一种细分格式生成极限曲面的法向量的求法

一种细分格式生成极限曲面的法向量的求法 一种细分格式生成极限曲面的法向量的求 法 总34卷第l期 2001年3月 数学研究 JournalofMathematicalStudy vd+34No.1 Mar.200l 一 种细分格式生成极限曲面的法向量的求法 李黎王仁宏 (大连理工大学数学所.辽宁ll60箱) 摘要在上en培出的三角域上生成极限曲面的法向量求法基础上.培出拟蝴靠彤细 分在矩 形城上生成极限曲面的情况,并得到了两个自由度,可以对法向量进行优化选取. 这对讨论曲面的等 距面有广泛的宴际意义. 关键词细分;法向量;插值;等距面 中围分类号0搿1.6 细分是将初始控制网快速生成曲线或曲面的一种有效方法.关于细分方法已有很 多研 究….其中I~vln提出的四点法和蝴蝶形细分法已广为人知. 下面给出本文在矩形域上的细分格式. 一+ +,-+{+- 12加』9,9 j2』OJ7J J,222324』6 6 47』j 图1矩形域上插值格式图2点(-l.)及其邻近的24个点 点(.f.)位于参数平面原点 取矩形域为参数平面(,f),且边长为l,在细分过程中,每一步产生的新参数值位于参数 平面(,I)旧边长的中点,故新生成网格与旧网格有相同的拓扑结构,只是边长缩短一半. P(,,…,)?月是参数平面(,')上25个点的值,这25个点对应分量和' 分量的值为(Io+2一"fl,+2一一Df2),?O.其中(如,)为迭代第次生成的网格点. z-(o,z,-o,一,一z,一-o,,导,吉,一吉,一导,一导,一{,吉,詈,,吉,o 收稿日期:1999—12—28: 基金项目:国隶自然科学基金资助项目 ?1年 数学研究2 一百 1 ,o,) /2=(o,o,?,z,,o,一,一z,一,吉,导,号,吉,一吉,一导,一号,一吉,o,吉,?,吉,o,一 吉,-ll一吉) = 是迭代第m次生成的点.{{是它的邻近24个点,其中{}.位于外围, {}24位于内围 定理1适当选取使得该细分格式生成的极限曲面在点(sD,t.)处可微,P和(s.,) 定义如上,则生成极限曲面,(,)在点(s,)处的偏导值为 (sD?)=2'('m+卢'nt)(.,.)=2'(-+卢-)P 其中,.9?R m(.,-2a,0,0,0,2a一6,0,0,0,一l—,l,一l,.+l, 1 — ll(1一).+I,( 一 1).一l,面-a+1,一b,a,O,一d,6,一..0,d) n(.,+b-2a,O,一'0,I+2n一6,o,一1.0l—,0,lI—l,,(1一).,(一 1)n+l,一.一l,一I一6,1l_一.,6一l,一'll) mz;(.,一,.,一一.c,o,一l,0,l+d+2c,0,c,0,(一l一)c—l, 1 c+l,一,(I +)c,一c—l,(1+)c+lIljc,d—l,,I,一,一 d—l,一) nz(.,.,.,一.c一,0,0,0,d+2c,0?c—l,l,(一l一)c, 1 c,一 赤+l,一c,(1+ ) )c,o,c,d,c,0,一c,一d,一 (一) 一 ") 证明P": + 1 一 ")(5+)] 6= (2-s"+) 2[2+ d= -(5+)(吉 一 ?+丢一 +(丢一" 第l期 = A 岔 l 0 O O 0 l 百 专+2w 百 4+2 l 百" {+2w + +2 l " 李黎等:一种细分格式生成扳限曲面的法向量的求法83 0…00…0O…0 l 0AA? A3lAA? l 百" l w0 0 l 仲一 ll 百 百" 一 0 一 l i 1 百" 2l一4 ?0 O 0 ++ l一2l一2 ???????? , ++ l一2l一2 + l一2 数学研究2001年 A: A?= A?= 00 00 00 00 00 00 l iI+2lfJ 0O0 专+2w 0 一 lfJ O 0 O I +2w一 +2w l 百 1 +2w — lfJ 0 I +2 O 一 O O 一 一 O BxB O 0 O 0 一 lfJ 一 O — lfJ 0 I +2lfJ一一lfJ0 {+"000 iI+2"1+2w1+2一 OO1 +tcJ0 一 {{ 可看出,e,z,分别是T的对应特征值l,告,吉的特征向量,记.,…,"为余下的特征 向量,相应的特征值为^3,…,^ 若极限函数,(5,t)在点(,t.)可微,则 2一(—ge)=(80,to)l+(50,to)2(1) 的第一行记为7,7是的对应特征值为1的左特征向量,则 :7v'0,=3,…,24 这是因为Tv=,矗=7v=,?Oj;0,则存在,…,使得 =e+lzl++,' 又因=:e+({)+()f+曼.一 则2'(一e)=2[f+岛f.+莹.(2^)'] 若(1)式成立,则仅当. OO 一一一 O 一一一 O 一一一 oo 一 埘, 一 一 ?oo oo 0ooo oo00 o ,,,o 第l期李黎等:一种细分格式生成极限曲面的法向量的求法85 l(2)=0,V=3,…,24 故 ,(—Re)=(f+岛f2)()比较(1)和(2)可得,lim222 (o,10)=2I,(,ID)=2岛(3) 通过计算可知,是的特征值.则r有特征值为的左特征向量,又因为特征值16"的重 数为4,设它对应的特征向量为?.,?2.令u.-"=I,u.?=0和-f.=0,?=I.则计算可 知?l=姗l+pI1,=am2+pI2.a,卢为自由度,且?l和满足ul-e=0和?e=0.则 (5.,10)=2l=2一?l?=2(咖J+pII)? (,)=2=2一'-=2(d+pl2)? 推论l在定义域为矩形剖分上,该细分法产生的参数曲面在控制点产生的偏导向量 如下表示,其中对应的参数为(s.,.): P(,ID)=2(am1+pI1)-:P.(,)=2(am2+pI2)- 法向量n=等等鼍黼,其中m-,n-,m,n2表达式如上,=(础.,…, 砖),a,卢?R. 证明这是对定理l当=0时的直接推广. 参考文献 lDy1.N,GyA,nD.Abuttedlysubdivisionschemeforsurfaceinterpoh6o~",vithIP.1~Oncon trolAO~ITrans. Graph/~,l990,9:160—169 2Dy.N,GregoryJA,LevinDA4一pollitim阻P0Iabsuvdlvisio~aschemefor唧dec佃1plI【.AidedGeom. Design.l断.4:2.57,268 3ShenkraanP,DynN,LevinD,N~alsoftheb【l岫subdivision8chs?h?andtheirapplivalions. Joun~0f oanputafor~andAppliedMathemalics,lgg.,102:157,180 NormalsofaKindofSubdivisionSchemeSurfaces 厶厶WangRenhong (DalianUnJcea',sityofTechnology,Daliari,i160~I) Ab呦Thepaperpresents唧bformulasforcalculatingP ,,ornl~of缸bytheinP妇唧 , sub~visionschelll~fran.l瑚inilialsqua丁edeomrolp眦 Keywordssubdivlsion;Normal;interpolate;offset