【教学论文】由一道习题导出椭圆切线的一个重要结论【教师职称评定】
由一道习题导出椭圆切线的一个重要结论
萍乡中学 周伟萍
22xy,,,,1(0)ab题目:已知为椭圆的焦点,P为椭圆上一点。求证:点PFF,1222ab
处的切线PT必平分在P处的外角.在解答此题之后,我们还得到一个重要的
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
. ,PFF12
证法1 设. FcFcPxy(,0),(,0),(,),1200
22,22.xyyxy,,0对椭圆方程,,1两边求导得, 2222abab
2bxy ,y,,? 2l ayM
l 1P 24 bx1 N 0,? kky,,,,2 3 pTxy(,)200x ay0F O D F T 12
yy00l 2kk,,又,kk,,, 1pF2pF12xc,xc,00
由到角公式知
2bxy00,,2ayxc,kk,002 tan2,,,2bxy1,kk0021.,2ayxc,00
22222bcxbxay,,()000 ,222()abxyacy,,000
222222bcxabbcxa,,()b00 , ,,,222cxyacycycxacy,,()000000
2ybx00,22xcay,kk,b001同理. tan1,,,,2ybx1,kkcy00101.,2xcay,00
,,,1,2(0,),? ,
? ,,,12,
又,,,14,
? ,,,24
证法2 设,,,如图1,过、作切线PT的垂线,垂Fc(,0),Fc(,0)Pxy(,)FF120012
足分别为M、N.
xxyy00? 切线PT的方程为,则点、到PT的距离为 ,,1FF1222ab
,cx0,12a, FM,122xy00,44ab
cx0,12a FN,222xy00,44ab
,cx0,122,,cxaFM0a1,,? 2cx,1FNcxa,0102a
,,,exaaexPF001 ,,,exaaexPF,,002
? ? ,PMF,PNF12
? , 又? ,,,12,,,14
? . ,,,24
两种证法都是由导出,如图,设PD为法线(即PD切线PT),则PD平分,,,12,
,故得如下重要定理. ,FPF12
定理 在椭圆上任意一点P的法线,平分该点两条焦半径的夹角.