高三导数经典例题
导数经典例题 1导数的概念， 2导数的几何意义， 3物理意义,
4几种常见函数的导数
5两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，
6利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值
2,,1xx,(),例1(yfx 在处可导，则 a,x,1b,,ax，bx,1,
例2(已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限:
2fahfa()()，,fahfah(3)()，,,lim(1); (2) limh,0h,0h2h
2x例3((1)求曲线y,在点(1，1)处的切线方程; 2x，1
t,12 (2)运动曲线方程为，求t=3时的速度。 S,，2t2t
2
例4( 求下列函数单调区间
132(1) y,f(x),x,x,2x，52
2,x1(2), yx
2ky,，x(3) (k,0)x
24) (yxx,,2ln
例5(求证下列不等式
22xxx,,ln(1，x),x,(1) x,(0,，,)22(1，x)
2x,(2) x,(0,)sinx,,2
例6(求满足条件的 a
R(1)使y,sinx，ax为上增函数
3Ry,x，ax，a(2)使为上增函数
32Rf(x),ax,x，x,5(3)使为上增函数
2
例7((2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷，理工农医类19))
设，求函数的单调区间. f(x),x,ln(x，a)(x,(0,，,)a,0
2y,x,4例8(已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线
ll分别为和。 12
(1)求A、B两点的坐标;
ll(2)求直线与的夹角。 12
xeaRf(x),，例9((2001年天津卷)设，是上的偶函数。 a,0xae
(I)求的值; a
(II)证明f(x)在(0,，,)上是增函数
2例10((2000年全国、天津卷)设函数，其中。 f(x),x，1,axa,0(I)解不等式f(x),1;
(II)证明:当时，函数f(x)在区间[0,，,)上是单调函数。 a,1
2
练习题
fx,,x,fx()()00x1(设函数f(x)在处可导，则等于 ( ) lim0,x,0,x
,f(,x)f'(x)f'(,x) A( B( C( D( ,fx'()0000
fxxfx(，2,),()00f'(x)2(若，则等于 ( ) lim,10,x,0x3,
23A( B( C(3 D(2 32
3y,x,3x3(曲线上切线平行于x轴的点的坐标是 ( )
A((-1，2) B((1，-2) C((1，2) D((-1，2)或(1，-2) 4(若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点(4，(f4))处的切线的倾斜角为( )
A(90? B(0? C(锐角 D(钝角
32y,2x,3x,12x，55(函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 ( )
A(5，,15 B(5，,4 C(,4，,15 D(5，,16
,s6(一直线运动的物体，从时间t到t+?t时，物体的位移为?s，那么为( ) lim,t,0,t
A(从时间t到t+?t时，物体的平均速度
B(时间t时该物体的瞬时速度
C(当时间为?t 时该物体的速度
D(从时间t到t+?t时位移的平均变化率
32f(x),2x,6x，77(关于函数，下列说法不正确的是 ( )
A(在区间(,,，0)内，为增函数 f(x)
B(在区间(0，2)内，为减函数 f(x)
，,C(在区间(2，)内，f(x)为增函数
,,D(在区间(，0),(2,，,)内，f(x)为增函数
3f'(x),4x8(对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为 ( )
4444f(x),x,2f(x),x，1f(x),x，2f(x),x A( B( C( D(
2
xf'(x)9(设f(x)在处可导，下列式子中与相等的是 ( ) 00
f(x),f(x,2,x)fx，,x,fx,,x()()0000 (1)lim; (2); lim,x,,x,002,x,x
fx，,x,fx,,xfx，,x,fx，,x(2)()()(2)0000 (3)。 (4)limlim,x,,x,00,x,x
A((1)(2) B((1)(3) C((2)(3) D((1)(2)(3)(4) 10((2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷理工农医类16))
f()是定义在区间[,c,c]上的奇函数，其图象如图所示:令g()=af()+b，则下 xxx
列关于函数g()的叙述正确的是( ) x
A(若a<0,则函数g()的图象关于原点对称. x
B(若a=,1，,2
表
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如下:
x (-?，a) a (a，3a) 3a (3a，+?)
, fx()- 0 + 0 -
fx()极小 极大 ?在(a，3a)上单调递增，在(-?，a)和(3a，+?)上单调递减 fx()
43fxb(),时，，时， xa,fxba(),,xa,3极小极小3
22,fxxaxa()43,,，,(2)
?00, 在内f (x)<0. ,,00
(,1, x)( x, 1)即f(x)在内是增函数, f(x)在内是减函数. 00
1当时f(x)在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. a,(,1, 1)4
1当时, 同理可知, f(x)在内且只有一个极值点, 且是极小值点. a,,(,1, 1)4
11时, 由(1)知f(x)在内没有极值点. 当,,a,(,1, 1)44
11故所求a的取值范围为 (,,, ,):(, ，,)44
【点晴】三次函数求导后为二次函数，考查导函数的性质，结合一元二次方程根的分布，
考查代数推理能力、语言转换能力和待定系数法是近年高考的热点题型。
3b,R【文】已知函数fxxaxb(),，，(、)。 a
,,,22x(?)若的图像在部分在轴的上方，且在点处的切线与直fx()(2,(2))fx
b线平行，求的取值范围; 950xy,，,
,,3 (?)当x、，且时，不等式|()()|||fxfxxx,,,恒成立，求xx,x,0,,,11212122,,3,,
的取值范围。 a
32,,fxxaxbfxxa()()3,，，,,，解答:(?)。依题意，有，faa(2)1293,，,,,,
3fxxxb()3,,，所以。
,,,22x因为的图像在部分在轴上方，所以在区间上的最小值大fx()fx()[2,2],x
2,fxxx()3301,,,,,,于零。令，于是由，，，fb(2)2,,,，fb(1)2,,，fb(1)2,,，
,，2b,，,,,202bb知:在区间上的最小值为，故有; fb(2)2,，fx()[2,2],
fxfx()(),312,|()()|||1|()|1fxfxxxfx,,,,,,,(?)()，即当0,,x1212xx,312
3222|3|1xa，,时，，即恒成立，由此得 ,,,,,1313xax0,,x3
2,ax,,,(13)0,min。 ,,,,10a,2ax,,,,,(13)1,max,
【范例3】设函数f(x)与数列{a}满足下列关系:?a,a，其中a是方程f(x)=x的实数根;n1
?a=f(a) (n,N*);?f(x)的导函数f′(x)?(0，1); n+1n
2
?证明:a,a;(n,N*);?判断a与a的大小，并证明你的结论。 nnn+1
解答:(1)证明:用
数学
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归纳法
?n=1时，a,a成立 1
?假设n=k时，a,a成立， k
则n=k+1时，由于f′(x)>0，?f(x)在定义域内递增 fafa()(),aa,?，即 kk，1
?n=k+1时，命题成立
*aa,由??知，对任意，均 nN,n
,,(2)解:令，则?，??递减， Fxfxx()(),,fx()1,Fx()0,Fx()
FaFa()()0,,aa,faa(),aa,时，，即，? ?111121
aa,猜测，下证之 nn，1
aa,?n=1时，成立 12
aa,?假设n=k时，成立 kk，1
fafa()(),aa,则n=k+1时，由于递增，?，即 fx()kk，1kk，，12?n=k+1时，命题成立
*aa,由??知，对任意，均 nN,nn，1
【点晴】由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必
将会成为今后高考的重点内容，在复习中要足够地重视。
313【文】已知平面向量=(,-1).=(,). ab22
(1)证明?; ab
2yy(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t-3) ，=-k+t，?，试求函xababx
数关系式k=f(t);
(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
313解答:(1)?=×+(-1)×=0 ??. ab,ab22
2yxy,(2)??，?=0 即[+(t-3) ]?(-k+t)=0. xabab
2222ab整理后得-k+[t-k(t-3)] + t(t-3)?=0 ab,
22ab?ab,=0，=4，=1，
2
122?上式化为-4k+t(t-3)=0，即k=t(t-3) 4
1122(3)讨论方程t(t-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t-3)与直线y=k的交点44
个数.
132于是f′(t)= (t-1)= (t+1)(t-1). 44
令f′(t)=0,解得t=-1,t=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表: 12
t (-?,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ?) f′(t) + 0 - 0 + F(t) ? 极大值 ? 极小值 ?
1当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)=. 极大值2
1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)=-. 极小值2
12函数f(t)=t(t-3)的图象如图13,2,1所示， 4
可观察出:
11(1)当k,或k,-时,方程f(t)-k=0有且只有一解; 22
11(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解; 22
11(3) 当-,k,时,方程f(t)-k=0有三解. 22
【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。
m【范例4】已知双曲线与点M(1，1). Cym:(0),,x
(1)求证:过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切; (2)设(1)中的两切点分别为A、B，其?MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。
m,yk|,解答:(1)证明:设，要证命题成立只需要证明关于t的方程QtC(,),xtMQ,t
有两个符号相反的实根。
m,1m2t,yk|,,,,,,，,tmtm20 ，且t?0，t?1。 xtMQ,2tt,1
2设方程的两根分别为t与t，则由tt=m<0，知t，t是符号相反的tmtm,，,20121212
实数，且t，t均不等于0与1，命题获证。 12
mmAtBt(,),(,)(2)设，由(1)知，t+t=2m，tt=m，从而 121212tt12
2ttmmmttm，，1()21212yx,，即线段AB的中点在直线上。 ,，,,,mm,()2222ttttm1212
2
mm,()mtt,tt1221yx,又，AB与直线垂直。 1？k,,,,AB()tttttt,,212121
yx,故A与B关于对称，
mm设，则 Att(,)(0),Bt(,)tt2有t-2mt+m=0 ?
2mt,,60由kkAMB,,,,，,:及夹角公式知 MAMB2tm
2,tm，22mtmt，即 ? tan60:,,,2322tmtm1，,2mt
2tm,由?得 ? 21t,
2mttt14(1),从而,,,,,,(21)0t 2tmtt2121,,
231，mtmt,,,,,,23,32由?知，代入?知 222tmt
131313131，,,，mAB,,,,,(,),(,)因此，。 22222
【点晴】本题的关键在于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通。应深切
领会导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用
2【文】设抛物线y=x与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处
切线分别为l，l，求值a变化时l与l交点的轨迹。 121222解答:将y=x+a代入y=x整数得x,x,a=0?,为使直线与抛物线有两个不同的交点，
12必须?= (,1)，4a,0，所以a,, 4
222设此两交点为(α，α)，(β, β)，α,β，由y=x知y′=2x，则切线l，l的方程为12
22y=2αx,α，y=2βx,β.
,,，,x,,两切线交点为(x，y) 则 2,
,y,,,,
因为α，β是?的解，由违达定理可知α，β=1，αβ=,a
2
11由此及?可得x=，y=,a, 24
11从而，所求的轨迹为直线x=上的y,的部分 24
【自我提升】
111(设曲线y,和曲线y,在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tanθ,(C ) 2xx
112A(1 B( C( D( 2332(函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称，则导函数y= f, (x)的图象(C)
A. 关于直线x=1对称 B. 关于直线x=-1对称
C. 关于点(1，0)对称 D. 关于点(,1，0)对称
3(,3),3(函数y= f(x)在定义域内可导，其图象如图所示(记y= f(x)的导函数为y= f, (x)，2
则不等式f, (x)?0的解集为 ( A )
1y [,1][2,3), A( 3
yfx,()148[1,][,],B( 23331 ,311 3 22-1 [,][1,2),C( 148 O 222 x , 3333148(,1][,][,3),,D( 2233
324(如果函数f(x) = ax,x + x,5在(,,, + ,)上单调递增，则实数a的取值范围是 (D)
11A((0，+ ,) B( C( ( ，+ ,) D( [0,)，,[,)，,33325(设f (x) = x+bx + cx + d ，又k是一个常数. 已知当k < 0或 k > 4时，f (x)– k = 0只有一
个实根;当0 < k < 4时，f (x)– k = 0有三个相异实根, 现给出下列命题: (1) f (x) – 4 = 0和f ,(x) = 0有一个相同的实根;(2) f (x) = 0和f ,(x) = 0有一个相同的实根;(3) f (x)+3 = 0的实根大于f (x)– 1 = 0的任一实根;(4) f (x) + 4 = 0的实根小于f (x)– 2 = 0的任一实根.;
其中，错误命题的个数是( D )
A(4 B(3 C(2 D(1
6(设f (x)，g (x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f, (x)g (x)+ f (x) g, (x)>0
111且则不等式f (x) g (x)<0的解集是=___ g(,),0(,,,,):(0,)22227((文)如果f(x)=x+1，g(x)=f[f(x)],设F(x)=g(x)-,f(x)，问是否存在适当的,，使F(x)在
22(,,,,)(,,0)上是减函数，在上是增函数,若存在，求出,的值，若不存在，说明22
理由。
,=3
2
247x,8((理)已知函数， fx,x,01，，，,,2,x
(?)求的单调区间和值域; fx，，
22(?)设，函数，若对于任意，总存在gxxaxax,,,,3201，，x,01，a,1，，,,,,1
，使得成立，求的取值范围 ax,01，gxfx,，，，，,,001
解:对函数f(x)求导，得
2,，,4167xx， fx,，，22,x，，
2127xx,,，，，， ,,22,x，，
17令f, (x)=0解得 或 x,x,1222
当变化时，f, (x)、f(x)的变化情况如下表: x
x 0 11 11 ,,,,，10， 2,,,,22,,,,
, ，0 ， fx，，
7 ,4,3 fx ,，， 2
11,,,,x,0，x,，1所以，当时，f(x)是减函数;当时，f(x)是增函数; ,,,,22,,,,
当时，f(x)的值域为 x,01，,,43，，，,,
(?)对函数g(x)求导，得
，22gxxa,,3 ，，，，
2,gxa,,,310因此，当x,01，时， a,1，，，，，，
因此当x,01，时，gx为减函数，从而当x,01，时有 ，，，，,,
gxgg,10，，， ，，，，，，，，
2又gaa1123,,,，ga02,,，即当x,0，1时有 ，，，，,,
2，，gxaaa,,,,1232， ，，，，
2
任给，，存在使得，则 x,0，1fx,,,43，x,01，gxfx,，，，，，，,,,,,,11001
2，， 123243,,,,,,aaa，，,,，，
2,12341,,,,aa()即 ,,,,232a(),
5解式得 或 a,,()1a,13
3解式得 ()2a,2
又， a,1
3故:的取值范围为 a1,,a239(已知函数F(x)=|2x,t|,x+x+1(x?R，t为常数，t?R) (1)写出此函数F(x)在R上的单调区间;
(2)若方程F(x),k=0恰有两解，求实数k的值。
t,3,，3，1,,,xxtx,32解:(1)(),|2,|,，，1, Fxxtxx,t3,,,，1，,xxtx2,
t,2,3，3,,xx,2'(),? Fx ,t2,,3,1,,xx2,
22由,3x+3=0 得x=,1，x=1，而,3x,1<0恒成立 12
t? i) 当<,1时，F(x)在区间(,?，,1)上是减函数 2
在区间(,1，1)上是增函数，在区间(1，+?)上是减函数
ttii) 当1>?,1时，F(x)在区间(,?，)上是减函数 22
t 在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+?)上是减函数 2
tiii) 当?1时，F(x)在(,?，+?)上是减函数 2
(2)由1)可知
ti) 当<,1时，F(x)在x=,1处取得极小值,1,t， 2
在x=1处取得极大值3,t，若方程F(x),m=0恰有两解，
此时m=,1,t或m=3,t
3ttttii) 当,1?<1，F(x)在x=处取值为， ,，，12282
在x=1处取得极大值3,t，若方程F(x),m=0恰有两解，
2
3tt此时m=或m=3,t ,，，182
tiii) 当?1时，不存在这样的实数m，使得F(x),m=0恰有两解 2
1nn10((理)已知0?x?1，n为大于1的正整数，求证:?x，(1,x)?1 n,12nnn-1n-1解答:设f(x)= x，(1,x) ，则f, (x)=n[x-(1,x)]，
1n-1n-1,f(x),0令，得x=(1,x)，由于0?x?1，则有x=1,x，解得x= 2
111又经比较知f(x)在[0，1]上的最小值、最大值分别为、1所以f(),,f(0),1,f(1),1,n,1n,12221nn?x，(1,x)?1 n,12
11((理)A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为p，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，qpqpq(1,0.0)，,,,
决定冠军队的比赛次数为N.
(1)求使P,p为最大的p值;
(2)求使N的期望值为最大的p值及期望值。
(1)要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。
3解答:如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为p; 如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为133Cqppq,3. 3
如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为223323232CqppqPppqpq,,，，6.36.故 4
3332Ppppqpqpfp,,，，,,36().于是
543fpppppp()61510(01).,,，,,,将代入整理得 qp,,1
22fppp'()30(1)1,,,令
11 ,,，,,,30[(1)][(1)]0.pppp3030
114142PpPp,，,,,,,，，0,(11),(11).解得即 1222303030
0,,ppfppppfpppfp'()0;,'()0;1,'()0.,,,,,,,当时当时当时，又 1122
14fpfpfpPp,,，,,,故当p=时最大lim()0,lim()0,(11),(). 2pp,,0130
(2)随机变量N的概率分布为
2
N 3 4 5
33333232Q pq，33pqqp，66pqqp，
333332则ENpqpqqpqp()3()4(33)(6),，，，，
22 ,，，633pqpq
1212,，，6().pq 48
pq，11213322pqEN,,,，,(),()6(),所以 而 24288
1p,. 这时， 2
2
浙公网安备 33021202002483