录像带计数问题
第17巷第5期
2000年9月
辽宁教育学院
JournalofLiaoningEducationalInstitute
Vo1.17No.5
Sep2000
一
[摘要]奉文主要运用
t韵经验膺式.
录像带计数问题
避T~733-z_1
慵山师院.剐山.D2
了微积分,最小二乘法等知识推导了录像带计数器读数n和所用时问
[关键词]计数器;参数;估计值;经验心式 [中图分类号]024[文献标识码]A
一
,问题的提出
在一台录像机上,有一个四位数字的计数 器,在磁带开始运行时设置为"0000","180分 钟"结束时显示读数为"1849".而实际所花时 间为185分2O秒.并注意到计数器从"0084"转 到"O147"时,用3分21秒的时问现在计数器 上显示为"1428",余下的磁带是否足够再记录 6O分钟长的节目呢?
如果我们能根据所给的数据写出计数器读 数和所花时间t的经验
公式
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,不仅能回答现在
提出的这个问题,而且还可为其它情况下使用 录像机提供依据.
二,问题的求解
1.求出经验公式:
设录像带厚度为,磁带绕半径为r的轴 旋转,磁带绕碰头旋转的线速度为常数,记, 时刻轴心到磁带卷外侧的距离为R(),已放过 的磁带总长为L(),计数器读数为n(t),并且, 时刻磁带卷侧面的总面积为:
[R(f)一一]R()>r
用总面积除以厚度",有:
工()=R()一r]/w
另一方面:
和仍
陂瞄D
…
aoo3-aglx.…..帕..
法L()慧口?,.J/
从而:f一R()一r]/w
R(,)=(+r)(1)
当磁带转轮转过一个很小的角度?口,对应 的磁带长为?,|一R(f)??,若转过?口角度所 花时间为出,又有一?出.于是有:
取微分则有:口=%一+r]_.
从而:一[+一]一dt
一+r2
叫一
得:口()一塾
w-
r
T+r)一r]
由假设"计数器的读数与轴轮转数成正比"有: n(f)一kOk是比例系数
故:础)=[(+一{一r](2)
我们可以从设计者处了解到,和r的值,并 选择一个合适的k值.
这里,我们通过
分析
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,进一步化简(2),使其 所含的未知参数个数尽量少,并通过很少的几 个数据求得参数的估计值.
令:口=2/a}口=/
则(2)式可化简为:
(f)=(_二F=v厂可(3)
[收稿Et期]2.口O一05—1O
[作者简介]末詹.'(1gs8-),士,河驰詹山^t詹山师范学院鬟学系讲师,主要研党方向函
鬟话.
44辽宁教育学院2000年第5期 2.参数的估计:
(3)式中仅含,两个参数,我们可以利用 所给的数据,列表如下:
表,
t=0,一0是其初始条件,将后三组数代 人(3)式,得以下方程组:
,丽邢一)一1849
?}+一/)=0084(4)
t+3.35+3一.一0147
这是关于t,,p的三元方程组,于是可解出它 们的值(即t,及芦的值).
另外也可以将(3)变形,得到n(t)和t的另
一
形式:
t—a[.tt)3?6[H(})](5)
其中d,b为参数.
将表一中的后三组数分别代人(5)解得:
"一2.908X10;b=0.046456 于是得经验公式如下:
t一0.00002908n+0.046456n(6) 3.结论:
用t6)式来回答率文提出的阅题,当一
1428时,t的值为:
f:0.00002908X1428+0.046456X 1428=125.64
那么剩余的总时间是:
l85,33一】25,46—59.64(分)
所以,我们可以断定余下的录像带,已不足以录 6O分钟的节目.
三,问题的进一步讨论
1.需要指出的是,我们可以利用的数据个
数是允许的最少个数,如果有较多的t和的数 据,可用数理统计中的最小二乘法,得到更可靠 的和6的估计值.
2.下表二中的数据,是取自于奉倒所述的
同一种录像机,可把这些数据代人公式(6),来 验证公式(6)的正确性
计数器凄数0l2.oJ4..6O08O0 所用时间t分010.67I23.5738.8056.25
计数器读数1O0Il2O014001600l800 所用时间t分75.94l97.7622at148.82178.7
逐一代入(6)后发现:这些数据与(6)式比 较吻合,误差较小.
3.此
方法
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也可用于录音机的分析中,在某 种录音机运行过程中,我们观察并记录了它的 运行时间t和计数器的读数n的数据见表三 表三
为了分析录音机的运行状况,我们有如下 假设:
(1)计数器的读数"与缠绕的轮的转数成 正比;(2)磁带运动时的线速度是常数;(3)磁 带的厚度均匀,为d.(4)磁带缠绕一圈的长度 等于它所缠绕的圆的周长同样的分析可得录 音机运行的时间和计数器读数的关系为: ,(H)一n—bn(7)
利用最小二乘法根据表三中的观察值,可 得n,b的估计值:
?=0.11095;6一一7.7445×10
从而完整地得到了录音机的运行时间与计数器 的读数之间的关系:
t(n)=0.11095n一7.7445×
10,(8)
[参考文献]
[13刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模[M] .
北京:北京师范大学出版社,l997. [2]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北 京:高等教育出版社,1997.
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