[指南]高等数学基本公式、概念和方法2

[指南]高等数学基本公式、概念和方法2 高等数学基本公式、概念和方法 一(函数 1(函数定义域由以下几点确定 1(,) y,;f(x),0f(x) 2n(,)(其中n为正整数) y,f(x);f(x),0 (,)。 y,logf(x):f(x),0a (,)函数代数和的定义域，取其定义域的交集( (,)对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定( 2(判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的( (,) 若是偶函数，若是奇函数(f(,x),f(x),f(x)f(,x),,f(x),f(x) 的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数(如(,) 若y,f(x) 2等。 y,x..y,cosx 若的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数(如y,f(x) 3 y,x..y,x..y,sinx ,( 将函数分解成几个简单函数的合成( 由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关 系(函数与常数的四则运算，不必另设一层关系( 二(极限与连续 1(主要概念和计算方法: limf(x),A,limf(x),limf(x),A(,)( ,，x,xx,xx,x0 limf(x),0x,x(,)(若(极限过程不限)，则当时为无穷小量。f(x)0x,x0 limf(x),f(x)x(3)(若，则函数在处是连续的。 00x,x0 即(,)函数值存在、(,)极限存在、(,)极限值和函数值相等。 x若上述三条至少一条不满足，则是函数的间段点。 0 x(4)(间断点的分类:设是函数的间断点 0 若左、右极限均存在，则称为第一类间断点。 x0 若左、右极限至少有一个是无穷大，则称为第二类间断点。x0 (5)(重要公式:条件(极限过程不限) lim,(x),0 1,sin(x),(x)结论《,》;《,》 lim,1lim[1，,(x)],e,(x) 2(求极限的方法:先判断极限类型(依据基本初等函数图象和函数值) (,) 定式:直接得结论(即常数,、不存在:无穷大、震荡、左极限不等于 右极限)。 0(,) 不定式:(,)型:消去零因子或用公式《,》。0 ,(,)型:约去因子，使之变成定式。,, ,(,)型:用公式《,》。 1 0,,(,)型:取简单的翻到分母上，转化成《,》或《,》。 (,)型:通分或有理化，使之转化成其它类型。,,, 注:《,》和《,》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。 三(导数 (一)基本概念 fx,fx()()dy0,,yxfx,();1(导数值:()lim，也可以记作。0x,x00x,x0dxx,x0 ,f(x)(x,y)2(导数的几何意义:就是曲线在点处切线的斜率k，其切线y,f(x)000 ,1,y,y,f(x)(x,x)y,y,(x,x)的方程是:，法线方程:。00000,f(x)0 3. 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系(见关系图)。 (二)(导数基本公式: 1,,,1xxxx,,,,1( 2。 3。 4。, 5。(lnx),(c),0(x),,x(a),alna(e),ex 2,,,6( 7。 8。 9。(sinx),cosx(cosx),,sinx(tanx),secx 2, (cotx),,cscx (三)微分法(设u和v 都是x的函数) 1(用定义求导数或导函数。 ,,,2( (u,v),u,v ,,,,,3(; (uv),uv，uv(cu),cu ,,uuv,uv,4((), 2vv ,,5(设复合函数，则 y,fuy,f(u),u,,(x)ux ,FX,y,,6(设由隐函数确定，则，也可以直接对方程y,f(x)F(x.y),0,Fy求导数。 7(对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。 x,x(t),,y(t)t,8(设参数方程，则y, ,,y,y(t)x(t),t ,9(微分: dy,ydx 1,y,10(反函数的导数: x,xy 附:函数在一点处几个概念之间的关系图 有定义(函数值存在) 有极限 连续(极限值等于函数值) 可导(可微) 四(中值定理与导数应用 1(拉格朗日中值定理: 条件:函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 f(x) f(b),f(a),,(a,b)f(), 结论:至少存在一点,使,。 b,a ,( 洛必塔法则 0,适用于型极限，注意四种失效题型: 和0, ,3(单调性:若在(a,b)内在(a,b)内单调递增。y,f(x)f(x),0,f(x) ,若在(a,b)内在(a,b)内单调递减。y,f(x)f(x),0,f(x) ,a) 极值存在的必要条件:若y,f(x)在x处可导且取极值,f(x),000 (为驻点) x0 b) 极值存在的充分条件:设函数在a点连续，则: 在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。 , 在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。 , c) 判断曲线凹凸的方法: 2x,,若在(a,b)内>0，则曲线在(a,b)内上凹。如等。f(x)y,f(x)y,x...y,e 1,,y,...y,lnx若在(a,b)内<0，则曲线在(a,b)内下凹。如等。f(x)y,f(x)x ,(曲线拐点的求法: 设a为函数的连续点，若函数在a点处二阶导数变号，则曲线y,f(x)y,f(x)上的点 (a,f(a))为曲线的拐点。 ,(求渐近线的方法: limf(x),,若，则x=a为曲线y,f(x)的垂直渐近线。 x,a limf(x),b若y,f(x)，则y=b为曲线的水平渐近线。 x,, ,(极值应用: i. 画图、设变量x，并将其余变量用x表示。 ii. 建立函数关系，并写出定义域。 iii. 求函数的一阶导数，找出驻点。 iv. 说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。 五(不定积分 ,1( 原函数:在某区间内，若在任一点处均有，则称F(x)是的一个原函数。F(x),f(x)f(x) 2( 若有原函数F(x)，则F(x)+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。f(x) 3( 若有原函数F(x)，则的不定积分可表示为。f(x)dx,F(x)，Cf(x)f(x), 4( 不定积分的几何意义 表示在x点处切线斜率均为的一族曲线。 f(x)dx,F(x)，Cf(x), 5( 基本积分公式 11,,，1dx,lnx，Cxdx,x，C.(,,,1)(1) (2) ,,x，1, 1xxxxadx,a，C.(a,0,a,1) (3)(4) edx,e，C,,lna (5)sinxdx,,cosx，C (6)cosxdx,sinx，C ,, 22 (7)secxdx,tanx，C (8)cscxdx,,cotx，C ,, 1x11xdx,arcsin，Cdx,arctan，C (9) (10)22,,22aaaa，xa,x secxdx,lnsecx，tanx，Ccscxdx,lncscx,cotx，C (11) (12),, 6. 积分性质 kf(x)dx,kf(x)dx(1) (2),, [f(x),g(x)]dx,f(x)dx,g(x)dx ,,, ,,[f(x)dx],f(x)f(x)dx,f(x)，C (3) (4),, 7(计算方法 (1)直接积分法:先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。 (2)第一换元法:对简单的题目用凑微分法 ,d(x)一般地可以用代换 dx,,,(x) ,设的导数连续，则。f[,(x)],(x)dx,f(u)duu,,(x),, ,,(,) 分部积分法:，要用算式。uvdx,uv,uvdx或udv,uv,vdu,,,, 选u的顺序:反、对、幂、三、指、常。 (,) 简单的有理函数积分:拆项法、大除法和待定系数法。 六(定积分 1(定积分特点: (1) 定积分是一个数，与积分变量无关。 (2) 被积函数连续是可积的充分条件。 (3) 被积函数有界是可积的必要条件。 2( 定积分的几何意义 b (1) 设，则f(x)dx表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边f(x),0y,f(x),a 梯形面积。 b f(x)dx(2) 设，则表示由曲线直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边f(x),0y,f(x),a 梯形的负面积。 b f(x)dx(3) 若的符号不定，则表示面积的代数和。由此得到对称区间上的y,f(x),a a f(x)dx,0奇函数积分为0，即，其中函数是奇函数。f(x),,a 3( 主要性质 bb kf(x)dx,kf(x)dx(1)。 ,,aa bbb [f(x),g(x)]dx,f(x)dx,g(x)dx(2)。 ,,,aaa bcb (3)。 f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,,,aca ,(x) ,,4( 变上限定积分的求导法:。 [f(t)dt],f[,(x)],(x),a 5( 牛顿---莱布尼兹公式 条件:设在区间[a,b]上连续，F(x)是的一个原函数 ，，fxy,f(x) b 结论:=F(b)--F(a) f(x)dx,a b，,6. 广义积分 设在区间[a，上连续，曲b>a，则f(x)dxf(x)dx,lim，，fx，,),,b,，,aa 在区间(，b)上类似定义。 ,, 7(几个结论 abbab f(x)dx,0，0dx,0 f(x)dx,,f(x)dx kdx,k(b,a) ,,,,,aaaab aa0 f(x)dx,2f(x)dx,2f(x)dx 设是偶函数: ，，fx,,,,a,a0 a f(x)dx,0 设是奇函数:。 ，，fx,a, ,( 求定积分的方法 (1) 利用几何意义(画出对应的图形)。 (2) 直接用牛顿---莱布尼兹公式(结合性质和几个结论)。 (3) 先求对应的不定积分，在用牛顿---莱布尼兹公式(注意函数的连续性)。 (4) 用定积分的换元法和分部法(换元必须换限)。 9( 定积分应用 (1)求平面图形的面积 先画出这块面积，用阴影表示出。 用定积分表示面积，再求出其值。 (2)求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积 bd22,ydx,xdy绕x轴:v=。 绕y轴:v= ,,ac 常用简单公式 222 (a，b),a，2ab，b 222 (a,b),a,2ab，b 22 a,b,(a，b)(a,b) sinxcosx11tanx,.....cotx,.....secx,.....cscx, cosxsiaxcosxsiax 22 sinx，cosx,1......sia2x,2sinxcosx 2222 cos2x,cosx,sinx,1,2sinx,2cosx,1 1cos21cos2，x,x22cos........sin x,x,22 ,(对数 loga,1......log1,0aa lnxlogx,(换底公式).......logxy,logx，logy aaaalna xy log,logx,logy........logx,ylogxaaaaay