统计学概论 第四章 抽样分布与参数估计

统计学概论 第四章 抽样分布与参数估计 引例 调查公司的调查结果是否可信 厂商在投放广告之前，总希望了解媒体投放的效果如何。特别是对于电视广告的投放，由于投放电视广告的费用大，所在地居民的看电视习惯就成了厂商特别关注的重点了。鉴于此，某地区一家电视台委托调查公司估计地区内居民平均每日收看该台电视节目的时间。调查公司随机抽取了100名居民进行调查，样本数据显示平均每人每天看该台电视节目的时间是2个小时。调查公司这一调查结果可信吗?能不能根据这个调查的结果估计出该地区内居民每天看电视的平均时间的大概范围?为了进行这样的估计,应该具备哪些前提条件?通过本章的学习,读者能够进一步了解,掌握解决这一问题的基本方法。 概率基础 第四章 抽样分布与参数估计 抽样分布 总体参数估计 EXCEL在概率计算与参数估计中的运用 第一节 概率基础 随机事件与概率 大数定理与中心极限定理 随机变量及其分布 一、随机事件与概率 (一)随机试验与事件 随机现象在自然界和社会经济生活中都普遍存在，如产品抽样检验，抽到的产品可能是正品也可能是次品;投一枚硬币可能出现正面也可能出现反面;手机通话，可能一次拨通，也可能要二次、三次„„才能拨通。随机现象的特点是:在基本条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。虽然随机现象的结果不能预见，但这并不意味我们在随机现象面前无能为力。我们仍然可以通过随机试验，以及其他相关知识来认识随机现象的规律。 随机试验，简称试验，它必须满足以下的性质: (1)每次试验的可能结果不是唯一的; (2)每次试验之前不能确定何种结果会出现; (3)试验可在相同条件下重复进行。 在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,„，n)。集合Ω={ω1,ω2,„，ωn}，称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。 【例4-1】投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”的结果就不是简单事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，„来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示随机事件，设A表示“出现点数是奇数”，则A={1，3，5};设B 表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}。 与随机现象相对应的是确定性现象，所谓确定性现象，是指在一定的条件下，其结果能够明确预见的现象。例如，在通常气压条件下，水在摄氏零度时一定会结冰，这是一个必然的结果。为了方便与统一，我们把确定性现象的结果也看做一种特殊的随机事件:必然事件用样本空间Ω表示;不可能出现的试验结果称为不可能事件，用空集Ф表示。 我们把“A发生或B发生”事件记为A?B;把“A与B同时发生”事件记为A?B，或AB。例4-1中:A?B=Ω，是必然事件;AB=Ф，是不可能事件。如果AB=Ф，称A与B不相容。 (二)概率 1.概率的定义。 概率又称机率，是对随机事件发生可能性的度量。如何理解概率,最直观的方式就是进行重复试验，通过试验的频率来发现概率。 例如，不断重复地投掷一枚均匀硬币，出现正面的频率会稳定在1/2附近。历史上，曾有人为此作过试验，结果如表4-1所示。 表4-1 频率试验结果 上述试验表明，试验次数越多，出现正面朝上的频率越接近0.5。这是因为 均匀的硬币掷出正面、反面的可能性都是一样大的。 实验者 投掷硬币的 次数(n) 正面朝上的 次数(m) 频率=m/n Demorgan 2 048 1 061 0.518 Buffon 4 040 2 048 0.506 9 Pearson(1) 12 000 6 019 0.501 6 Pearson(2) 24 000 12 012 0.500 5 下面给出概率的频率定义，也称概率的统计定义: 进行n次重复试验，随机事件A发生的次数是m次，发生的频率是m/n，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率的摆动幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为: P(A)=p (4.1) 由于频率取值在0,1之间，因此:0?p?1。 如果随机试验的样本空间是有限集合，所有样本点出现的可能性相同，则事件A的概率可根据以下公式计算: (4.2) 这样的概率计算模型，称为古典概型。 【例4-2】设一个袋子中装有白球2个，黑球3个，从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大, 解: 由于摸出的任何1只球都形成一个基本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即A={白球，白球}，m=2。因此，刚好摸出白球的概率为: P(A)=m/n=2/5=0.4 2.概率的基本性质。 概率最基本的两个性质是:性质1:P(A)?0;性质2:P(Ω)=1。性质1称为概率的非负性，性质2称为概率的规范性。除此外，概率的性质还有可加性，即性质3:若事件A与事件B互不相容，则: P(A?B)=P(A)+P(B) (4.3) 推论1 不可能事件的概率为0，即: P(Ф)=0。 表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生，但又不能同时发生，则有如下推论: 推论2 P( )=1-P(A) (4.4) 这个推论非常有意义，其提供的思想是:当直接对事件A求概率有困难时，可以考虑去求其对立事件的概率。 【例4-3】袋中装有4只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出1只球，并换入1只黑球。连续进行，问第三次摸到黑球的概率是多少, 解: 记A为“第三次摸到黑球”，则 为“第三次摸到白球”。先计算P( )。 由于袋中只有1只白球，如果某一次摸到了白球，换入了黑球，则袋中只有黑球了。所以 相当于第一、第二次都是摸到黑球，第三次摸到白球。注意这是一种有放回的摸球，样本点总数为53， 包含的样本点个数是42?1。 故:P( )= ， 所以 如果直接计算P(A)则要困难多了。 3.事件的独立性。 如果事件B发生与否对事件A发生的概率没有影响，则可以说，事件A与事件B两者的出现存在某种“独立性”。数学上的严格定义是: 定义 对事件A与B，若P(AB)=P(B)P(A)，则称它们是统计独立的，简称相互独立。 独立性在统计学中是非常重要的概念，我们在许多地方要用到它。 二、随机变量及其分布 为了便于应用数学方法来分析随机现象，有必要对随机试验的结果进行量化处理，因此要引进随机变量的概念。所谓随机变量就是其取值带有随机性的变量。在给定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。例如，投一枚骰子，可能出现的点数是:{1，2，3，4，5，6}。其试验结果可用点数这个随机变量X进行描述。 如果随机变量所有可能的取值是有限的，或可排成一列的，这种随机变量称为离散型随机变量，如投骰子试验中出现的点数，就是一个离散型随机变量;另一种情况是随机变量的取值范围是一个区间或整个数轴，这种随机变量称为连续型随机变量。 (一)离散型随机变量的概率分布 设离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，„ xn,„。相应的概率为p(x1)，p(x2),„,p(xn),„。用表格统一表示: 表4-2 这称为离散型随机变量X的概率分布。也可简单记为: P(X= xi)=p(xi) (i=1,2, „) X x1 x2 „ xn „ P p(x1) p(x2) „ p(xn) „ 概率分布有以下性质: (1)0?p(xi)?1 (i=1,2, „); (2) 。 离散型随机变量X的期望值为: (4.5) 随机变量的期望值也称为平均值，是随机变量分布的集中趋势，即分布的中心位置。容易验证期望值满足性质: ， 其中X1，X2都是随机变量，α，β是任意常数。并且这个性质可推广到多个随机变量情形。 方差为: (4.6) 方差的平方根，称为标准差。方差σ,或标准差σ反映随机变量X对其期望值的离散程度，σ,或σ越小，说明期望值的代表性越好;σ,或σ越大，说明期望值的代表性越差。也容易验证:对于任意的α，σ,(αX)=α2σ,(X)成立。 在一些问题中，我们只对试验中某事件A是否出现感兴趣，如果A发生，我们称“成功”，否则称“失败”。像这样只有两种结果的试验称为贝努里试验。设A出现的概率为p，我们重复进行n次贝努里试验，称为n重贝努里试验，有时也简称贝努里试验。 以Bk表示n重贝努里试验中事件A正好出现k次这一事件， (k=0,1,2,„，n) (4.7) 显然，n重贝努里试验中事件A出现的次数k是个随机变量，其取值范围是从0到n。它的分布如表4-3。 表4-3 二项分布表 由于(4.7)是二项展开式的通项，故该分布称为二项分布。 k 0 1 2 „ n p(Bk) „ (二)连续型随机变量的概率分布 对于连续型随机变量X，它的取值不能一一列出，因此其概率分布形式不能同离散型随机变量一样，通过表格方式全部表现出来。但是，对任意的实数x，由随机变量的定义知，X<x是一随机事件，可以对它求概率，记G(x)=P(X<x)，该函数就是随机变量的分布函数。分布函数的导数称为密度函数，记作p(x)。通过对密度函数积分，可得到随机变量X在点x附近或在一个 。 区间上取值的概率。注意，连续型随机变量取一个固定的点的概率为0 连续型随机变量的密度函数有以下的性质: (1)p(x)?0 (2) (3) 其中P(a<X<b)表示事件a<X<b，即随机变量X的取值落在区间(a,b)内的概率。连续型随机变量在(a,b)区间上定积分的几何意义就是由x轴、被积函数p(x)、直线x=a和x=b所围成的面积。如图 4-1所示。 a b P(a?x<b) 图4-1 概率的几何意义 连续型随机变量X的期望值为: (4.8) 方差为: (4.9) 可以验证，对连续型随机变量 和 =α2σ,(X)也都成立。 正态分布是最重要的一种连续型随机变量分布，原因有三:第一，它是最常见的一种分布，许多随机变量服从或近似服从正态分布。如同龄人的身高、体重，农作物的产量，学生考试的成绩等等;第二，许多有用的分布可以由正态分布推导出来，如卡方分布、t分布和F分布都可由正态分布导出;第三，正态分布在一定条件下，还是一些其他分布的近似分布，如大样本下的t分布与正态分布近似。 如果连续型随机变量X的密度函数为 (4.10) 则称随机变量X服从均值为μ，方差为σ2的正态分布，记为X N(μ，σ2)。正态分布的密度函数图形一般称为正态曲线，它是一条以均值为中心的对称钟型曲线，如图4-2所示。 ?? = 0.5 ?? = 1 ?? = 2 ?? 图4-2 正态曲线 从图4-2可看到:μ是该分布的中心，σ是标准差，反映分布的离散程度，σ越大，分布曲线越平缓，离散程度越大;σ越小，分布曲线越陡峭，说明分布越集中。 如果一个正态分布的μ=0，σ=1，则称该正态分布为标准正态分布，相应的随机变量称为标准正态随机变量，用Z表示，即Z N(0，1)，相应的分布密度函数为: (4.11) 标准正态随机变量在区间[-z,z]取值的概率F(z)，可通过查标准正态分布概率表获得。 【例4-4】设随机变量Z服从标准正态分布。求以下概率大小。 (1)P(-1<Z<1);(2)P(0<Z<1.25); (3)P(1<Z<1.25); (4)P(Z>1)。 解: (1)概率P(-1<Z<1)是由标准正态分布的密度函数，在区间(-1，1)上的曲边梯形的面积(参见图4-1)，该概率(或该面积)可直接按临界值Z=1查表得到: P(-1<Z<1)=F(1)=0.682 7。 (2)由标准正态分布关于Z=0的对称性可知， 1.25<Z<1.25)=1/2×F(1.25) = P(0<Z<1.25)=1/2×P(- 1/2×0.788 7=0.394 4 (3)由对称性与面积的分割关系可知: P(1<Z<1.25)=1/2×[P(-1.25<Z<1.25)-P(-1<Z<1)] =1/2×(0.788 7-0.682 7)=0.053 (4)由于标准正态分布密度函数曲线下的面积为1，所以: P(Z>1)=1/2×[1-P(-1<Z<1)]=1/2×[1-0.682 7]=0.158 65 可以验证，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随机 变量Z= 服从标准正态分布，即Z N(0，1)。 Z= 是一个非常重要的变换，称为标准化变 换。我们可以利用这个变换来计算非标准正态分布的概率，计算出随机变量取值落于任何区间的概率。 【例4-5】假定学生某门学科的考试成绩服从均值为75分、标准差为12分的正态分布。那么某一学生的成绩在75分到90分之间的概率应为多少, 解: 设X表示学生的成绩，要计算的概率是P(75<X<90)。首先对X进行标准化:Z= 将计算X的概率转化为计算Z的概率: P(75<X<90)= 0.394 4 【例4-6】设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，试分别求X落在以μ为中心，以σ、1.96σ、2σ和3σ为半径的区间内的概率。 解: 作变换Z= ，则Z服从标准正态分布。所求概率分别为: 从计算结果可知:随机变量X落在以μ为中心，以3σ为半径的区间外的概率只有1-99.73%=0.27%，是一个非常小的概率。一般可以认为X不大可能落到以μ为中心，以3σ为半径的区间之外，这就是所谓的“3σ原则”。 除正态分布外，常用的连续型随机变量的分布还有卡方分布(或称 -分布)、t-分布、F-分布。 (1) -分布。设 是相互独立，且服从标准正态分布的随机变量，则称随机变量: 所服从的分布为自由度为n的 -分布。 (2)t-分布。t-分布也称为学生氏分布。设X服从标准正态分布，Y服从自由度为n的卡方分布，且它们相互独立，则随机变量: 所服从的分布是自由度为n的t-分布。 t-分布的分布曲线与正态分布曲线相似，数学上可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，当自由度n充分大时，t-分布与标准正态分布很近似。一般当n大于或等于30时，t-分布与标准正态分布的差别已非常小，可用标准正态分布代替它。 (3)F-分布。设X和Y是相互独立的 -分布，自由度分别是m和n，则称随机变量: 所服从的分布为F-分布，(m，n)称为它的自由度。 三、大数定理与中心极限定理 一)大数定理 ( 大数定理又称作大数法则。人们在观察个别事物时，是连同一切个别的特性来观察的。个别现象受偶然因素影响，有各自不同的表现。但是，对总体的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的影响相互抵消，消除由个别偶然因素引起的极端性影响，从而使总体平均数稳定下来，反映出事物变化的一般规律，这就是大数定理的意义。 大数定理:独立同分布的随机变量X1，X2，„，Xn，„，设它们的平均数为 ，方差为 。则对任意的正数ε，有: (4.12) 该定理说明，当n充分大时，独立同分布的一系列随机变量，其平均数与它们共同的期望值之间的偏差，可以有很大的把握被控制在任意给定的范围之内。由于从总体中抽出的样本是独立且与总体同分布的，因此，当样本容量n 充分大时，样本平均与总体平均之间的误差可以有很大的把握被控制在任意给定的要求之内，这就是人们用样本平均估计总体平均的理论根据。 由于成数指标是一个特殊的平均数，大数定理对成数指标自然也成立:设m是n次试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意小的正数ε，有 (4.13) 即当n充分大时，事件A发生的频率接近(依概率收敛于)事件A发生的概率，反映了频率在大量重复试验过程中的稳定性。该定理称为贝努里大数定理，它提供了用频率代替概率的理论根据。 (二)中心极限定理 1.正态分布的再生定理。相互独立的两个正态随机变量相加之和仍服从正态分布，这就是正态分布的再生性。因此，从服从正态分布的总体中抽出一个容量是n 的样本，则样本平均数 也服从正态分布。如果总体的平均是 ，方差是??2，则样本平均数 所服从的正态分布的中心仍是 ，方差是??2/n。 中心极限定理。正态分布的再生定理的前提条件是总体服从正态分布。在2. 客观实际中，总体服从正态分布的条件不会总是成立的。在非正态总体的场合，样本平均数服从什么分布，我们只有了解了中心极限定理后，这个问题才能明确。 中心极限定理:随机变量X1，X2„Xn，„相互独立，且服从同一分布，该分布存在有限的期望和方差: ， ，(i=1,2,„)。则当n趋于无穷大时，算术平均数 ，近似服从正态分布，即: 。 从上述定理可以得出结论:无论总体服从何种分布，只要它的期望值与方差存在，我们就可以通过增大样本容量n的方式，保证样本平均数近似服从正态分布。也就是说，大样本的平均数近似服从正态分布。 对于成数来讲，我们设总体成数是??，样本成数是P，则当样本容量充分大时，P近似服N(??, )。 第二节 抽样分布 抽样的基本概念 抽样分布 一、抽样的基本概念 抽样推断涉及的基本概念有:总体与样本、样本容量与样本个数、总体参数与样本统计量、重复抽样与不重复抽样。关于总体与样本的概念，我们已在第一章作了介绍，这里不再重复，只介绍样本容量与样本个数、总体参数与样本统计量、重复抽样与不重复抽样三对概念。 (一)样本容量与样本个数 1.样本容量。样本是从总体中抽出的部分单位的集合，这个集合的大小称为样本容量，一般用n表示，它表明一个样本中所包含的单位数。样本容量大，样本误差会小，但调查费用必增加，反之，样本容量过小，又将导致抽样误差增大，甚至失去抽样推断的价值。因此，在抽样设计中应根据调查目的认真考虑合适的样本容量。一般地，样本单位数大于30个的样本称为大样本，不超过30个的样本称为小样本。 2.样本个数。样本个数又称样本可能数目，它是指从一个总体中可能抽取多少个样本。样本个数的多少与抽样方法有关。关于样本个数的计算我们将在“重复抽样与不重复抽样”中介绍。 (二)总体参数与样本统计量 1.总体参数。总体的数量特征就是总体的参数，它是抽样统计推断的对象。常见的总体参数有:总体的均值、成数(比率)、方差、标准差等。它们都是反映总体分布特征的重要指标。均值反映总体的集中趋势，方差或标准差反映总体的 离中趋势。总体成数是指总体中具有某性质的单位数目在总体中所占的比重，它反映了总体的结构特征。这些指标的计算前面第三章已有介绍，这里不再重复。 2.样本统计量。抽样的目的是为了估计或推断总体的各种性质，那么估计量就应该是样本的函数而且这个函数本身不能含有总体的未知参数。设从总体中抽出的样本为X1，X2，„，Xn，那么不含总体未知参数的函数h(X1，X2，„，Xn)称为(样本)统计量。 由于样本是从总体中随机地抽出来的，而统计量是样本的一个函数，因此，统计量是随机变量。我们利用统计量来估计和推断总体的有关参数。与总体参数相对应，常见的统计量有: (4.14) (4.15) (4.16) 以上式中，是 样本平均数，P是样本成数， 是样本方差， 则是样本标准差。n是样本容量， 是样本中具有某种特征的单位数目，f是在分组样本资料下的权数。 应当指出，尽管样本统计量的计算公式与总体参数的计算公式形式上十分类似，但两者有重要区别:总体参数是常数，通常用希腊字母表示。计算总体参数公式中所用到的总体各单位的标志值是确定的具体数值用小写字母x表示。样本统计量是随机变量，计算样本统计量公式中所用的样本单位标志值在未具体观察前是不确定的随机变量，用大写字母X表示;计算总体参数公式中所使用的单位数包括总体的所有单位，通常用大写字母N表示，计算样本统计量所使用的单位数只是样本所包含的单位数，即单位容量，用小写字母n表示;计算总体参数公式中所使用的权数是整个总体分组资料下的权数，计算样本统计量所使用的权数是样本分组资料下的权数。 (三)重复抽样与不重复抽样 简单抽样的抽样方法有重复抽样与不重复抽样。 1.重复抽样。重复抽样(或重置抽样)是指从总体中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。重复抽样的特点是:第一，n个单位的样本是由n次试验的结果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复试验中，样本可能的个数是，N为总体单位数，n为样本容量。 2.不重复抽样。不重复抽样亦称为不重置抽样，即每次从总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取 样本。其特点是:第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成，但由于每次抽出不重复，所以实质上相当于从总体中同时抽取n个样本单位。第二，每次试验 )结果不是独立的，上次中选情况影响下次抽选结果。第三，每个单位在多次(轮试验中中选的机会是不等的。不重复抽样，如果是考虑顺序，其样本可能个数为 ;如果不考虑顺 序，其样本可能个数为 。 二、抽样分布 我们知道，统计量是样本的函数，并且从总体中可以随机地抽取许多样本，所以对每一个样本，我们都可以计算出一个样本统计量的观测值。所有可能的样本观测值及其所对应的概率便是所谓的抽样分布，换句话说，抽样分布就是样本统计量的概率分布。比如样本平均数的分布、样本成数的分布等都称为抽样分布。抽样分布可能是精确地服从某种已知分布(所谓已知分布，例如我们在第一节介绍过的常见分布)，也可能是以某种已知分布为极限分布。在实际应用中，后者更为多见。抽样分布是统计推断的理论依据，具有重要的作用。只有了解和掌握了统计量的分布，才有可能进行参数估计和假设检验。 (一)样本平均数的抽样分布 1(样本平均数抽样分布的数值特征。从抽样推断的角度看，我们主要关心分布的数学期望和方差。这两个特征一方面与总体分布的均值和方差有关，另一方面也与抽样的方法是重复抽样还是不重复抽样有关。 设总体单位数为N，其均值为 ，方差为 ，从总体中抽出的样本为X1，X2，„，Xn，样本平均数的数学期望记为 ，样本平均数的方差记为 (或记为 )。 (1)重复抽样时的分布特征。由于样本中的每个Xi，(i=1,2,„,n)都是从总体中随机抽出的，都是与总体同分布的随机变量，并且是相互独立的，则样本平均数的期望值与方差分别是: (4.17) 从以上的式子我们知道，样本平均数分布的中心与总体的分布中心完全相同，方差是总体分布方差的1/n。因此，样本平均数分布的集中趋势优于总体分布自身的集中趋势。由于样本平均数能“集中”分布于总体平均数附近，所以我们可以考虑用样本平均数来估计总体的平均数。当然，用样本统计量去估计总体参数难免有误差，样本变量的离散程度越大，产生误差的可能性也越大。我们用抽样平均数的标准差来反映抽样平均数与总体平均数的平均误差程度，称其抽样平均误差，通常记为 ，即: (4.18) 由上式可以看出:抽样平均误差是总体标准差的 ，通常比总体标准差小得多。 【例4-7】某班组有5个工人，他们的单位工时工资分别是4、6、8、10、12元，现用重复抽样方式从5个工人中抽出2人，计算样本的平均工时工资的抽样平均误差。 解:总体分布的平均数与方差分别是: 抽样平均误差 (2)不重复抽样时的分布特征。数学上可以证明，在不重复抽样条件下，样本平均数的期望同样等于总体的均值;而样本平均数的方差则需要用 去修正重复抽样时的样平均数的方差，即: (4.19) 现在以例4-7资料为例，验证上述结果。在不重复抽样条件下，所有样本平均数如表4-4所示。从表4-4中可整理出样本平均数的分布如表4-5所示。 表4-4 样本工时平均工资 样本变量 4 6 8 10 12 4 - 5 6 7 8 6 5 - 7 8 9 8 6 7 - 9 10 10 7 8 9 - 11 12 8 9 10 11 - 表4-5 样本工时平均工资分布 样本工时平均工资 (元) 频数 频率 5 2 2/20 6 2 2/20 7 4 4/20 8 4 4/20 9 4 4/20 10 2 2/20 11 2 2/20 合 计 20 1 根据表4-5的分布数据，可计算样本平均工资与其标准差: 与重复抽样比，不重复抽样的抽样平均误差多了一 个系数 (实际计算时也可以用近似 )， 这个系数称为不重复抽样的修正系数。由于该系数在0，1之间，因此， 不重复抽样平均误差比重复抽样小，当然我们也可以很直观地看出这一点，因为 不重复抽样排除了“每次抽出的都是极端值”的可能，这显然对降低抽样误差有 利。对于无限总体进行不重复抽样时，可以按重复抽样来处理;对于有限总体， 当N很大，而n/N很小时，修正系数近似为1，修正与否对平均误差几乎没有影响，这时可以不考虑抽样方式差异，都按重复抽样处理。 (样本平均数抽样分布的形式。当总体服从正态分布时，根据正态分布再2 生定理，样本平均数服从正态分布。当总体不服从正态分布时，根据中心极限定理，当n充分大时(通常要求n?30)，样本平均数近似服从正态分布。即: 其中 ，也即 ，根据抽样方式的不同，分别由公式(4.17)或(4.19)给出。 (二)样本成数的抽样分布 1(样本成数抽样分布的数值特征。总体成数??是指具有某种特征的单位在总体中的比重。在前面我们已经知道，成数是一个特殊平均数，设总体单位总数是N，总体中有该特征的单位数是 。设X是0、1变量，即:总体单位有该特征，则X取1，否则取0，且设X的均值记为 ，方差记为 ，于是有: 现从总体中抽出n个单位，如果其中有相应特征的单位数是 ，则样本成数是: (4.20) P也是一个随机变量，利用样本平均数分布性质的结论，在重复抽样时，有: (4.21) 样本成数的抽样平均误差为 。 在实际工作中，总体成数 常常是未知的，只要样本充分大，计算样本成数的期望值与方差时，可以用样本成数的观测值来代替。 在不重复抽样时，有: (4.22) 与样本平均数的分布一样，对于无限总体进行不重复抽样时，可以按重复抽 ，修正与样来处理;对于有限总体，当N很大，而n/N很小时，修正系数近似1否对平均误差几乎没有影响，这时可以不考虑抽样方式差异，都按重复抽样处理。 2(样本成数抽样分布的形式。我们知道，当从总体中抽出一个容量为n的样本时，样本中具有某种特征的单位数服从二项分布，因而样本成数P也服从二项分布。(所以我们也可以用二项分布的相关结果得到样本成数的期望和方差。)根据中心极限定理，当样本容量充分大时，二项分布趋于正态分布。所以在大样本下，样本成数近似服从正态分布。即: 其中 ,也即 ，根据抽样方式的不同，分别由公式(4.21)或(4.22)给出。这里大样本的条件是:n 和n(1– )都要大于等于5，由于总 体参数通常并不知道，所以可以用样本成数来近似判断。 【例4-8】已知一批产品的合格率为90%，现采用重复抽样方式从中取出400件，求样本合格率的抽样平均误差。 解: 由于样本容量大，样本成数的平均误差就大大减小。 第三节 总体参数估计 总体参数估计概述 样本容量的确定 点估计 区间估计 一、总体参数估计概述 总体参数估计就是以样本统计量来推算总体参数。参数估计应满足以下两个要求:一是估计的精度要求，二是可靠性要求。所谓精度就是估计误差的最大范围，即误差的最大值，可通过极限误差来反映;所谓可靠性是指估计结果正确的概率大小。 设待估计的总体参数是 ，用以估计该参数的统计量是 ，抽样估计的极限误差是Δ，即 。 极限误差是根据研究对象的变异程度和分析任务的性质来确定的允许误差范围。显然，Δ越小，估计的精度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。 极限误差的确定要以实际需要为基本标准。比如，对航天元器件的估计误差，就要求控制在极小的范围内;而对一些小商品如纽扣的合格率估计，其估计误差就可以控制在较大的范围里，因为这种误差，对消费者、对厂商的负面影响都有限。 可靠性是抽样估计本身正确性的一个置信度，通常称为估计的置信度。我们知道，对于连续型随机变量，它在一个点上取值的概率为零，因此，对服从连续型分布的抽样统计量，直接用它去估计总体参数值很难说是可靠的。用统计量估计总体参数值，称为点估计。点估计完全正确的概率通常为0。因此，我们更多的是考虑用样本统计量去估计总体参数的范围，这就是区间估计。例如，通过抽样估计某班学生某课程平均成绩的范围，这时我们要考虑这个估计正确的概率大小问题。一种极端估计是:平均成绩在0与100分之间。显然这个范围的估计，正确的概率很大，100%的正确，但这个估计无精度可言。如提高精度，估计平均成绩在70分到80分之间，这时估计正确的把握性肯定低于1。可见估计中精度要求与可靠性要求是一对矛盾。 二、点估计 (一)点估计的定义 点估计就是根据总体参数与样本统计量之间的内在联系，直接以样本统计量作为相应总体参数的估计量，点估计又称为定值估计。在统计中经常使用的点估计量有: (4.23) 上式中 、 、 分别表示总体平均数、总体成数与总体方差的估计量。 【例4-9】对某企业的产品进行抽样检验，设抽出100件产品，其中不合格产品5件，试估计该企业产品的合格率是多少, 我们可以通过样本的合格率来估计企业产品的合格率。样本合格率P=95/100=95%，我们估计该企业产品的合格率是95%。 (二)估计的评价标准 点估计的优点是，直接给出了总体参数的估计值。不足之处是不能提供估计误差的信息。样本统计量是一个随机变量，从一次抽样的结果来判断一个统计量的优劣是不确切的，必须通过多次试验或从抽样分布的特点出发，才能判断这个估计量是否理想的估计量。 点估计优良性包括三条标准:无偏性、有效性和一致性。 1.无偏性。用 表示总体的待估计参数， 是估计 的样本统计量，我们说 是 的无偏估计，指的是 满足: (4.24) 无偏性要求用来估计总体参数的样本统计量，其分布是以总体参数真值为中心的，在一次具体的抽样估计中，估计量或者大于总体参数，或者小于总体参数;但是，在进行重复抽样估计的过程中，所有估计量的平均数应该等于待估的总体 参数。这说明，无偏估计要求估计量没有系统偏差。 由于，所以样本平均是总体平均的一个无偏估计。有了无偏性标准，我们可以解释为什么对总体方差进行估计时，样本方差公式所除的不是样本容量n，而是n-1。证明: 这说明 是总体方差的无偏估计。当样本容量很大时，1/ n与1/(n-1)相差不大，样本方差的公式，可以直接除以n，与总体方差计算公式保持一致。 2.有效性。 和 都是总体参数 的无偏估计量，如果 ，则说明估计量 比 更有效。设总体的方差是 ，我们有: ， 。 显然，样本平均数的方差比样本中某个单位的标志值的方差要小，只是其方差的1/n，所以作为估计量，样本平均数更加有效。 3.一致性。一致性是指随着样本容量不断增大，样本统计量接近总体参数的可能性就越来越大，或者，对于任意给定的偏差控制水平，两者间偏差高于此控制水平的可能性越来越小，接近于0。用公式表示就是: (4.25) 公式中，ε为一任意小的数。上式说明，当n充分大时， 与 之间的偏差，可以有很大的把握被控制在任意给定的范围之内。当n趋于无穷大时，估 计量 依概率收敛于 。 由大数定理我们知道，抽样平均数是总体平均数的一致估计。因此，样本平均是总体平均的一个无偏、有效且满足一致性要求的估计量;因为成数是一个特殊的平均数，该结论对成数估计也成立。 三、区间估计 (一)区间估计的含义 点估计给出了总体参数的具体估计值，但这个估计值误差有多大,可靠性如何,这些问题点估计都不能回答。区间估计则弥补了点估计这方面的不足。 所谓区间估计，就是估计总体参数的区间范围，并要求给出区间估计成立的概率值。设 和 都是两个统计量( < )， 分别作为总体参数 区间估计的下限与上限，则要求: P( )=1-α (4.26) 式中α(0<α<1)是区间估计的显著性水平，其取值大小由实际问题确定，经常取1%、5%和10%;1-α称为置信度或置信水平。 总体参数的估计区间也称为置信区间，其中区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。区间估计的特点是:给出总体参数的一个置信区间，总体参数恰好在这个区间内的概率不要求达到1，可放低要求，减去一个小概率的显著性水平，达到1-α就行了。 由于??作为总体参数，是固定不变的常数，它或者在给出的区间内或者在给出的区间外，(4.26)式的概率是0或1，不可能是1–??。怎么来理解这个概率 呢,我们给出置信水平1–??的一个频率解释。在大量重复使用??的置信区间( ， )时，每次得到的样本观测值是不同的，从而每次得到的区间估计值也是不一样的。对一次具体的观测值而言，??可能在( ， )内，也可能不在。但平均而言，在这大量的区间估计观测值中，至少有100(1-??)%的区间包含??。 (二)平均数的区间估计 对平均数的区间估计，分以下三种情况。 1.正态总体、总体方差 已知。根据第二节的论述，我们知道如果总体服从正态分布，则样本平均数 ;如果总体正态性不成立，但是样本容量n充分大时，近似地有 。 为了进行区间估计，首先 把标准化，得到服从标准正态分布的Z统计量，即 (4.27) Z统计量分布密度函数见图4-3。 图4-3 标准正态分布的双侧临界值 ??/2 -z??/2 z??/2 ??/2 1–?? Z 接着我们在图4-3的两个尾部各取面积??/2，临界值分别为- 和 ，那么显然有: (4.28) 将式(4.27)代入上式得到: (4.29) 对上式括号内做不等式的等价变换后得到: (4.30) 于是置信区间的上下限是: (4.31) 从(4.30)式可以看出，极限误差是: (4.32) 将抽样平均误差的计算公式代入式(4.31)，可以得到，总体均值的置信度为1-α的置信区间上下限公式: 重复抽样时 (4.33) 不重复抽样时 (4.34) 通常，我们先给出置信度的具体数值，根据这个数值查标准正态分布表求得 值，然后计算出置信区间。反过来，如果先给出极限误差Δ，即等价于给出置信 区间 ，那么这个区间估计的置信度是多少 呢, 从上式可以看出，Z服从标准正态分布，通过临界值 ， 去查标准正态分布表，可得出上式的概率大 小，即为置信度1-α。 临界值 与置信度1-α，两者间是密切相关的，通过查标准正态表，可互相确定。如果置信度提高，区间估计的概率增大，α就要相应地减小，临界 值 增大;反之，区间估计的概率减小，临界值也减小。因此，也称临 界值 为概率度，简记为z，用来间接衡量区间估计的概率大小。关于极 限误差、抽样平均误差、概率度三者间的关系，有如下结果: 或 (4.35) 以上关系式不仅在对平均数进行区间估计时有效，在对成数指标估计时也适用。 【例4-10】在某天生产的500袋食品中，按不重复抽样方法随机抽取25袋进行检查，测得平均每袋的重量为996克。已知该种袋装食品的重量服从正态分布，且标准差为20克。试以95%的置信度估计该种食品平均重量的置信区间。如果要求估计的误差不超过10克，这时置信度是多少, 解:(1)已知 =996克，n=25，σ=20克， 1-α=95%，α=5%。这时查标准正态分布表，可得临界值: 由于总体服从正态分布，不重复抽样，置信区间上下限是: 因此，该种食品平均重量置信度为95%的置信区间为998.35克~1003.65克。 (2)要求极限误差等于10克，即Δ=10克。这时概率度: 查概率表知这时的置信度是几乎达到99%。 2.正态总体、总体方差 未知。当总体服从正态分布但方差未知时，可用样本方差S2代替总体方差，可以证明样本均值经过标准化以后得到的随机变量服从自由度为n-1的t-分布，即 (4.36) t-分布是类似正态分布的对称分布，这时采用t-分布建立的总体均值置信区间为: 重复抽样时 (4.37) 不重复抽样时 (4.38) 以上区间估计公式中，临界值 要查t-分布表(自由度为n-1)得到。需要注意的是，在大样本场合，t-分布与标准正态分布非常接近，可直接从标准正态分布表中查临界值z??/2来代替 。 【例4-11】麦当劳餐馆在7星期内抽查49位顾客的消费额(元)如下，求置信度为90%的顾客平均消费额的估计区间。 15 24 38 26 30 42 18 30 25 26 34 44 20 35 24 26 34 48 18 28 46 19 30 36 42 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 解: 第一步:通过Excel进行统计计算(具体计算过程参见本章第四节)可得到: ，S = 9.45，点估计:麦当劳餐馆顾客平均消费额为32元。 第二步:根据给定的置信度F(z)=90%，查概率表得z=1.64。 第三步:计算 =1.64×1.35=2.2元。据此估计， 平均消费额下限= =32–2.2=29.8元, 平均消费额上限= =32+2.2=34.2元。 因此，置信度为90%的麦当劳餐馆顾客平均消费额的置信区间为29.8~34.2元。 3(非正态总体。根据中心极限定理，此时只能考虑大样本情况。当总体方差已知时，用(4.33)或(4.34)式来得到置信区间，当总体方差未知时，用样本方差代替总体方差，再用(4.37)或(4.38)式来得到置信区间。 下面我们将总体均值的区间估计做一个 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ，如表4-6所示。 表4-6 不同情况总体均值的区间估计 表中只考虑了重复抽样的情况，不重复抽样时加上修正系数即可。 总体分布 样本容量 ??已知 ??未知 正态分布 大样本(n?30) 或 小样本(n<30) 非正态分布 大样本(n?30) (三)总体成数的区间估计 这里只讨论大样本情况下的估计问题。成数指标是一个特殊的平均数，类似 于总体平均数的区间估计，总体成数的区间估计是: 重复抽样时 (4.39) 不重复抽样时 (4.40) 在实践中，由于总体成数??常常未知，这时可以用样本成数P来代替。 【例4-12】某工厂要估计一批总数5 000件的产品的废品率，于是随机抽出400件产品进行检测，发现有32件废品。试给出该批产品的废品率的区间估计(置信度是90%)。 解: n=400，N=5 000，样本废品率P=32/400=8%。置信度1-α=90%，α=10%，α/2=5%。查标准正态分布表得: 因此，这批产品废品率的区间估计是: 即这批产品的废品率置信区间为[5.9%,10.1%]。 四、样本容量的确定 在前面我们已经知道，极限误差、概率度与抽样平均误差三者间的数量关系是: 。当抽样平均误差保持不变时，极限误差与概率度两者间关系是:Δ增大，z也增大了，Δ减小，z也减小了。因此，抽样估计的精度与可靠性之间存在矛盾，要提高精度(Δ减小)，需以牺牲概率度(z减小)为代价;要 提高概率度(z增大)，又要以牺牲估计精度(Δ增大)为代价。在 不变的情况下，这对矛盾是不可调和的;但是，降低抽样平均误差后，就可以同时提高估计的精度与概率度。比如，通过增加样本容量n来达到降低抽样平均误差目标。这时应该考虑，样本容量n究竟取多大合适,这就是样本容量的确定问题。 (一)估计总体均值时样本容量的确定 1.总体方差已知，重复抽样。这时有: 上式两边平方整理后可得: (4.41) 这就是在给定极限误差、概率度要求下，至少应抽取的样本容量。 2.总体方差已知，不重复抽样。这时有: 上式两边平方并进行整理得: (4.42) (二)估计成数时样本容量的确定 1.重复抽样: (4.43) 2.不重复抽样: (4.44) (三)使用上述公式应注意的问题 1.计算样本容量时，一般总体的方差与成数都是未知的。这时，可用有关资料替代:一是用历史资料已有的方差与成数代替;二是在进行正式抽样调查前进行几次试验性调查，用试验中方差的最大值代替总体方差;三是成数方差在完全缺乏资料的情况下，就用成数方差的最大值0.25代替。 2.如果进行一次抽样调查，同时估计总体均值与成数，用上面的公式同时计算出两个样本容量，可取一个最大的结果，同时满足两方面的需要。 3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最小整数代替。例如计算得到:n=56.03，那么，样本容量取57，而不是56。 【例4-13】对企业产品合格率进行抽样调查，根据历史上进行的二次调查资料，合格率分别是15%和13%，这次调查要求误差不超过5%，置信度为95%，问至少要抽出多少产品作为样本, 解: 已知α=5%， =0.05， =1.96。按历史上的两次调查资料，分别计算成数方差为:0.15×(1-0.15)=0.1275，和0.13×(1-0.13)=0.1131。取方差最 大者，因此选P=15%。由于企业产品数量一般都较大，抽出样本在总体中所占的比重很小，无论是重复抽样还是不重复抽样，结果相差不大，可按重复抽样方式计算，所以至少应抽取的样本容量是: =195.922 应抽取196件产品进行检验。 【例4-14】对某型号电池进行电流强度检验，根据以往正常生产的经验数据，已知电流强度的标准差σ=0.4安培，合格率P=90%。采用随机重复抽样方式，需要在99.73%的置信度下，抽样平均电流的误差范围不超过0.08安培，抽样合格率误差范围不超过5%，试求必要的抽样单位数。 解: 已知，1-α=99.73%， =3，按抽样平均数与成数计算的样本容量分别是: =225(个) =324(个) 取以上计算结果中较大者，即n=324，应抽取324个电池作样本以保证抽样调查的准确性。 本章小结 1.在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，称之为随机事件。概率就是指随机事件发生的可能性。概率的统计定义: P(A)=p。 2.概率的基本性质包括: P(A)?0; P(Ω)=1;若事件A与事件B互不相容，则:P(A?B)=P(A)+P(B)。表示A的对立事件，P()=1-P(A) 3.事件的独立性。对事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则称它们是统计独立的，简称相互独立。 4(随机变量是其取值带有随机性的变量。这种变量取何值事先不能确定，只能由随机试验的结果来定。如果随机变量所有可能的取值是可以一一列举的，称为离散型随机变量;如果随机变量的取值在数轴是连续的则称为连续型随机变量。 5(离散型随机变量X的概率分布有以下性质:(1)0?p(xi)?1 (i=1,2, „);(2) 。其期望值 为: ;方差为: 。 6(对任意的实数x，X<x是一随机事件，记F(x)=p(X<x)，该函数就是连续型随机变量的分布函数。分布函数的导数称为密度函数，记作p(x)。 连续型随机变量的密度函数有以下的性质:(1)p(x)?0;(2) (3) 。 连续型随机变量X的期望值为: 方差为: 7(正态分布是最重要的一种连续型随机变量分布。其密度函数为 如果一个正态分布的μ=0，σ=1，则称该正态分布为标准正态分布，相应的随机变量称为标准正态随机变量，用Z表示，即Z N(0，1)。标准正态随机变量在区间[-Z,Z]取值的概率F(Z)，可通过查标准正态分布概率表获得。 若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随机变量 Z= 服从标准正态分布，即Z N(0，1)。 这一变换称为标准变换。 8(除正态分布外，常用的连续型随机变量的分布还有 -分布、t-分布、F-分布。 9.总体分布的数量特征就是总体的参数。总体参数表现为常数，常见的总体参数有:总体的平均数，总体成数(比重)，总体方差和标准差。 10.样本统计量是样本的函数，其具体取值则随着抽取样本观测值不同而变动，因此它是随机变量。可利用样本统计量来估计和推断总体的有关参数。与总体参数相对应，常见的统计量有样本平均数 ，样本成数P，样本方差 。 11(按照是否将已抽出的样本放回总体，简单随机抽样可分为重复抽样与不重复抽样。 12(样本平均数抽样分布的性质: (1) (2) 13.参数估计。参数估计分为点估计与区间估计两种。在点估计时，要注意 估计方法的优良性要求，即无偏性、有效性与一致性要求。在区间估计时，要注 意给出估计的置信度的特殊要求。区间估计主要内容可归纳为下图: 否 总体是否 满足正态性 是 否 否 σ是否 已知 是 否 用S估计σ 是 是 σ是否 已知 增加样本容量到n?30 n是否 大于30 14.在抽样分布与参数估计中，Excel主要有以下几个方面的应用。(1)利用有关函数计算正态分布、t-分布、二项分布的概率;(2)利用有关函数直接计算样本均值、样本方差、样本标准差的点估计值;(3)构建工作表进行区间估计。 第四节 EXCEL在概率计算与参数估计中的运用 利用Excel进行概率计算 区间估计 一、利用Excel进行概率计算 【例4-15】假定学生某门学科的考试成绩服从均值为75分、标准差为12分的正态分布。那么某一学生的成绩在75分到90分之间的概率应为多少, 1(用NORMDIST()函数计算。 P(75<X<90)= P(X<90)–P(X<75)，在任一空单元格内输入如下公式即可 =NORMDIST(90,75,12,TRUE)- NORMDIST(75,75,12,TRUE) 2(用NORMSDIST()函数计算。 经过标准化后，P(75<X<90)= P(0<Z<1.25)= P(Z<1.25) –P(Z<0)，因此，在任一空单元格内输入如下公式即可 =NORMSDIST(1.25)-NORMSDIST(0) 二、区间估计 【例4-16】麦当劳餐馆在7星期内抽查49位顾客的消费额(元)如下，求置信度为90%的顾客平均消费额的估计区间。 15 24 38 26 30 42 18 30 25 26 34 44 20 35 24 26 34 48 18 28 46 19 30 36 42 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 Excel中的操作步骤如下: 1(构造工作表。A1:A50单元格为样本数据:消费额。B2:B11单元格为计算过程中要用到的样本统计量、置信水平、中间变量及最终结果的名称，C2:C11单元格为相对应的计算公式，其中置信水平由用户直接输入。 参见Excel文件。 2、定义变量名。 先定义样本数据的变量名。选定A1:A50单元格，执行菜单命令[插入]??[名称]??[指定]，用鼠标点击“首行”选项，然后点击“确定”按扭。 再将B2:B11单元格的名称定义为C2:C11单元格各个公式计算结果的变量名。选定B2:C11单元格，执行菜单命令[插入]??[名称]??[指定]，用鼠标点击“最左列”选项，然后点击[确定]按扭。 3.输入计算公式，见右上图C列。结果见右下图。可以看出，麦当劳餐馆顾客平均消费额的置信区间为29.8~34.2元。 注意:构造以上的工作表仅是为了让读者清楚具体的计算步骤。简单起见，仅用一个公式就可以计算出置信区间半径。在任一空单元格内输入公式 “=ABS(NORMSINV(0.1/2))*STDEV(消费额)/SQRT(COUNT(消费额))”，该公式即相 当于计算