[修订]二次函数根的分布

[修订]二次函数根的分布 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 2ax，bx，c,01、一元二次方程根的分布情况 22设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，axbxca，，,,00fxaxbxc,，，,0xx,xx,，，，，1212 方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf (每种情况对应的均是充要条件)x 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，布 情 一个大于0 xx,,0,0xx,,0,0xx,,0，，，，，，121212况 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0 ，，f0,0的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,0,,0，，f0,0的,,2a2a结,,论 f00,f00,,,，，，，,,综 合,,0,,0,,结,,论bb,,) ，，,,0,,0a,f0,0 ,,不2a2a,,讨af,,00af,,00，，，，,,,,论a ) 表二:(两根与k的大小比较) 分kkkk两根都小于即 即 ，一个大于即 两根都大于一个根小于布 情 x,k,x,kx,k,x,kx,k,x121212况 大 致 图 象k)kka,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k ，，fk,0的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,, 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k ，，fk,0的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,, 综 合,,0,,0,,结,,论bb,,) ，，,,k,,ka,fk,0 ,,不2a2a,,讨afk,,0afk,,0，，，，,,论,,a ) 表三:(根在区间上的分布) 分内，另一根在一根在，，，，m,np,q内 两根有且仅有一根在，，m,n布两根都在内 ，，m,n情内， m,n,p,q(图象有两种情况，只画了一种) 况 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,fm0,,0，，,,,得fn,0fm,0，，，，,fmfn,0，，，，,,,出或 ,,, ，，，，fn,0fm,fn,0fpfq,0的fp,0，，，，，，，，,,,,结,,bfq,0，，论 ,,mn,,,2a,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,,fm0，，,得fm,0,，，,fn,0，，出,fmfn,0，，，，,,, 或 fn,0，，，，fm,fn,0的，，,,,fpfq,0fp,0，，，，，，结,,,,b论 ,,mn,,,fq,0，，,2a,,综 合 结，，，，fmfn,0论,,)，，，，fm,fn,0 —————— ,不,，，，，fpfq,0讨,论a ) xmxn,,,，，m,n根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外，即在区间两侧，(图形分别如下)需满足12 的条件是 fm,0fm,0,,，，，，,,a,0a,0(1)时，; (2)时， ,,fn,0fn,0，，，，,,,, 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况: ，，m,n 1: 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以fm,0fn,0fmfn ,0mn，，，，，，，， 2求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 的值。如方程在区间mxmx,，，,220，，m,n，， 2222上有一根，因为，所以，另一根为，由得即1,3f10,mxmxxmx,，，,,,2212,,m213,,，，，，，，，，，，m3m为所求; ,,0,,02: 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带，，m,n 2入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程xmxm,，，,4260有且 15一根在区间,3,0ff,,300 141530mm，，,,,,,3m内，求的取值范围。分析:?由即得出;m，，，，，，，，，，14 32,,0m,,1m,,1m,,1164260mm,，,m,x,,,,23,0?由即得出或，当时，根，即满足题意;当，，，，2 3315m,,1m,x,,,33,0m,,,,,3m时，根，故不满足题意;综上分析，得出或 ，，2214 根的分布练习题 221210mxmxm，,，,,例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 m，，，， 12100mf，, 2110mm，,,,,,m1解:由 即 ，从而得即为所求的范围。 ，，，，，，，，2 2210xmxm,，，,例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 m，， 解:由 ,,0,2,mm，,,180，，,,，m1,,，，,mm,,,，322322或,,,0m,,1 ,,,,,,22 m,0,,,,m,0f00,,，，,, 0322,,,mm,，322或即为所求的范围。 2ymxmxm,，,，，，22433xm例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的，，，，，， 取值范围。 1mf，,210 mm，，,2210 ,,,2m解:由 即 即为所求的范围。 ,，，，，，，，，2 2mxmx，,，,2340m例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。，， 1m,,0,1ff010 ,4310 m，,解:由题意有方程在区间上只有一个正根，则 , , 即为所求范围。，，，，，，，，3 ,,00,1(注:对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大)，， 221(二次函数及图象 设有一元二次函数y=ax+bx+c(a?0)，判别式Δ=b-4ac，当Δ,0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ,0时，y=f(x)与x轴无交点( 当Δ,0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x,x(一元二次函数y=f(x)与x轴交点x，x就是相应一元二次方程1212f(x)=0的两根(观察图象不难知道( 图像为 观察图象不难知道?=0，a,0 , ?=0，a,0 当?,0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为 观察图象不难知道(a,0时,绝对不等式f(x),0解为x?R( a,0时,绝对不等式f(x),0解为x?R( 2(讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式(组)的求解问题，其 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 有3种: (1)应用求根 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ;(2)应用根与系数关系; (3)应用二次函数图象(在进行转化时，应保证这种转化的等价性( 就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法( 22设f(x)=ax，bx，c(a,0)，方程ax，bx，x=0的个根为α，β(α?β)，m，n为常数，且n,m，方程根的分布无外乎两种情况: ?α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑 2三、好题解给你 (1) 预习题 1. 设有一元二次函数y,2x-8x+1(试问， 当x?[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小, 由此y,f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么, 2解:经配方有y,2(x-2)-7 ?对称轴x,2，区间[3，4]在对称轴右边， ?y,f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此y=f(4),1( y,f(3),-5( maxmin222.设有一元二次函数y,2x-4ax+2a+3(试问，此函数对称轴是什么, 当x?[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小,与a取值有何关系, 由此，求y,f(x)在[3，4]上的最大值与最小值( 2解:经配方有y,2(x-a)+3( 对称轴为x=a( 当a?3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x?[3，4]时，随x变大，y的值也变大( 当3,a,4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3?x?a，随x变大，y的值变小，但若a?x?4，随x变 大，y的值变大( 当4?a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x?[3，4]时，随x变大，y的值反而变小( 22根据上述分析，可知(当a?3时，y=f(4)=2a-16a+35(y=f(3),2a-12a+21( maxmin2当3,a,4时，y,f(a),3(其中，a?3.5时，y,f(4),2a-16a+35( minmax222a?3.5时，y,f(3),2a-12a+21(当a?4时，y,f(3),2a-12a+21(y,f(4),2a-16a+35(maxmaxmin 2(1) (2) 基础题 例1(设有一元二次方程x+2(m-1)x+(m+2),0(试问: (1)m为何值时，有一正根、一负根((2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1( (3)m为何值时，有两正根((4)m为何值时，有两负根( (5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内, 解:(1)设方程一正根x，一负根x，显然x、x,0，依违达定理有m+2,0( 2112 ? m,-2( 反思回顾:x、x,0条件下，ac,0，因此能保证?,0( 12 (2)设x,1，x,1，则x-1,0，x-1,0只要求(x-1)(x-1),0，即xx-(x+x)+1,0( 1212121212 依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1,0( (3)若x,0，x,0，则x+x,0且x，x,0,故应满足条件 121212 依韦达定理有 (5)由图象不难知道，方程f(x),0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)?f(4),0，即 [9+6(m-1)+(m+2)]?[16+8(m-1)+(m+2)],0( ?(7m+1)(9m+10),0( 例2. 当m为何值时，方程有两个负数根, 解:负数根首先是实数根，?，由根与系数关系:要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负， 两根之积为正(由以上分析，有 即 ?当时，原方程有两个负数根( (3) 应用题 2例1. m取何实数值时，关于x的方程x+(m-2)x，5-m=0的两个实根都大于2, 2解:设f(x)=x+(m-2)x+5-m，如图原方程两个实根都大于2 所以当-5,m?-4时，方程的两个实根大于2( 2例2(已知关于x方程:x-2ax，a,0有两个实根α，β，且满足0,α,1，β,2，求实根a的取值范围( 2解:设f(x)=x-2ax，a，则方程f(x)=0的两个根α，β就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标，如图0,α,1，β,2的条件是: ,1，β,2( 2例3(m为何实数时，关于x的方程x+(m-2)x，5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2. 2解:设f(x)=x，(m-2)x，5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f(2),0， ，2(m-2)，5-m,0(解得m,-5(所以当m,-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2(即4 (2) (4) 提高题 例1(已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围( 解:(1)当，则所给函数为二次函数，图象满足: ，即 解得:(2)当时， 若，则的图象不可能都在x轴上方，? 若，则y=3的图象都在x轴上方 由(1)(2)得: 反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论( 22例2(已知关于x的方程(m-1)x-2mx，m+m-6=0有两个实根α，β，且满足0,α,1,β，求实数m的取值范围( 22解:设f(x)=x-2mx+m，m-6，则方程f(x)=0的两个根α，β，就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标( 如图，0,α,1,β的条件是 解得 2例3(已知关于x的方程3x-5x，a=0的有两个实根α，β，满足条件α?(-2，0)，β?(1，3)，求实数a的取值范围( 2解:设f(x)=3x-5x，a，由图象特征可知方程f(x)=0的两根α，β，并且α?(-2，0)，β?(1，3)的 解得-12,a,0( 2四、课后演武场 1.已知方程(m-1)x+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是( B ) A( B( C( D( 222.方程x+(m-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是( C ) A(0,m,2 B(-3,m,1 C(-2,m,0 D(-1,m,1 3.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( C ) A( B( C( D( 24(已知关于x的方程3x+(m-5)x，7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围( 可知方程f(x)=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是:f(4),0) 25(已知关于x的方程x，2mx，2m，3=0的两个不等实根都在区间(0，2)内，求实数m的取值范围( 征可知方程f(x)=0的两根都在(0，2)内的充要条件是 ,,m,n2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨 2设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况:,,m,n，，，，fx,ax，bx，c,0a,0 bbbb m,n,,m,,,n,,,,m,n,,m,n 即 2a2a2a2a 图 象 fx,maxfn,fm，，，，，，,,max最fx,fmfx,fn，，，，，，，，maxmax大 、 最b,,小，，，，，，，，fx,fnfx,fm，，fx,f,,,minminmin值 2a,, 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论: ,,,,bbb,,,,fx,minfm,f,,fnfx,maxfm,f,,fn,,,,m,n，，，，，，，，，，，，(1)若，则，;,,,,,,,,maxmin2a2a2a,,,,,,,, b,,,,m,n，，，，，，,,，，，，，，,,fx,maxfm,fnfx,minfm,fn(2)若，则， maxmin2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大;反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。 二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 2各代表一种情况。例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。fxaxaxba,,，，,2202,3ab,，，，，,, 解:对称轴，故函数在区间上单调。 x,,12,3fx2,3，，,,,,0 ,,fxf3325ab，，,a,1，，，，,,,maxa,0(1)当时，函数在区间上是增函数，故 ;fx2,3,,，，,,,,,fxf,2b,0，，，，22，,b,,,min, ,,fxf2b，,25a,,1，，，，,,,maxa,0(2)当时，函数在区间上是减函数，故 fx2,3,,，，,,,,,fxf,3b,3，，，，322ab，，,,,,min, 2例2、求函数的最小值。 fxxaxx,,，,21,1,3，，,, 2a,113,,a解:对称轴 (1)当时，;(2)当时，;yfa,,,122yfaa,,,1xa,，，，，min0min a,3(3)当时， yfa,,,3106，，min 改:1(本题若修改为求函数的最大值，过程又如何, a,2a,2解:(1)当时，; (2)当时，。fxfa,,,3106fxfa,,,122，，，，，，，，maxmax 2(本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行, a,1 解:(1)当时，，; fxfa,,,3106fxfa,,,122，，，，，，，，maxmin212,,a(2)当时， ，; fxfa,,,3106fxfaa,,,1，，，，，，，，maxmin223,,a(3)当时，，; fxfa,,,122fxfaa,,,1，，，，，，，，maxmin a,3(4)当时， fxfa,,,122，fxfa,,,3106。 ，，，，，，，，maxmin2例3、求函数在区间tt,1，上的最小值。 解:对称轴 x,2yxx,,，43,,0 22,tt,2(1)当即时，yfttt,,,，43; ，，min tt,,，2112,,t)当即时，yf,,,21; (2，，min 221,，tt,1yfttt,，,,12(3)当即时， ，，min 2fxxxa,，,，1例4、讨论函数的最小值。 ，， 2xa,,xxa，,，1,2fxxxa,，,，,1解:，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，,2xa,xxa,，，1,, 111111x,,,,aa,x,,a,,，，当，，时原函数的图象分别如下(1)，(2)，(3) 222222 11113,,2,,,afxfaa,,，1a,,因此，(1)当时，;(2)当时，;fxfa,,,,，，，，，，,,minmin22224,, 113,,a, (3)当 时，fxfa,,，，，,,min224,,