初中
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竞赛辅导资料8
初中数学竞赛辅导资料8 第八课新定义运算符号
例1(1989年上海市初一数学竞赛题)现定义两种运算“”、“”，对于任意两个整,,数α、b，αb=α+b-1，αb=α?b-1，求4[(68)(35)]的值。 ,,,,,,
解:?68=6+8-1=13，35=3×5-1=14 ,,
?[(68)(35)]=1314=13+14-1=26 ,,,,
则4[(68)(35)]=426=4×26-1=103。 ,,,,,
3a，b例2对于有理数，定义一种运算“Δ”，使αΔb=，求(-2)Δ[7Δ(-6)]的a,3b值。
33，(,2)，3，7，(,6)27335解:?7Δ(-6)==，(-2)Δ== 37,3，(,6)5519(,2),3，5
27?(-2)Δ[7Δ(-6)]= 19
p，3q例3对于任意的两个有理数p、q，都有p*q=，解下列方程: 4
(1)3x*4=2; (2)6*7x=2x
3x，3，44解:(1)由3x*4=2，得=2，,3x=-12+8，?x=- 43
6，3，7x6(2)由6*7x=2x，得=2x,6+21x=8x，,13x=-6，?x=- 413
例4对任意有理数x、y定义一种运算“*”，
规定
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:x*y=αx+by-cxy，其中的α、b、c
表
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示已知数，等式右边是通常的加减乘运算，又知道1*2=3，2*3=4，x*m=m(m?0)，则
m= (90年希望杯全国邀请赛试题)
a，2b,2c,3,,解:?1*2=3，2*3=4，?解得 ,2a，3b,6c,4.,
2又?x*m=m，?m* m =m，?αm+ bm- cm= m
6c,1，2,2c,1a，b,1?m===4 cc
xy例5对于任意两个正数x、y，定义一种运算“?”，使x?y=，试问这种新运算x，y是否满足交换律、结合律。
xyyx解:?x?y=，y?x=，?x?y= y?x，运算“?”满足交换律， x，yy，x
xy,zxyxyzx，y又?(x?y)?z=?z==， xyxy，xz，yzx，y，zx，y
yzxyz同样x?(y?z)= x?=，?(x?y)?z= x?(y?z) xy，xz，yzy，z
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
1、选择题:
(1)α、b是两个正数，定义αb=αb+1，这种新运算( ) ,
(A)满足交换律不满足结合律 (B)满足结合律不满足交换律
(C)既满足交换律又满足结合律 (D)既不满足交换律也不满足结合律
(2)设α*b=3α-b，且x*(2*3)=1，则x等于( )
41(A)3 (B)8 (C) (D) 36
(3)(第十届缙云杯初中数学邀请赛试题)记[a，b，c，d]=ad-bc，则不等式[x，3，2，-5]>9的解是( )
1(A)x>-3 (B)x>- (C)x<3 (D)x<-3 3
2、填空题:
A，B(1)对任意两个有理数A、B，有A*B=，计算(1*9)*(8*7)= 。 2
2m,n(2)(第十届缙云杯初中数学邀请赛试题)对于任意两个数m、n，有m*n=，3则9*(9*9)= 。
a,b(3)对于任意的非零有理数α和b，定义运算“Δ”，使αΔb=，则5Δ(4Δ3)ab= 。
3、假设符号“”表示一种新运算，对于任意两数α，b，都有αb，=2α-3b+1，,,试解下列方程:
x,1113x(1)2x4=0; (2)32x=x; (3)=; (4)=3x ,,,2522y4、定义xy=ax+b，其中a、b为常数，若23=35，(-1)1992=0，试求51991,,,,的末三位数字。
答案与提示
1、(1)A; (2)C; (3)D
142、(1)6;( 2)5; (3)11 45
1313、(1)x=2;(2)x=1;(3)x=;(4)x=- 4523,4、解:由2*3=35，得α?2+b=358α+b=35„„„„„„?
1992,由(-1)*1992=0，得α?(-1)+ b=0，α+b=0„„„„„„?
1991498由?、?两式，得α=5，b=-5，?5*1991=5×5-5=625-5
?625的若干次幂的末三位数字为625。?所求数的末三位数字为620
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