【doc】级数性质与空间有限（无限）维特征

【doc】级数性质与空间有限（无限）维特征 级数性质与空间有限(无限)维特征 意‰唧 (NATURALSCIENCE) 1, 9级数性质与空间有限(无限)维特征 .笪坯杰 (数学系)7.及 摘要通过讨论实巴拿赫空间中级数的各种性质,刘划空间有限(无限)维特征. 证明了每个无限维巴拿赫空间中都有一个g]5-空间X,X中有级数?满足条件(?).但 其和域S({'})非凸集... 关键词, 垦全苎窒,垫重壁,级数和域(世.:/ 设x,y表示实巴拿赫空间.由X中的元素列毛(;1,2,…)构成了形式级数?'(简 记为?).所谓级数?收敛于某z?x(记为?'=z,是指1I?'一z一o(m— co)}所谓级数?'弱收敛于某z?x(记为?'曲,是指对任一线性有界泛函f? X.,?,()一,(曲(m—co) 1完全收敛与完全发散级数 定义1如果对每一任取的;士1,级数?都收敛,则称级数?'完全收敛 如果对自然数列的任一重排,级数?岛t都收敛,则称级数?'无条件收敛;如果数项 级数?lI气ll收敛,则称级数?气绝对收敛. 定理1空问X是有限维的充分必要条件为:x中任一级数?'的完全收敛性与绝 对收敛性等价. 证明首先,级数的完全收敛性与无条件收敛性是等价的],并且当x是有限维空 间时,x中的每一无条件收敛级数也绝对收敛(见[1]的定理1.3.3),于是对有限维空间x 而言.完全收敛性与绝对收敛性等价. 其次,由Dvo~1.zky—Rose~定理嘲,当dim(X)=..时,对任一给定的正数列{^.),?船 <..?都有X中的级数?',它无条件收敛,且ll';(n=1,2,…).特取^一?时, 就说明X中有级数无条件收敛但不绝对收敛 推论空间X是有限维的充分必要条件为:不存在满足'Il一?一1,2,…)的 收稿日期:1993--06一10. 福建师范大学(自然科学版)1994年9月 无条件收敛级数 定义2?如果对任取的=士l(n=1,2,…),空间X中的级数?都发散,则称 ?是完全发散级数. 引理1n]如果x是有限维空问,则对任一组向量{4}k,可找到适当的一组=士l(k =l,2,…,n),使得 一 !. "‰ff?I, 其中正数c只与x有关. 引理2EZ3(Dvoretzk-y定理)空间在每一无限维空间X中有有限表示.即对任一正 整数n和任一E>o,存在x的一维子空间x,使得MagzUl"距离岛,X)<1+, 定理2如下各陈述两两等价: (a)空问x是有限维的; (b).不在x中有有限表示; (c)对x中任取的n个向量{4},可找到适当的一组士l(=1,2,…,n)使得 "ff?, 常数f>0只与x有关. 证明(a)(b).由引理2. (a)(c).即引理1. (c)(a).设(c)成立,c是(c)中所述的只与x有关而与n及{而,…,'}cx的取法无 关的常数.要证X的维数dim(X)<co.若不然,由引理2,对适当取定的,使>c的 正 整数",应有x的n维子空间xcx,使,X.)<2.于是存在同胚映射T;—x.,使 fIffjf}f?2.对应于的自然基},,设{=}k-c墨.容易验证,无论如何选 取一士l,都有 ma~II若ff?fI若‰f1?1r南可』-ff 一?一? … max . f一?I一F广『'?一r.ll一1r叮'嚣lI ?1r呵. 与(c)中的不等式矛盾. 4II?乎?maxtlII>cmaxtlII 定理3空间X是有限维的充分茹要条件为;X中的级数完全发散等价于其通项一 0. 证明只需证;只有在有限维空问中,才能由级数?'的完全发散蕴涵'一0. 先证当dim(X)<co时.X中的级数?若完全发散,则必'一o,若不然,薯一o,取 一 寺,对每一,相应有m,当"?m时,ff-ff<日?不妨设<<<…,把级数分 段为 第3期钟怀杰:级数性质与空问有限(无限)雏特征 ?''?+l,?+?+…一 ??,(no—o) 'l''十】?''+lJ 由引理l,对每一段向量组{…,+}都可适当取定一士1,使得 一 , I+{I?一 II+II? ?畸+1一 由柯西收敛准则,级数?一??+.+.收敛,与?'完全发散矛盾. 再证在每一无限维空间x中,有完全发散级数?',使'一o.由引理2,可取到x中 的子空间列墨.dim(X.)一n(n一1.2,…),且对每一x,都有同胚线性映射一一x, {III一1,I{I{?2.设对应于口中的自然基}k,=7【_)'构造x中的级数 ??(/?i).可以验证,这个级数的通项/?一0.级数完全发散. 2条件收敛级数的和域 定义3级数?'收敛,但至少有一重排,使重排后的级数?岛(-】发散,则称级数 ?'是条件收敛级数}对条件收敛级数?',称空间x中的子集{xEX:存在某重排,使 级数?m收敛于}为级数??的和域,记为s({?)). 定义4对级数?',如果线性连续泛函fEX',使?I厂(')I<.o,则称,是?' 的绝对收敛泛函.?'的绝对收敛泛函的全体记为L({4})或L;如果数项级数?厂(') 只是条件收敛,则称,是级数?'的条件收敛泛函,?'的条件收敛泛函的全体记为 c({'})或e 引理3[E(a)如果?薯一=co,则s({薯})=co+L.其中L={?x:对每一fE L({'}),厂(一O}; (b)当dim(X)<?时,如果?'=面,则S({'})一=co+L(Steinitz定理). 定理4如下各陈述彼此等价; (a)x是有限维空间; (b)对X中的每一条件收敛级数?',Steinitz定理都成立:s({'}):面+L(其中面 一 ?'); (c)x中的每一条件收敛级数?',其和域S({'})都是至少含两个点的线性集,即如 果?S({薯}),Y?S({薯}),则对任一实数口,+(1一a)y?S({薯})} (d)x中每一条件收敛级数?'的和域都是至少含两个点的凸集; (e)x中每一条件收敛级数?'的和域都至少含两个点; (f)x中每一级数?'绝对收敛的充分必要条件为L—X'. 证明(a)(e).由Steinitz定理,s({'})一=co+L.如果S({'})只台一点面,则L 一 {0).由于dim(X)一dim(X)<?,L—X,依Bessaga—Pelczynski定理[.?'无条件 收敛.矛盾. 26福建师范大学(自然科学版)1994年9月 (a)(c).由上知,条件收敛级数?'的和域至少含两点另外,由Steinitz定理,当, ?5({五))时,应有而.?L,使岛+毛.=而+.但工是x的子空间.故t22l"I+ (1一d)?L.于是ox+(1…a)yXo+[c+(1一a)~-iC-如+工上一s({盂)). (c)(d)(e).显然. (e)(a).注意到l]中证明:每一个无限维空问X中,都有条件收敛级数?',其和 域是单点集. 【a)(b).即Steinitz定理. (b)(a).文献[1]的定理^.51说明,在每一无限维空间中,都可构造级数?'.使 s({薯))?而+L1. (a)(f).定理1已证在有限维空问中,?-v.绝对收敛等价于?'无条件收敛.而由 Stelnim定理和Ba萨一Pele~ynsbJ定理可知:在有限维空问中.?'无条件收敛等价于L— - . (f)(a).由定理1?在无限维空间X中.存在无条件收敛而非绝对收敛的级数?, 这时显然L='. 定义5空问X中的级数?如果满足条件t(i)lIlI一0(n一一);()条件收 敛泛函集C=c({'))=X\{o)?则称级数?'满足条件(?). 本文的以下部份推广Tg4]中关于条件收敛级数?墨的和域(f矗},一与条件 (?)关系的结果. 引理4空间X中的级数?如果其和域s({})=x,则?'满足条件(?). 引理5对有限维空间X,级数?'的和域s({})=X的充分必要条件为满足条 件(?). 引理6?在无限维可分的希耳伯特空同H中,存在条件收敛级数?‰满足条件 (?)但s({))?H.事实上s({%))不是凸集;0,?s({"}),但一# S(》). 出自后面讨论需要.把引理6中构造的主要事实陈述如下: (?)在L[一1,1]中构造A={,(f)Im是非零整数,一1.2,…,2l"'}. ,(r):{,一?<., 0,0?r?1 H为由A和e(O张成的闭子空间. (b)把(t)和A中的各元素随意排列成序弼{%},为方便起见,不妨设nt—(t),则0. 口jC-S({j),但寻芒s({). (c)任一线性连续泛函FC-H',可表示成 r1 F(一J一1武'))d',()C-H), 其一' .常数-,满足』ct)dt. 第3期钟怀杰:级效性质与空问有限(无限)维特征 J一1t()g()出一+Jr.土)(1)出?(1).rr (d)满足条件(?). 引理7[I设x是一个无限维巴拿赫空间,扣)是单调趋于无穷大的正数列,那么可 选取)rcX,使对任一有限数组?i,满足 (?)?ll?zll?(‰+16)(?It.{z).(2)=1l一11 定理5每一个无限维空问Y中,存在一个无限维团子空间X,X中有级数?满足 条件(Jv)但和域S((})不是凸集. 证明构造性证明分为如下几个步骤: 1.在引理5所述的可分希耳伯特空间H中,级数?.有重排和使 0一?m一?m鲁s((n})._1_1 把序列(峨}施行正交化为一组规范正交基}cH,使得一n,且显然0和每一都是 有限个‰的线性组合.取<z<…,使得 (0,口1}U(d)}:1U(口,啪};1cspan(e.}】. , 记一max{ll0一?1=1 1,2,…)使得单调趋于无穷大且 , ?c.)II,lllI},则一o(一..).再选取(=1 一0,(?).(3) 2.应用引理6,在y中可取到一列),使对每个: (?圬)?ll?Ill?(+16)(?}).(4)^=1=1^=l 由Tea一构造线性算子T:spanf一span}.T是两个不完备赋范线性空间之间的一 一 对应,l{?1ll?1.再令4一‰X一{4}r,得X中的级数?4. 3验证4—0. 由4=T-‰取足够大的n,使得?span{e,}~.对应地,也有m?span{于是由 (4)式, ll蕊ll?(+16){l1l, 又由(3)式. 1l丑ll?(吼+16)jljl?(+16)一+16—0. 4.验证0,而?S({丑)),而寻({丑)).由(3)和(4)知, ,J max{1l0一?再("0,ll?一?)_l}?(+16)bo一0,(.卜-co).^=1l=1 故0,?s({4)). 再证等s((4}).若不然,有某一重排r{吏?'一鲁,那么由算子T的连续性.可一?一 1. 得 . , 福建师范大学(自然科学版)1994年9月 苔一mr,c嚣n:r,c号I=1^=】^=1 这表明詈?s({m}).矛盾. 5最后应验证;任给的非零线性有界泛函fEx?,?l,(4) 注意到由厂(4)=f<T-a?)=a?)诱导一个s阻n{}cH上的线性泛函F,(筒记为 F),F在有限维线性张—span{m}上的限制叫H-:Fm是线性有界泛函.由 Hahn-Banach? 延拓定理,可把延拓为H'中的元素,仍记为n.RI=Sl.. 由于,?,则至少存在菜,使得F(a,)一厂(7)=,()?0.如上述理由.只要 取足够太的m,就可有(a,)=F()一,()?o. 依引理6中(c)的说明,对每一凡?H'.可有 ()=If)()df.(f)?H),J一1 其中 们'二?1t0c胁删…,?lc,一?<,J J一+J)df. 注意副a,是{9}中的某一个,设a,=,,那么 m一九m础象+J丧山 以下分两种情形讨论. (;)如果?0,不失一般性,设>0. 由于?I',()(1)出=>0,并且对一切m>m,I.-(曲=,故相应于 ?H'的泛函表示式(联,,l,充分太,使H =span}{?(f)},^,就 有估计式?F(q)中的正项之和 ?+F(4.)???{.()(I+G.+…+G= 于是?厂()一?F(a)中的正项之和?,(女)?._当—..时,一)—co. 故?l,(薯)I=+... (ii)如果=0,则 ,(…+岫 —翌三————,一 堡查竺苎竺垦兰竺!苎璺!兰竺堡竺 = 』础=n?., 不妨设n>.?与(i)回理,对,,,>,,l,相应于泛函表示中的o)中的常数c:C.: .,而且充分大时,J.)(f)df(一1,2,…,2',?no)中正项之和 ?+J[,'出?J去(出?.>.- 由此又推得?F(n):=?,(4)中的正项之和?+厂(4)-=一,agueIS(4)I一... 推论空间y是无限维韵充分必要条件为:存在闭子空间xcY,X中有级数满足条 件(J?)但和域非凸集. 参考文献 1卡捷茨符米,卡捷菠米伊?Banach空问中级数重排.塔尔母:塔尔圈大学出版社(俄文本 1988. 2赵俊峰?&I1ac}I空问结构理论.武议;武汉大学出版社,1991. 3Dies堙^J-seq?BndSeri~inB~mcbNewYorkFIdddbe~/3erlla:S~rlnger一g,198~. 4严予锟?Bamch空间上级数的重排.福建师大.1984(1):1,8 ThePmperliesofSeriesandCharacterizationsofFinite (Infinite)DimensionalBanacbSpaces zh0n骞Huai t却嘶HtofMatt-~~dcs) AbstractInthisarticlevariouspropertiesofseriesintherealIMaachspaceardi8cus8ed.It ISprovedthatineveryinfinitedimensionalBanachspaceYthereexistsacIo9ed轧lbsDa.eXanda seriesx,insatisfyingcondition(?)(|_e.而—-oandf0reveryfEx?,厂?o,如ereexis如 rearrangement{耳c}.f{乇)suchthat?厂(再)convergesconditionally)withS({置}).the domainsI1mof?置,itisnotcOrlvex. Keyw~Banachspace,rearrangementofseries,domain0fof{}.