不等式证明的若干方法 毕业论文

不等式证明的若干 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 毕业论文 2013届毕业生毕业论文 课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 名称:不等式证明的若干方法 教 学 系:数学系 专 业:数学教育 班 级:10级数学教育,4,班 学 号:131002162 姓 名: 指导教师: 时 间:2013年5月15日 定西师范高等专科学校 10 级 数学 系毕业论文开题报告 专业班级:数学教育四班 姓名: 指导教师: 一.论文题目:不等式证明的若干方法 二.选题依据: 反证法在我们中学数学教学中是非常重要的,因为在许多证明题中都需要应用反证法,在许多方面都有不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。 三.相关理论研究综述: 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等。 四.研究方法: 比较法,分析法,做商法,综合法，几何法 。 五.论文结构: 一、证明不等式的常用方法。 二、利用函数证明不等式。 三、利用著名不等式证明。 六.撰写 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 : 2013 年 1月10日选题 2013 年 1月15日搜索材料 2013年 3 月 5 日开始撰写 2013年 4 月 2 日修改完稿 目 录 摘 要............................................................................................................................................... 1 关键词............................................................................................................................................... 1 1 前 言............................................................................................................................................. 1 第一章 常用方法 ............................................................................................................................. 1 1.1比较法(作差法) ............................................................................................................. 1 1.2作商法................................................................................................................................. 2 1.3分析法(逆推法) ............................................................................................................. 2 1.4综合法................................................................................................................................. 2 1.5反证法................................................................................................................................. 3 1.6迭合法................................................................................................................................. 3 1.7放缩法................................................................................................................................. 4 1.8数学归纳法 ......................................................................................................................... 4 1.9换元法................................................................................................................................. 5 1.10三角代换法 ....................................................................................................................... 5 1.11判别式法 ........................................................................................................................... 5 第二章 利用函数证明不等式 ......................................................................................................... 6 2.1函数极值法 ......................................................................................................................... 6 2.2单调函数法 ......................................................................................................................... 6 2.3中值定理法 ......................................................................................................................... 7 2.4利用拉格朗日函数 ............................................................................................................. 7 第三章 利用著名不等式证明 ......................................................................................................... 8 [3.1利用均值不等式 ................................................................................................................ 8 3.2利用柯西不等式 ............................................................................................................... 10 3.3利用赫尔德不等式 ........................................................................................................... 10 3.4利用詹森不等式 ............................................................................................................... 10 参考文献......................................................................................................................................... 11 2 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 摘 要:无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如:均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数 前 言 在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分. 在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如:不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式. 第一章 常用方法 1.1比较法(作差法) a,b在比较两个实数和b的大小时，可借助的符号来判断.步骤一般为:a 作差——变形——判断(正号、负号、零).变形时常用的方法有:配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等. a，b例1 已知:a,0b,0，，求证:,ab. 2 2a，ba，b,2ab(a,b),ab,,,0证明 ， 222 1 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 a，b故得 . ,ab2 1.2作商法 aa在证题时，一般在，均为正数时，借助或来判断其大小，步b,1,1abb 骤一般为:作商——变形——判断(大于1或小于1). abbaab,ab，求证:. 例2 设a,b,0 证明 因为 ， a,b,0 a所以 ，. a,b,0,1b a,bababa,,而 ， ,,1,,babab,, abbaab,ab故 . 1.3分析法(逆推法) 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等)，其每一步的推导过程都必须可逆. 例3 求证:. 5，7,1，15 证明 要证，即证，即，5，7,1，1512，235,16，21535,2，15 ，，，15,16. 35,19，415415,1615,4 由此逆推即得 . 5，7,1，15 1.4综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法. ab例4 已知:，同号，求证:. b，,2aba 证明 因为，b同号， a ab所以 ,0，,0， ba 2 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 abab，,2，,2,则 baba ab即 . ，,2ba 1.5反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假 设，导出结论的正确性，达到证题的目的. nn例5 已知，是大于1的整数，求证:. a,b,0a,bn nn证明 假设 ， a,b bn,1则 ， a b即 ， ,1a 故 ， b,a nn这与已知矛盾，所以. a,b 1.6迭合法 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利 用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证. 222222a，a，？，a,1b，b，？，b,1 例6 已知:，，求证: nn1212 . ab，ab，？，ab,11122nn 222222a，a，？，a,1b，b，？，b,1证明 因为，， nn1212 222222所以 ，. a，a，？，a,1b，b，？，b,1nn1212由柯西不等式 222222ab，ab，？，ab,a，a，？，a，b，b，？，b,1，1,1,nnnn11221212 所以原不等式获证. 3 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 1.7放缩法 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大)，或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数，或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母)，从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为:改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法. 1359999例7 求证: . ，，，？，,0.0124610000 1359999证明 令则 p,，，，？，,24610000 222221359999139999112p,，，，？，,，，？，,,,22222221000110000246100002,14,110000,1 p,0.01所以 . 1.8数学归纳法 n(n,N)对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式n n,k(n,N)在时成立的假设下，还能证明不等式在n,k，1时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立. n nnn,1n,1，a，b,ab，ab例8 已知:，n,N，n,1，求证:. a,b,R 22a，b,ab，ab,2ab证明 (1)当n,2时，，不等式成立; kkk,1k,1a，b,ab，ab(2)若n,k时，成立，则 k，1k，1kkkk，1k,1k,1kk，1 a，b,a(a，b),ab，b,a(ab，ab),ab，b kk2k,1kk，1kkk,12kk=， ab，ab，(ab,2ab，b),ab，ab，b(a,b),ab，ab k，1k，1kka，b,ab，ab即成立. nnn,1n,1a，b,ab，ab根据(1)、(2)，对于大于1的自然数都成立. n 4 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 1.9换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 1ab，bc，ca,例9 已知:，求证:. a，b，c,13 111证明 设，，则， a,,tc,，(1，a)tb,,at(t,R)333 111111,,,,,,，，,,，，ab，bc，ca,,t,at，,at，(1，a)t，,t，(1，a)t ,,,,,,,,,,,,333333,,,,,,，，,,，， 1122 ,,(1，a，a)t,,33 1ab，bc，ca,所以 . 3 1.10三角代换法 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易. 2222a，b,1ax，by,1例10 已知:，，求证:. x，y,1 x,sin,证明 设a,sin,，则b,cos,;设，则y,cos, ax，by,sin,sin,，cos,cos,,cos(,,,),1所以 . 1.11判别式法 通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式. 222x,y,R例11 设，且，求证:. x，y,1y,ax,1，a y,ax，m证明 设m,y,ax，则 2222代入中得 ， x，(ax，m),1x，y,1 222即 (1，a)x，2amx，(m,1),0 2x,y,R1，a,0,,0因为，，所以， 222即 ， (2am),4(1，a)(m,1),0 5 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 22解得 ，故. m,1，ay,ax,1，a第二章 利用函数证明不等式 2.1函数极值法 通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的. 1,4,cos2x，3sinx,2例18 设，求证:. x,R8 231,,2()cos23sin12sin3sin2sin2证明 fx,x，x,,x，x,,x,，,,48,, 31当sinx,时， f(x),2;max 48 当时， sinx,,1f(x),,4.min 1,4,cos2x，3sinx,2故 . 82.2单调函数法 ,,f(x),0f(x),0f(x)f(x)当属于某区间，有，则单调上升;若，则单x ,,f(x),g(x),(x,(a,b))f(x),g(x)f(a),g(a)调下降.推广之，若证，只须证及即可. 例 19 证明不等式 xe,1，x ，x,0. xx,,f(x),0,f证明 设则故当x,0时，严格递f(x),e,1.f(x),e,1,x, ,x,0,f(x),0,f增;当严格递减.又因为f在x,0处连续， 则当x,0时， f(x),f(0),0, 从而证得 x e,1，x,x,0. 6 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 2.3中值定理法 f(x)[a,b],利用中值定理:是在区间上有定义的连续函数，且可导，则存在， ,a,,,bf(b),f(a),f(,)(b,a)，满足来证明某些不等式，达到简便的目的. 例20 求证:. sinx,siny,x,y ,f(x),sinxsinx,siny,(x,y)sin,,(x,y)cos,证明 设 ，则 故 sinx,siny,(x,y)cos,,x,y. 2.4利用拉格朗日函数 例 21 证明不等式 111,13a,b,c 其中为任意正实数. 3(，，),abc,abc 证明 设拉格朗日函数为对 1111L(x,y,z,,),xyz，,(，，,). xyzr 对L求偏导数并令它们都等于0，则有 ,， L,yz,,0x2x ,L,zx,,0， y2y ,， L,xy,,0z2x 1111L,，，,,0. ,xyzr 由方程组的前三式，易的 111xyz,,,,,. xyz, 14,把它代入第四式，求出从而函数L的稳定点为 ,x,y,z,3r,,,(3r).3r. 3为了判断是否为所求条件极小值，我们可把条件f(3r,3r,3r),(3r) 7 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 1111z,z(x,y)，，,看作隐函数(满足隐函数定理条件)，并把目标函数xyzr f(x,y,z),xyz(x,y),F(x,y)fz,z(x,y)看作与的复合函数.这样，就可应用极 值充分条件来做出判断.为此计算如下: 22zzz,,, z,,,xy22xy 22yzxz,,,FxzFyz,,, yxyx 3223yzzzz22F,,F,z,,，, xxxy3yxxyx 3xz2 F,.yy3y x,y,z,3r当时， F,6r,F,F,3r, xxyyxy 22 FF,F,27r,0.xxyyxy 由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不 等式 11113xyz,rx,y,z,，，,(3)(0,0,0,). xyzr 111,1x,a,y,b,z,c,令则代入不等式有 r,(，，),abc 111,13 abc,[3(，，)]abc 111,13或 3(，，),abc(a,0,b,0,c,0).abc 第三章 利用著名不等式证明 [3.1利用均值不等式 a，a，？，a12nn,aa？a 设是n个正实数，则，当且仅当a,a,？,a1212nnn 8 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 时取等号. a,a,？,a12n nnn222(ab),(a)(b).例22 证明柯西不等式 ,,,iiii,1,1,1iii证明 要证柯西不等式成立，只要证 nnn22 (1) ab,ab,,,iiii,1,1,1iii nn2222a,A,b,B,令 (2) ,,ii,1,1ii n ab,AB,iiA,0,B,0,则(1)即 式中i,1 n ab,iii,1,1即 (3) AB 22ab11，2222abAB11下面证不等式(3),有均值不等式，， ,222AB 222abab1111,，即 ， 22ABAB 22222abab2ababnnnn2222,，,，同理 ， ，. ？2222ABABABAB 将以上各式相加，得 nn22ab,,iin211,,ii(ab),， (4) ,ii22ABAB1,i n2(ab),2根据(2)，(4)式即 . ,iiABi,1 因此不等式(3)成立，于是柯西不等式得证. 9 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 3.2利用柯西不等式 2nn1,,2例23 设，，2，„，(求证:( i,1a,Raan,,,,,iiini,i,11,, 证明 由柯西不等式 22nnnnn,,,,,,,,222( a,a，1,a1,na,,,,,,,,,,,,,iiii,1,1,1,1,1,i,,i,,i,,i,i两边除以即得( n nn1112说明:两边乘以后开方得(当为正数时为均值不等式aa,a,,iiinnn,1,1ii 中的算术平均不大于平方平均( 3.3利用赫尔德不等式 ,ab,例24 设为正常数，，，求证: nN,0,,x2 n，2222ab,,nn，，22，,， ,,abnnsincosxx,, 22nn，2n，2abab,,,,22，2nsincosxx，，，证明 = ，，,,,,nnnnsincossincosxxxx,,,, 22nnnn，，22ab,,,,22nn，，22,，sincosxx ，，，，,,,,nnsincosxx,,,, 22，，nn22 = ab， n，2222ab,,nn，，22，,， 即 ,,abnnsincosxx,, 3.4利用詹森不等式 例 25 证明不等式 abc，，abc3a,b,c(abc),abc, 其中均为正数. f(x),xlnx,x,0.f(x)证明 设 由的一阶和二阶导数 10 定西市转高等专科学校 不等式证明的若干方法 1,,, f(x),lnx，1,f(x),x f(x),xlnx可见，在时为严格凸函数.依詹森不等式有 x,0 a，b，c1 f(),(f(a)，f(b)，f(c)),33 从而 a，b，ca，b，c1 ln,(alna，blnb，clnc),333 即 a，b，ca，b，cabc (),abc.3 a，b，c3又因所以 ,abc,3 abc，，abc3(abc),abc. 参考文献 [1]李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263. 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