等差数列例题解析等差数列例题解析
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数,
解 ?100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d,7，an,98( 代入an,a1，(n,1)d中，有
98,7，(n,1)?7
解得n,14
答 100以内有14个能被7整除的自然数(
【例2】 在,1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列( 解 设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知:a1,,1，a5,7
?7,,1，(5,1)d 解出d,2
所求数列为:,1，1，3，5，7...
等差数列例题解析
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数,
解 ?100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d,7，an,98( 代入an,a1，(n,1)d中，有
98,7，(n,1)?7
解得n,14
答 100以内有14个能被7整除的自然数(
【例2】 在,1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列( 解 设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知:a1,,1，a5,7
?7,,1，(5,1)d 解出d,2
所求数列为:,1，1，3，5，7(
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项(
【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个, 解 设an=3n，bm,4m,3，n，m?N
得n,4k,1(k?N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn,12n,3(n?N)( 则在[1000，2000]内{cn}的项为84?12,3，85?12,3，…，166?12,3 ?n,166,84，1=83 ?共有83个数(
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数( 解 设三个数分别为x,d，x，x，d(
解得x,5，d,?2
? 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法(
【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证:b，c，c，a，a，b也成等差数列( 证 ?a、b、c成等差数列
?2b=a，c
?(b，c)，(a，b),a，2b，c
,a，(a，c)，c
,2(a，c)
?b，c、c，a、a，b成等差数列(
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b,a，c的形式去运用;反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a，c(本例的意图即在让读者体会这一点(
可能是等差数列(
分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法(
证 假设a、b、c是等差数列，则2b=a，c
?2ac,b(a，c)=2b2，b2,ac(
又? a、b、c不为0，
? a、b、c为等比数列，
又? a、b、c为等差数列，
? a、b、c为常数列，与a?b矛盾，
? 假设是错误的(
? a、b、c不可能成等差数列(
【例8】 解答下列各题:
(1)已知等差数列{an}，an?0，公差d?0，求证: ?对任意k?N，关于x的方程
akx2，2ak+1x，ak+2,0有一公共根;
分析与解答
(1)akx2，2ak+1x，ak+2,0
?{an}为等差数列，?2ak+1,ak，ak+2 ?akx2，(ak，ak+2)x，ak+2,0
?(akx，ak+2)(x，1)=0，ak?0
?{an}为等差数列，d为不等于零的常数
(2)由条件得 2b=a，c
?4RsinB,2RsinA，2RsinC，2sinB,sinA，sinC
分析至此，变形目标需明确，即要证
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
【例9】 若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证:
证明 设该数列的公差为d，则
a1,a2=a2,a3,…,an,an+1=,d
?a1,an+1=,nd
? 原等式成立(
【例10】 设x?y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，
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