第八章 资产报酬率与风险_[全文]

第八章 资产报酬率与风险_[全文] 第八章 资产报酬率与风险 前面数章的讨论都假设投资 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 执行期间内，各期现金流量都没有任何风险，所以，计算这些无风险现金流量的现值时皆以无风险利率(或无风险资产报酬率)做为折现率。事实上，大部分的投资计划其各期现金流量都有不同程度的风险，所以，计算现值或净现值时就不能再以无风险利率做为折现率。也就是说，存在风险情形下，资本预算决策就必须考虑风险对资金机会成本(或折现率)的影响。第八章将先检视资本市场中重要资产报酬率时间序列所呈现的统计现象:资产风险愈高，平均报酬率亦愈高。即，金融性资产报酬率时间序列符合「高风险、高报酬」的概念。其次，个别资产报酬率的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 误较投资组合(profolio)报酬率的标准误为高。即，金融性资产报酬率时间序列符合「分散持有可降低风险」的概念。接著，我们将介绍如何衡量投资组合报酬率的风险。 第九章将讨论个别资产预期报酬率和风险间的关系，亦即，个别资产的价格如何决定。现代投资组合理论(modern portfolio theory)假设资本市场具有效率性(efficiency)，一个市场具有效率性系指其商品价格已包含所有和这个商品有关的讯息。所以，现代投资组合理论探讨的重点在於:存在风险情形下，资产预期报酬率和风险间的关系，说明这两者关系最基本模型就是资本资产订价模型 (Capital Asset Pricing Model，以CAPM简记)，其核心概念在於:个别资产的预期报酬率决定於该个别资产报酬率和市场投资组合报酬率间统计相关程度。 财务管理初学者大都感觉这二章是财务管理最难学习的部分。为加强学习效果，在进入第八章讨论前，先将第八章至第十章重要结果简述如下: 评估投资计划时，若须对具有风险的现金流量折现，在计算现值此之前，有必要先找出衡量风险的指标，然后再对现金流量或折现率依计划的风险做修正。就个别资产而言，报酬率标准误(或变异数)可做为衡量该资产风险的统计量。 一旦投资人持有由不同资产所形成的投资组合时，由於分散持有可降低风险，投资人此时所关心的是某一特定金融性资产持有比例变动对投资组合风险的影响。由於不同资产报酬率的变动会随分散持有而相互抵销。此时，投资组合报酬率标准误(或变异数)就不再是衡量风险一个良好的指标，个别资产对持有比重变动投资组合风险的影响才是一个较恰当的衡量方式，我们将以 β值来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。举例说，当某一家公司股票报酬率会随充分分散持有投资组合报酬率的下降而上升(下降)，则这家公司的β值为负(正)。由於投资组合报酬率和这家公司股票报酬率呈反向(同向)变动，增加(减少)该公司股票持有比重会抵销部分投资组合报酬率的波动而让投资组合风险变小。 投资者之所以愿意持有风险性资产，必然是该资产预期报酬率高到足以 补偿因持有该资产所承担的风险。第九章将导出风险性资产预期报酬率和β值存在以下的关系: 个别资产 = 无风险资产 +β× 市场投资组合 , 无风险资产 ， 预期报酬率 报酬率 预期报酬率 报酬率 式中市场投资组合(market portfolio)是资本市场均衡时，具效率性的投资组合。由於市场投资组合预期报酬率大於无风险资产报酬率，所以，β值愈大表示这个资产报酬率变动相较於市场投资组合报酬率变动方向不仅相同且幅度亦较大。换句话说，依上述关系来看，个别资产风险较市场投资组合为大(β,1)时，该项个别资产预期报酬率会较市场投资组合预期报酬率为大。上述关系式就是财务管理中最常被提及的资本资产订价模型。 对有风险的投资计画，通常以下两种方式将风险因素纳入投资计划净现值的计算:以具有相同风险性资产预期报酬率，做为投资计画各期现金流量的折现率以及消除现金流量中具有风险部分，再以无风险的资产报酬率做为折现率。以上两种调整方式所得的答案相同。 13>. 资产报酬率的统计特性 资本市场中资产报酬率上下波动幅度很大。面对资产报酬率变化多端的走势，最基本分析的方式就是利用一些简单的统计量来呈现报酬率变化的统计特性，除了成长趋势外，时间序列的特性还可分为恒定以及波动两个面向。表现这两种特性最常用的统计量是以某一特定期间(如:1991~2000年期间或2000年)报酬率平均值来衡量资产报酬率的高低及以资产报酬率变异数(或标准误)衡量资产报酬率波动程度。 【图8.1】所表现的是资产报酬率的频率分配图(frequency distribution)，频率分配图的纵轴表现某一报酬率在特定期间出现的次数，而横轴则是报酬率可能的数值。我们可利用频率分配算出该分配的算术平均值(以r表示): r1+???+rT r = ， T 式中r1,??? , rT为1到T时点资产报酬率的观察值，T为观察 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 数。 【图8-1】频率分配图 次数 0 报酬率 例子: 假设ABC银行股票在20X1年下半年各月份的报酬率分别为20.92%， 0.00%，12.43%， -14.42%， 2.92% 以及 7.69%，请算出20X1年下半年该银行股票的平均报酬率: 20.92%，0.00%，12.43%,14.42%，2.92%，7.69% r = 6 = 4.92% 至於如何衡量资产报酬率的风险目前尚无定论。一般而言，若某一资产报酬率上下波动程度很大，表示持有这个资产的实际报酬率会有很高和很低的可能，持有这个资产的风险自然较大。此时，衡量随机变数离散程度的变异数(variance)或标准误(standard deviation)应是一个合适的指标。本讲义以σ? (或Var)表示变异数，而σ(或 SD)表示标准误，变异数的公式为: 1 Var = (r1 - r)? +(r2 - r)?+ ??????+(rT - r)? T 例子: 假设ABC公司股票在20X1年各季的报酬率分别为11.62%，37.49%，43.61%以及-8.42%。请算出ABC公司股票20X1年季报酬率 的变异数: 1 Var = (11.62% - 21.08%)?+(37.49% - 21.08%)? 4 (43.61% - 21.08%)?+(-8.4% - 21.08%)? = 4.34% SD = 4.34% = 2.08%。 式中21.08%为ABC公司20X1年各季报酬率平均值 2. 美国重要金融性资产统计特性 由於美国的资本市场发展较早，有价证券种类繁多，现以美国几种有价证券时间序列资料说明金融性资产的统计特性。【图8-2】为1926年到1997年间美国股票(分为大公司股票Large-company stocks，以及小公司股票Small-company stocks)、公司债(Long-term corporate Bonds)，中长期政府公债(Intermediate and Long-Term Government Bonds)以及财政部国库券(Treasury Bills)年平均报酬率以及年平均物价膨胀率的走势图。其中，美国联邦政府公债的平均报酬率波动幅度最小。各国政府为平衡预算岁出岁入差短，必须以发行中长期公债做为弥补收支差短的财源。此外，美国联邦政府财政部每周定期发行类似我国国库券的一年期以下的公债，称为Treasury Bills (T-bills)。T-bills以无息票债券型式发行，到期期限不超过一年。由於美国联邦政府拥有课税权及印钞权，其所发行的T-bills倒债风险(default risk)不存在，故T-bills的报酬率常被视为短期无风险资产的报酬率。股票和其他风险性资产预期报酬率和T-bills报酬率间的差就是此等风险性资产的超额报酬率。超额报酬率之所以存在表示持有股票或其他资产都具有不同程度的风险，故这些风险资产报酬率必须较无风险资产报酬率为高以为补偿，此超额报酬亦称为风险贴水(risk premium)。 【图8-2】 【表8-1】 为上述几种金融性资产报酬率的统计表。表中，资产报酬率的平均报酬率和标 准误分别是用平均数及变异数公式算出。先将各金融性资产平均报酬率和T-bills年平均报酬 率相比，算出风险性金融资产的风险贴水。举例说，在1926-1997年间，美国股票的风险贴 水平均值为9.2%(13.0%-3.8%)，显示1926-1997这段期间，股票报酬率要比T-bills的报酬 率要高出将近3.5倍(13.0,/3.8,=3.42)。 表8-1:1962-1997美国重要金融资产统计表 股票 长期公司债 长期政府公债 中长期政府公债 T-bills 物价膨胀率 平均报酬率 13.0% 6.1% 5.6% 5.4% 3.8% 3.2% 风险贴水 9.2% 2.3% 1.8% 1.6% 标准误 20.3% 8.7% 9.2% 5.7% 3.2% 4.5% 资料来源:Stocks, Bonds, Bills and Inflation:1998 Year book。 纵使股票报酬率的风险贴水水准如此高，仍有不少投资者还是愿意持有T-bills，难道T-bills持有人不知持有股票的预期报酬率比T-bills的报酬率平均要高出9.2 % 吗,其背后原因正是 财务管理所要讨论的。若我们比较【图8-2】中股票预期报酬率和T-bills报酬率走势，可清 楚看出股票报酬率的波动幅度较大，此亦可由【表8-1】看出:T-bills报酬率标准误(3.2%) 要比同期股票报酬率的标准误(20.3%)来得小。若报酬率标准误是衡量资产风险适当的指 标，则持有T-bills的风险显然较持有股票为小。【表8-1】中美国股票报酬率的标准误为20.3%， 远较长期公司债(8.7%)、长期政府公债(9.2%)为高。当然，我们也可以依标准误(或变 异数)的公式算出同一期间内美国个别公司股票报酬率的标准误，但所算出的数字则没有太 多参考价值，因为几乎没有一家公司所面对的企业风险在35年间都不会有任何改变。 为说明「分散持有可降低风险」的概念，现选取10家较著名的股票上市公司并计算这些公 司在1989-1994年期间股票报酬率的标准误(请见表8-2): 表8-2:1989-1994年美国10家公司股票报酬率 公司名称 标准误(%) 公司名称 标准误(%) AT&T 21.4 Exxon 12.1 Biogen 51.5 Ford 28.0 Bristol-Myers Squibb 18.6 G.E. 19.6 Coca-Cola 21.6 McDonald’s 21.7 Compaq 43.5 Microsoft 53.6 表8-2中，个别公司股票报酬率标准误大都较美国股市报酬率标准误(20.3%)来得高，其 中只有Exxon石油公司股票报酬率的标准误(12.1%)低於20.3%水准。G.E.及Bristol-Myers Squibb制药公司股票报酬率虽低於20.3%的水准，但相差不大。其余的个别股票的标准误都 比股市整体的报酬率标准误为高。由於美国纽约证券交易所股价指数可视为个别公司股价的 加权指数，为何以股价指数所算出股市报酬率标准误会远低於个别公司股价变动的标准误， 而不是个别公司股价变动标准误的加权平均值,答案很简单，分散持有可以降低风险。为何 分散持有有降低风险的效果,只要不同的股票报酬率变动方向不完全相同，分散持有就会让 不同股票报酬率变动产生相互抵销的作用。 由1962-1997期间，美国重要金融资产时间序列资料可归纳以下三个特性: 金融资产报酬率虽呈现不同程度的波动，但波动的走势类似。 金融资产预期报酬率和其报酬率标准误呈正向相关，亦即统计特性符合「高风险，高报酬」 的概念。 个别金融资产报酬率标准误大於投资组合报酬率的标准误，亦即统计特性符合「分散持有可降低风险」的概念。 3. 不同资产报酬率间共变异数之计算 当投资者只持有一种金融性资产，则该项资产的平均报酬率可用於推估持有该有价证券预期报酬率，而报酬率的变异数(或标准误)则可衡量持有该资产的风险。当投资者不只持有一种有价证券，而是持有由不同资产组合而成的投资组合时，以预期报酬率衡量投资报酬率高低的概念不变，但投资组风险是不是仍以个别资产报酬率变异数(或标准误)的加权平均值来衡量,若投资组合的风险系由投资组合中个别资产持有比重以及个别资产的风险(即个别资资产报酬率变异数的加权平均数)所决定，这种投资组合衡量风险的方法就忽略了不同资产报酬率间连动关系。举例说，两种资产间报酬率若呈反向变动，则同时持有这些资产有助於降低投资组合的风险。以下亦将证明纵使不同资产间报酬率呈正向变动，只要不是完全正向的变动，同时持有这些资产亦会降低投资组合的风险。亦即，分散持有会有降低风险的效果。由於个别资产间报酬率变动或多或少都有统计关连，这部分的统计关连才是市场投资者所关心。当市场投资者持有投资组合而非个别资产时，她所关心的应是变动某一特定资产持有比重对她所持有的投资组合风险的影响。依此概念，共变异数(covariance)而非变异数才是衡量投资组合风险恰当的指标。 景气波动对个别产业的营运会有不同的影响，此项影响则表现在个别公司或厂商股票报酬率的波动上。由於不同公司或厂商股票报酬率都受到景气循环不同程度的影响，它们之间就会存在强弱不同的关连。为说明这种关连，假设景气波动可分为四种状态:萧条、低迷、正常以及繁荣，并假设每一种状态发生的机率相同。A公司股票平均报酬率和变化景气波动较为接近，B公司股票报酬率则有较大的差距。在四种不同景气状态下，这两家公司股票预期报酬率为: 不同状态(?)下股票报酬率 A公司 B公司 景气萧条 - 20% 5% 景气低迷 10% 20% 景气正常 30% - 12% 景气繁荣 50% 9% 首先，我们计算这两家公司股票的预期报酬率: -20,+10,+ 30 ,+ 50, r A = =9>17.5%， 4 5,+20,- 12,+ 9, r B = =5.5%， 4 A公司的预期报酬率较B公司的预期报酬率为高。接下来，我们计算这两家公司股票报酬率的变异数: (-0.2-0.175)?+(0.1-0.175)?+(0.3-0.175)?+(0.1-0.175)? VarA = 4 = 6.6875%， (0.05-0.055)?+(0.2-0.055)? +(-0.12-0.055)?+(0.09-0.055)? VarB = 4 = 1.3225%。 变异数及标准误都是衡量资产报酬率离散度。在实际应用上，由於变异数是以平方和方式表现较难解释，而标准误反而较易解释: SDA=?VarA=?0.066875 = 25.86%， SDB=?VarB=?0.013225 = 11.50%， 持有A公司股票的风险较持有B公司股票为高。若市场投资者持有的对象不再是单一资产而是不同资产所形成的投资组合时，她关心的是增加某特定资产持有比重对投资组合风险的影响，增加某特定资产持有比重对投资组合风险的影响主要是透过以下两个管道:该资产的风险(即该资产报酬率的标准误)以及该资产报酬率和投资组合中其他资产报酬率间变动的关连程度。也就是说，市场投资者除了要关心个别资产的风险，也要关心不同资产间报酬率相关程度。统计学上，共变异数是衡量两个随机变数关连程度最常用的统计量。两个随机变数rA和rB其共变异数的定义为: σ AB = COV(rA, rB) = E (rA-rA)((rB-rB) ， 式中E[X]表示随机变数X的期望值并(以X简记)，故 rA和 rB则分别是rA和rB的期望值。 在状态?情形下，当A公司股票报酬率(以rA(?) 表示) 高於 (低於) 其平均值时，B公司股票的报酬率(以rB(?) 表示)则低於 (高於) 其平均值X，表示这两家公司股票在状态?情形下，其报酬率呈反向变动。大部分状态下，若这两家公司股票报酬率呈反向变动，则这两家公司股票报酬率共变异数值应为负值。若这两家公司股票报酬率变动方向并未出现任何特定类型 (即大部分状态下，正向变动和反向变动出现数目相近)， (rA(?) - rA)(rB(?) - rB)值相互抵消使其平均值接近於零。依共变异数的定义，此时共变异数之值应接近为零。当然两家公司的股票报酬率不出现任何统计相关，不必然表示这两家公司的股票报酬率共变异数值为零，因为统计抽样误差会让原无任何统计相关的两家公司股票报酬率，其共变异数不必然就等於零，而是共变异数之值很接近零。 例子: 前面例子中，A公司以及B公司股票的平均报酬率分别是17.5% 以及5.5%，其报酬率的的标准误分别为25.86% 以及11.5%。要计算这两家公司股票报酬率的共变异数还需要以下两个步骤: 步骤一:计算四种景气状态下，两家公司股票报酬率的离散值。举例说，景气萧条时，A公司股票报酬率的离散值为 -0.375(=-0.20-0.175)，而B公司股票报酬率的离散值则为 -0.005(=0.05-0.055)。接下来，就可算出在景气萧条时，这两家公司股票报酬率变动相关程度: 0.001875 = -0.375×-0.005。 式中所用的公式为(rA(?)-rA)×(rB(?)-rB)，其中rA(?)及rB(?)为状态?下，A公司及B公司的股票报酬率。 步骤二:依步骤一所算出的各种状态下，两家公司股票报酬率的变动方向，再对各种状态加总取其平均数即得共变异数: N (rA(i)-rA)(rB(i)-rB) COV(rA, rB)? ? 。 i=1 N 式中N为状态的个数。这个例子中，N=4，我们可利用共变异数公式算出: -0.0195 σ AB = COV(rA，rB) = = - 0.04875。 4 共变异数值为负显示两家公司股票报酬率呈现反向变动关系。 依共变异数来看，A公司股票和B公司股票报酬率变动关连程度可用(rA(i)-rA)((rB(i)-rB)的平均值来衡量。假设A公司的报酬率较其平均报酬率为高时，B公司的报酬率亦较其平均值为低，则不同状态下(rA(i)-rA)((rB(i)-rB)的平均值为负。另一方面，ABC公司的报酬率较其平均值为低时，EFG公司的报酬率亦较其平均值为高，则(rA(i)-rA)((rB(i)-rB)的值仍然为负。不同状态下，若此种反向变动关系大多能成立，则此种反向变动关系在共变异数所呈现的就是负相关 (COV(rA，rB),0)。 由於各变数衡量单位并不相同，造成共变异数较难赋予明确的意议。为了解决衡量单位的问题，另一个和共变异数概念相似但无衡量单位问题的统计量是相关系数(correlation coefficient，以ρ AB表示): σ AB ρAB = Corr (rA , rB) = ， σ A(σ B 式中σ A和σ B分别是随机变数A和B的标准误。相关系数和共变异数一样，相关系数中变异数先后顺序不重要。亦即，r A和r B的相关系数等於rB和rA的相关系数:σ AB =σBA。此外，由於σ A和σ B均为正值，依标准误的定义，ρAB的正负号和σ AB正负号一致。若ρ AB值为正，则rA和rB呈现正相关(σ AB,0)。若ρ AB值为负，则rA和rB呈现负相关。ρ AB= 0表示两者无关。最后，我们还可证明ρ AB的值最大不会超过1，最小亦不会小於-1:-1 ? ρ AB ? 1。下图则表示随机变数rA和rB相关程度的三种最基本类型: rA ， rB ρ AB = 1 B A 0 t(时间) rA，rB ρAB = -1 t(时间) rA，rB ρAB = -1 0 t(时间) 4. 投资组合的报酬与风险 市场投资人若已利用个别资产报酬率时间序列资料完成报酬率标准误以及不同资产间报酬率相关系数的估计。有了这些估计值，这个投资者应如何选取最适的投资组合,投资者选择最适投资组合时，他所追求的投资组合应该是有最高的预期报酬率或是有最低的报酬率标准误。由於投资组合系由不同持有比重的多种个别资产所组成的，所以，选择最适投资组 合时，就必须考量到以下两种关系: 个别资产预期报酬率和投资组合预期报酬率间的关系。 个别资产报酬率标准误，个别资产报酬率间相关系数与投资组合报酬率 标准误三者的关系。 4.1 投资组合预期报酬率 假设投资者考虑持有两种资产A及B，其预期报酬率分别以rA及 rB表示，持有比重分别是资产A为α，资产B为1-α。请问投资组合的预期报酬率为多少,以rA和rB分别表示资产A和B的报酬率，投资组合的报酬率(以rP表示)为:rP =αrA+(1-α)rB，其预期报酬率(以 rP 表示)为: rP = α rA+(1-α)rB， (1) 亦即，投资组合的预期报酬率为个别资产预期报酬率的加权平均值，其权数为个别资产的持有比重。在计算投资组合的预期报酬率时，我们应用了以下的统计公式: E [α X+βY] = α E[X]+βE[Y]， 式中X和Y为随机变数，而α和β则为固定常数。若资产A和B的预期报酬率相同(rA = rB)，则投资组合的预期报酬率(rP)等於资产A或资产B的预期报酬率不受持有比重影响。亦即，个别资产若有相同的预期报酬率时，投资者不会因分散持有(或增加持有个别资产数目)而影响到投资组合的预期报酬率。 例子: 朱一手中有现金100万元，打算将其中60万元购买A公司的股票，其余则用购买B公司的股票。依朱一个人估算，A公司和B公司股票预期报酬率分别是15%和21%。请算出朱一所拥有的投资组合预期报酬率为多少, 依投资组合预期报酬率的公式(式(1))，可算出朱一投资组合的预期报酬率: r = 0.6×15% + 0.4×21% = 17.4%。 4.2 投资组合报酬率变异数 朱一所拥有的投资组合风险又应如何计算,依朱一个人以时间序列资料估算，A公司和B公司股票报酬率标准误分别是18.6%以及28%。依投资组合预期报酬率的公式，我们也许直觉认为投资组合报酬率的标准误亦应为个别股票报酬率标准误的加权平均值: σ =α??σA +(1-α)σB= 0.6×18.6% + 0.4×28% = 22.4%， 以下将说明除非这两家公司的股票报酬率变动方向完全一致(即，ρAB =1)，上式才是投资组合报酬率标准误的正确公式。不然，由於分散持有会有降低风险的效果，让上式变成不再是正确的公式。 我们先以矩阵方式来说明如何计算投资组合报酬率的变异数。现以两种资产为例，由於资产数目为2，以2×2矩阵就可表现这两种资产报酬率变动以及持有比重对投资组合报酬率变异数(以σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P))表示)的影响: 资产 A B A α2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(A)) α(1-α)σAB B α(1-α)σAB (1-α)2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(B )) 矩阵中 σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(A)) 和σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(B)) 分别是资产A和资产B报酬率的变异数，而σAB则是资产A报酬率和资产B报酬率的共变异数。由於投资组合包含两种资产，矩阵中对角线左上方就是资产A的变异数，其系数为α2(持有比重的平方)，对角线右下方就是资产B报酬率的变异数而系数为持有比重为(1-α)2。非对角线的两项则是两种资产报酬率的共变异数。矩阵对角线上元素表示个别资产报酬率变异数对投资组合报酬率变异数(σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)))的贡献度，而个别资产报酬率变异数和持有比重则是决定因素。举例说，若投资者不持有某项资产(α=0或1-α=0)，则该资产的风险对投资组合的风险就没有任何影响。非对角线上元素衡量资产A和资产B报酬率变动相关程度对投资组合报酬率变异数的贡献度。只要这两种资产报酬率变动不存在完全正 相关(ρAB?1)，持有这两种资产将有助於降低投资组合的风险。举例说，假设资产A和资产B报酬率变动呈反向关系(即σAB,0)。只要市场投资者同时持有资产A和资产B(1-α?0)，由於非对角线上元素变为负值，表示持有两种资产会有降低投资组合的风险的作用。将矩阵中四个元素加在一起就是投资组合的变异数: σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)) =α2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(A)) +2α(1-α)σAB+(1-α)2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(B))， 矩阵中四个元素加总会等於投资组合报酬率的共变异数则是应用以下的统计公式: Var(αX + βY)=α2 Var(X)+2αβCov(X,Y)+β2 Var(Y)， 式中X及Y为随机变数而α和β为固定常数值。 变异数是衡量随机变数可能实现值的离散程度，共变异数则是衡量两个随机变数变动统计相关程度。若σAB,0，σAB值愈小表示由资产A和资产B所组成的投资组合变异数就会愈小。这个结果符合一般的直觉反应，若资产A和B的报酬率变动方向相反，则这两种资产报酬率变动有相互抵消之势，造成投资组合报酬率变动较小，其风险亦因而变小。若资产A和资产B报酬率的共变异数为正(σAB,0)，则投资组合的变异数(σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)))会因σAB上升而变大。但同时持有这两种资产是否有助於投资组合报酬率变异数变小, 例子: 延续4.1小节中的例子，假设朱一手头有100万元现金，打算将其中60万元投资A公司股票，另40万元投资B公司股票。此时，朱一持有A公司以及B公司股票的比重分别是0.6以及0.4。此时，投资组合的预期报酬率为: r = 0.6×17.5%+0.4×5.5%= 12.7%， 若朱一估计A公司股票和B公司股票报酬率变动共变异数为0.004875，则而投资组合报酬率的变异数为: σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P))=(0.6)2 0.066875 + 2(0.6(0.4((0.004875)+(0.4)2 0.013225 =0.023851。 我们可算出此投资组合报酬率的标准误(σP)为15.44%，小於A公司股票和B公司股票报酬率标准误的加权平均值(σ)22.4%。 由这个例子可以看出只要两种资产报酬率的相关系数为正但不等於一时，分散持有仍有降低风险的效果。为了解分散持有对降低投资组合报酬率变异数的效果，我们先算出ρAB=1时，投资组合报酬率的标准误: σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(P)) = α2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(A)) +(1-α)2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(B)) + 2α(1-α)σA(σB = α(σA +(1 - α)σB， (2) 当ρAB=1时，投资组合报酬率标准误等於个别资产报酬率标准误的加权平均值(σ)。换句话说，当ρAB = 1时，由於资产A和资产B可视为相同的资产，分散持有和不分散持有效果相同。所以，当ρAB = 1时，分散持有并不会有降低投资组合风险的效果。当ρAB?1时，投资组合报酬率标准误为: σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(P)) = α2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(A)) +(1-α)2σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(A)) + 2α(1-α)ρAB(σA(σB。 (3) 当ρAB,1时，σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(P)) 会小於 σ，(σ-σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(P)))即衡量分散持有的效果。比较σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(P)) 和σ公式可看出:只要资产A和资产B间报酬率变动不是完全正相关(ρAB?1)，分散持有还是有降低投资组合风险的效果。相关系数值(ρAB)愈小，分散持有的效果就愈强。 4.3 两种资产情形下，投资组合的效率前缘 本小节将说明如何透过持有比重的改变选出最适的投资组合。诺贝尔经济学奖得主马可维兹教授(Harry Markowitz)早於1952年就提出投资组合选择(portfolio selection)的概念。市场投资者先利用资本市场中各种资产报酬率的时间序列资料(如【表8-1】)算出样本期间个别资产的平均报酬率，报酬率标准误以及不同资产报酬率相关系数，再利用数学规划模型，导出可供市场投资者选择的投资组合机会集合。他最大贡献在於利用上述统计量发展出一套「平均数-共变异数分析」(mean-variance analysis)以找出投资组合的效率前缘(efficient frontier)。在效率前缘上的投资组合不是在给定风险水准下，预期报酬率最高就是在给定预期报酬率下，风险最小。本小节将先探讨改变个别资产持有比重对投资组合的预期报酬率及其标准误的影响，再导出两种资产情形下，投资组合的效率前缘。 【图8-3】纵座标衡量资产的预期报酬率(r)而横座标则是衡量资产报酬率的标准误(σ)。假设市场上只有两种资产A和B，以rA(rB)和σA(σB)分别表示资产A(B)的预期报酬率和报酬率标准误。假设rA , rB 以及 σA,σB，【图8-3】中点A和点B即表现这两种资产预期报酬率以及报酬率标准误: 【图8-3】 r rA A B rB 0 σB σA σ 首先，ρAB=1的情形下，式(2)即为投资组合报酬率的标准误，而式(1)则为投资组合预期报酬率。由rP和σP公式可看出:不同的α值(即，不同的持有比重)，就有不同的(rP , σP)组合。所以，我们可变动α值画出(rP , σP)的组合线。市场投资者改变对资产A持有比重(α)对投资组合报酬率标准误的影响: d σP = σA – σB。 dα 另一方面，市场投资者改变对资产A持有比重(α)对投资组合预期报酬率(rP)的影响为: d rP = rA - rB。 (4) dα 算出变动资产A持有比重(α)对投资组合预期报酬率及标准误的影响后，我们可进一步推导当ρAB =1情形下，投资组合预期报酬率和标准误间边际抵换率(marginal trade-off rate): d rP rA - rB = ， dσP σA -σB 换句话说，当ρAB=1，投资组合预期报酬率与风险间边际抵换率不受持有比重(α)的改变而影响，显示投资组合风险内涵不受持有比重改变所影响。换句话说，这两种资产可视为同一资产，分散持有并不会改变投资组合的风险内涵，预期报酬与风险的边际抵换率当然不会有所改变。【图8-4】所表现的就是ρAB =1情形下，投资组合线。 【图8-4】 R A ρAB =1 B σ 接下来，再看另一个极端的情形:ρAB = -1。由式(3)可知此时投资组合报酬率标准误为: σP= ασeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(A)) ,2α(1-α)σAσB +(1-α)2σ2B ， 由於根号内的值可正可负，必须先找出临界点(即，对应σP =0的持有比重)。令σP =0，由上式可算出: ασA -(1-α)σB 2 = 0， 经过简单计算可找出α的临界值(α*): σB α*= ， σA + σB 也就是说当持有资产A的比重为 α* 时，投资组合报酬率标准误等於零，持有这种投资组合将不会有任何风险。算出临界值后，投资组合报酬率的标准误就可为下式所决定: ασA -(1-α)σB, α?α* σP = (1-α)σB -ασA, α,α* 至於变动持有资产A比重(α)对投资组合的预期报酬率的影响仍由式(4)决定。由於变动持有比重(α)对投资组合的预期报酬率和标准误均有影响，而此亦反映到投资组合的报酬率与风险的边际抵换率上: rA - rB drP σA +σB ，α?α* , = dσP rA - rB -(σA +σB)， α,α*。 下图表现当ρAB = -1时的投资组合线。 r A C ρAB = -1 ρAB =1 B 0 σ 只要α?α*(即，在AC区间的投资组合线上)，若增加对资产B(减少对资产A)的持有，投资组合的预期报酬率和风险会同时下降，但两者之间的边际抵换率并不会随著变动资产的持有比重而有改变。一旦持有资产A的比重低於α*时，增加对资产B(减少对资产A)的持有，此时投资组合的风险上升且预期报酬率亦随之下降(即，在CB区间的线上)。 由於个别资产间的相关系数几乎都不会等於1或-1，以下将探讨两种资产报酬率相关系数介於 -1及1之间时，改变资产持有比重对投资组合预期报酬率及风险的影响。变动持有资产A比重对投资组合预期报酬率的影响可由式(1)及式(3)看出。由於ρAB不等於1或-1，σP的表现式就不能进一步化简。此时，投资组合预期报酬率和风险间的边际抵换率就不再固定常数值，其边际抵换率会随持有比重而改变。【图8-5】画出几种可能的情况。 【图8-5】 R ρAB =0 A M1 M2?? M3 ??I”??I’ ??I ρAB =0.5 M4?? B ρAB = -0.5 0 σ 【图8-5】中，投资组合线有两个特质值得一提。第一个特质:只要 ρAB ,1，分散持有对投资组合风险就有降低的效果。当ρAB =1时，两种资产可视为同一资产，此时分散持有对降低投资组合风险不会有任何效果。我们可将ρAB =1做为比较基准。假设资产A和资产B报酬率相关系数(ρAB)为0.5，对应於ρAB =0.5的投资组合线(即AM4B)和直线AB相较。比较点I和点I'，可知点I和点I'有相同的预期报酬率，但点I'有较低的投资组合风险。I'-I所衡量的就是当ρAB=0.5时，分散持有对降低投资组合风险的效果。这个效果随著ρAB的值愈小而愈大(比较ρAB = 0和ρAB = 0.5所对应对的投资组合线即知)。第二个特质:【图8-5】中M1，M2，M3和M4四点系表示在不同相关系数值情形下，最小变异数的投资组合(以M点通称)。若投资组合落在M点，此时市场投资者增加对资产B的持有将导致投资组合超过M点而落在M点和B点之间，此时增加对资产B的持有，不仅让投资组合的预期报酬率下降，亦让投资组合的风险增加。 只要市场投资者是风险厌恶者，面对相同预期报酬率的投资组合，市场投资者会选择风险最小的投资组合或是面对相同风险水准的投资组合，市场投资者会选择预期报酬率最高的投资组合。我们可在投资组合机会集合中筛选出符合此原则的投资组合，这些投资组合统称为效率前缘(efficient frontier)。 【图8-6】 R A ( M I? 效率曲线 I B 0 σ 举例说，【图8-6】中，资产A和资产B报酬率相关系数小於1，依效率的定义，投资组合效 率前缘为曲线AM，至於点M至点B段则不符效率的定义，因为这段中的投资组合和点A 至点M间的投资组合两相比较(如点I和点I?)，可发现点M至点B段的投资组合和点A 至点M间投资组合有相同风险，但点B到点M间投资组合的预期报酬率较低。也就是说， 效率前缘所表现的是市场投资者，在一定风险水准下，所能得到预期报酬率最高的投资组合; 或在一定的预期报酬率水准下，所能得到风险最低的投资组合。市场投资者会在效率前缘上 选择何种投资组合，需视其偏好。假如她较能忍受风险，她的选择将愈接近点A的投资组 合，假如她较不能忍受风险，她的选择会接近最小变异数的投资组合(点M)。 5. 多种资产情形下，投资组合的效率前缘 在4.3小节中，我们推导出两种资产情形下，投资组合报酬率变异数的公式以及投 资组合的效率前缘。 接著，我们仍以矩阵方式来推导多种资产情形下，投资组合报酬率变异数。假设个 别资产数目为N，【表8-3】为N种资产情形下的变异数-共变异数矩阵。N×N矩阵中的各元 素表示N种个别资产报酬率变动对投资组合风险的影响的方式与程度。首先，矩阵中的对 角线上的元素为个别资产报酬率变异数对投资组合报酬率变异数的影响，决定因素除个别资 产风险外，就是个别资产的持有比重。举例说，矩阵第N行第N列的元素所表现的是第N 种资产报酬率变动对投资组合风险的影响，资产N报酬率共变异数为σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(N))，而xeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2( N)) 则是持有第N种资产的比重(xN)的平方 数。 【表8-3】 资产 1 2 3 … N 1 xeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(1))σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(1)) xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(12)) xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2( 3))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(12)) … xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1N)) 2 xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(12)) xeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(2))σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(2)) xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2N)) 3 ? … … … … ? … … … … ? N xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1N)) xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 12( ),\s\do 4(2N)) xeq \o(\s\up 12( ),\s\do 4(3))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 12( ),\s\do 4(3N)) xeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(N)) 其次，非对角线上的元素表现不同资产间报酬率变动关连程度对投资组合报酬率变异数的 影响。举例说，矩阵中第1行第2列的元素为x1x2σ12，其中σ12为第1种和第2种资产 报酬率变动的共变异数，而x1及x2分别是第一种和第二种资产持有比重。非对角线上的元 素成对称状态，第i行第j列的元素等於第j行第i列元素(xixjσij = xjxiσji)。N×N矩阵内 所有元素加总，可得到N种资产情形下，投资组合的变异数(σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P))): σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)) = xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(1))+ xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(12)) +…+ xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1N))+ xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))σeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(12)) +…+ xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(N)) n n = ? ? xixjσij， i=1 j=1 式中当i=j时，σij=σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(i));当i?j，σij 即为第i种资产和第j种资 产间报酬率共变异数。投资组合变异数-共变异数矩阵对角线上的元素个数等於个别资产的 数目(N)，而非对角线上的元素个数则为N ?(N - 1)(N ?(N - 1)= N2 - N)。当资产数目 (N)增加时，非对角线上的元素个数增加速度会较对角线上的个数增加速度为快。 第4节推导出两种资产情形下，投资组合效率前缘是一条简单的曲线。由於市场投资者所关 心的资产数目不仅止於两种，本节将增加资产数目，并探讨多种资产情形下，投资组合效率 前缘,Harry Markowitz教授对财务理论最大的贡献在於以数学规划模型表现多种资产情形 下，投资组合效率前缘如何推导，此数学规划模型常被称为Markowitz模型。假设市场投资 者考虑由n种个别资产组成不同的投资组合，此n种资产的投资组合预期报酬率，分别以 ri， i = 1 , 2 , 3 , … , n表示。市场投资者选择最适投资组合前，必须先确定她有那些投资组合可 供其选择。不是所有的投资组合都是市场投资者选择对象。由於市场投资者所关心是效率前 缘上的投资组合，Harry Markowitz教授证明投资组合的效率前缘可用以下两个数学规划模型 算出。第一个模型是在给定的风险水准(σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)))下，找出预期报酬 率(rp)最大投资组合的资产持有比重(x1,x2,…xn): maximize rP = xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1)) r1+…+ xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(n)) rn n n subject to σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P))=? ? xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(i ))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(j))σij，and xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))+ xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))+… +xn=1， i=1 j=1 式中 xi 为持有资产i的比重，i = 1 , 2 , 3 , … , n，且个别资产持有比重之和为1。rP 和σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P))分别是投资组合的预期报酬率和报酬率的变异数。若n=2，rP 和σP的公式就化减为本章的式(1)和式(3)。持续变动给定的风险水准，就可导出投资 组合的效率前缘。第二个数学规划模型则是在给定预期报酬率(rP)下，找出风险最小投资 组合的个别资产对有比重(x1,x2,…xn): n n minimize σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)) = ? ? xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(i ))xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(j))σij i=1 j=1 subject to rP = xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1)) r1+ … + xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(n)) rn , and xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))+ xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2)) + … + xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(n))= 1。 持续变动投资组合的预期报酬率(r)，就可导出投资组合的效率前缘。Markowitz教授并证明这两种模型所导出的投资组合效率前缘完全相同。 【图8-7】中斜线区域就是n种资产情形下，所有投资组合的机会集合。举例 说，假设资本市场有100种资产交易，点1可能表示40种资产所形成的投资组合，点2可 能表示80种资产所形成的投资组合，而点3则是不同的80种资产所形成的投资组合，或是 有相同的资产但却有不同的持有比重。 【图8-7】 r Z 3 ( 2 ( Q ( 1 ( S ( M A σ 显然，斜线区域内有无数种可能的投资组合。斜线区域既然包含所有可能的投资组合，所以不可能有其他的投资组合会落在区域之外。 多种资产所形成投资组合的机会集合(【图8-7】斜线区域)和两种资产所形成的机会集合(【图8-6】中曲线)大不相同。到底投资组合的效率前缘是否亦因资产数目不同而有极大差异,依效率的定义，在n种资产可供选择情形下，投资组合的效率前缘则减缩至MZ间斜线区域的外缘，(【图8-7】中曲线MQZ)。效率前缘上的任何点和斜线区域机会集中投资组合相比较，可发现有相同风险水准(预期报酬率)的两个投资组合，效率前缘上的投资组合有较高(较低)的预期报酬率(风险)。以【图8-7】中，点Q和点1所代表的投资组合为例，可发现效率前缘上的点Q和机会集合中的点1有相同的预期报酬率，点1有较高的风险。此时，厌恶风险的市场投资者不会选择投资组合Q。更重要的是，多种资产情形下，投资组合的机会集合和两种资产所形成的机会集合看似大不相同，但两者所构成的效率前缘却是一致。 6. 分散持有降低风险的效果 为说明多种资产情形下，分散持有如何降低投资组合的风险，先对第5节中N×N 变异数及共变异数矩阵做三个简化假设: 1. 所有的资产都有相同的变异数:σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(i))=σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(2))=…= σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2( ))， 2. 不同资产间报酬率共变异数完全相同:σ12=σ13=…=σN-1,N = cov， 3. 各种资产持有比重完全相同:xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(1))=xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(2))=…= xeq \o(\s\up 6( ),\s\do 2(N))=1/N 在这三个假设下，第5节中的N×N矩阵就变成: 资产 1 2 3 N 1 2 1 2 1 2 1 2 1 σ ? cov cov … cov N N N N 1 2 1 2 2 cov σ ? … … … ?? N N ?? … … … … ?? : 1 2 1 2 1 2 N cov cov … σ? N N N 其中矩阵对角线上的N个元素完全相同，而非对角线上的N2-N个元素亦完全相同。投 资组合报酬率变异数(σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)))仍是上述N×N矩阵中各元素的加总: 1 2 1 2 σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)) = N σ? + N((N - 1) cov N N 1 1 = σ ? + ( 1 - )cov (5) N N 式中第二个等号右边第一项是衡量个别资产报酬率变异数(即，个别资产风险)对投资组合报酬率共变数的贡献度，而第二项则是衡量个别资产间报酬率变动共变异数对投资组合报酬率共变异数的贡献。也就是说，σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)) 是 σ?和cov的加权平均值，其权数分别是1/N和(1-1/N)。当持有的个别资产种类愈来愈多(N值愈大)时，由式(5)可知投资组合风险就会变为: limσeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)) = cov。 N?? 上述结果显示当资产分散持有愈彻底，则个别资产的平均风险(σ?)就愈不会影响投资组合的风险。此时，投资组合风险决定於个别资产间报酬率共变异数的平均值。如前所述，个别资产的风险可以用该资产的报酬率变异数(或标准误)来衡量，然而在完全分散持有情形下，个别资产风险 (σ?)对σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P))的影响力将因分散持有而消除。纵使完全分散持有，仍无法消除个别资产间报酬率的共变异数(此系反映资产间报酬率变动共同的部分)对σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P))的影响力。纵使未修习过财务管理的人亦经常提到「分散持有降低风险」或「不应将所有的鸡蛋放在同一个篮子内」。这个例子正说明分散持有对投资组合风险的效果。个别资产的风险可藉完全分散持有而消除，但资产间报酬率的共变异数却无法透过分散持有而完全消除的。 一旦了解到部分的风险可藉分散持有而消除，实务上应如何设法去消除,设想宋先生带了1万美元到美国拉斯维加斯赌博。若宋先生将这一万元完全投注在一次赌局中，则这次赌局胜负风险将太大，宋先生赢了固然可赢取2万美元，但输了宋先生一次就血本无归。宋先生改变策略将1万美元分1000次下注，每次下注10元，依机率论来看，宋先生有500次的赢面。依照这种赌法，宋先生大概可以拿回原先下注的1万美元。换句话说，宋先生下注次数愈多，赌局的风险就愈小。 回到资本市场的例子，并与上个例子相比较。当可持有的资产只有一种时，由式(5)可知投资组合报酬率变异数就等於个别资产报酬率的变异数(σ?)。当可持有资产数目增加时，就如同【图8-8】所示，投资组合的风险会跟著下降。但投资组合的风险仍不可能完全消除。就算可持有资产数目达到无穷大，投资组合风险亦不可能低於cov。 【图8-8】 σeq \o(\s\up 6(2 ),\s\do 2(P)) Var 可藉分散持有消除的风险 cov 投资组合的市场风险 0 1 2 3 可持有资产数目(N) 由於投资组合变异数最后会非常接近cov，表示每增加一种资产的持有后，投资组合的风险会逐渐下降。假若没有任何交易手续费或其他交易成本市场投资人固然可藉著分散持有降低投资风险，但最终效果最多只能让投资组合的风险下降至cov。在实际交易中，增加持有资产的数目都需要成本。纵使考虑到这些成本，经精确估算后，大约持有30种资产就可达到最佳分散持有状态。由於σ?大於cov，个别资产报酬率的变异数可拆解成: σ2 cov σ2 - cov 个别资产 = 投资组合 + 非系统性 ， 风险 风险 风险 式中个别资产风险(σ)衡量的是某个别资产的风险，而投资组合风险则是指完全分散 持有后投资组合的风险(cov)，这部分的风险常被称为系统性风险(systematic risk)或市场 风险(market risk)，市场风险是反映足以影响所有产业的整体经济因素，如:油价变动或景气波动。至於σ2 – cov则是指可藉分散持而消除掉的风险，称为非系统性风险 (unsystematic risk)或独特风险(unique risk)，这部分风险主要反映影响到个别资产的个别经济因素。 任何一个持有已完全分散持有投资组合的市场投资者，她不会关心个别资产风险 的大小，因为她知道其中一部份可透过分散持有可消除掉。所以，当她考虑是否持有新资产时，她的考量将在於此种选择对投资组合风险的影响。也就是说，既然她知道新资产的风险有一部份可透过分散持有而消除，所以，她真正关心的应是投资组合风险中不能被消除的部分，而这部分的风险即是该项资产对整个投资组合风险的贡献度。 习 题: 下表列出台湾、东京和香港三地股票市场在1994年的月报酬率，请根据这些数字回答以下 问题。 月份 台湾 东京 香港 1 0.0073 0.1319 -0.0338 2 -0.1146 0.0015 -0.0937 3 -0.0306 -0.0420 -0.1326 4 0.0930 0.0257 -0.0071 5 0.0269 0.0494 0.0655 6 0.0070 -0.0055 -0.0832 7 0.1327 -0.0215 -0.0827 8 0.0429 0.0018 0.0471 9 0.0118 -0.0387 -0.0411 10 -0.0796 0.0049 0.0131 11 -0.0249 -0.0406 -0.1223 12 0.1196 0.0254 -0.0325 计算台湾、东京和香港三个股票市场在1994年报酬率的平均数、标准误和相关系数。 如果投资组合只包含台湾跟东京二地股票的股票，请计算投资组合的效率前缘。比起只能投 资其中一地的股票，此投资组合是否可以降低风险, 如果投资组合可以包含台湾、东京和香港三地股票，请计算投资组合的效率前缘。投资人是 否可能选择只投资一地的股票, 假设是投资组合里面，台湾和香港各占15%，东京占70%。请计算该投资组合在1994年的 报酬率，并计算报酬率标准差。 假设投资人同时持有两种股票，持有股数分别是N1和N2，每股购买金额是P1和P2。投资 组合和两种资产的报酬率分别以rP、r1和r2。为何rP=ρr1+(1-α)r2会成立,并计算权 数。: 朱一计划将手中现金投资在A公司以及B公司股票。她预期A公司股票的报酬率(rA)为 12%，B公司股票报酬率(rB)为8%，两家公司股票报酬率分别为σA=10% 及σB=5%。这 两家股票报酬率相关系数(ρAB)为0.2。 请算出下列三种投资组合的预期报酬率(rP)以及报酬率标准误 (σP): 投资组合 持有A公司股票比重 持有B公司股票比重 C2 1 50 50 2 25 75 3 75 25 请画出投资组合的机会集合。 请以所画出的投资组合机会集合说明分散持有可降低风险。 林金手中现有100万元现金，她计划将其中40万元投资於A公司股票，其於60万元则投资於B公司股票。她预期A公司及B公司预期报酬率(r)，报酬率标准误(σ)为: A B r 15% 20% σ 15% 20% 假设ρAB预估值为-0.5，0以及0.5时，请分别算出投资组合的预期报酬率以及报酬率标准误。 请讨论在这三种情形下，林金所选择投资组合是否较将所有现金投资於A公司股票为佳, 请用(a)小题所得答案说明，分散持有对降低投资组合风险的效果。 PAGE PAGE 30 Chart1 11.62 0.28 7.37 7.77 5.38 3.27 -1.49 37.49 22.1 7.44 8.93 4.52 3.12 -2.08 43.61 39.69 2.84 0.1 0.92 3.56 -0.97 -8.42 -51.36 3.27 3.42 6.01 4.75 0.2 -24.9 -38.15 7.98 4.66 6.72 2.41 -6.03 -43.34 -49.75 -1.85 -5.31 -2.32 14.07 -9.52 -8.19 -5.39 10.82 16.84 8.81 0.96 -10.3 53.99 142.87 10.38 -0.07 1.83 0.3 0.51 -1.44 24.22 13.84 10.03 9 0.16 2.03 47.67 40.19 9.61 4.98 7.01 0.17 2.99 33.92 64.8 6.74 7.52 3.06 0.18 1.21 -35.03 -58.01 2.75 0.23 1.56 0.31 3.1 31.12 32.8 6.13 5.53 6.23 -0.02 -2.78 -0.41 0.35 3.97 5.94 4.52 0.02 -0.48 -9.78 -5.16 3.39 6.09 2.96 0 0.96 -11.59 -9 2.73 0.93 0.5 0.06 9.72 20.34 44.51 2.6 3.22 1.94 0.27 9.26 25.9 7>88.37 2.83 2.08 2.81 0.35 3.16 19.75 53.72 4.73 2.81 1.8 0.33 2.11 36.44 73.61 4.08 10.73 2.22 0.33 2.25 -8.07 -11.63 1.72 -0.1 1 0.35 18.16 5.71 0.92 -2.34 -2.62 0.91 0.5 9.01 5.5 -2.11 4.14 3.4 1.85 0.81 2.71 18.79 19.75 3.31 6.45 2.32 1.1 -1.8 31.71 38.75 2.12 0.06 0.7 1.2 5.79 24.02 7.8 -2.69 -3.93 0.36 1.49 5.87 18.37 3.03 3.52 1.16 1.63 1.66 0.88 -0.99 -6.49 3.41 3.64 3.23 1.82 0.62 52.62 60.58 5.39 7.19 2.68 0.86 -0.5 31.56 20.44 0.48 -1.29 -0.65 1.57 0.37 6.56 4.28 -6.81 5.59 -0.42 2.46 2.86 -10.78 -14.57 8.71 7.46 7.84 3.14 3.02 43.36 64.89 -2.22 -6.09 -1.29 1.54 1.76 11.96 16.4 -0.97 -2.26 -0.39 2.95 1.5 0.47 -3.29 9.07 13.78 11.76 2.66 1.48 26.89 32.09 4.82 0.97 1.85 2.13 0.67 -8.73 -11.9 7.95 6.89 5.56 2.73 1.22 22.8 23.57 2.19 1.21 1.64 3.12 1.65 16.48 23.52 4.77 3.51 4.04 3.54 1.19 12.45 41.75 -0.46 0.71 1.02 3.93 1.92 -10.06 -7.01 0.2 3.65 4.69 4.76 3.35 23.98 83.57 -4.95 -9.18 1.01 4.21 3.04 11.06 35.97 2.57 -0.26 4.54 5.21 4.72 -8.5 -25.05 -8.09 -5.07 -0.74 6.58 6.11 4.01 -17.43 18.37 12.11 16.86 6.52 5.49 14.31 16.5 11.01 13.23 8.72 4.39 3.36 18.98 4.43 7.26 5.69 5.16 3.84 3.41 -14.66 -30.9 1.14 -1.11 4.61 6.93 8.8 -26.47 -19.95 -3.06 4.35 5.69 8 12.2 37.2 52.82 14.64 9.2 7.83 5.8 7.01 23.84 57.38 18.65 16.75 12.87 5.08 4.81 -7.18 25.38 1.71 -0.69 1.41 5.12 6.77 6.56 23.46 -0.07 -1.18 3.49 7.18 9.03 18.44 0 -4.18 -1.23 4.09 10.38 13.31 32.42 39.88 -2.76 -3.95 3.91 11.24 12.4 -4.91 3.88 -1.24 186 9.45 14.71 8.94 21.41 28.01 42.56 40.36 29.1 10.54 3.87 22.51 39.67 6.26 0.65 7.41 8.8 3.8 6.27 -6.67 16.86 15.48 14.02 9.85 3.95 32.16 24.66 30.39 30.97 20.33 7.72 3.77 18.47 6.85 19.85 24.53 15.14 6.16 1.13 5.23 -9.3 -0.27 -2.71 2.9 5.47 4.41 16.81 22.87 10.7 9.67 6.1 6.35 4.42 31.49 10.18 16.23 18.11 13.29 8.37 4.65 -3.17 -21.56 6.78 6.18 9.73 7.81 6.11 30.55 44.63 19.89 19.3 15.46 5.6 3.06 7.67 23.35 9.39 8.05 7.19 3.51 2.9 9.99 20.98 13.19 18.24 11.24 2.9 2.75 1.31 3.11 -5.76 -7.77 -5.14 3.9 2.67 37.43 34.46 27.2 31.67 16.8 5.6 2.54 23.07 17.62 1.4 0.83 2.1 5.21 3.32 33.36 22.78 12.95 15.85 8.38 5.26 1.7 Large-Company Stocks Small-Company Stocks Long-Term Corporate Bonds Long-Term Government Bonds Intermediate Term Government Bonds U.S Treasury Bills Inflation year year-by-year Sheet1 year Large-Company Stocks Small-Company Stocks Long-Term Corporate Bonds Long-Term Government Bonds Intermediate Term Government Bonds U.S Treasury Bills Inflation 1926 11.62 0.28 7.37 7.77 5.38 3.27 -1.49 1927 37.49 22.10 7.44 8.93 4.52 3.12 -2.08 1928 43.61 39.69 2.84 0.10 0.92 3.56 -0.97 1929 -8.42 -51.36 3.27 3.42 6.01 4.75 0.20 1930 -24.90 -38.15 7.98 4.66 6.72 2.41 -6.03 1931 -43.34 -49.75 -1.85 -5.31 -2.32 14.07 -9.52 1932 -8.19 -5.39 10.82 16.84 8.81 0.96 -10.30 1933 53.99 142.87 10.38 -0.07 1.83 0.30 0.51 1934 -1.44 24.22 13.84 10.03 9.00 0.16 2.03 1935 47.67 40.19 9.61 4.98 7.01 0.17 2.99 1936 33.92 64.80 6.74 7.52 3.06 0.18 1.21 1937 -35.03 -58.01 2.75 0.23 1.56 0.31 3.10 1938 31.12 32.80 6.13 5.53 6.23 -0.02 -2.78 1939 -0.41 0.35 3.97 5.94 4.52 0.02 -0.48 1940 -9.78 -5.16 3.39 6.09 2.96 0.00 0.96 1941 -11.59 -9.00 2.73 0.93 0.50 0.06 9.72 1942 20.34 44.51 2.60 3.22 1.94 0.27 9.26 1943 25.90 88.37 2.83 2.08 2.81 0.35 3.16 1944 19.75 53.72 4.73 2.81 1.80 0.33 2.11 1945 36.44 73.61 4.08 10.73 2.22 0.33 2.25 1946 -8.07 -11.63 1.72 -0.10 1.00 0.35 18.16 1947 5.71 0.92 -2.34 -2.62 0.91 0.50 9.01 1948 5.50 -2.11 4.14 3.40 1.85 0.81 2.71 1949 18.79 19.75 3.31 6.45 2.32 1.10 -1.80 1950 31.71 38.75 2.12 0.06 0.70 1.20 5.79 1951 24.02 7.80 -2.69 -3.93 0.36 1.49 5.87 1952 18.37 3.03 3.52 1.16 1.63 1.66 0.88 1953 -0.99 -6.49 3.41 3.64 3.23 1.82 0.62 1954 52.62 60.58 5.39 7.19 2.68 0.86 -0.50 1955 31.56 20.44 0.48 -1.29 -0.65 1.57 0.37 1956 6.56 4.28 -6.81 5.59 -0.42 2.46 2.86 1957 -10.78 -14.57 8.71 7.46 7.84 3.14 3.02 1958 43.36 64.89 -2.22 -6.09 -1.29 1.54 1.76 1959 11.96 16.40 -0.97 -2.26 -0.39 2.95 1.50 1960 0.47 -3.29 9.07 13.78 11.76 2.66 1.48 1961 26.89 32.09 4.82 0.97 1.85 2.13 0.67 1962 -8.73 -11.90 7.95 6.89 5.56 2.73 1.22 1963 22.80 23.57 2.19 1.21 1.64 3.12 1.65 1964 16.48 23.52 4.77 3.51 4.04 3.54 1.19 1965 12.45 41.75 -0.46 0.71 1.02 3.93 1.92 1966 -10.06 -7.01 0.20 3.65 4.69 4.76 3.35 1967 23.98 83.57 -4.95 -9.18 1.01 4.21 3.04 1968 11.06 35.97 2.57 -0.26 4.54 5.21 4.72 1969 -8.50 -25.05 -8.09 -5.07 -0.74 6.58 6.11 1970 4.01 -17.43 18.37 12.11 16.86 6.52 5.49 1971 14.31 16.50 11.01 13.23 8.72 4.39 3.36 1972 18.98 4.43 7.26 5.69 5.16 3.84 3.41 1973 -14.66 -30.90 1.14 -1.11 4.61 6.93 8.80 1974 -26.47 -19.95 -3.06 4.35 5.69 8.00 12.20 1975 37.20 52.82 14.64 9.20 7.83 5.80 7.01 1976 23.84 57.38 18.65 16.75 12.87 5.08 4.81 1977 -7.18 25.38 1.71 -0.69 1.41 5.12 6.77 1978 6.56 23.46 -0.07 -1.18 3.49 7.18 9.03 1979 18.44 4..46 -4.18 -1.23 4.09 10.38 13.31 1980 32.42 39.88 -2.76 -3.95 3.91 11.24 12.40 1981 -4.91 3.88 -1.24 186.00 9.45 14.71 8.94 1982 21.41 28.01 42.56 40.36 29.10 10.54 3.87 1983 22.51 39.67 6.26 0.65 7.41 8.80 3.80 1984 6.27 -6.67 16.86 15.48 14.02 9.85 3.95 1985 32.16 24.66 30.39 30.97 20.33 7.72 3.77 1986 18.47 6.85 19.85 24.53 15.14 6.16 1.13 1987 5.23 -9.30 -0.27 -2.71 2.90 5.47 4.41 1988 16.81 22.87 10.70 9.67 6.10 6.35 4.42 1989 31.49 10.18 16.23 18.11 13.29 8.37 4.65 1990 -3.17 -21.56 6.78 6.18 9.73 7.81 6.11 1991 30.55 44.63 19.89 19.30 15.46 5.60 3.06 1992 7.67 23.35 9.39 8.05 7.19 3.51 2.90 1993 9.99 20.98 13.19 18.24 11.24 2.90 2.75 1994 1.31 3.11 -5.76 -7.77 -5.14 3.90 2.67 1995 37.43 34.46 27.20 31.67 16.80 5.60 2.54 1996 23.07 17.62 1.40 0.83 2.10 5.21 3.32 1997 33.36 22.78 12.95 15.85 8.38 5.26 1.70 Sheet2 Sheet3