广义半模 F 积分的收敛定理

广义半模 F 积分的收敛定理 张勤阁，杨平乐 中国矿业大学 理学院 ，江苏 徐州 (221116)摘 要:本文首先通过减弱广义三角模的条件，给出广义三角半模的定义及其两个条件，并 在此基础上用广义半模 F 积分的性质定义来简化广义 F 积分的收敛定理，从而得到了广义 半模 F 积分的收敛定理的简洁形式，然后对其结论进行证明并得出结论。 关键词:广义三角模;广义 F 积分;收敛定理 中图分类号:O1 文献标识码:A 1 引言 自从 1965 年 L.A.扎德发表关于模糊集的开拓性 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 后，模糊数学的研究获得了迅发展， 1974 年日本学者 M.Sugeno 首先提出了一类模糊测度与模糊积分的概念，1986 年 Suarez 与 Gilavarez 利用三角模定义给出了广义模糊积分，1984-1986 年王震源等给出了一系列关于模 糊积分序列收敛定理，自此，许多学者展开此领域的研究。 本文在参考大量文献的基础上[7-13]，首先减弱广义三角模的条件，给出了广义三角半 模的定义，为了后面讨论的需要，提出了广义三角半模的两个条件(T-1)和(T-2)。在此 基础上通过一个反例指出了文给出的一个广义模糊积分序列收敛定理中，有的条件不合理， 在该条件下虽然能保证定理的充分性成立，但它并非是必要的，本文通过广义三角半模来修 正这一收敛定理，并证明了定理的正确性。作为这一定理的推论，在广义三角模 S 满足 T ? 1Lim S α , ?= 0 ()[] +α ?0 的条件下，得到了广义模糊积分收敛定理的简洁形式。 2 广义三角模 2 定义 2.1，广义三角模[5]:记 D = 0, ?/ 0, ? , ?, 0，映射 S : D ? 0, ?称为[]( ) ()[] {} 广义三角模，若其满足条件: (1) S x, 0= 0, ?x ? 0, ? ，且存在 e ? 0, ?使得 S x, e= x?, x ? 0, ? ，这里的 e[ ] [) ( ] [ ] [) 称为单位元; (2) S x, y= S y, x;[ ] [ ] (3)当 x? x, y? y时， S x, y? S x, y;[ ] [ ] 1 1 2 2 1 2 1 2 (4)若 x, y? D, x, y ? D 且 xx, yy ，则 S x, y? S x, y。 / 2 ( )( ) [ ] [ ] {} n n n n n n 2 三定义 2.2[4]，广义三角半模: D = 0, ?/ 0, ? , ?, 0，映射 S : D ? 0, ?称为广义 []{ } [] ()()′ 角半模，若其满足条件定义 2.1 中条件(2)—(4)，且 (1)S x, 0= 0, ?x ? 0, ? .[ ] [) 定义 2.3，令 S 是一个广义三角半模，我们引进下面两个条件: (T-1) Lim S α , ? = 0 ; () +α ?0 (T-2)对所有的α 0 ，有 S α ,α 0 。;;[] 引理 2.1，令 S 是一个广义三角半模，则下面几个命题是等价的: - 1 - S 满足条件(T-1); 对任意给定的ε ; 0 ，存在α ; 0 ，使得对所有的 β ; 0 有 S α , β ? ε ;[] Lim S 1/ n, ? = 0 。() n?? 引理 2.2，一个广义三角半模满足条件(T-2)，当且仅当，如果对于任意α ; 0 ， α ? 0, ? ，使得 Lim S α ,α = 0 成立，则意味着Limα = 0 。{} ( )() n n n n??n?? 3 广义模糊积分 定义 3.1，广义模糊积分[5]:设 S 是广义三角模， f 是非负可测函数， A ?? ,则 f 在 A 上 的 广 义 模 糊 积 分 定 义 为 。 此 处 fdufdu = supQs ( ) A A 0? s ? f A ? ? n s = α x,α ?α i ?j ，且 α; 0, A ?? ，且 χ 是A 的特征 函数， 而() ? i ji i Aii A i =1i i n ?Qs = ?S = ?α, µ A ? A 。此处 ? 为取最大值，且规定 supi : i ? φ= 0 。 {}( ) ( )A i =1 i i ?? 定理 3.1，对广义模糊积分有以下等价形式: ??fdu = sup S α , µ A, Nf ( )( ) A α ???α ? 0 ?? (1) = sup S α , µ A, Nf ( )( )α ? ? α ? 0 = supS ?inf f x , µ A ? E ( ) ( ) x?E E??,inff x ;0 ( )?x?E x x 其中 Nf = x ? X : f ; α , Nf = x ? X : f ? α ，以下均( ) ( ) ( ) ( ) {}{} α α 同。 定义 3.2，称有广义三角半模 ? 定义的广义模糊积分为广义半模模糊积分，记为ε 0 ?fdu ，满足: fdu = sup α ?µ Nf ? A;( ) ( ) A A ε α ? ??0 α ;0 对于有限集上的模糊积分有: n?? µ Nf ? A。fdu = ? α?( ) ( )αA i ε ?i 0? ? i =1 4 广义模糊积分的收敛定理 + +f? M，如 果 对于任 意给 定的 ε 0 ，有 :,;定义 4.1[6] ，令 A ??, f ? M {}n Limµ x fx ?f x ?ε ? A= 0 称f在 A 上依测度 µ 收敛于 f 。如果 A = X ,称( ) ( ) { } {} (n ) n n?? f依测度 µ 收敛于 f ，记为 f? f 。{ } n n µ ，其中 定理 4.1[1]，令 X ,?, µ 是一个模糊测度空间， A ??, 在 A 上 f??? f ( ) n + + f ? M,f? Mfdu，当 且仅 当 µ 是自连 续的 ，且 ，则 Lim fdu = {} n A A n ?? n?? ?? Lim S , µ Nf = 0 。 (*)α( )( )nα n n ? ?n?? 下面的例子说明条件(*)在此定理中是不必要的。 - 2 - 反例[4]:令 X = 1, 2,,? = P X ,定义 µ :? ? 0, ?满足: µ A= A , A ?? , "{} ( ) [] ( ) 这里 A 表示 A 中元素的个数(当 A 是一个无限集时，我们设 A = ?)。显然 µ 是 X ,?( ) 上的模糊测度，且是自连续的。 1 µ ??? f ，另外我x = 1 + n = 1, 2,", f x ? 1 ，容易得到 f取 S a, b= ab, f( ) ( ) ( ) [] nnn 们有: 1 1 ??fd µ = S 1 + µ , X = 1 + µ X = ?,( )( ) () n ? ? n ? n X fd µ = S ?1, µ X = µ X = ?( ) ()?? X 1因此 Lim fd µ = f d µ ，但是，如果取 = α 0 ， 2n n ? ?n n?? X X 1?? ? ? LimS α, µ Nf = LimS , µ X = ? ?0 。则我们有( )( )( )nα n n ? ? n ? ?n?? n?? 另外，这里 µ 是自连续的也是不必要的，我们得到如下定理: µ ，其中 定理 4.2 ，令 X ,?, µ 是一个模糊测度空间， A ??, 在 A 上 f??? f( ) n + + ，则 Lim fdu = f ? M,f? Mfdu ，当 且仅当 µ 是上自连续的，且 对于{ } A n n A ?? n?? ?? fdu .(2) ? 0, ? ， ? 或 0 ，有 LimS , µ A ? Nf ?αα/α2α{} ( ) ( )( )nAα nn n n ? n ? ? n?? 为了证明以上定理，我们引入以下引理。 + + 引理 4.1，令 X ,?, µ 是一个模糊测度空间，µ 是上自连续的， f ? M ,f? M ， ( ) { } n 如果满足下面的条件: µ在 A 上 f ??? f ;n 对任意的 α ? 0, ? ，α ?/{} ( ) 或 α 2 0 ，不等式( 2 )成立，则: n n n ( 3 ) Lim f du ? fduA nA ? ? n?? fduLim f du =A n A ? ? n?? 现在证明定理 4.2: µ必要性，假设在 A 上 f f ，意味着 Lim fdu = fdu ，??? A n A n ? ?n?? ， 我 们 有 注 意 到 对 任 意 α ? 0, ? ， α / ? 或 α 2 0 {} ( )n n n ?? f du ，S α, µ A ? Nf ?( )( )n α n A n ? n? ? ?? 因此 LimS α, µ A ? Nf ? Lim f du =fdu ;( )( )nα n A n A? ? n ? ?n?? n?? 充分性，不失一般性，我们假设 A=X，由 µ 是上自连续的，容易看到满足引理 4.1 的 (4) 所有条件，根据引理 4.1，我们得到 Lim fdu ? fdu X n X ? ?n?? - 3 -