵，若 正定，则 和 不相似. 证明 假设 和 相似，则由性质9知， 再由性质1得 故由性质10知 不是正定阵，与已知矛盾，从而， 和 不相似. 6.3 设 ， 的特征多项式为 则 证明 因为 . 6.4. 设 都是 矩阵，且 ，则存在不大于 的自然数 ，使得 . (1) 证明 (3) 由(1)和性质1，3得 (2)特征值都等于0. 设 的特征值为 .则存在可逆矩阵 ，使 所以 . 从而 取前 个等式，因为范德蒙行列式 ， 因此 . 即非零特征值都是0重，故 的特征全为0. (3) 再证 .由于 的每个若当块都形如 因此 令: ,则 6.5. 求证:对任意同维列向量 均有 证明 因为任一矩阵与它的转置矩阵对角元素相同，所以，由性质4知 据性质3 ,知 是一个数，从而获证. 6.6. 设 ，试证明:如果对任意的 ，都有 ，则 . 证明 设 ，由 的任意性，取 ，则 Tr 所以 , .即 . 6.7.设有 阶实对称矩阵 ，若 ，则有 和 . 证明 因为 ，所以 半正定，故存在 阶矩阵 其中 是第 个行向量 .使得 于是 . 又 维列向量 于是 由Cauchy-Schwarz不等式知， 所以 即 从而 故有 7 结束语 在高等数学中，矩阵的秩、以及零矩阵、不相似矩阵、数幂矩阵的迹等均是独立的出现的，但不说明这些矩阵的迹的性质就是孤立存在的，而是互相渗透的，它们之间都有着紧密的联系。我们在熟练掌握这些基本性质在解题中的应用的同时，还应该注重他们的内涵，才能在数学学习中有所突破，并将他们应用于工程理论研究中。