基于分步傅里叶变换法对非线性薛定谔方程的数值仿真

基于分步傅里叶变换法对非线性薛定谔方程的数值仿真 基于分步傅里叶变换法对非线性 薛定谔方程的数值仿真 李莹，崔庆丰 (长春理工大学 光电工程学院，长春 130022) 摘 要:介绍一种数值求解非线性偏微分方程的方法;分步傅里叶变换法。光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到色散效应和非线性效应的影响。所以利用分步傅里叶变换法，考虑光信号在光纤中传输一段微小距离的情况下，先 计算色散效应对光脉冲的影响，然后再计算非线性效应对光脉冲信号的影响，进而近似求出非线性薛定谔方程的数 值解。最后，应用 MATLAB 软件来数值仿真这个数值解，仿真结果可以清晰看到色散效应对光脉冲的脉冲展宽， 以及非线性效应对光脉冲的影响。 关键词:分步傅里叶变换法;非线性薛定谔方程;MATLAB;快速傅里叶变换 TN929.11A1672-9870201101-0043-03中图分类号:文献标识码:文章编号:() The Numerical Simulation to Nonlinear Schrodinger Equation Based on SSFT LI Ying，CUI Qingfeng (School of Optical and Electronic Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022) Abstract:This paper introduces a kind of numerical method for solving nonlinear partial differential equations: split-step Fo- urier transform method，SSFT. Because the light pulse signal transmit in optical fiber，influenced by the dispersion effect and the nonlinear effect in the same time.we use SSFT that considering the light signals in optical fiber transmit a period of tiny distance，thought calculating the dispersion effect and then nonlinear effect to the light fiber，and aim to get the ap- proximate Numerical solution of nonlinear Schrodinger equation. Finally，apply the MATLAB software to simulate the nu- merical solution. Via to the MATLAB results we can clearly see dispersion effect to pulse widening of optical pulse，and nonlinear influence to the optical pulse. Key words:split-step fourier transform method; nonlinear schrodinger equation; MATLAB;fast Fourier transformation ( 脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性薛定谔方程nonlinear Schrodinger equa- 非线性效应的影响。通过 Maxwell 方程，考虑到光 )tion，NLSE是奥地利物理学家薛定谔于 1926 年提 纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤 出的，应用在量子力学系统中。由于量子力学主要 中的传输方程，即非线性薛定谔方程。 研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求 学 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 来表示。通常在量子力学中，研究系统的状 出解析解，于是通过数值方法进行求解。具体分为 ()态一般通过波函数 x，t来表示。而对波函数的研 ()(两大类:1分布有限差分法split-step finite differ- 究主要是求解非线性薛定谔方程。本文主要研究光 )()(ence method，SSFD;2分步傅里叶变换法split- 脉冲在光纤中传输状态下的演变。一般情况下，光 ) step Fourier transform method，SSFT。一般情况，2.1 分步傅里叶变换法 在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算 上面推导出来的非线性薛定谔方程是非线性偏 速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法 微分方程。而对此类方程一般无法直接求出解析 运算速度快一到两个数量级。于是本文介绍分步傅 解，所以需要数值方法来求解。一般情况下，采用 里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线 分步傅里叶变换法和有限差分法来求解方程。本文 采用分步傅里叶变换法来对非线性薛定谔方程求解。 性薛定谔方程进行数值求解。并通过 MATLAB 软 光脉冲信号在光纤中传输，会同时受到光纤的 色件对结果数值仿真。 散和非线性效应的作用，对光脉冲的脉宽、频谱 产生影响。分步傅里叶变换法的思想就是当传输距 非线性薛定谔方程1 离 h 很小的时候，可以分别计算色散和非线性效应 光纤的色散和非线性效应对光传输有着十分巨 对脉冲的影响，最后得到近似结果。具体就是当光 3,,()大的影响。a色散效应是入射光信号与光纤中电 脉冲在光纤中传输了 h/2 时，此刻只考虑色散的作 解质的电子的相互作用，通常表现为光纤的折射率 用;然后在 z+h/2 处考虑非线性的作用;最后当光 与光波频率 有关。即折射率与频率的依赖关系。 脉冲继续传输 h/2 以后考虑色散效应，得到传输距 在理论研究上，光纤的色散效应是通过在中心频 离为 h 近似解。最后将两部分的结果相乘，就得到 光脉冲信号在光纤中传输距离 h 时的近似解。通过 处展开成模传输常数率的泰勒级数来表示。 0 这种思想建立如下分步傅立叶数值算法的数学模型。 1 将非线性薛定谔方程写成以下形式: 2 + + = = + 0120 2 d (m= 0，1，2 ) (1) = = 0 d 其中， 和 与折射率 n 有关系， 12 ，，() (6) =+U D N * 1 1 d (2) + = = = 1 d 其中， 是线性算子，表示光纤中的色散和损耗， 2 d 1 d 是非线性算子，表示光纤中的非线性效应。此时 (3) = 2 +2 2 d d 通过分步傅里叶变换法的思想，在前半段距离h/2， ()其中，是群速度色散GVD，与脉冲的展宽有关 2只考虑色散效应，即令 =0，则方程可以写成: 系。 ，= (7) () U b在高强度电磁场中任何电介质对光的响应都D * 会变成非线性，光纤中通常也是这种关系。其中极 在后半段距离 h/2，只考虑光纤的非线性效应，即 化强度 P 与电场 E 的关系是非线性的。满足方程: 令方程中的 =0，则方程可以写成: 2 3 1 ) (4) P= E+ EE+ EEE+ 0 ，= (8) U N * ()式中， 0 是真空中的介电常数，j=1，2 为 j 阶 这样就可以分别求解色散和非线性效应对光脉冲信 电极化率。现实中存在多种多样的非线性效应，例号的影响，并且简化了薛定谔方程。傅立叶变换公 ()()如自相位调制SPM、交叉相位调制XPM、四波 式为: ()()混频FWM、受激拉曼散射SRS、受激布里渊散 ()射SBS。 ~ ， = = ， 通过 Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线 + ， ()(9) expi TdT 性效应，可以推导出光波在光纤中传输的非线性薛 ~ ， 1 = ， = 定谔方程: 2 + ~ 1 2 2 ( ) (10) ，exp i TdT = i |A| A+ + + 2 2 2 2 2 这里应用傅里叶变换就可以将偏微分方程转化为常2 ()(5) |A|A 微分方程，便于求解。 2.2 求解非线性薛定谔方程 现在要通过分步傅里 分步傅里叶变换法对非线性薛定谔2 叶变换法来求解非线性薛 方程的数值求解 可以忽略光纤中的高阶非线性效应，则非线性薛定MATLAB 仿真非线性薛定谔方程 3 谔方程可以简化为: 2 MATLAB 是一款功能强大的计算仿真软件，可 2 (11) = 0 + + 2 2 2 通过 MATLAB 软件对非线性薛定谔方程进行数值 仿真。编写程序的理论思想就是应用分步傅里叶变 () 其中，Az，T为脉冲包络的慢变振幅，z 是脉冲沿 换法求解方程，通过 MATLAB 中的离散傅立叶变 光 纤 传 播 的 距 离; = ， = 1/ ， 是 群 速 1 1 ()()换DFT函数 fft 和离散傅立叶反变换IDFT的函数 度; 是光纤损耗系数; 是色散系数; 是非线性 ifft 来实现方程中的傅立叶和反傅立叶变换运算， 系数。 从而得到方程的数值解及仿真曲线。图 1 是编写程 () ， 是入射引入归一化振幅: = Az，T/00序的流程图。通过流程图可以清楚的看出程序的编 脉冲的峰值功率，此时方程可以写为:写思想。图 2 是入射光信号:啁啾高斯脉冲，在光 2 ()( 纤中的传输仿真图形。其中a是光纤在反常区内2 2 (12) + | | U = U0 2 2 2 ) <0，通过图形可以看到，在经过一定的传输距离以 ，， () 后，光脉冲信号趋于一种稳态的波形，此时脉冲信 于是按照=+U 的形式可以写出色 D N * 号演化为光孤子脉冲，其原因是 SPM 与 GVD 对光 散算子和非线性算子: 2 脉冲的影响是相反的，SPM 引起的啁啾为正，GVD ，(13) =2 D 2 2 引起的啁啾为负，这两种啁啾相互抵消，则形成稳 2(14) ， = Pi|U|0 N ()( )态光孤子;b是在光纤的正常色散区内>0，通过 ，先令=0，则方程可以写为: N 2 ) (15) ( U= 2 2 2 设定初值 利用傅里叶变换得到一个常微分方程: ~ 2 设定时间步长 ~ ~ tau=-4096e-12 1:e-12: 4095e-12 (16) = 2 2 输入光脉冲信号并显示输入信号 解方程得:(((()) ()))u=Ao*exp - 1+i* c/2* tau/to. ^2 2 ~ ~ 0， (17) ，= exp 2 将光线色散长度 Ld 分段循环计算 for ii=0.1: 0.1: 1.5 ~ ~， z=ii*Ld 式中 0， 是 U 0， 的傅里叶变换， 进行逆傅里叶变换就得到 U ，。计算脉冲宽度 计算频率步长 则求解公式为:( ())计算 u z, t的频谱 spectrum=fft u 2 ~ U ， exp 0， (18) ?= 分就计算 z 段光纤的色散和非线性效应 2 设定步长为 h 循环计算 for jj=h: h: z ，下面再令= 0，则方程变为 D 2 (19) = 0 计算传输 h/2 距离时的色散效应 同上面的方法解方程为: ~ ~2计算 h/2 处的非线性效应 z (20) 0， 0， |，=exp | 0 则解为: 计算传输 h/2 距离时的色散效应 ~ 2U ， | 0， |z ? = exp 0 计算输出脉冲 f 计算 输入输出脉宽比 计0， (21) 算输出相位 这样通过分步傅里叶变换法就可以求出非线性 显示输出结果薛定谔方程的数值解。对于薛定谔方程中的高阶非 线性项，可以通过 MATLAB 软件的差分概念来进 图 1 程序流程行编程求解。 Fig.1 Program flowchart (下转第 60 页) 光机结构分析,J,.光子学报，2006，35(7):1117-1120. 当增加梁片厚度时，一阶谐振频率都会提高，张林波，任戈，陈洪斌.四翼十字形中心支撑结构的动力 ,4,但相比较而言，三翼对称结构的频率增加速率较 J,.光学精密工程，2003，11(5):472-475. 梁文学分析,大，而四翼偏置结构的增加速度率较小。同样当梁 .次镜支撑结构的力学性能分析,J,.仪器 仪科，刘顺发 ,5,片厚度从 3mm 增加到 9mm 时，次镜组件的轴向变 2007，28(5):859-863. 陈景全，李国平.四翼梁式表学报，形减小了两倍。 十字形中心支撑的力学特性 ,J,.天文仪器与技术，1988，1:5-10. 王富国，张景旭，杨,6,参考文献 .四翼梁式次镜支撑结构的研 究,J,.光子学报，飞，等 2009，38(3):674-676. 曲庆璋，章权，季求知，等. 弹性板 ,7,M,.北京:人民交 通出版社，2000. 杨利伟，李志理论, 1.M.,,胡家升光学工程导论,,大连:大连理工大学出版社，.J.一种基于有限元分析的柔性支撑结构 设计,,长春荣 ,8,2002. 程景全.天文望远镜原理和设计,M,.北京:科学200831149-52. ，():理工大学学报， 2003. 惠彬，李景镇，裴云天，等.大口径折技术出 版社， ,2, 反射式光学系统的 9,, ,3, (上接第 45 页) 图形可以清晰看见由 GVD 和 SPM 的共同作用，加 仿真还处于实验阶段，对于非线性光纤光学中的高 阶色散和高阶非线性对光脉冲的影响，将来还要做 速了脉冲的展宽，原因是在正常色散区 SPM 加速 进一步探究。 了了 GVD 引起的脉冲展宽。 参考文献 ,1, Agrawal G P. Nonlinear Fiber Optic,s M,. Academic Pre- ss，2002:1-85. ,2, 赵磊，隋展，朱启华，等.分步傅里叶法求解广义非线性 J.200958 ,物理学报，，薛定谔方程的改进及精度分析, (7):4731-4737. ()() a在光纤反常色在光纤正常色b ,3,王志斌，李志全，吴朝霞.分步傅里叶在光孤子传输中的散区仿真图形 散区仿真图形 数值研究,J,.仪器仪表学报，2006，27(6):1203-1204. 项 光脉冲传输仿真图形图 2 鹏，郑亚斌. 光纤波导中光脉冲演化方程的数值解及 ,4,Fig.2 The simulated graphic of light pulse transmission J,.光子技术，2006，12(2):117-120. 计算机仿真研究, 施娟.基于对称分步傅立叶算法的光孤子仿真,J,.技术 ,5,2008，10(1):73-75. 前沿， 结论4 通过理论分析和仿真实验表明，利用分步傅里 叶变换法在求解非线性薛定谔方程的效果是明显 的，且利于编程。但是对于方程中高阶偏微分项的 file:///D|/我的资料/Desktop/新建文本文 档.txt Appliance Error (configuration_error) Your request could not be processed because of a configuration error: "Could not connect to LDAP server." For assistance, contact your network support team. file:///D|/我的资料/Desktop/新建文本文档.txt2012-07-12 20:42:52